CC BY
112
УДК 624.012.45 ББК 38.53 Р-24
Михуб Ахмад, аспирант Ростовского государственного строительного университета;
Польской Петр Петрович, кандидат технических наук, профессор кафедры железобетонных и каменных конструкций Ростовского государственного строительного университета;
Котеленко Роман Валерьевич, аспирант Ростовского государственного строительного университета;
Блягоз Алик Моссович, кандидат технических наук, доцент кафедры строительных и общепрофессиональных дисциплин Майкопского государственного технологического университета, т.: 89184205021, е-mail: alfa-maikop@yandex. ru.
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК, УСИЛЕННЫХ КОМПОЗИТНЫМИ МАТЕРИАЛАМИ ПО МЕТОДУ АНАЛОГОВОЙ ФЕРМЫ
(рецензирована)
В статье рассматриваются вопросы, связанные с использованием концепции расчета по методу аналоговой фермы. Данная методика позволяет учесть различные виды разрушения балок, усиленных композитными материалами. Последнее весьма важно на этапе предварительного расчета несущей способности опытных образцов.
Ключевые слова: виды разрушения, усиление железобетонных балок, композитные материалы, метод аналоговой фермы, несущая способность, блок-схема программы.
Mihub Ahmad, post graduate student of Rostov State Construction University;
Polsky Peter Petrovich, Candidate of Technical Sciences, professor of the Department of Reinforced Concrete and Masonry structures, Rostov State Construction University;
Kotelenko Roman Valerjevich, post graduate student of Rostov State Construction University;
Blyagoz Alec Mossovich, Candidate of Technical Sciences, assistant professor of the Department of Construction and General Professional Disciplines of Maikop State Technological University, tel: 89184205021, email: [email protected].
CALCULATION OF REINFORCED CONCRETE BEAMS STRENGTHENED WITH COMPOSITE MATERIALS ACCORDING TO THE METHOD OF ANALOGUE GIRDER
(reviewed)
The article considers issues related to the use of the concept of calculation by the method of analogue girder. This method allows to consider different types offailure of beams reinforced with composite materials. The latter is essential for pre-calculate the bearing capacity of the tested patterns.
Key words: types of destruction, strengthening of reinforced concrete beams, composite materials, the method of analogue girder, carrying capacity, a block diagram of the program.
В последние годы в России и, в особенности, за рубежом усиление дефектных или недостаточно прочных железобетонных конструкций выполняется с использованием различных видов композитных материалов. Учитывая широкий диапазон прочностных и деформативных характеристик этих материалов, успешное и экономически выгодное их применение во многом зависит от знания реальной работы усиленных конструкций. Эффективность этой работы в первую очередь связана с механизмом взаимодействия между бетоном и наклеенными материалами, который невозможно выявить без проведения экспериментов и разработки на их основе достоверного расчетного аппарата.
Проведенные на настоящий момент (в своем большинстве зарубежные) экспериментальные исследования показали различный характер разрушения усиленных образцов и, как следствие, разный уровень приращения несущей способности.
Эти различия связаны с видом применяемых при усилении композитных материалов, соотношением процента стального и композитного армирования, размером сечения опытных образцов, наличием и количеством поперечного армирования, схемой загружения, технологией работ по усилению, наличием и видом анкерующих композитные материалы устройств.
Несмотря на многообразие факторов, влияющих на изменение прочностных и деформативных характеристик изгибаемых элементов, можно выделить шесть основных видов разрушения усиленных балок.
Первый - нарушение сцепления между бетоном и материалом усиления, которое может происходить у торца приклеенных композитных материалов, под сосредоточенными силами, либо вдоль наклеенной поверхности.
Второй - дробление сжатой зоны бетона и одновременное или последовательное достижение в поперечной арматуре предела текучести.
Третий - достижение в продольной и поперечной арматурах предельных напряжений.
Четвертый - дробление сжатой зоны бетона и (или) разрыва пластин усиления при достижении в стальной арматуре предела текучести. Указанный вид разрушения можно отнести к классическому и описать с помощью традиционной теории изгиба железобетонных балок. Расчетная схема поперечного сечения усиленной балки в предельном состоянии приведена на (рис. 1).
беи 0.85Гс
сіР ~Ь
V Г
§ • А’* 1 Г кіі / аі=РікЬ
1 /
Аз . /
- • — • — • /Єя гЕзу
АЧ Гц
0,85Гс Ьаі
А$ Гэ>
- АР ГР
Ар I ни 8р
Рис. 1. Расчетная схема поперечного сечения в предельном состоянии
Пятый - имеет место при переармированных стальной арматурой сечениях, то есть когда площадь растянутой арматуры превышает предельную для сечения с одиночной арматурой.
Шестой - дробление бетона сжатой зоны при одновременном достижении предельных напряжений в продольной арматуре. Или только в продольной арматуре. При этом поперечная арматура отсутствует.
С учетом различных видов разрушения зафиксированных исследователями, предложено несколько расчетных моделей основанных на расчете усиленных элементов: по первой группе предельных состояний с использованием традиционной теории изгиба; нелинейном анализе; методе конечных элементов и др., которые положены в основу действующих международных норм по проектированию. Предложенные в этих нормах методики и заложенные в них гипотезы существенно отличаются от рекомендаций Российской Федерации.
К недостаткам зарубежных методик относятся: неполный охват схем разрушения усиленных элементов: использование упрощенной диаграммы деформирования и упругая работа бетона и арматуры в сжатой зоне; отсутствие учёта совместного действия момента и поперечной силы; отсутствие учета особенностей различных климатических зон, включая перенос температур.
В наибольшей степени указанных недостатков лишена зарубежная методика расчета усиленых элементов, основанная на концепции аналоговой модели фермы. Согласно её концепции, железобетонная балка с трещинами рассматривается как плоская ферма, в которой нижние продольные стержни и поперечные хомуты являются растянутыми элементами, а сжатая арматура и бетон в сжатой зоне являются сжатыми элементами (рис. 2).
Рис. 2. Аналоговая модель фермы для расчета усиленной железобетонной балки
Концепция ферменной аналогии с сохранением принятых за рубежом буквенных обозначений описывается следующим образом:
- сжатая зона представлена равнодействующей внутренних усилий (С) воспринимаемых сжатым бетоном и арматурой, а растянутая зона - силой (Т), воспринимаемой всей растянутой зоной.
- поперечная арматура представлена только вертикальными стержнями или хомутами.
- главные сжимающие напряжения (У с, воспринимающие при двухоном сжатии в наклонной полосе
расположены под углом 0 к продольной оси элемента.
- равнодействующие усилия в растянутой и поперечной арматуре способны воспринимать перпендикулярно действующие на них деформации.
- наружная композитная пластина усиления рассматривается как обычная арматура в предположении, что она имеет обсолютно надежное сцепление с поверхностью бетона.
- напряжения сцепления по всей поверхности контакта бетона и композитной арматуры принимается одинаковой и равной и.
Полная русифицированная версия концепции аналоговой модели фермы приведена в статье Михуба Ахмада и П.П. Польского [1].
Расчет усиленных композитными материалами железобетонных балок выполняется при последовательном рассмотрении всех возможных видов разрушения опытных образцов. Схемы разрушения балок по шести видам разрушения и математические модели (формулы), по каждому виду разрушения приведены в табл. 1.
Несущая способность усиленной балки определяется по формуле:
—
V = ()Г1П Ь d f
У Оагд ( )г •Ь',Л *Хо ,
1с (1)
— гтп
где отношение (—) Г1 - минимальное значение безразмерной величины, которая определяется по
У с
формулам (2)-(8) приведенным в табл. 1 с использованием различных параметров и коэффициентов по табл. 2.
Таблица 1 - Графическое и математическое описание концепции аналоговой модели фермы при различных видах ращрушения железобетонных балок, усиленных композитными материалами
Виды
разру-
шения
Схемы разрушения усиленных балок по видам разрушения
Математическая модель вида разрушения
й
( \ т
/с 1
= ¥■
а + Ф - л/(а + ф)2 - 2 ■ ф ■ ( ] (2)
(Рис.3)
т\\\
ШІА
(Рис.4а)
V. Тс у
= л/ V (1 - V) ( 3
(Рис.4б)
V
/с У 3
= V-
2 ■ Л 2
------ъ а — а
V
(4)
(Рис.5)
[1 'ту Ґ Л т
* ^ V 1 -■ 1 -Тс У
а
(5)
(Рис.6)
Переармированное стальной арматурой сечение
( \ т
V /с у
0.85 ■ Д ■ к-I 1 -
в— ■ к
■ а
2 У + ПІ -(1 - У)
£ ■ а
(6)
(-— )6а = — и/4л(1- л) + а2 - а] (7)
/с 2
при л ^ 0,5
(Рис.7)
(—) /
6б
— ■ IV1 Ъ а2
2
- а\ (8)
с
при л > 0.5
1
а
2
2
б
3
4
4
5
а
6
б
Для снижения трудоемкости расчета при определении теоретической несущей способности усиленных балок, авторами статьи на базе Ехе1 разработана программа, ход расчета которой представлен на блок-схеме (рис. 8).
Программа предусматривает введение 16 исходных параметров, характеризующих размеры сечения усиленных образцов, физико-механические свойства бетона и арматуры, включая композитную, а также вид и характер приложения нагрузки. Буквенное обозначение исходных параметров представлено на рис. 1 и 9.
Вычисления параметров Вычисления коэффициентов
А, х /у у 3 a а = — и
иу = Ър (2.17 + 0.02 (/ - 20)) д = И
Ту = Аз /зу + Ар/ру где Ар = ЪР х Ір © II
Д = 0.85 - 0.008 (/ - 30) ТУ п = Ъ х И х /с
^ / ЪИ/с ,-= ру Ъ х /с
у = ё1 / Н Ту а, = 1 0.85 х / х Ъ
к - а1 Д х Н
отношение г при различных формах разрушения
' у
отношение ■ при различных формах разрушения
Л '
Определение минимального значения ■ ..
Г с
Определение минимального значения . \ пип
с конец
Рис. 8. Блок-схема хода расчета программы
г
* ■ а',
А
-А
4^
К
Теор
V ^
I
Рис. 9. Расчетная схема испытываемых балок
Для оценки разработанной программы в обработку были включены 21 опытный образец, 8 авторов из Франции, США и Канады, испытанные в 1995, 1996 и 2006 годах. Характеристика опытных образцов, а также схемы их обычного и композитного армирования и испытания приведены в табл. 3 и 4.
Таблица 3 - Характеристика обытных образцов, используемых для анализа
Исследователи
Геометрические параметры, схемы армирования и испытания опытных балок
Характеристики стальной арматуры поперечной /у (Рот) МПа 5 о 2 5 О 2 5 СО 5 СО 0 о 5 0 0 5 0 о 5 0 5 0 5 0 5 5 о 5 5 О 5 5 О 5 1 1 1 0 3 0 2 0 2 0 2 0 2
ы мм о чо о 40 0 Ш 0 ш 0 со 0 3 0 со 0 ш 0 ш 0 о 0 ш Ш О ш о 1 1 1 о ш 5 со 5 со 5 со 3 о 2
А (Авк) мм2 т 40" 5 т 40" 5 40" 5 т" 2 т 40" 5 т 40" 5 т 40" 5 т 40* 5 5' 40" 5 100,5 5' 40" 5 5',5 5, 40" 5 1 1 1 5, 4^' 5 5, 4^' 5 5, 4^' 5 127,2
продольной г7 J Яу (Р) МПа 0 О 2 0 О 2 5 СО тГ 5 со 0 О 2 0 0 2 0 О 2 0 о 2 0 о 2 0 о 2 0 О 2 0 О 2 0 О 2 0 О 2 0 О 2 0 о 2 0 о 2 0 О 2 0 О 2 0 О 2 0 О 2
а! мм ш ш со со со со ш 5 2 ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш ^Г
А/ мм2 т, 40" 5 т, 40" 5 2 о 2 о т, 40Л 5 т, 40Л 5 т, 40" 5 5' 40" 5 5' 40" 5 5' 40" 5 5' 40" 5 5, 40" 5 5, 40" 5 тг 5, 4^' 5 5, 40" 5 5, 4^' 5
Ґ ^ яу (Р) МПа 5 со 5 со 0 о 5 0 0 5 0 5 0 5 0 5 0 3 5 О 5 5 О 5 5 О 5 0 3 0 3 0 3 0 3 0 2 0 2 0 2 0 3
А/ мм2 О ш О ш 8 8 8 о 3 8 0 3 8 о 3 8 о 3 8 о 3 8 3 7 7 8 4 8, 8 84,8 84,8 84,8 100,5 100,5 100,5 2'5,3
Характеристики композитных пластин у ) а чо 2 40 2 2300 2300 ш ш 5 5 2400 2906 290' 3000 1532 1532 1532 0 о 5 0 О 5 0 О 5 0 о 5 2400 0 2 2400 0 О 5
ьР мм 0 о 0 О О 00 О 00 0 ш 0 5 0 О 0 ш 0 ш 0 о 3 0 0 Ш 0 о 00 о 00 о 00 о 00 О 00 о 00 О 00 3 о 2
АР (Аг) мм2 0 о 2 0 о со 40 40 0 ш 0 0 0 5 0 3 т О 40 40 40 40 40 40 0 00 4 40 4 о
£ са ос на и /с1 (0.85Р) МПа со со о со о со о 0 о со со СО СО О со £ ^т £ 3 3 00 ш о СО 5, 3 5, 3 41,3'
і ° ич ы р ор е ра 1-І с 1а мм 0 ш со 0 ш со 1750 1750 0 © 8 0 0 8 0 о 8 0 5 0 5 0 о 0 0 0 0 00 2 0 00 2 0 00 2 0 00 2 2 О 5 2 о 5 2 о 5 914,5
а мм 0 о 0 о тГ 1800 1800 0 о 0 0 0 о 0 о 7 0 о 7 1100 0 7 0 7 0 7 0 о 3 0 о 3 0 о 3 0 о 3 £ 5 Р: 5 Р: 5 10'7
И мм 0 ш 0 ш 0 О 3 0 О 3 0 о 3 0 0 3 0 о 3 0 о 2 0 о 2 0 О 4 0 0 ш 0 0 о 0 о 0 о 0 о 0 ш 0 ш 0 ш 5 О 3
Ь мм 0 0 0 0 0 0 5 0 ш 0 о 2 0 о 2 0 О 3 0 О 2 0 о 2 0 О 2 0 о 0 о 0 о 0 о 0 о 0 о 0 о 3 о 2
Шифр балок ЕКБ5 ЕКБ7 А1.1 А3.1 Рч 2 о РЦ 5 < 2 А.115 Б.040 С.115 с < А2Ь с 3 53
Исследователи Хусейн и др. (США) 1995 [2] Спадеа и др. (США) 1997 [3] Девид и др. (Франция) 1997 [4] Ардуаини и др. (США) 1997 [5] Хутчинсон (США) 199' ['] Куантрил и др. (Франция) 199' [7] Фаннинг (США) 199' [8] Хукви (Канада) 200' [9]
Примечания:
1 - В скобках даны обозначения приведенные в российских нормях.
2 - Характеристики сечений и их буквенные обозначения даны на рис.(1и 9).
Сопоставление опытной и теоретической несущей способности балок, усиленных различными видами композитных материалов, представлено в табл. 5 и на рис. 10.
№ п/н ШИФР БАЛОК РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ БАЛОК ПО МЕТОДУ ФЕРМЕННОЙ АНАЛОГИИ УТеор =(Т/ /о ),■ Ь Л ^ , при НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ, У (кн) Уэс УТеор
(— X У с (— ) 2 У с ( У )з У с ( У) 4 У с т (—)5 ^ с т (—)6 У с Опытная УЭкс Минимальна я теоретическа Я УТеор
1 ЕРБ5 23.572 118.91 34.387 40.09 41.7 -- 30,0 23.572 1.27
2 ЕРБ7 23.572 118.91 41.042 49.17 48.58 -- 29,0 23.572 1.23
3 А1.1 45.384 182.1 54.344 59.35 74.48 -- 43,4 45.384 0.96
4 А3.1 40.235 123.35 49.863 59.35 74.48 -- 37,4 40.228 0.93
5 Р2 68.129 251.18 47.787 53.63 58.06 -- 50,5 47.787 1.06
6 Р4 68.129 251.18 53.683 61.05 64.84 -- 57,5 53.683 1.07
7 Р7 50.302 251.18 104.62 132.6 120.4 -- 68,0 50.302 1.35
8 А4 38.933 170.61 129.55 188.5 114.5 -- 55,0 38.933 1.41
9 А5 38.933 170.61 197.38 334.2 66.92 -- 45,0 38.933 1.16
10 Ь2 182.36 636.34 87.889 94.36 101.6 -- 85,0 87.889 0.97
11 А.115 44.177 170.25 54.528 63.68 59.65 -- 32,5 44.177 0.74
12 Б.040 48.859 237.2 31.288 32.8 34.88 -- 27,0 31.288 0.86
13 С.115 48.859 237.2 79.35 89.04 75.43 -- 51,0 48.859 1.04
14 А1с -- -- -- 23.3 24.18 18,9 22,0 18,9 1.16
15 А2Ь -- -- -- 23.3 22.57 16,2 18,4 16,2 1.14
16 А2с -- -- -- 23.3 22.57 16,2 18,7 16,2 1.15
17 Б2 13.222 56.276 17.9 23.3 23.68 -- 17,0 13.222 1.29
18 ЗА 18.161 68.843 43.86 59.78 43.18 -- 18,7 18.161 1.03
19 4А 17.674 64.332 27.63 33.95 30.74 -- 14,0 17.674 0.79
20 4Б 17.674 64.332 43.86 59.78 39.62 -- 16,2 17.674 0.92
21 Н1 75.647 259.8 33.804 37.22 40.06 -- 28.5 33.804 0.84
Анализ полученых результатов показал следующее:
1. Минимальная теоретическа несущая способность при расчете по методу ферменной аналогии связана с тремя видами разрушения: отслоением композитного материала от бетона (первый вид) - 13 балок; достижение предельных напряжений в стальной продольной и поперечной арматуре (третий вид) - 3 балки; дробление бетоне сжатой зоны при отсуствии поперечной арматуры (шестой вид) - 3 опытных образца.
2. Максимальные отклонения опытной несущей способности усиленных балок по сравнению с теоретической связаны с первым видом разрушения и составляют "+"41 и "-"26 %. При этом отклонение в интервале "+"23 - 41% показали 5 образцов, а "-"21 - 26 % показали 2 образца.
3.Среднее значение отношения УЭкс составило 1,065 , что свидетельствует о наличии некоторого
Ут
Теор
запаса прочности.
4. Среднее значение отношения УЭкс составило 1,065 . при этом коэффициент вариации У для
Ут
Теор
указанного отношения составил 0,174, что превышает нормируемую для отечественных норм величину У =
0,135 при надежности 0,95.
ВЫВОДЫ
Модель аналоговой фермы обеспечивает простую, но эффективную методику расчета и может рассматриваться как действительный инструмент на этапе предварительного расчета несушей способности усиленных композитными материалами железобетонных балок, а также при подборе вида, площади сечения и длины наклеиваемого материала и других исследуемых параметров.
Н1 0.46 0.17 Стекло- пластик 41.5 Хукви 2006 [9]
4В 0.77 0.64 Угле- пластик 32.5 Фаннинг 1996 [8]
4А 0.77 3.2 Стекло- пластик 32.5
ЗА 0.77 0.64 Угле- пластик 37
В2 1.06 0.96 Стекло- пластик 58 Куантрил и др. 1996 [7]
А2с 1.06 0.96 Стекло- пластик 42
А2Ь 1.06 0.96 Стекло- пластик 42
А1с 1,06 0,96 Стекло- пластик 70
С.115 1.55 0.57 Угле- пластик 54 Хутчинсон 1996 [6]
В.040 0.6 0.2 Угле- пластик 54
А.115 0.6 0.57 Угле- пластик 54
Ь2 0.35 0.04 Стекло- пластик 30 Ардуаини и др. 1997 [5]
А5 0.86 0.98 Угле- пластик 33
А4 0.86 0.49 Угле- пластик 33
Р7 0.73 0.27 Угле- пластик 40 Девид и др. 1997 [4]
Р4 0.73 2 Стекло- пластик 40
Р2 0.73 1 Стекло- пластик 40
А3.1 1.02 0.23 Угле- пластик 30 Спадеа и др. 1997 [3]
А1.1 1.02 0.23 Угле- пластик 30
ЖВ7 0.8 1.33 Стекло- пластик 31 Хусейн и др. 1995 [2]
ЖВ5 0,8 0,88 Стекло- пластик 31
Шифр балок І І Вид Композитного материала Д илета § делс й
Рис. 10. Сопоставление опытных (П ) и теоретических (И ) результатов (с учетом предложений авторов) прочности исследуемых образцов
Литература:
1. Михуб Ахмад. Зарубежные методики расчета железобетонных конструкций, усиленных композитными материалами / Ахмад Михуб, П.П. Польской // Вопросы проектирования железобетонных конструкций: сб. науч. тр.- Ростов н/Д: РГСУ, 2011.- С. 52-61.
2. Flexural behavior of precracked reinforced concrete beams strengthened externally by frp plates / Hussain M. [and others] // ACI Struct.J. - 1992(1). - P. 14-22.
3. Spadea G., Bencardino F., Swamy R.N. Structural Behavior оf Composite RC beams with externally bonded CFRP // J.Comp.Constr. ASCE. 1997. №2(3). Р. 132-137.
4. David E., Djelal C., Buyle-Bodin F. Repair and strengthening of reinforced concrete beams using composite materials. Proc., 7 th Int. conf. on Struct. Faults and Repair. 1997. V. 2. Р. 169-173.
5. Arduini M., Di Tommaso A., Nanni A. Brittle failure in FRP plate and sheet bonded beams // ACI Struct.J. 1997. V. 94(4). P. 363-370.
6. Hutchinson A.R., Rahimi H. Flxural strengthening of concrete beams with externally bonded FRP reinforcement. Proc. 2nd Int. conf. on Advanced compos.mat.in bridges and struct. (ACMBS). 1996. P. 519-526.
7. Quantrill, R.J., Hollaway, L.C., Thorne, A.M., and Parke,G.A.R. Preliminary research on the strengthening of reinforced concrete beams using GFRP. Proc., Non-Metallic (FRP) reinforcement for concrete struct. Paris: RILEM, 1995. Р. 541-550.
8. Fanning P. Experimental testing and numerical modeling of reinforced concrete beams strengthened using fibre reinforced composite materials. Proc., 7th Int. conf. on Struct. Faults and Repair. 1997. V.2. Р. 211-217.
9. Hoque M. 3D Nonlinear Mixed Finite-element Analysis of RC Beams and Plates with and without FRP Reinforcement. Canada: University of Manitoba, 2006.
References:
1. Mihub Ahmad, Polskoy P.P. Foreign methods of calculating reinforced concrete structures strengthened with composite materials/ Mihub Ahmad, Polskoy P.P. / / Issues of design of reinforced concrete structures. Rostov-on-Don: RSCU, 2011, P.52-61.
2. Flexural behavior of precracked reinforced concrete beams strengthened externally by frp plates / Hussain M. [and others] // ACI Struct.J. - 1992(1). - P. 14-22.
3. Spadea G., Bencardino F., Swamy R.N. Structural Behavior Of Composite RC beams with externally bonded CFRP// J.Comp.Constr. ASCE. 1997. № 2(3). Р.132-137.
4. David E., Djelal C., Buyle-Bodin F. Repair and strengthening of reinforced concrete beams using composite materials. Proc., 7th Int. conf. on Struct. Faults and Repair. 1997. V.2. Р. 169-173.
5. Arduini M., Di Tommaso A., Nanni A. Brittle failure in FRP plate and sheet bonded beams // ACI Struct.J. 1997. V. 94(4). P. 363-370.
6. Hutchinson A. R., Rahimi H. Flxural strengthening of concrete beams with externally bonded FRP reinforcement.. Proc. 2nd Int. conf. on Advanced compos.mat.in bridges and struct. (ACMBS). 1996. P.519-526.
7. Quantrill, R.J., Hollaway, L.C., Thorne, A.M., andParke,G.A.R. Preliminary research on the strengthening of reinforced concrete beams using GFRP . Proc., Non-Metallic (FRP) reinforcement for concrete struct. Paris: RILEM, 1995. Р. 541-550.
8. Fanning P. Experimental testing and numerical modeling of reinforced concrete beams strengthened using fibre reinforced composite materials. Proc., 7th Int. conf. on Struct. Faults and Repair. 1997. V.2. Р. 211-217.
9. Hoque M. 3D Nonlinear Mixed Finite-element Analysis of RC Beams and Plates with and without FRP Reinforcement. Canada: University of Manitoba, 2006.
