CC BY
110
проектирование и конструирование
строительных систем. проблемы механики в строительстве
УДК 624.04
Н.П. Барбашев
НИУМГСУ
расчет железобетонной арки в грунте на действие динамической нагрузки
Железобетонные арки достаточно широко применяются в строительстве подземных сооружений. Исследование работы железобетонных арок под действием динамических нагрузок (взрывных, ударных, сейсмических) позволит повысить эффективность проектирования и применения. Решена задача о расчете железобетонной арки в грунте на действие динамической нагрузки — волны сжатия. Решение основано на численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных. Разработана компьютерная программа, произведены расчеты железобетонной трехшарнирной арки П-образного переменного поперечного сечения. Расчеты позволили оценить несущую способность конструкции с помощью критериев расчетных предельных состояний.
Ключевые слова: железобетонная арка, волна сжатия, грунт, метод прямых, колебание, численный метод, динамическая нагрузка
Железобетонные арки, подверженные воздействию динамических нагрузок, используются в строительстве подземных сооружений. Последствия действия динамических нагрузок — значительный материальный ущерб, травмы и гибель людей. Особое внимание уделяется обеспечению безопасности таких сооружений [1—5]. Это возможно только с правильным подходом к оценке риска и обеспечением качества расчетной процедуры [6—9].
Рассмотрим расчет железобетонной трехшарнирной арки в грунте п-образного переменного поперечного сечения на действие динамической нагрузки (рис. 1). Расчет производился на основе численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Нагрузка: динамическая — волна сжатия в грунте (рис. 1, б); 91 = 0,01с; 02 ^ да; р1, р2 = 0,8р1; статическая равномерно распределенная нагрузка не учитывается.
Геометрические характеристики: радиус г = 6,92 м; высота поперечного сечения переменная, плавно меняющаяся И = (0,35...0,5) м; ширина Ь = 1,0 м; площадь рабочей арматуры Аа = 0,0024632 м2, А'а = 0,0012316 м2.
Материалы: бетон класса В30; арматура класса А300.
Расчетный коэффициент постели грунта £гр = 400 кН/м2.
Расчет производится на основе решения замкнутой системы уравнений, позволяющей выполнить упругопластический расчет криволинейных железобетонных конструкций при действии динамических нагрузок. Учитываются упругопластические свойства арматуры и бетона в процессе колебания конструкции, диаграммы с—е которых переменны [10, 11].
ВЕСТНИК
1/2016
Рис. 1. Схема нагружения (а), закон изменения динамической нагрузки во времени (б), поперечное сечение (в) железобетонной трехшарнирной арки в грунте П-образного переменного поперечного сечения под действием динамической нагрузки
Принятые обозначения:
2(х, 0 — поперечная сила; Мк(х, О — изгибающий момент в сечении; Щ(х, 0 — продольная сила; ^(х, О — перемещение точки по координате У; у(х, 0 — перемещение точки по Х; уцт(х) — расстояние от верхнего волокна до геометрического центра тяжести сечения; уЩ(х, 0 — расстояние от верхнего волокна до точки приложения равнодействующей продольного усилия; ^ — время; Кх(х) — коэффициент упругого отпора основания при перемещении точки по X; ду(х, 0 — заданная поперечная распределенная динамическая нагрузка.
Уравнения колебаний: д\1 (х, I) 0( х, I)
^ ' ' - Рх (х, I) = 0; дх г(х)
-ас X, 1)+^^ +А (N (X, 1) (((X) - Ум (X, 1)))+
(1)
дх дх Кх (хМ X, I )Ь( х) Уцт( х) = 0;
(2)
д2Мк (х, г) д
дх2
-дХ(-(х, г)у(х, г))-+ дХг((х, г)((х)-у-(х, г))) +
д
+дх(( (х)у(х, г)Ь(х)уцт(х))-
- (х, г) +д^ г (х) дх д2м^(х, г)
- т( х)-
дг2
(3)
+ ц(х, г) IЬ(х) = 0.
Изменение кривизны:
д2w{x, t) __д_(v(х, t) дх2 дх I г (х)
кс (х, t) =-
(4)
Продольная деформация:
вс (х, !) = д^) - ^. (5)
д г (х)
Для связи между усилиями и деформациями использованы диаграммы с—е арматуры и бетона [12, 13] (рис. 2):
Мк(х) = f (кс(х), ес(х)); Н(х) = ¡2 (кс(х), ес(х)). (6)
а
Рис. 2. Расчетная диаграмма деформирования бетона (а), арматуры (б)
Расчет выполняется методом прямых решения дифференциальных уравнений в частных производных [14—16]. В результате получены системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (выражающие поперечные и продольные колебания конструкции) и система алгебраических уравнений (условия неразрывности деформаций) [17]. Данная методика применялась в [18—20].
Разработана компьютерная программа с использованием ПК МАТЬАВ. Арка разделена на 12 отрезков: п = 12 (/ = 0, 1, 2, ..., 12) (рис. 3). Шаг счета по времени: т = 0,00005 с. Поперечное сечение разделено на 10 равных отрезков (волокон): т = 10 (/ = 0, 1, 2, ..., 10).
I
Рис. 3. Схема для расчета на ЭВМ (а); расчетное поперечное сечение (б)
Расчет конструкций производится методом подбора нагрузки, руководствуясь критериями достижения первого предельного состояния: предельные деформации сжатого бетона: ебмакс < ебпред = 0,003; предельные деформации растянутой арматуры: еамакс < еапред = 0,025; отношение кривизны: ксмакс/кст < 3(кс ,т = 0,0081).
ВЕСТНИК
1/2016
Определены характеристики напряженно-деформированного состояния арки, некоторые из них сведены в таблицу.
Нагрузка р1, кН/м2 100 200 220 250 300 400
р2, кН/м2 80 160 176 200 240 320
Сечение 0;12 е* б,макс 0,0010 0,0023 0,0025 0,0025 0,0029 0,0036
е а,макс 0,0009 0,0020 0,0022 0,0023 0,0026 0,0032
к , 1/м с7 -0,0041 -0,0109 -0,0113 -0,0093 -0,0120 -0,0142
Сечение 3 б,макс 0,0006 0,0024 0,0025 0,0028 0,0032 0,0039
е а,макс 0,0006 0,0023 0,0024 0,0027 0,0031 0,0037
к , 1/м с' 0,0016 0,0058 0,0075 0,0075 0,0108 0,0193
Сечение 5 б,макс 0,0005 0,0011 0,0019 0,0014 0,0016 0,0038
е а,макс 0,0005 0,0011 0,0017 0,0014 0,0016 0,0036
к , 1/м с7 0,0048 0,0088 0,0099 0,0130 0,0138 0,0173
Сечение 9 б,макс 0,0009 0,0026 0,0030 0,0040 0,0049 0,0070
е а,макс 0,0008 0,0024 0,0028 0,0036 0,0045 0,0065
к , 1/м с7 -0,0027 -0,0083 -0,0100 -0,0122 -0,0131 -0,0184
Сечение 11 б,макс 0,0009 0,0011 0,0014 0,0025 0,0045 0,0041
е а,макс 0,0009 0,0011 0,0013 0,0024 0,0042 0,0036
к , 1/м с' -0,0031 0,0086 0,0079 -0,0096 -0,0136 -0,0160
При нагрузке р = 220; р2 = 176 кН/м2 происходит исчерпание несущей способности бетона по первому предельному состоянию, разрушение бетона сжатой зоны в сечении 9. Отметим, что деформации в арматуре и кривизна конструкции не достигают своих предельных значений. На рис. 4 отражено изменение изгибающего момента и продольной силы в сечении 9 при нагрузке р = 220; р2 = 176 кН/м2. На рис. 5 — зависимости с—е для верхнего волокна бетона и нижней арматуры в сечении 9.
1 (/0,0001,
а б
Рис. 4. Изменение изгибающего момента М во времени (а); изменение продольной силы N (б)
а б
Рис. 5. Зависимость с6—еб в верхнем волокне бетона (а); зависимость са—е в нижней арматуре (б)
На рис. 6 приведено распределение напряжений по высоте сечения 9 в различные моменты времени. В момент времени ^ = 0,139 с происходит разрушение верхнего волокна бетона.
Нанряжение н момент времени 2700*0,00005 с Напряжение н момент времени 2740*0,00005 с
132910 О
№ волокна4
"-Л
127150
2490000]
2
№ волокна ' 6 8 1(1
——™
—г—
267020
0,5
I
1,5
о,, кН/м: При f - 0,135 с
Напряжение I! момент времени 2720*0,00005 с
191690 о
2
№ волокна ' 6 В 10
—
21405
сг„, к№'м- чо1
При i - 0,137 с Напряжение в момент времени 2780*0,00005 с
170000 0Г
2-
^——'
U 204^20
2000 -1000 6000 ВООО 10000 12000 к! 1 м'
При / - 0,136 с
0,5
1.5
а6, кН/м* к!»1
При f = 0,139 с
Рис. 6. Напряжение в бетоне и арматуре в разные моменты времени для сечения 9
Выводы. Решена задача о расчете железобетонной трехшарнирной арки в грунте П-образного переменного поперечного сечения на действие динамической нагрузки. Расчет произведен на основе численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Разработана компьютерная программа с использованием ПК МАТЬАВ. Произведены расчеты железобетонной арки при различных значениях нагрузки и определены характеристики напряженно-деформированного состояния.
Произведена оценка несущей способности конструкции с помощью критериев расчетных предельных состояний. Определяющим критерием явилась прочность сжатого бетона.
Библиографический список
1. Расторгуев Б.С., Ванус Д.С. Оценка безопасности железобетонных конструкций при чрезвычайных ситуациях техногенного характера // Строительство и реконструкция. 2014. № 6 (56). С. 83—89.
ВЕСТНИК 1/2Q16
2. Расторгуев Б.С. Обеспечение живучести зданий при особых динамических воздействиях // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2003. № 4. C. 45—48
3. Тамразян А.Г. Рекомендации к разработке требований к живучести зданий и сооружений // Вестник МГСУ 2011. № 2—1. С. 77—83.
4. Modena C., Tecchio G., Pellegrino C., da Porto F., Dona M., Zampieri P., ZaninixM.A. Reinforced concrete and masonry arch bridges in seismic areas: typical deficiencies and retrofitting strategies // Structure and Infrastructure Engineering. 2014. Vol. 11. Issue 4. Pp. 415—442.
5. Wu Q.X., Lin L.H., Chen B.C. Nonlinear seismic analysis of concrete arch bridge with steel webs // International Efforts in Lifeline Earthquake Engineering : Proceedings of the 6th China-Japan-US Trilateral Symposium on Lifeline Earthquake Engineering. 2014. Pp. 385—392.
6. Тамразян А.Г. К оценке риска чрезвычайных ситуаций по основным признакам его проявления на сооружение // Бетон и железобетон. 2001. № 5. С. 8—10.
7. Филимонова Е.А. Методика поиска оптимальных параметров железобетонных конструкций с учетом риска отказа // Вестник МГСУ 2012. № 10. С. 128—133.
8. Тамразян А.Г., Дудина И.В. Обеспечение качества сборных железобетонных конструкций на стадии изготовления // Жилищное строительство. 2001. № 3. С. 8—10.
9. Тамразян А.Г. Анализ риска как инструмент принятия решений строительства подземных сооружений // Жилищное строительство. 2012. № 2. С. 6—7.
10. Горбатов С.В., Смирнов С.Г. Расчет прочности внецентренно-сжатых железобетонных элементов прямоугольного сечения на основе нелинейной деформационной модели // Вестник МГСУ 2011. № 2. Т. 1. С. 72—76.
11. Жарницкий В.И., Беликов A.A. Экспериментальное изучение восходящих и нисходящих участков диаграмм сопротивления бетонных и железобетонных призм // Научное обозрение. 2014. № 7—1. С. 93—98.
12. Курнавина С.О. Циклический изгиб железобетонных конструкций с учетом упругопластических деформаций арматуры и бетона // Вестник МГСУ 2011. № 2. Т. 1. С. 154—158.
13. Жарницкий В.И., ГолдаЮ.Л., Курнавина С.О. Оценка сейсмостойкости здания и повреждений его конструкций на основе динамического расчета с учетом упруго-пластических деформаций материалов // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 1999. № 4. С. 7.
14. Schiesser W.E. and Griffiths G.W. A compendium of partial differential equation models: Method of lines analysis with Matlab. United Kingdom : City University, 1 January 2009. Pp. 1—476.
15. Saucez P., Vande Wouwer A. Schiesser W.E., Zegeling P. Method of lines study of nonlinear dispersive waves // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1 July 2004. Vol. 168. Issue 1—2. Pp. 413—423.
16. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., доп. и перераб. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 640 c.
17. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / пер. с англ. 3-е изд. М. : КомКнига, 2007. 440 с.
18. Жарницкий В.И., Барбашев Н.П. Колебания криволинейных железобетонных конструкций при действии интенсивных динамических нагрузок // Научное обозрение. 2015. № 4. С. 147—154.
19. Беликов A.A., Жарницкий В.И. Упругопластические колебания железобетонных балок при действии поперечной и продольной динамических нагрузок // Вестник МГСУ 2011. № 2—1. С. 145—147.
20. Барбашев Н.П. К расчету железобетонного кольца в грунте на действие волны сжатия // Научное обозрение. 2015. № 10—1. С. 79—83.
Поступила в редакцию в июле 2015 г.
Об авторе: Барбашев никита петрович — старший преподаватель кафедры железобетонных и каменных конструкций, национальный исследовательский московский государственный строительный университет (ниУ мгсУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Барбашев Н.П. Расчет железобетонной арки в грунте на действие динамической нагрузки // Вестник МГСУ 2016. № 1. С. 35—43.
N.P. Barbashev
CALCULATION OF DYNAMIC LOAD IMPACT ON REINFORCED CONCRETE ARCHES IN THE GROUND
Concrete arches are widely used in the construction of underground facilities. The analysis of their work under dynamic loads (blasting, shock, seismic) will improve the efficiency of design and application. The article addresses the problems of calculation of reinforced concrete arches in the ground in terms of the action of dynamic load — compression wave. The calculation is made basing on the decision of a closed system of equations that allows performing the calculation of elastic-plastic curved concrete structures under dynamic loads. Keeping in mind the properties of elastic-plastic reinforcement and concrete in the process of design variations, a—£ diagrams are variable. The calculation is performed by the direct solution of differential equations in partial derivatives. The result is based on a system of ordinary differential equations of the second order (expressing the transverse and longitudinal oscillations of the structure) and the system of algebraic equations (continuity condition of deformation). The computer program calculated three-hinged reinforced concrete arches. The structural calculations were produced by selection of the load based on the criteria of reaching the first limit state: ultimate strain of compressed concrete; ultimate strain tensile reinforcement; the ultimate deformation of the structure. The authors defined all the characteristics of the stress-strain state of the structure. The presented graphs show the change of bending moment and shear force in time for the most loaded section of the arch, the dependence of stresses and strains in concrete and reinforcement, stress changes in time for the cross-sectional height. The peculiarity of the problem is that the action of the load provokes the related dynamic forces — bending moment and longitudinal force. The calculations allowed estimating the carrying capacity of the structure using the criteria of settlement limit states. The decisive criterion was the compressive strength of concrete.
Key words: reinforced concrete arch, compression wave, soil, method of lines, oscillation, numerical method, dynamic load
References
1. Rastorguev B.S., Vanus D.S. Otsenka bezopasnosti zhelezobetonnykh konstruktsiy pri chrezvychaynykh situatsiyakh tekhnogennogo kharaktera [Safety Estimation of Reinforced Concrete Structures in Case of Emergencies]. Stroitel'stvo i rekonstruktsiya [Construction and Reconstruction]. 2014, no. 6 (56), pp. 83—89. (In Russian)
2. Rastorguev B.S. Obespechenie zhivuchesti zdaniy pri osobykh dinamicheskikh voz-deystviyakh [Providing Reliability of Buildings in Case of Specific Dynamic Loads]. Seysmo-stoykoe stroitel'stvo. Bezopasnost' sooruzheniy [Antiseismic Construction. Safety of Structures]. 2003, no. 4, pp. 45—48. (In Russian)
3. Tamrazyan A.G. Rekomendatsii k razrabotke trebovaniy k zhivuchesti zdaniy i sooruzheniy [Recommendations to the Development of Requirements to Reliability of Buildings and Structures]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 2—1, pp. 77—83. (In Russian)
4. Modena C., Tecchio G., Pellegrino C., da Porto F., Dona M., Zampieri P., Zaninix M.A. Reinforced Concrete and Masonry Arch Bridges in Seismic Areas: Typical Deficiencies and Retrofitting Strategies. Structure and Infrastructure Engineering. 2014, vol. 11, issue 4, pp. 415—442. DOI: http://dx.doi.org/10.1080/15732479.2014.951859.
ВЕСТНИК 1/2Q16
5. Wu Q.X., Lin L.H., Chen B.C. Nonlinear Seismic Analysis of Concrete Arch Bridge with Steel Webs. International Efforts in Lifeline Earthquake Engineering : Proceedings of the 6th China-Japan-US Trilateral Symposium on Lifeline Earthquake Engineering. 2014, pp. 385—392. DOI: http://dx.doi.org/10.1061/9780784413234.050.
6. Tamrazyan A.G. K otsenke riska chrezvychaynykh situatsiy po osnovnym priznakam ego proyavleniya na sooruzhenie [Emergency Risk Estimation According to Its Main Indicators]. Beton i zhelezobeton [Concrete and Reinforced Concrete]. 2001, no. 5, pp. 8—10. (In Russian)
7. Filimonova E.A. Metodika poiska optimal'nykh parametrov zhelezobetonnykh kon-struktsiy s uchetom riska otkaza [Identification of Optimal Parameters of Reinforced Concrete Structures with Account for the Probability of Failure]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 128—133.
8. Tamrazyan A.G., Dudina I.V. Obespechenie kachestva sbornykh zhelezobetonnykh konstruktsiy na stadii izgotovleniya [Providing the Quality of Precast Reinforced Concrete Structures on Production Stage]. Zhilishchnoe stroitel'stvo [Housing Construction]. 2001, no. 3, pp. 8—10. (In Russian)
9. Tamrazyan A.G. Analiz riska kak instrument prinyatiya resheniy stroitel'stva podzem-nykh sooruzheniy [Risk Analysis as an Instrument of Decision Making in Underground Construction]. Zhilishchnoe stroitel'stvo [Housing Construction]. 2012, no. 2, pp. 6—7. (In Russian)
10. Gorbatov S.V., Smirnov S.G. Raschet prochnosti vnetsentrenno-szhatykh zhelezobetonnykh elementov pryamougol'nogo secheniya na osnove nelineynoy deformatsionnoy modeli [Calculating the Stability of Reinforced Concrete Beam Columns with Rectangular Cross-section Basing on Nonlinear Deformation Model]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 2, vol. 1, pp. 72—76. (In Russian)
11. Zharnitskiy V.I., Belikov A.A. Eksperimental'noe izuchenie voskhodyashchikh i nisk-hodyashchikh uchastkov diagramm soprotivleniya betonnykh i zhelezobetonnykh prizm [Experimental Investigation of Upward and Downward Areas of a Diagram of a Resistance Log of Concrete and Reinforced Concrete Wedges]. Nauchnoe obozrenie [Scientific Review]. 2014, no. 7—1, pp. 93—98. (In Russian)
12. Kurnavina S.O. Tsiklicheskiy izgib zhelezobetonnykh konstruktsiy s uchetom uprugo-plasticheskikh deformatsiy armatury i betona [Cyclic Bending of Reinforced Concrete Structures with Account for Elastic-Plastic Deformetions of Reinforcement and Conncrete]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 2, vol. 1, pp. 154—158. (In Russian)
13. Zharnitskiy V.I., Golda Yu.L., Kurnavina S.O. Otsenka seysmostoykosti zdaniya i povrezhdeniy ego konstruktsiy na osnove dinamicheskogo rascheta s uchetom uprugoplas-ticheskikh deformatsiy materialov [Evaluation of Seismic Resistance of a Building and Damages of its Structures Besing on the Dynamic Calculation with Account for Elastic-Plastic Deformations of a Material]. Seysmostoykoe stroitel'stvo. Bezopasnost'sooruzheniy [Antiseismic Construction. Safety of Structures]. 1999, no. 4, p. 7. (In Russian)
14. Schiesser W.E. and Griffiths G.W. A Compendium of Partial Differential Equation Models: Method of Lines Analysis with Matlab. United Kingdom, City University, 1 January 2009, pp. 1—476.
15. Saucez P., Vande Wouwer A. Schiesser W.E., Zegeling P. Method of Lines Study of Nonlinear Dispersive Waves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1 July 2004, vol. 168, issue 1—2, pp. 413—423. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2003.12.012.
16. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobel'kov G.M. Chislennye metody [Numerical Methods]. 3rd edition, revised and enlarged. Moscow, BINOM. Laboratoriya znaniy Publ., 2012, 640 p. (In Russian)
17. Timoshenko S.P. Kolebaniya vinzhenernom dele [Oscillations in Engineering]. Translated from English. 3rd edition. Moscow, KomKniga Publ., 2007, 440 p. (In Russian)
18. Zharnitskiy V.I., Barbashev N.P. Kolebaniya krivolineynykh zhelezobetonnykh konstruktsiy pri deystvii intensivnykh dinamicheskikh nagruzok [Oscillations of Curved Reinforced Concrete Structures in Case of Intensive Dynamic Loads]. Nauchnoe obozrenie [Scientific Review]. 2015, no. 4, pp. 147—154. (In Russian)
19. Belikov A.A., Zharnitskiy V.I. Uprugoplasticheskie kolebaniya zhelezobetonnykh balok pri deystvii poperechnoy i prodol'noy dinamicheskikh nagruzok [Elastic-Plastic Oscillations of Reinforced Concrete Beams in Case of Transverse and Longitudinal Dynamic Loads]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 2—1, pp. 145—147. (In Russian)
20. Barbashev N.P. K raschetu zhelezobetonnogo kol'tsa v grunte na deystvie volny szhatiya [Calculation of a Reinforced Concrete Circle in Soil in Case of Compression Wave Action]. Nauchnoe obozrenie [Scientific Review]. 2015, no. 10—1, pp. 79—83. (In Russian)
About the author: Barbashev Nikita Petrovich — Senior Lecturer, Department of Reinforced Concrete and Masonry Structures, Moscow State University of Civil Engineering
(National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Barbashev N.P. Raschet zhelezobetonnoy arki v grunte na deystvie dinami-cheskoy nagruzki [Calculation of Dynamic Load Impact on Reinforced Concrete Arches in the Ground]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 1, pp. 35—43. (In Russian)
