Расчет установившегося режима электроэнергетической системы обобщенным методом Ньютона Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

А.В. ПАЗДЕРИН, С.В. ЮФЕРЕВ

Уральский государственный технический университет - УПИ

Рассматривается применение обобщенного метода Ньютона для расчета установившихся режимов электрических систем. Исследованы условия сходимости данного метода на примере трехмашинной системы. Показано, что метод позволяет производить расчет запредельных режимов и автоматически выводит их на границу области существования решения системы уравнений установившегося режима.

Задача расчета установившегося режима (УР) является базой, на основе которой решаются другие более сложные задачи управления функционированием и развитием электроэнергетических систем (ЭЭС). Сложность задачи расчета УР связана с нелинейностью системы уравнений УР и ее большой размерностью, что требует использования итерационных численных методов решения. Основной проблемой при расчете УР является вопрос существования решения и сходимости итерационного процесса[1]. При наличии шин бесконечной мощности сходимость итерационного процесса к решению дает ответ на вопрос об устойчивости режима работы ЭЭС[2]. Отсутствие сходимости обычно означает, что режим неустойчив и на практике не может быть реализован. При этом встречаются ситуации, когда различные методы расчета УР и разные программные комплексы дают разные результаты относительно существования решения УР при одних и тех же исходных данных. Разработка методов и алгоритмов расчета УР, обеспечивающих надежную сходимость к решению, является по-прежнему актуальной задачей. Актуальность этого также связана с желанием гарантированного получения решения, которое находилось бы на границе области существования решения, в ситуации, когда исходные данные являются несовместными и требуется ввод режима в область существования и в допустимую область. Достаточно много усилий может потребоваться от расчетчика для понимания причин, по которым итерационный процесс расходится. В практике эксплуатации и проектирования ЭЭС при получении допустимого УР большое значение имеет опыт и квалификация инженерного персонала, выполняющего режимные расчеты. Даже для относительно небольших ЭЭС имеется большая многовариантность решений для ввода режима в область существования и в допустимую область. Данная задача обычно решается на основе предварительных расчетов, в ходе которых определяются предельные, по условиям статической апериодической устойчивости, параметры УР (пределы передаваемой мощности по сечениям, предельные значения узловых модулей напряжений).

Систему уравнений установившегося режима в общем виде можно записать как

W - W(X, Y) = 0, (1)

где W - вектор заданных для расчета параметров режима. При расчете УР в каждом узле, кроме балансирующего, задается активная и реактивная мощность.

© А.В. Паздерин, С.В. Юферев

Проблемы энергетики, 2008, № 5-6

В генераторных узлах может фиксироваться модуль напряжения. W(X, У) -нелинейная вектор-функция. Переменные У определяют условно-постоянные параметры, связанные со схемой замещения электрической сети. Вектор Х -искомый вектор состояния, определяющий режим работы ЭЭС. Размерность вектора состояния Х совпадает с числом нелинейных уравнений системы (1).

Известны различные формы записи уравнений установившегося режима. Обычно это уравнения узловых напряжений в форме баланса мощностей или в форме баланса токов. Комплексные величины в этих уравнениях могут представляться в полярной или прямоугольной системе координат, что приводит к достаточно большому многообразию форм записи уравнений УР.

Весьма разнообразны и способы решения нелинейной системы уравнений УР. Их объединяет то, что на каждой итерации ищется вектор приращения независимых переменных АХ и проверяется условие сходимости. За последние десятилетия выполнено огромное число научных исследований, посвященных методам расчета УР. В соответствии с [1], все методы расчета можно разделить на три группы.

Методы нулевого порядка основаны на последовательном приближении к решению по отдельным узлам схемы. Среди этих методов наибольшее распространение получил метод Гаусса-Зейделя. Он применялся в программах расчета УР на цифровых вычислительных машинах, когда ограничения по объему оперативной памяти имели определяющее значение.

Методы первого порядка позволяют за один цикл найти приближение к решению системы уравнений УР сразу для всех узлов расчетной схемы. Многократное решение упрощенной системы уравнений требуется для учета нелинейности уравнений УР. В настоящее время для расчета УР широко используется метод Ньютона и различные его модификации.

Методы второго порядка позволяют за одну итерацию решить квадратичную систему уравнений.

Другой путь решения задачи расчета УР связан с поиском нулевого минимума целевой функции суммы квадратов невязок уравнений УР [2]:

Такая постановка задачи достаточно близка к задаче расчета УР по данным телеизмерений, то есть к задаче оценивания состояния (ОС) [3]. В задаче ОС целевая функция включает квадраты невязок не только узловых уравнений, как при расчете УР, но и уравнений для перетоков мощности по ветвям, токов и модулей узловых напряжений. Число квадратичных невязок, формирующих целевую функцию задачи ОС, может превосходить размерность вектора состояния X. Точка решения задачи ОС не обязательно связана с нулевым значением минимизируемой целевой функции. В задаче расчета УР в классической постановке число квадратичных невязок в точности равно числу искомых переменных. Удачное решение системы (1) сводит (2) к нулю. В случае, когда исходные данные несовместны, то есть не существует решения (1) с нулевыми невязками, использование целевой функции (2) может позволить получить приближенное решение (1) с наименьшим несоответствием между расчетными

W(X, У) и заданными W узловыми мощностями. Такое решение интересно тем,

что позволяет оценить, на сколько заданный вектор исходных данных выходит за

(2)

границы области существования решения. Ненулевые невязки узловых мощностей можно рассматривать в качестве управляющих воздействий для перевода режима на границу области существования режима.

Минимум функции (2) достигается в точке, где производные по всем искомым переменным равны нулю:

йГ/йХ = -2dW/dX •[ - W (X)]Т = 0. (3)

Для решения задачи необходимо решать нелинейную систему уравнений (3). Если для решения (3) использовать метод Ньютона, то возникающая на каждом шаге итерационного процесса система линейных уравнений (СЛУ) будет

2 / 2

содержать вторые производные от целевой функции С = й Г/ йК , то есть

являться матрицей Гессе. Такой подход к задаче расчета УР, когда на каждой итерации решается СЛУ с матрицей Гессе, называется обобщенным методом Ньютона (ОмН) [4]:

в • AX = - dF|dX . (4)

Матрица Гессе содержит два слагаемых:

в = (dW/dX)Т • dWIdX -й2 W/dX2 ^ - W(X, У )]. (5)

Если пренебречь вторым слагаемым (5) и обозначить матрицу первых производных (матрицу Якоби) как Л = dW|dX, то в » 3Т • /, а СЛУ (4) можно представить в виде

[лТ • Л]• AX = ЛТ - W(^У)]. (6)

Именно такое упрощение нашло повсеместное применение для решения задачи ОС. В книге [3] отмечается, что такое упрощение не только не ухудшает сходимость, но даже улучшает ее. Данное упрощение тем правомочнее, чем ближе к линейной является система уравнений (1). В задаче расчета УР на основе ОМН такое упрощение эквивалентно Гауссовскому преобразованию хорошо известного выражения для расчета УР методом Ньютона-Рафсона:

Л • № = ¥ - W(X,У ). (7)

Для задачи расчета УР в классической постановке, то есть по данным узловых мощностей, когда матрица Якоби является квадратной, использование (6) нецелесообразно, так как решение СЛУ (6) и СЛУ (7) даст одинаковый результат. Объем вычислений для решения (6) больше по сравнению с (7), так как

заполненность матрицы [лТ • л] ненулевыми элементами выше по сравнению с матрицей Якоби Л . С вычислительной точки зрения сходимость итерационного процесса на основе (6) может быть существенно хуже, чем в классическом методе Ньютона-Рафсона (7), так как хуже степень обусловленности СЛУ (6) по сравнению со СЛУ (7):

cond (лТ J)=(cond Л)2 . (8)

В соответствии с вышесказанным расчет УР на основе ОМН имеет смысл выполнять на основе полного представления матрицы Гессе, то есть путем организации итерационного процесса, на каждом шаге которого решается СЛУ (4) с матрицей Гессе (5). В ходе работы были исследованы результаты сходимости ОМН с полной матрицей Гессе при расчете режимов, задаваемых узловыми мощностями, которые находились за пределами области существования решения (области устойчивости). Расчеты проводились на основе программы MathCAD для сети из трех узлов, параметры которой представлены на рис.1. Модули напряжений в узлах 1 и 2 были зафиксированы, при этом X = {51,5 2 }.

чУ—Л

^2=500кВ Рис. 1. Расчетная схема

На рис. 2 в координатах 5і-52 представлена граница области существования решения УР, соответствующая положительному значению определителя матрицы Якоби:

det (и )> 0.

(9)

-120/», = -10000 МВт .140-

Рис. 2. Область существования решения

В результате итерационного расчета УР на основе ОМН были получены значения углов, соответствующих заданным на рис.2 мощностям (генерация -положительная, нагрузка - отрицательная). Для режимов, находящихся внутри области существования, целевая функция (2) сводилась к нулю. Для режимов, находящихся на границе области существования, расчетные значения Р1 и Р2 отличались от заданных, и целевая функция до нуля сведена не была.

На рис. 3 показано отображение области существования, соответствующей условию (9), и всех девяти режимов из координат 81-52 в координаты Р^Рг. Режимы, которые попали на предельную поверхность (9), были заданы мощностями, находящимися за пределами области существования. В результате расчета УР путем минимизации (2) на основе ОМН итерационный процесс сходится к ближайшему предельному режиму. Это связано с тем, что поверхности равного уровня целевой функции (2) в координатах узловых мощностей являются правильными окружностями с центром в точке, определяемой заданными значениями узловых мощностей W. Для режима с Р1=-13000 МВт и Р2=15000 МВт представлена графическая интерпретация поверхностей равного уровня.

Рис. 3. Границы области существования и области сходимости ОМН

Замечательным свойством матрицы Гессе (5) является то, что она не является вырожденной на границе области существования режима. Там, где определитель матрицы Якоби равен нулю или даже отрицателен, определитель матрицы Гессе (5) является положительным. Это обстоятельство позволяет производить расчет УР для мощностей, выходящих за пределы области существования. Итерационный процесс на основе решения СЛУ (4) устойчиво сходился к предельному режиму за 3-5 итераций, так как в точке предельного режима матрица Гессе положительно определена. Естественно, что итерационный процесс на основе метода Ньютона-Рафсона (7) для таких запредельных режимов является расходящимся.

Была исследована область сходимости рассматриваемого метода. Имеется в виду, что не все запредельные режимы будут выводиться на границу области существования. После превышения определенного порога итерационный процесс начинал сходиться к мнимому решению с углами, превышающими 360°. Граница сходимости ОМН определялась методом последовательных утяжелений. На рис. 3 она представлена замкнутой кривой «Область сходимости ОМН». В области, ограниченной данной кривой и кривой det (3) = 0, итерационный процесс сходился к последней. Следует отметить, что при использовании уравнений УР в прямоугольных координатах, то есть когда X = {и 1 ,и 1 ,и2 V2 }, граница

сходимости ОМН стремится к бесконечности. Итерационный процесс устойчиво сходился к режиму с det(3 ) = 0 для режимов, которые выходили за пределы области существования на расстояния, в десятки и сотни раз превышающие предельные значения узловых мощностей.

В ходе экспериментов исследовалась область притяжения к решению для ОМН. Было выявлено, что эта область для ОМН является уже, чем для метода Ньютона-Рафсона, что подтверждается [3]. Известно, что ОМН устойчиво сходится к решению при выполнении условия

det (О )> 0. (9)

В координатах углов были построены линии нулевого уровня для определителя матрицы Гессе. Эти линии ограничивают область начального (нулевого) приближения, из которой итерационный процесс на основе ОМН будет сходиться к правильному решению. На рис. 4, а, б, в, г показаны области смены знака определителей матриц Якоби и Гессе в координатах 81-52 для четырех ранее рассчитанных УР.

Рис. 4, а. Области смены знака определителей матриц Якоби и Гессе для /*1=0 МВт и Р2=0 МВт © Проблемы энергетики, 2008, № 5-6

Рис.4, б. Области смены знака определителей матриц Якоби и Гессе для Р1=-10000 МВт и

Р2=-10000 МВт

Рис.4, в. Области смены знака определителей матриц Якоби и Гессе для Р1=10000 МВт и

Р2=8000 МВт

Рис. 4, г. Области смены знака определителей матриц Якоби и Г ессе для /*1=20000 МВт и

Р2=-20000 МВт

Рис. 4, а относится к режиму с нулевыми мощностями и лежит в самом центре области существования. Как видно из рис. 4, а, область det(G) > 0 существенно отлична от области det(J) ^ 0. Расчеты подтвердили, что область det(G) > 0 является областью, из которой итерационный процесс ОМН сходится к решению. Если расчет режима на рис. 4, а начать с приближения, расположенного за пределами области сходимости det(G) > 0, то он будет сходиться к мнимому

решению. Так, для этого режима расчет ОМН с начального приближения 51=80° и 52=80°, которое не принадлежит области det(G) > 0, сходится к точке 81=93,6° и

52=93,6° (/1=3438 МВт и Р2=3438 МВт), находящейся на границе области существования (9). Скатывание итерационного процесса минимизации (2) к точке с нулевым значением Якобиана отмечалось [2] и связано с неудачным начальным приближением, которое не принадлежит области сходимости. Вычислительные эксперименты показывают, что в качестве начального приближения целесообразно использовать нулевое приближение, которое всегда принадлежит области притяжения к решению, и для которого определитель матрицы Гессе положителен.

Следует отметить, что элементы матрицы Гессе, в отличие от элементов матрицы Якоби, зависят не только от вектора искомых переменных X = {51,5 2 },

но и от вектора заданных узловых мощностей ж. В связи с этим конфигурации области притяжения к решению det(G) > 0 для разных исходных данных являются различными. На рис. 4, б-г показаны конфигурации этих областей для трех запредельных режимов: на рис. 4, б - для Р^-10000 МВт и Р2=-10000 МВт; на рис. 4, в - для Р1= 10000 МВт и Р2= 8000 МВт; на рис. 4, г - для /1=20000 МВт и Р2=-20000 МВт. Из данных рисунков видно, что искомый режим лежит в центе

области притяжения к решению с det(G) > 0. Данная область меньше, чем область с det(J) ^ 0.

Траектория коррекции узловых мощностей в пространстве Р1-Р2 обеспечивает ввод УР в область существования решения по кратчайшей траектории, которая перпендикулярна границе области существования. Это открывает перспективы использования данного метода для поиска оптимальных дозировок управляющих воздействий в рамках алгоритмов противоаварийного управления для ввода режима в допустимую область. Следует отметить, что для получения предельного режима в случае, когда исходные узловые мощности заданы за границами области существования, нет необходимости выполнять расчет методом последовательных утяжелений (облегчений) режима, так как итерационный процесс автоматически сходится к ближайшему предельному режиму.

Выводы

1. Расчет установившегося режима электрической сети путем минимизации суммы квадратов невязок узловых мощностей на основе обобщенного метода Ньютона существенно повышает результативность получения решения для тяжелых, по условиям устойчивости, режимов и неустойчивых режимов, выходящих за границу области существования решения.

2. При расчете установившихся режимов определитель матрицы Гессе является положительным в области нулевого и даже отрицательного значения определителя матрицы Якоби. При расчете неустойчивых режимов, которые находятся за пределами области существования, итерационный процесс автоматически сходится к ближайшему предельному режиму.

3. Область притяжения к решению (область сходимости) обобщенного метода Ньютона ограничена положительным значением определителя матрицы Гессе. Итерационный процесс даже для относительно легких режимов может сходиться к неверному режиму, если начальное приближение находилось за пределами области сходимости.

4. Вычислительные эксперименты показывают, что в качестве начального приближения целесообразно использовать нулевое приближение, для которого определитель матрицы Гессе положителен.

5. Расчет установившегося режима на основе обобщенного метода Ньютона эффективен в задачах ввода режима в область существования и в допустимую область, так как невязки узловых мощностей могут рассматриваться в качестве оптимальных дозировок управляющих воздействий.

Summary

Application of the generalized method of Newton for calculation of the established modes of electric systems is considered. Conditions of convergence of the given method on an example of three-machine system are investigated. It is shown, that the method allows to make a calculation non-existent electric modes and automatically removes them on border of area of existence of the decision of system of the equations of the established electric mode.

Литература

1. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Холян А.М. АСУ и оптимизация режимов энергосистем. - М.: Высшая школа, 1983.

2. Тарасов В.И. Нелинейные методы минимизации для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. - Новосибирск: Наука, 2001. - 214 с.

3. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. - М.: Наука, 1976. - 220 с.

4. Методы оптимизации режимов энергосистем / В.М. Горнштейн, Б.П. Мирошниченко, А.В. Пономарев и др. / Под ред. В.М. Горнштейна. - М.: Энергия, 1981. - 336 с.

Поступила 26.03.2008