Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости на стреловидных крыльях большого удлинения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЁНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII 1982 №6

УДК 629.735.33.015.3.025.1

РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА СТРЕЛОВИДНЫХ КРЫЛЬЯХ БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ

П. П. Воротников, А. Ф. Киселев, А. Д. Хонькин,

Предложен новый интегральный метод расчета трехмерного турбулентного пограничного слоя, основанный на обобщенном двухпараметрическом представлении профилей скорости вторичного течения. Для замыкания системы уравнений пограничного слоя получено новое точное интегральное соотношение. В отличие от известных интегральных методов данный метод позволяет исследовать пограничные слои также с Б-образными профилями вторичного течения. Приведенные примеры расчета пограничного слоя на стреловидном крыле иллюстрируют эффективность предложенного метода.

Создание эффективного и достаточно надежного метода расчета трехмерного пограничного слоя является актуальной задачей аэродинамики, которой в последнее время уделяется значительное внимание. В настоящее время значительные усилия направляются как на создание точных численных (конечно-разностных) методов расчета турбулентных течений, так и на разработку приближенных полуэмпирических методов [1, 2].

Отметим, что использование разностных методов ограничивается не только мощностью современных ЭВМ, но и рядом нерешенных проблем механики турбулентного движения жидкости, таких как замыкание уравнений движения, формулировка условий возникновения отрыва и т. п. [1].

Привлекательной стороной приближенных полуэмпирических методов, основанных на некоторых априорных предположениях, являются их достаточная простота и возможность получения необходимых результатов в относительно малые сроки.

В настоящее время уже имеется ряд простых интегральных методов расчета как ламинарных, так и турбулентных пограничных слоев [2—7]. Некоторые из них основаны на предположении о малости вторичного течения [2—4], поэтому имеют ограниченный круг применения. Другие методы вызывают чувство неудовлетворения тем, что используемые в них выражения для профилей скорости вторичного течения не могут в принципе описать Б-образные профили скорости [2, 4, 6, 7], т. е. такие профили, которые, как правило, почти всегда реализуются в пограничном слое на стреловидных крыльях.

В настоящей работе предложен новый интегральный метод расчета пограничного слоя, основанный на многопараметрическом представлении семейства профилей скорости вторичного течения и на степенном законе изменения скорости основного течения по высоте пограничного слоя. Для замыкания известной системы уравнений пограничного слоя предложено новое интегральное соотношение, которое позволяет уменьшить влияние априорных допущений, используемых при построении таких методов, и увеличить число параметров для аппроксимации профилей скорости. Приведенные в работе примеры расчета пограничного слоя на стреловидном крыле иллюстрируют его высокую эффективность.

1. Качественные особенности течения несжимаемой жидкости в пограничном слое на стреловидном крыле. При определенных допущениях стреловидное крыло с неизменной хордой можно рассматривать как цилиндрическую поверхность, обтекаемую со скольжением под углом /[8]. При обтекании бесконечного цилиндра все параметры потока внутри и вне пограничного слоя не зависят от координаты, направленной вдоль размаха крыла, а градиент давления отличен от нуля вдоль хорды. Типичная картина развития течения на стреловидном крыле вдоль линии тока невязкого течения приведена на рис. 1. На этом графике Уоо— скорость набегающего потока, и, w — компоненты скорости вдоль хорды и вдоль размаха крыла, V(y) и <» (у)— профили скорости основного и вторичного течений, индексы *е“ и „оо“ соответствуют условиям на внешней границе пограничного слоя и в набегающем потоке. В пограничном слое между передней кромкой и точкой минимума давления (область 1) наблюдается существенное трехмерное течение со скоростями вторичного течения &{у), направленными влево относительно линии тока внешнего течения. В конце этой области вторичное течение заметно ослабляется, и вследствие изменения знака кривизны линии тока невязкого течения в окрестности точки минимума давления возникает характерный S-образный профиль вторичного течения (область 2). За точкой минимума давления снова развивается сильное вторичное течение, направленное вправо относительно линии тока невязкого течения (область 3). Течение около стенки все более отклоняется от направления линии тока невязкого течения и в точке отрыва становится направленным вдоль размаха крыла (параллельно иих). За линией отрыва наблюдается возвратное'течение, увлекаемое течением вдоль размаха крыла. Расчет течения в приближении теории пограничного слоя возможен только до точки отрыва.

2. Интегральные уравнения пограничного слоя на стреловидном крыле. Система уравнений, описывающая течение несжимаемой жидкости в пограничном слое на стреловидном крыле, имеет вид

(1)

и ~7ьГ ^ V ~ду ~

I дхг Р ду

(2)

(3)

Решение системы (1) — (3) должно удовлетворять следующим граничным условиям:

и = V = ■№ = 0 при у = 0; и=ие, 10 = 11Ве при у -> ОС.

(4)

Здесь хуг — декартова правая прямоугольная система координат, х — продольная координата, направленная вдоль хорды крыла, у — нормальная координата и г — поперечная координата, направленная вдоль размаха; и, V, ча — соответствующие компоненты вектора скорости в пограничном слое; — компоненты тензора напряжений; р — давление; р— плотность.

Если вместо и, т ввести скорости основного V и вторичного и> течений в пограничном слое, направленные вдоль линии тока невязкого течения и по нормали к ней на поверхности крыла (рис. 1), связь между ними запишется в виде

и = “*у-^ы , м = + . (5)

На внешней границе пограничного сложо = 0, V — Уе =\ .

Уравнениям (1) — (3) при граничных условиях (4) соответствуют два интегральных уравнения импульсов для основного и вторичного течений [3]:

^_^ + 2М1+^в,1 + М.^ + 8*+М-£^, (?)

где 6, 612, б21, ©22» — толщины пограничного слоя, которые вы-

числяются по формулам

■'21

Т-Г л ^ л ае аие л

Параметры л1 и л2 равны = -у \ , а ^ и т2 —ком-

Vе А е

поненты вектора напряжения трения ~у и на стенке. = (^г) >

= , [і, — динамический коэффициент вязкости жидкости.

\ "У /ж

Количество интегральных уравнений меньше числа входящих в них неизвестных функций, и для замыкания задачи требуется ввести дополнительные предположения о связях между этими функциями. Одним из таких соотношений является закон сопротивления, выражающий зависимость коэффициента трения основного течения С/, от числа Рейнольдса Иев — рУе 0/р и формпара-метра // = 8*/6,

Рис. 1

В данной работе используется закон сопротивления Людвига-Тиллмана, обобщенный Фернгольцем [9] на случай течения вблизи точки отрыва:

сл=Щ- = 0,058 [\ё (8,05 //-1.818)] 1,705 Яе-о.гев. (8)

Р^е

В качестве двух дополнительных уравнений были взяты полу-эмпирическое уравнение Хеда [10], следующее из анализа опытных данных по изменению расхода газа через внешнюю границу пограничного слоя, и новое интегральное соотношение, полученное в настоящей работе.

Уравнение Хеда следует из уравнения неразрывности (3), которое интегрируется по у от 0 до 8 (8 — толщина пограничного слоя):

йЪ __ й /»

и‘Л ~~ = Ж i “Лу.

о

Хед предположил, что входящая в правую часть этого уравнения скорость притока массы в пограничный слой является универсальной функцией формпараметра И1 — (8 — 8*)/0, т. е.

±-±г\му = Рт- (9)

о

д

Согласно экспериментальным данным, функция F(//,) представляется формулой [5]

р гг.] \ 0,0306

1 ^“(Я,-3)0'6169 ‘

Окончательно уравнение Хеда (9) для пограничного слоя на стреловидном крыле представим в виде

А (0Я,) + \ (1 + Ц) ВН, + х2 ± (021 _ 012) = ~F (Нх). (10)

Еще одно интегральное соотношение для пограничного слоя на стреловидном крыле можно получить, если умножить уравнение (1) на w, уравнение (2) на и, а затем полученную разность этих результатов проинтегрировать по у от 0 до 8. Тогда имеем

!u[wё ~иш)йУ+1v lw-%-и%)йУ =

wdy+ i(w^-ui$)dy- о1)

о о ' '

Если для компонентов напряжений трения принять известную модель турбулентной вязкости:

ди dw

~ду ’ ^ ,

где JIS — коэффициент эффективной вязкости, то нетрудно убедиться, что второе слагаемое в правой части равно нулю, а из (11) следует интегральное соотношение для компонентов скорости:

j (Vl [“ ~t (f) + ” ■(т)]dy + “■K {<“’* - в”) +

+ii j [' - (~tf~ dy+х?/€ Ш+ (t)1 4=0; (12)

Таким образом, для расчета турбулентного пограничного слоя на стреловидном крыле имеются четыре интегральных соотношения (6), (7), (10), (12) и закон сопротивления трения (8). Чтобы проинтегрировать эти уравнения и определить характеристики пограничного слоя, необходимо задать форму профилей скорости основного и вторичного течений в пограничном слое. Для их представления можно использовать четыре свободных параметра.

3. Представление профилей скорости основного и вторичного течений. В экспериментальных исследованиях трехмерного турбулентного пограничного слоя было замечено [2], что наличие вторичного течения слабо влияет на развитие течения в пограничном слое вдоль линии тока невязкого потока. По этой причине можно принять, что, как и в плоском пограничном слое, профиль скорости основного течения описывается законом

Н — 1 К / У \ 2

Ve

i)2 • <|3>

Если ввести функции тока основного и вторичного течений:

то (13) можно переписать в виде

^_ = Ш“ « = "^1

Уе \8е1 ' « + 1 ’ Н-1 '

Более сложно поддается оценке изменение скорости вторичного течения поперек пограничного слоя. Еще Прандтль [11] предложил искать этот профиль в виде

где р® —угол между предельной линией тока (при у = 0) и линией тока внешнего течения, а С(_у/8)—некоторая универсальная функция.

Обработав большое число экспериментальных данных для течения в поворотных каналах, Мейджер [7] нашел, что выпуклый профиль скорости вторичного течения можно представить в виде

В работе Заата [12] этот профиль аппроксимирован выражением

»=1/(л+'’т)(1-т)2’ "4>

где коэффициенты а и Ь определяются из соответствующих интегральных соотношений.

Джонстон [13] предложил задавать профиль ш(1/) в виде отрезков двух прямых

10=1^^ при V ^.ВУе1(В+ ш — В{Уе — V) при V > ВУе1(В -)- tg Здт).

(15)

В отличие от профиля Мейджера выражения (14), (15) определяют двухпараметрическое семейство профилей, в выражении (15) параметры характеризуют наклоны профиля скорости у стенки и вблизи внешней границы пограничного слоя. В более общей форме профиль скорости вторичного течения можно задавать в виде

■£-**(■£)+**■(-£)• <16)

где (^1 и *32 — полиномы, удовлетворяющие физическим

граничным условиям, а коэффициенты А и В характеризуют наклоны профиля скорости на границах пограничного слоя.

В частности, таким образом можно описать не только выпуклые, но и двояковыпуклые профили вторичного течения.

В интегральное соотношение (12) входит не только скорость, но и функция тока вторичного течения. Поэтому аппроксимируется

не скорость вторичного течения, а его функция тока /. В соответствии с идеей метода Кармана—Польгаузена соответствующее выражение записывается в виде полинома четвертой степени от функции тока основного течения g:

/-ь2Ч£Г

Для приведения профиля скорости к двухпараметрической форме используются физические граничные условия:

/= О, (о = 0, д2ш/дУ2 = 0 при у = 0,

ш = 0, д2о)/'дУ2 — 0 при у =8,

а производная дш/дУ при у = 0, 8 — конечна. Тогда профиль скорости вторичного течения можно представить в виде

<17)

Отметим, что коэффициенты А и В характеризуют наклон пропрофиля скорости вблизи границ пограничного слоя, так как А =

— > а В пропорционален величине (~^-) . Кроме того,

V о V /у=о \ дУ 1у=ъ

имеется следующая взаимосвязь между коэффициентами трения основного и вторичного течений:

си = Аси. (18)

Подставляя выражения для профилей скорости основного и вторичного течений в формулы для толщин пограничного слоя, можно выразить их через четыре параметра (например, 0, И, А и В)

и, следовательно, получить для этих параметров из интегральных соотношений (6), (7), (10), (12) четыре дифференциальных уравнения вида

Лй —+ + СА — + Ок—=Ек, 6=1,...,4, (19)

ах ах (1х ах *

где Ак, . .. , Ек— известные функции указанных параметров.

4. Пограничный слой в окрестности критической линии стреловидного крыла. Расчет пограничного слоя на поверхности стреловидного крыла начинается с критической линии (линии растекания), которой является передняя кромка крыла (где ие = 0 и полагается х = 0). Область, прилегающая к линии растекания, характеризуется быстрым изменением в ней сопротивления трения, теплового потока (в случае сжимаемого газа) и других величин. Скорость вторичного течения со на линии растекания равна нулю, и влияние пространственности течения на пограничный слой проявляется в возникновении поперечного градиента скорости вторичного течения дш1дх—/{у/Ь). Расчет пограничного слоя на линии растекания необходим для получения начальных условий для скорости вторичного течения в следующей по л: точке вблизи линии растекания, т. е. для получения величин А и В.

В соответствии с изложенным выше профиль скорости вторичного течения в окрестности линии растекания запишем в виде

<0=---77-4- Тогда с точностью до членов 0(и1/\/е) скорости икни

е г-

на основании (5) имеют выражения: и=-%-{У+д), где V и д удовлетворяют уравнениям:

^-^ + -^5=^ + 7^^’ ^ — ^ (2°)

441- (21)

<-Чг + -%г = 0’ <22>

которые получаются из (2), (3) и продифференцированного по х уравнения (1). Уравнениям (20) — (22) соответствуют следующие интегральные соотношения:

^Г = -ТГ-^ + в»), (23)

и„

■£. = (8* + е + 3021 + 2022), (24)

и»

/7(Я1) = ^-(Я10 +е21-01а), (25)

2

21

О

Я <26>

где ф— функция тока для поперечного течения:

дф дФ , /•

"г* “®* ИЛИ y=Ue8 — wef-

Выражения для профилей скорости основного и вторичного течений сохраним в виде (13) и (17).

Теперь, исключая из уравнений (23), (24) с помощью соотношения (18) коэффициенты трения, получим линейную связь между толщинами:

0 -Ь ®i2= А Ч~ 0 4- 3021 + 202г).

Подставляя в это равенство и в квадратное относительно / соотношение (26) выражения для толщин и профилей скорости, получим два квадратных алгебраических уравнения относительно величин А и В с коэффициентами, зависящими только от форм-параметра И. Следовательно, величины А и В, а также профиль скорости вторичного течения будут определяться только одним параметром Н. Теперь путем совместного решения простых алгебраических уравнений (8), (23)-—(25) можно определить зависимость Ree, Н, сд и Cf,, от условий обтекания и геометрии крыла. Из анализа этих уравнений следует, что единственным параметром,

: :рым можно характеризовать влияние условий обтекания, ;ляется число Рейнольдса С* = w1ej'iu'e. Расчетные зависимости параметров Ree, Н, С/, от С* вместе с экспериментальными данными [14], [15] приведены на рис. 2.

Из графиков видно, что имеет место удовлетворительное :овладение расчетных и экспериментальных данных. Некоторое превышение экспериментальных данных по И и С/, над расчетными обусловлено тем, что эксперименты выполнены при небольших числах Рейнольдса (Re0-<78O), при которых точность формулы Людвига—Тиллмана для С/, ухудшается (эта формула справедлива при Ree > 1000). Кроме того, часть экспериментальных данных относится к концу переходной области, т. е. к той области, где экспериментальные величины Н и с/, всегда больше расчетных значений.

5. Сравнение с экспериментальными данными. Примеры расчетов. Трудности экспериментального исследования трехмерных пограничных слоев и особенно сопротивления трения хорошо известны [1, 2]. Они обусловлены малостью пространственных областей, в которых происходят существенные изменения характеристик течения, возникновением вторичных течений и малостью сил трения. Поэтому в настоящее время имеется лишь небольшое число действительно надежных экспериментальных исследований, которые могут служить для апробации методов расчета таких течений. Для турбулентного пограничного слоя на стреловидных крыльях в несжимаемой жидкости такими исследованиями являются работы Ван ден Берга и Эльсенаара [16] и Брэдшоу и Террела [17].

В работе [16] исследовался трехмерный турбулентный пограничный слой на скользящей под углом у = 35° пластине, на которой с помощью профилированного тела, закрепленного над ней, создавалось распределение давления, характерное для стреловидных крыльев. Были измерены профили скорости основного и вторичного течений, полный коэффициент сопротивления трения, определены интегральные толщины пограничного слоя и угол отклонения предельной линии тока от линии тока невязкого течения 3^7, а также распределения давления, выраженные через коэффициент давления р.

3 работе [16] приведены три возможных распределения р (х). В выполненных расчетах (рис. 3) использовались два из них: 1) р{х), определенное по измеренным вдоль хорды крыла статическим давлениям в предположении двумерности течения (кривые)/ на рис. 3); 2) р (х), вычисленное по измерениям полного давления на внешней границе пограничного слоя и углов так как в эксперименте действительное невязкое течение было трехмерным; этому случаю соответствуют кривые 2 на рис. 3. Профили безразмерной

Рис. 3

скорости вторичного течения О)(V) (рис. 4) соответствуют второму распределению давления.

Из графиков рис. 3 и 4 видно, что результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными до значений Л'=х1,2м. По мере приближения к отрыву, который реализовывался в эксперименте при х — 1,32 м, наблюдается все большее различие между результатами расчета и эксперимента. Имеются расхождения и в определении положения точки отрыва. При использовании первого распределения р (х) расчет совсем не дает отрыва, тогда как

для второго распределения р(х) отрыв возникает при л:=1,39 м. Отметим, однако, что к аналогичным выводам приводят и другие, в том числе разностные методы расчета трехмерного пограничного слоя [18]. Кроме того, сравнение результатов настоящих расчетов с результатами расчетов по другим методам [18] показывает, что для данного течения предлагаемый метод обеспечивает не меньшую точность, чем наилучшие методы из числа рассмотренных в [181.

В работе [17] исследовалось затухание созданного заранее вторичного течения в пограничном слое при отсутствии заметного градиента давления. Первоначальное вторичное течение с углом Ркг ~ 7,4° соответствует условиям, реализующимся в хвостовой части стреловидного крыла бесконечного размаха. Результаты расчета этого течения в сравнении с экспериментальными данными приведены на рис. 5. Значительный интерес представляют результаты расчета угла 8ц/, характеризующего скорость затухания. Как видно из рис. 5, а, имеет место хорошее совпадение расчетных и измеренных величин тогда как большая часть других интегральных методов [18] не пригодна для определения этой характеристики.

В работе [6] для исследования развития турбулентного пограничного слоя вблизи задней кромки стреловидного крыла было

Рис. 5

предложено гипотетическое распределение скорости внешнего течения

КооСОв х(1 — кх), ,гюе—\/<х'$т'ь

где /■—угол стреловидности, х—расстояние вдоль хорды.

Это течение было рекомендовано [18] в качестве тестового примера для апробации методов расчета со следующими значениями параметров: у = 35°, й = 0,82 м^1, и при начальных данных при л = 0, 6 = 0,713 мм, Иее = 2690, Н— 1,41, (3^ = 0.

На рис. 6 результаты расчетов по данному методу (сплошные кривые) сравниваются с результатами расчетов по другим методам, которые анализировались в работе [18]. Эти результаты значительно расходятся между собой, и амплитуды их изменений показаны в отдельных сечениях отрезками. Можно заключить, что результаты расчетов по данному методу занимают промежуточное положение среди результатов расчета конечно-разностными методами и другими интегральными методами. Этот вывод был подтвержден и при рассмотрении других тестовых случаев течения на скользящем крыле и на скользящей волнистой стенке с распределением скорости ие—УссС08%(\кгХ — к2х2) и ие= У'ооСОэхХ

Рис. 6

X 11 “Ь р — р соъ 2тт | соответственно при значениях угла сколь-

жения х и констант кь к,2, р из [18].

В заключение отметим, что успех применения любого интегрального метода для расчета трехмерного турбулентного пограничного слоя зависит от того, насколько задаваемое представление для профиля скорости вторичного течения соответствует профилю, который действительно реализуется в пограничном слое. Полученное новОе интегральное соотношение позволило использовать для аппроксимации профиля скорости вторичного течения дополнительный параметр, что существенно увеличило точность расчета. Сочетание высокой точности и относительно малых затрат времени счета на ЭВМ отличает предложенный метод от других интегральных и конечно-разностных методов для расчета трехмерного турбулентного пограничного слоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. X о н ь к и н А. Д., В о р о т н и к о в П. П., П л о ц к и й А. И. Турбулентные течения в пограничном слое. Часть 1. Феноменологические подходы и новые направления в исследовании турбулентности. М., ЦАГИ, 1979.

2. В о р о т н и к о в П. П., X о н ь к и н А. Д., П л о ц к и й А. И. Турбулентные течения в пограничном слое. Часть 2. Расчетные и экспериментальные исследования. М., ЦАГИ, 1980.

3. Cooke J. С. Approximate calculation of three-dimensional laminar boundary layers. A. R. C. R. * M. 3201, 1959.

4. Маслов JI. А., Петровская Т. С. Расчет турбулентного пограничного слоя на телах вращения под углом атаки. Труды ЦАГИ, вып. 1661, 1975.

5. Cooke J. С. Laminar boundary-layer calculation compared with measurements by Hummel. A. R. С. C. P. N 1096, 1970.

6. С u m p s t у N. A., Head M. R. The calculation of three-dimen-sional turbulent boundary layers. Part I: Flow over the rear of an infinite swept wing. The Aero. Quart., vol. XV11I, 1967.

7. Mager A. Generalization of boundary-layer momentum-integral equations to three-dimensional flow including those of rotating system. NACA Rep. N 1067, 1952.

8. С т p у м и н с к и й В. В. Скольжение крыла в вязкой жидкости. ДАН СССР, т. 54, № 7, 1946.

9. Фернгольц Г. Г. Внешние течения. В кн. „Турбулентность", под ред. П. Брэдшоу, М., Машиностроение, 1980.

10. Head М. R., Patel V. С. Improved entrainment method for calculating turbulent boundary-layer development. A. R. C. R. * M. 3643, 1969.

11. Prandtl L. Liber Reibungsschichten bei dreidimesionalen Stro-mungen. В сб. .Albert Betz zum 60 Geburtstag”. Gottingen, 1956.

12. Zaat J. Beitrage ziir theorie der dreidimensionalen Grenzschich-ten. Presented at the Second International Congress International Council of the Aeronautical Sciences. Zurich, 1960, Sept. 12—16.

13. Johns to n J. The turbulenl boundary layer at a plane of symmetry in a three dimensional flow. J. Basic Engineering. Trans. ASME, Ser. D. IX, vol. 82. N 3, 1960.

14. Cumpsty N. A., H e a d M. R. The calculation of three-dimensional turbulent boundary layer. Part III: Comparison of attachment line calculation with experiment. Aero. Quart., vol. XX, N 2, 1969.

15. G aster M. On the flow along swept leading edges. Aero. Quart., vol. XVIII, N 2, 1967.

16. Berg B. van den, Elsenaar A. Measurments in a three-dimensional incompressible turbulent boundary layer in an adverse pressure gradients under infinite swept wing conditions. NLR TR 72092U, 1972.

17. Brad show P., Terrel M. G. The response of a turbulent boundary layers on an „infinite* swept wing to the sudden removal of pressure gradient. NPL Aero. Rep. 1305, 1969.

18. East L. F. Computation of three-dimensional turbulent boundary layers. F.uromech 60, Trondheim, FFA TN AE1211, 1975.

Рукопись поступила 101VI 1981