CC BY
12
Расчет теплового поля и поля термомеханических напряжений сильноточного термоэлемента слоистой конструкции
Т.А. ИСМАИЛОВ, О.В. ЕВДУЛОВ. Д.В. ЕВДУЛОВ
Дагестанский государственный технический университет
It is considered accounting model flaky thermoelement, calculated on greater токи of the feeding. Heat fields and field thermomehanical efforts are received in him. They are shown advantage strongcurrent to flaky design thermoelement before classical П-figurative.
При проектировании термоэлектрических холодильных установок средней холодопроизводительности (до I... 1,2 кВт) целесообразно использование сильноточных термоэлектрических батарей (ТЭБ), надежность которых повышается за счет уменьшения числа паяных соединений в термоэлементах (ТЭ). Однако при реализации сильноточных ТЭБ в классическом П-образном виде возникает проблема, связанная с обеспечением их термомеханической надежности. В данном конструктивном исполнении ТЭ при увеличении значения тока питания и соответственно удельных тепловых потоков на его холодных и горячих спаях резко возрастают термомеханические напряжения вследствие теплового расширения (сужения) материалов, что во многом сказывается на надежности функционирования ТЭБ. В этих условиях необходимо принятие определенных конструктивных мер для снижения их величины. Авторами ранее были предложены варианты ТЭБ.специальной слоистой конструкции |1 — 3], рассчитанные на большие токи питания, в которых величина термомеханических напряжений в ТЭ была значительно снижена. В настоящей работе предлагается к рассмотрению расчет тепловых полей и полей термомеханических напряжений в данной конструкции ТЭ.
Расчетная схема определения теплового поля в слоистом ТЭ приведена на рис.1.
/
Ж
2,4-
Рис. I. Расчетная схема:
I, 3, 5 — коммутационные пластины; термоэлектрический материал; И — размер по оси х; I — размер по оси у
Система дифференциальных уравнений теплоперено-са для этой схемы имеет вид:
Э-Г, Э2Г, дТ,
;—Ь К, :
дх2 ' ду
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
> ^1± + Х д:Г: | дТI
дх' ' ду' ‘ дг
д2Т, д2Т~ дТ,
7- + }.;—г + = С. -•
дх' ’ ду' ' ' дг ’
д2Тл д2Т, дТ,
ХА—± + ХА—+ + .ГП,=с4-±-
дх ду д!
, д2т, а2г, .2 57;
X,—г- + Х<—/ п, = с,—1 Э.г' ' ду' д! ’
где X — коэффициент теплопроводности;
О. — удельное электрическое сопротивление;
У — плотность электрического тока;
с — объемная теплоемкость;
Т— температура;
I - время.
Начальные, граничные условия и условия сопряжения имеют вид:
Т.,,, = Т при t = 0; 1,2.3.4 ср к ’ (6)
Xt = pre(7¡ - Тк) при х = 0, 0 < у < /; дх (7)
X, — = А., + аРуГ, при х = Л,, 0 < у < /; дх ~ дх (8)
X, ^-а„/Т, = X, ^ при х = /?„ 0 < у < /; дх " ' ' дх (9)
X,^L. = X а jT4 приx=hv 0 <у<1\ дх дх (Ю)
V, ^+«4,УТ, при х = /;4’0 < У < /; дх дх (Н)
X, üZL = pic(7; _ 7- ) при х = /?5, 0 < у < 1\ дх (12)
X, fiZL = Р( 7¡ - Г ) при = 0 и /, ()<х< /?,; ду (13)
х/-~2- = $(Г, - Г ) при у = 0 и /, И < х < //,; <9v (14)
= р( т. - Т ) ПРИ У = 0 и /, //, < х < //,; (15)
= Р(Г4 -Т ) при у = 0 и /, //, < х < //,; (16)
STs
X, -у- = Р( Т.; - Г.р) при у = 0 и /, /?4 < х <
где 7 — температура системы теплосброса;
Рк — коэффициент теплообмена с системой теплосброса;
7’ — температура окружающей среды;
(х — коэффициент термо-ЭДС.;
(5 — коэффициент теплообмена с окружающей средой.
Решение системы уравнений (1) — (5) с соответствующими начальными и граничными условиями (6) — (17) аналитическим методом затруднительно. При этом полученное решение будет непригодно для анализа ввиду большой сложности. В этом случае целесообразно использовать численные методы решения. Для задач со сложной геометрией наиболее оптимальным подходом является поиск решения с помощью метода конечных элементов 141.
Обшее решение данной задачи методом конечных элементов осуществляется в следующей последовательности.
Вводится конечно-элементное представление:
Рис. 2. Треугольные изопараметричеекие элементы двух типов
(17)
Ф(X, V, /) = «?„(X,у,I) + £ Л\ (х,у)<рк(I),
(18)
Л = 1.2,..., К, где К — суммарное число узловых точек;
ф„(х,у,1) выбирается так, чтобы точно удовлетворялись начальные и граничные условия;
Nk(x,y) — пробная функция и коэффициент фА(/) неизвестны и определяются из системы уравнений, получаемых из исходного уравнения.
Чертой сверху обозначено приближенное решение. Каждое из исходных уравнений (1) — (5) можно записан. в символьном виде:
Ц 7) = 0. (19)
Если подставить (19) в (18), то оно не будет тождественно удовлетворяться. Следовательно, можно записать ЦТ) = Я, где Я — невязка уравнения.
Для определения коэффициентов у (/) используется система уравнений Галеркина:
{■V,,, (-V, у )/? (.г, у, /) с/х с/у = 0, т — 1.К.
Для поиска решения стационарной задачи использованы изопараметричеекие элементы треугольной формы. На рис. 2 представлены изопараметричеекие треугольные элементы двух типов. Приближенное решение в этом случае может быть представлено в виде:
ф( X,у) = <раNa(£, п) + (рьNh(Г|) + <рсА\ (С,, ц), есл И X, У 6 eahc,
ф{ X, у) = <pdNj (ч) + <pt Nt (С,, ц) + (PrN, (С, П), есл и Л-, у е е , где базисные функции N{x,lt) определяются как
NaM = 1 “ ^ ОДлО = С - п- А/д,л) = п; лд.л) = 1 - п, ЛД,г|) = п - с, N'(M =
Выбирая для уменьшения невязки функцию R(x,y) ортогональной ко всем базисным функциям N (х,у) и учитывая, что они обладают локальным носителем только на элементах, расположенных вокруг точки сетки к. име-
(R,Nt) = KA + K, + Kc + KD + KE + KF,
где К = ff — —^ +——2N„)с/х с/\\Р = А,В.С,D,Е,F.
1 }5‘ \дх дх ду ду )
Элементы А....F, как показано на рис. 3, окружают точ-
ку сетки к.
По данной методике осуществлен численный расчет температурного поля слоистого ТЭ.
Геометрические размеры исследуемого ТЭлолшина коммутационных пластин 2 мм, термоэлектрического материала 4 мм, общие размеры 14 х 20 х 4 мм. Размер ячейки, наложенной на ТЭ конечно-элементной сегки, подбирается исходя из определяющего размера.
В результате расчета получено двумерное температурное поле слоистого ТЭ, а также распределение плотности теплового потока после выхода его на стационарный режим работы. В качестве исходных данных принималось: А,, = А,3= А, =395 Вт/(м К), Х2 = А4 = 1,5 Вт/(м К), р,= р3= р5= 0,0172-10'6 Ом м, р,= р4=10,65-10-6 Ом м, с, — =с3 = с} — 383 Дж/(кг К), с2 = с4 = 123 ДжДкг-К), Г.р = 293 К, Т = 291 К, а = 0,2 10 ' Вт/К, ß = 10 Вт/(м2 К), Т =291 К, ßlc = 70 Вт/(м2 К).
Величина теплового потока определялась из соотношения
дх ду
где / =1 ,...,5.
N ЫЕ
Рис. 3. Шесть треугольных элементов е^, окружающих точку сети к
На рис. 4 и 5 показано соответственно распределение температуры ТЭ вдоль его продольной оси при различной величине тока питания, а также изменение во времени температуры в различных точках слоистого ТЭ.
Как следует из полученных данных, при использовании ТЭ в слоистом исполнении можно получить значительный перепад температур между холодной и горячей коммутационными пластинами при большой величине теплового потока. При перепаде температур между ком-
I, мм
Рис. 4. Распределение температуры ТЭ вдоль продольной оси слоистого ТЭ при различной величине тока питания: 1 - 140 Л; 2 - 120 А; 3 - 100 А; 4 - 80Л
мутационными пластинами в 47 К (см. рис. 4, линия /) тепловой поток на холодном спае ТЭ, пропорциональный его холодопроизводительности, составляет порядка 18000 Вт/м2, что соответствует при данной геометрии ТЭ току питания в 140 А. С уменьшением величины питающего электрического тока значение теплового тока на холодном спае ТЭ и перепад температур между спаями также уменьшаются. Согласно рис. 4 при снижении тока питания ТЭ с 140 А до 80 А перепад температур между спаями ТЭ уменьшается с 47 К до 31 К. соответственно тепловой поток на холодном спае уменьшается с 18000 Вт/м2 до 12000 Вт/м2.
На рис. 5 приведены данные об изменении температуры холодной и горячей коммутационных пластин, а также различных точек ветви ТЭ во времени при токе питания 140 А. Согласно приведенным данным, температура в указанных точках выходит на установившийся режим примерно через 900 с. Данное обстоятельство связано с достаточно большими габаритными размерами ТЭ. При толщине коммутационных пластин 2 мм и высоте ветвей ТЭ 4 мм площадь поперечного сечения равняется
Т, к
310 308 306 304 302 300 298 296 294 292 290 288 286 284 282 280 278 276 274 272 270 268 266 264 262 260 258 256 254
0 300 600 900 1200 1500 1800
Время, С
Рис. 5. Изменение температуры в различных точках слоистого ТЭ вдоль продольной оси во времени:
1 — холодная коммутационная пластина; 2 — ветвь ТЭ на расстоянии 1,5 мм от холодной коммутационной пластины; 3 — ветвь ТЭ на расстоянии 1,5 мм от горячей коммутационной пластины; 4 — горячая коммутационная пластина
-л
\
ч
4 '
Г\
V
N
3"
і
\
\
ч
•
2
]
V
N.
\ „I
\ Ч
400- К) м2. При этом, как следует из расчетных данных, целесообразным будет предусмотреть съем теплоты не только с горячих коммутационных пластин, но и также с близлежащей к ним поверхности ветвей ТЭ. В данном конструктивном исполнении может быть предложен до-11 олнительный теплосъем примерно с 1/3 боковой поверхности ТЭ.
Для оценки термомеханических характеристик ТЭ слоистой конструкции был произведен расчет возникающих в нем механических напряжений и деформаций, являющихся следствием теплового расширения материалов.
Расчет производился также с использованием метода конечных элементов. При этом математическая формулировка задачи имела следующий вид.
Температурная деформация материала определяется коэффициентами линейного расширения и изменением температуры относительно температуры недеформиро-ванного состояния. Составляющая начальной термической деформации для изотропного материала (для упрощения расчетов термоэлектрический материал, из которого изготавливались ветви ТЭ, также принимался изотропным) имеет 15 ИД
[у]
{е()} = (1 + ^)|у1д7’, (20)
N
где V — коэффициент Пуассона;
у — коэффициент линейного расширения материала;
Д Т перепад температуры между деформированным и недеформированным состоянием.
Соотношение между механическими напряжениями о и деформациями є выражается зависимостью {о} = |0|({є} - {є0}), (21)
гдс [°]=т—т
І V 0 V I 0
о (І ьі
— матрица упругости;
Е — модуль Юнга;
56.
|е) =
55, 55,
~дх+~ду
деформация;
| компоненты вектора перемещении.
Уравнения статического равновесия имеют следующий
вид:
5а, 5т
Я,- + Я,, • т’
ОХ О) 5г да
(22)
где/^,/' — компоненты вектора плотности объемной силы; а, а , т — нормальные и касательное механические напряжения по осям х и у.
Решение уравнений (20) - (22) совместно с граничными условиями, определяющими наличие по всем граням системы нулевого нормального давления, распределение температуры, определяемое при решении уравнений (1) — (19), а также наличие упругих подвесов в крайних точках ТЭ дают возможность получить двумерную картину механических напряжений, деформаций и перемещений.
Расчеты выполнены при следующих исходных данных: Е— 1,2-106 Н/м2; V = 0,3; у = 22,2 10 *’ 1/К для термоэлектрического материала и Е— 1,210" Н/м’; V = 0,34; у -= 16,8-10~61/К для медных коммутационных пластин. Предел прочности термоэлектрического материала составляет 1,0-107 Н/м2, коммутационных пластин — 3,2-10<ч Н/м:.
Механические напряжения для слоистого ТЭ при токе питания 120 А. что соответствует величине теплового потока 16000 Вт/м2, для указанного конструктивного исполнения ТЭ не выходят за допустимые пределы прочности. Наибольшая нагрузка приходится на места контакта коммутационных пластин с ветвями ТЭ. Здесь величина механической нагрузки достигает значения 0,9-10' Н/м2 для коммутационной пластины. Наибольшие механические напряжения в термоэлектрическом материале не превышают 0,2-107 Н/м2. В случае слоистой конструкции ТЭ деформации относительно незначительны и связаны
Перемещение, мм 0.1
0.17 ■ 0 16 0.15 0 14 О 13 • 0.12 ! 0.11 0 10 0.09 • 0.08 ■ 0.07 ■ 0 06 0 05 0.04 0.03 0 02 0.01 000
гч N
ч / /
\ /
\ /
\
I I
/
\
/
\ /
/
1
\ /
\ /
дх * ду
/, мм
Рис. 6. Картина перемещений вдоль продольной оси слоистого ТЭ
прежде всего с удлинением и расширением ТЭ с боков, что объясняется отсутствием его жесткой фиксации по краям. При этом максимальная величина перемещений согласно рис. 6 не превышает 0,18 мм.
Для сравнения рассмотрена картина механических напряжений при тех же условиях для классического П-образного ТЭ. В дан ном случае деформации достаточно велики, и при величине тока питания 120 А без применения специальных мер по снижению термомеханических нагрузок механические усилия превышают соответствующий предел прочности материала. Например, для коммутационных пластин в стыке с ветвью ТЭ значение механических напряжений выше 7-10* Н/м2, что более чем в 2 раза превышает величину предела прочности меди; для термоэлектрического материала соотношение механических нагрузок и предела прочности в данном случае еще выше. При этом в соответствии с проведенными расчетами установлено, что для данной конструкции ТЭ наибольшим током питания без превышения допустимого значения механических нагрузок в системе является электрический ток, не превышающий величины 82 А, т.е. почти в 1,7 раза меньше, чем в случае использования слоистого ТЭ, для которого максимальная величина тока питания по расчетам составляет 140 А.
Таким образом, проведенные расчеты в полной мере подтверждают преимущества слоистой ТЭБ перед ТЭБ, выполненной из ТЭ П-образной формы. В первом случае можно получить более мощную ТЭБ без снижения ее термомеханических характеристик и надежности работы.
Список литературы
1.Патент РФ на изобретение № 2269183. Термоэлектрическая батарея / Т.А. Исмаилов, М.Г. Вердиев, О.В. Ев-дулов, Н.Е. Меркухин. Опубл. 27.01.2006, БИ № 3.
2. Патент РФ на изобретение № 2269184. Термоэлектрическая батарея / Т.А. Исмаилов, М.Г. Вердиев, О.В. Ев-дулов, Н.Е. Меркухин. Опубл. 27.01.2006, БИ № 3.
3.Патент РФ на изобретение № 2280919. Термоэлектрическая батарея / Т.А. Исмаилов, М.Г. Вердиев, О.В. Ев-дулов, Н.Е. Меркухин. Опубл. 27.07.2006, БИ № 21.
4.Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена /Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
