CC BY
1632
УДК 621.372.543
РАСЧЕТ СВЧ ПОЛОСОВЫХ ФИЛЬТРОВ С ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
А.Ю.Беляков, Е.В.Петров*, В.В.Попов, А.П.Штейнгарт
DEVELOPMENT OF MICROWAVE BAND-PASS FILTERS WITH ARBITRARY FREQUENCY RESPONSE
A.Iu.Beliakov, E.V.Petrov*, V.V.Popov, A.P.Shteingart
ОАО «СКТБРТ», [email protected] *Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Представлен способ расчета полосового фильтра с частотной характеристикой специального вида на основе матрицы связи. Реализован подход к трансформации матриц связи к приемлемому виду на основе подобных преобразований матриц и подход на основе параметрической оптимизации. Предложенным способом выполнен практический расчёт керамического СВЧ фильтра, приведены результаты.
Ключевые слова: полосовой фильтр, керамический фильтр, матрица связи
The method for development of a band-pass filter with arbitrary frequency response, based on calculation of coupling matrix, is suggested. This method includes approaches to the coupling matrix conversion to more eligible form through similar transformations and through parameter optimization. An example of the method's application for development of a microwave ceramic filter is given. Keywords: band-pass filter, ceramic filter, coupling matrix
Частотные фильтры предназначены для селекции (выделения или подавления) частей спектра сигналов и являются неотъемлемыми компонентами большинства классов радиоэлектронной аппаратуры. Наблюдаемое в течение последних десятилетий ужесточение требований к эффективности использования полосы частот от единиц до десятков гигагерц, используемой средствами навигации, локации и связи, заставляет производителей улучшать электрические характеристики частотных фильтров (вносимые ими потери, прямоугольность частотной характеристики, время задержки сигнала и прочие), не ухудшая при этом остальных эксплуатационных и экономических параметров.
В диапазоне сантиметровых и дециметровых волн пассивные частотные фильтры с повышенными требованиями к характеристикам часто реализуются в виде связанных объемных резонаторов на основе металлизированных керамических блоков. Такие метал-локерамические (керамические) фильтры выделяются среди других типов лучшими массогабаритными показателями, температурной стабильностью параметров и прямоугольностью амплитудо-частотной характеристики, но при этом они существенно сложнее с точки зрения проектирования конструкции и процесса изготовления.
Таким образом, совершенствование методик синтеза (получения конструктивных параметров на
-80
2.6 2.8
ЗНг
Рис.1. Примеры АЧХ фильтров специального вида
основе заданных электрических параметров и характеристик) фильтров, особенно керамических, является одной из насущных задач.
Проектирование СВЧ полосовых фильтров представляет собой сложную, лишь частично формализуемую техническую задачу. В общем случае ее можно разбить на три основных этапа:
1. Расчет фильтра-прототипа. Построение эквивалентной схемы для синтеза.
2. Структурный и параметрический синтез фильтра.
3. Корректировка конструкции фильтра по результатам макетирования.
На первом этапе на основе указанных в техническом задании параметров фильтра, — граничных частот полос пропускания и заграждения, неравномерности и предельных уровней коэффициентов пропускания и отражения и др. — осуществляется расчет характеристик его отдельных звеньев и связей между ними. Расчет производится для низкочастотного фильтра-прототипа, имеющего частоту среза 1 рад/с. Все реактивности такого фильтра равны единице, что существенно упрощает проведение вычислений и преобразований. Переход от фильтра-прототипа к конкретному полосовому фильтру основан на переходе к аргументу частотной характеристики (частоте / в герцах) от нормированной частоты ю — специального вида функции от /.
Известен метод расчета фильтра-прототипа [1], дополненный учетом потерь в резонаторах методом «предыскажений» [2]. Согласно этому методу, по заданным параметрам полосового фильтра определяется минимально необходимое число звеньев (резонаторов) N и значения элементов фильтра-прототипа gi (к = 1 ... N - 1). По последним рассчитываются коэффициенты связи
(к = 0 ... N резонаторов с входом и выходом и между собой, являющиеся исходными данными для 2-го этапа проектирования. Этот метод характеризуется сравнительной простотой производимых вычислений, однако применим только для фильтров с характеристиками Чебышева или Баттерворта. Реализуются только фильтры со связями между смежными резонаторами; отсутствует возможность расчета связей между несмежными резонаторами, позволяющими без увеличения количества звеньев улучшить прямоугольность АЧХ, уменьшить неравномерность времени задержки и в целом более гибко подходить к реализации фильтров. Кроме того, в фильтрах с чебышевской или максимально плоской характеристикой все резонаторы имеют одну и ту же собственную частоту; такие фильтры называются синхронными, и их АЧХ симметричны относительно центральной частоты. В определенных случаях обязательная симметрия может быть недостатком, например, при реализации разных требований по заграждению ниже и выше полосы пропускания, как в случае полосовых фильтров для Тх/Ях каналов дуплексной связи. На рис.1 приведены примеры характеристик фильтров специального вида, которые не могут быть описаны функцией Чебышева или Баттерворта.
Более универсальными являются методы синтеза фильтра-прототипа на основе матриц связи. Матрицы связи используются для описания фильтров-прототипов с 1970-х гг. [3], в математической форме отражают их структуру, параметры звеньев и внутренних связей. В основе представления фильтров матрицами связи лежит зависимость (1), которая является результатом преобразования к матричной форме уравнений, полученных через описание законами Кирхгофа схемы НЧ фильтра-прототипа, показанной на рис.2.
~Rs + у -ю+ Мц уМ1,2 . " к '
0 = УМ2,1 У -Ю+ М2,2 . УМ i2 (1)
0 jMN-1,1 . у -Ю+ MN-Щ-1 ]МN iN-1
_ 0 _ ^N,2 . . ]М N N-1 RL + у -ю+ MN N _ _ ^ -
М7
я. 1Н
^-М-2Л-1 --^
1 Н 1 Н 1 н
о
М1:2 9
Л н
Ч.М-]
М1
1Л
Рис.2. Схема низкочастотного фильтра-прототипа Ы-го порядка
Здесь ^ = -1, ю — нормированная частота. Отметим, что матрица связи фильтра-прототипа как пассивного устройства симметрична относительно главной диагонали, т.е. Ы^ = Ык,,-.
Принято связи между соседними звеньями фильтра-прототипа (Ы^+ь I = 1 ... N - 1) называть главными или прямыми, остальные связи вне главной диагонали — параллельными. Модуль элемента М^к описывает величину соответствующей связи, а его знак обозначает тип связи: в простейшем случае плюс соответствует связи, например по магнитному полю, а минус — по электрическому. Можно убедиться, что замена знаков всех элементов с I Ф к в симметричной матрице на противоположные не нарушает равенства (1). Элементы главной диагонали Ыи, ' = 1 •• N представляют собой смещение резонансной частоты 1-го звена от центральной частоты фильтра, знак указывает направление смещения.
Зависимость (1) может быть переписана в матричной форме и преобразована к виду:
Е = А1 = у-ю-и + R + ] ■ М)1, (2)
I = А-1Е. (3)
Здесь и — единичная матрица, R — матрица внешних сопротивлений (нулевая, за исключением крайних членов главной диагонали), М — матрица связи. Из определения ^-параметров в [1] и формулы (3) можно получить следующие зависимости:
^(ю) = иЯ ■ Яь ■
5и(ю) = 1 - 2 ■ ■ л;,!1. (4)
Здесь ЛN,1 — соответствующий элемент обратной Л матрицы, вычисленной на частоте ю.
Таким образом, матрица связи при заданных параметрах внешней цепи позволяет полностью описать частотные характеристики фильтра-прототипа. Достоинством описания фильтров матрицами связи
является также соответствие между конкретными элементами матрицы и элементами конструкции реализуемого фильтра, на практике это упрощает структурный и параметрический синтез, упрощает настройку, обеспечивает обратную связь между результатами расчетов и измерений и помогает выявлению критических элементов и недостатков образцов изделий.
Расширенная матрица связи, кроме параметров звеньев и внутренних связей, включает в себя связи звеньев с внешними элементами — с внутренним сопротивлением источника сигнала Я и с нагрузкой Яь. Последние «включаются» в состав фильтра-прототипа, и расширенная матрица связи приобретает размер N + 2) х (N + 2). «Наружные» ряды и столбцы матрицы описывают связи между «внутренними» звеньями и портами, т.е. могут рассматриваться дополнительные варианты фильтров, например со сложными внешними связями (с несколькими портами). Кроме того, расширенная матрица связи удобнее с практической точки зрения.
Задачей синтеза фильтра-прототипа является поиск коэффициентов матрицы М, обеспечивающей, как правило, получение требуемых коэффициентов передачи £21 и отражения £1Ь т.е. действие, обратное зависимостям (4). В [4] предлагается сравнительно простое аналитическое решение для частного случая — трансверсальной матрицы связи; такая матрица описывает фильтр-прототип, в котором каждое из звеньев соединено только с источником и с нагрузкой (очевидно, что описать такой фильтр можно только расширенной матрицей связи). Формула (5) представляет собой пример трансверсальной расширенной матрицы связи 4-го порядка. В основе предложенного решения лежит построение матрицы проводимости (матрицы Y-параметров) четырехполюсника, представляющего полиномиальный
фильтр-прототип, двумя способами: на основе рациональных полиномов частотных характеристик и на основе элементов трансверсального массива резонаторов. Приравнивая результаты, можно получить выражения для элементов матрицы связи (5) через полиномиальные коэффициенты. Простота аналитического решения обеспечивается тем, что матрица Y-параметров фильтра-прототипа в данном случае равна сумме матриц Y-параметров отдельных резонаторов.
Л
M =
( 0 Ms,1 Ms,2 Ms,3 M s,4 Msl
Mxs mu 0 0 0 M1,l
M 2s 0 M2,2 0 0 M2,l
M3,S 0 0 M3,3 0 M3,l
M4,S 0 0 0 M4,4 M4,l
Ml,1 ml,2 ml,3 ml,4 0
(5)
Трансверсальная матрица связи непрактична с точки зрения последующей реализации СВЧ-фильтра, но может быть некоторыми способами преобразована в более приемлемую форму.
Для приведения матриц к необходимому виду может быть использовано их свойство сохранять свои основные характеристики, в частности собственные значения, при так называемых подобных преобразованиях (формула (6), где Р — матрица перехода):
М' = Р^МР (6)
Зависимость (2) сохраняется при замене матрицы связи М на подобную ей М'. Таким образом, возникает возможность путем применения ряда подобных преобразований, не изменяя частотных характеристик фильтра-прототипа, а) обнулить максимально возможное количество элементов матрицы связи и б) свести ненулевые элементы матрицы связи к позициям, наиболее предпочтительным с точки зрения последующего изготовления фильтра.
Перспективной для непосредственной реализации или в качестве промежуточного варианта для последующих преобразований является «свернутая» матрица связи [4]. Она может быть получена из трансверсальной матрицы серией подобных преобразований с применением специальной матрицы перехода. «Свертка» позволяет получить матрицу связи с минимальным количеством ненулевых элементов. Ниже приведен пример структурной схемы фильтра, соответствующего «свернутой» матрице связи 6-го порядка (точками на структурной схеме показаны звенья фильтра, сплошными линиями — главные связи, штриховыми — параллельные связи).
Достоинством трансформации матриц связи через подобные преобразования является полное сохранение частотных свойств матрицы независимо от числа преобразований; применяемое количество итераций, как правило, существенно меньше необходимого для заметного накопления ошибок округления численных результатов. Однако возможностей этого способа упрощения матриц связи в случае фильтров со сложной частотной характеристикой, асинхронной, с нулями проводимости, может быть недостаточно, поскольку возникает необходимость включить в конструкцию изделия сложные для реализации диагональные параллельные связи.
Существуют другие виды подобных преобразований, например, приводящие к конфигурации матрицы связи, называемой в зарубежной литературе «cul-de-sac» (фр. «тупик») [4], пример структурной схемы соответствующего фильтра приведен на рис.4. Достоинство таких фильтров — отсутствие диагональных связей, основной недостаток — увеличенное количество ненулевых связей и, следовательно, повышенная сложность синтеза и настройки.
Рис.3. Структурная схема фильтра, соответствующего «свернутой» матрице связи 6-го порядка
Рис.4. Структурная схема фильтра «cul-de-sac» 6-го порядка
Другая группа методов преобразования, гармонично дополняющая описанный выше подход и не завязанная на фиксированный набор достижимых конфигураций матриц связи, основана на параметрической оптимизации. По сути, методы этой группы различаются только способом задания целевой функции и методом поиска ее оптимума.
Принципиальное отличие оптимизационных методов — получение приближенного результата, т.е. частичная утрата свойств исходной матрицы связи. На практике некоторая потеря точности расчета приемлема, т.к. она может быть незаметна на фоне отклонений от расчета, связанных с наличием технологических допусков при изготовлении и реальными свойствами конструкционных материалов.
Существенное достоинство оптимизационных методов — свобода выбора конфигурации матрицы связи и диапазона допустимых значений коэффициентов, т.е. возможность получить результат, полностью соответствующий выбранному методу реализации фильтра. Если параметрическая оптимизация пройдет успешно, полученная матрица связи будет оптимальна для перехода к синтезу конструкции фильтра.
Использование оптимизационных методов «с нуля» (когда в качестве начальной точки принимается произвольный набор аргументов — коэффициентов матрицы связи) не гарантирует получения приемлемого результата. Это связано с многомерно-
стью целевой функции, с наличием у нее большого количества локальных оптимумов, с высокой ее чувствительностью в окрестностях экстремумов даже к незначительному изменению аргументов и др. Особенно существенно эти трудности проявляются при расчете матриц связи асинхронных многозвенных фильтров.
Известно, что методы параметрической оптимизации становятся эффективнее, когда начальный набор аргументов целевой функции близок к предполагаемому оптимуму. В нашем случае в качестве начальной точки могут использоваться коэффициенты матрицы связи, полученной серией подобных преобразований. Чем ближе начальная матрица связи к конфигурации, заданной для оптимизации, тем выше вероятность получения приемлемого результата.
Отметим, что в некоторых случаях в качестве начальной точки оптимизации может быть использован и результат расчета фильтра-прототипа по классической методике. Для перехода от коэффициентов связи полученных по классической методике, к коэффициентам расширенной матрицы связи М^ необходимо воспользоваться следующей формулой [5]:
м,г+1 = кт1 -/0) ,1=о...ж.
(7)
Здесь / и /2 — граничные частоты полосы пропускания фильтра, / — его центральная частота.
Этот фильтр-прототип рассчитан по классической методике, т.е. является синхронным и не содержит параллельных связей, поэтому остальные коэффициенты матрицы М равны нулю. Крайние коэффициенты матрицы М01 и соответствуют связям входного и выходного звеньев фильтра соответственно с входом и с выходом.
Такой подход проще, т.к. позволяет не выполнять более трудоёмкий расчёт трансверсальной матрицы связи и последующие её преобразования, но очевидно, что в случае асинхронных фильтров с большим количеством параллельных связей искомая матрица связи будет существенно отличаться от начальной, и оптимизация будет менее эффективной.
На основании вышеизложенного наиболее универсальным способом нахождения матрицы связи с заданной частотной характеристикой, пригодной для последующей реализации, представляется следующий подход:
1) построение по заданным требованиям трансверсальной матрицы связи;
2) применение серии подобных изменений, преобразующих трансверсальную матрицу связи к виду, наиболее близкому к конфигурации, выбранной для последующей реализации;
3) параметрическая оптимизация для обнуления, изменения или переноса отдельных коэффициентов преобразованной матрицы связи для приведения ее к конфигурации, подходящей для последующей реализации.
В качестве иллюстрации описанной методики рассмотрим расчет фильтра-прототипа по следующему техническому заданию:
— граничные частоты полосы пропускания / = 1002 МГц, /2 = 1058 МГц;
— граничные частоты полос задерживания /и = 925 МГц, /2 = 1135 МГц;
— неравномерность АЧХ в полосе пропускания Lp = 0,12 дБ;
— затухание в полосах заграждения Lz > 40 дБ.
По методике, описанной в [2], могут быть получены следующие результаты:
— число резонаторов N = 4;
— элементы фильтра-прототипа: q0 = 1, q1 = 1,078, q2 = 1,306, q3 = 1,738, q4 = 0,811, q5 = 1,33.
— коэффициенты связи к01 = к45 = 0,052, к\,2 = к3,4 = 0,046, к2,3 = 0,036.
АЧХ фильтра, рассчитанного на основе найденных коэффициентов связи и построенного на резонаторах с ненагруженной добротностью Q0 = 400, приведена на рис.6.
Расчет фильтра-прототипа на основе расширенной матрицы связи произведем по указанному выше техническому заданию, для улучшения заграждения фильтра вблизи полосы пропускания добавим нули пропускания (точки АЧХ, в которых коэффициент пропускания равен нулю) на частотах /Р2\ = 840 МГц и /Р22 = 1400 МГц (положение нулей подобрано для достижения заданной частотной характеристики).
На основании исходных данных построены полиномы частотной характеристики фильтра и методом, описанным в [4], получена трансвер-сальная матрица связи (8). Последняя серией из шести подобных преобразований приведена к «свернутому» виду (9). Как отмечено выше, «свертка» матрицы связи приводит к результату с минимальным количеством параллельных связей; таким образом, для реализации заданной АЧХ в структуре фильтра таковых связей должно быть как минимум две.
(
М =
- 0,386 -1,240 0
0
0,378
0 1,234 0
- 0,561 0 0,567 0
0,591
0
0,386 0,378 0,561 0,567
М =
( 0 0,963
0 0,842 0,037 0,666
0,567 0 )
0 0,386
0 0,378
0 0,561
- 0,561 0,567
0,567 0 ,
0 0 )
- 0,005 0
0 0
0,842 0
(8)
(9)
0 - 0,005 0 0,842 - 0,003 0,963 0 0 0 0 0,963 0
Реализовать данный фильтр решено на коаксиальных резонаторах в виде моноблочной конструкции. На рис.5 схематично изображена конструкция фильтра (металлический экран, защищающий лицевую часть фильтра, не показан) и обозначены области, отвечающие за некоторые из элементов матрицы связи. Связь между выходом фильтра и последним резонатором (область А на рисунке,
0
0
коэффициент М^ в матрице М) и симметричная ей связь входа фильтра с первым резонатором реализована в виде емкости на лицевой грани керамического блока. Главные связи между резонаторами (Ы^+1, I = 1 ... Л - 1), в частности, области В и С на рисунке, сосредоточены в объеме керамического блока и имеют индуктивный характер — соответствующие коэффициенты матрицы связи отрицательны.
Рис.5. Конструкция и структурная схема фильтра: 1+4 — область соответствующего резонатора (М^ и др.); А — область связи 4-го резонатора с выходом фильтра (М45 или Мдх); В — область связи между 3-м и 4-м резонаторами (М34) С — область связи между 2-м и 3-м резонаторами (М2,з)
В принятой конструкции будет иметь место связь между несмежными резонаторами, т.е. между резонаторами 1 и 3, 2 и 4, 1 и 4. Как видим, в матрице связи (9) имеют место ненулевые коэффициенты, отвечающие за связи 1 - 3 и 1 - 4, но коэффициент М24 равен нулю. В данном случае целесообразно методом параметрической оптимизации преобразовать матрицу связи так, чтобы сделать коэффициент связи М2,4 Ф 0. В выбранной конструкции сложно реализовать разницу между связями 1 - 3 и 2 - 4, поэтому дополнительным условием оптимизации будет равенство Ми = Мг,4. В качестве целевой функции примем сумму значений коэффициентов пропускания фильтра на частотах нулей пропускания и коэффициентов отражения на частотах полюсов в полосе пропускания, умноженных на эмпирические весовые коэффициенты, обеспечивающие желаемый вид АЧХ. В результате оптимизации квазиньютоновским методом получена матрица связи (10). Полученные значения коэффициентов параллельных связей показывают, что емкостная составляющая (связь по зазору между фильтром и экраном) этих связей незначительно преобладает над индуктивной (связью по объему керамического блока). Расчетная АЧХ фильтра, соответствующего матрице связи (10), приведена на рис.6. Измеренная АЧХ макета фильтра приведена на рис.7.
( 0 0,950
M =
0
0
0
0 ^
0,950 -0,003 -0,855 0,016 0,006 0
0 -0,855 0,037 -0,686 0,016 0
0 0,016 -0,686 -0,006 -0,855 0
0 0,006 0,016 -0,855 -0,003 0,950
0
0
0
0
0,950 0
(10)
Рис.6. АЧХ, рассчитанная канонически и на основе расширенной матрицы связи
-20
-40
-60
-80
-100
-120
—S2,1 [dB]
■j J \ —-S1,1 [dB]
0.6
0.8
1.2
1.4
1.6
, GHz
Рис.7. Измеренная АЧХ макета фильтра
Таким образом, методика расчета фильтра-прототипа на основе расширенной матрицы связи позволяет осуществлять синтез полосовых фильтров, при этом отличается от классической методики возможностью описания асинхронных фильтров и фильтров с параллельными связями. Рассмотренное в данной работе сочетание ряда подобных преобразований и параметрической оптимизации позволяет эффективно преобразовывать исходную трансвер-сальную матрицу связи к виду, наиболее предпочтительному с точки зрения синтеза конструкции фильтра и последующего его изготовления.
Маттей Г.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т.1. М.: Связь, 1971. 439 с.
Беляков А.Ю., Петров Е.В., Попов В.В., Штейнгарт А.П. Методика проектирования металлокерамических фильтров СВЧ с применением программ 3 d-моделирования // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2014. №81. С.26-30.
Atia A. E., Williams A. E. New types of band-pass filters for satellite transponders // COMSAT Tech. Rev. 1971. Vol.1. P.21-43.
Cameron R.J. Advanced Coupling Matrix Synthesis Techniques for Microwave Filters // IEEE Transactions On Microwave Theory and Techniques. 2003. Vol.51. №1. P.1-10.
Маттей Г.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т.2. М.: Связь, 1972. 495 с.
2
3
4
References
1. Matthaei G.L., Young L., Jones E.M.T. Microwave filters, impedance-matching networks, and coupling structures, vol. 1. New-York, McGrow-Hill Book Company, 1964. (Russ. ed.: G.L. Mattei, L. Iang, E.M.T. Dzhons. Fil'try SVCh, soglasuiushchie tsepi i tsepi sviazi, vol.1. Moscow, "Sviaz'" Publ., 1971, 439 p.).
2. Beliakov A.Iu, Petrov E.V., Popov V.V, Shteingart A.P. Metodika proektirovaniia metallokeramicheskikh fil'trov SVCh s primeneniem programm 3d-modelirovaniia [A method for development of the ceramic-metal filters using 3d modeling programs], Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2014, no. 81, pp. 26-30.
3. Atia A.E., Williams A.E. New types of band-pass filters for satellite transponders. COMSAT Technical Review, 1971, vol. 1, pp. 21-43.
4. Cameron R.J. Advanced coupling matrix synthesis techniques for microwave filters. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2003, vol. 51, no. 1, pp. 1-10.
5. Matthaei G.L., Young L., Jones E.M.T. Microwave filters, impedance-matching networks, and coupling structures, vol. 2. New York, McGrow-Hill Book Company, 1964. (Russ. ed.: G.L. Mattei, L. Iang, E.M.T. Dzhons. Fil'try SVCh, soglasuiushchie tsepi i tsepi sviazi, vol.2. Moscow, "Sviaz'" Publ., 1972, 495 p.).
