Расчет стенок в прессе Татаринова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Извѣстія Томскаго Технологическаго Института Императора Николая II.

Т. XXII, 1911 г. № 2.

Разсчетъ стѣнокъ въ прессѣ Татаринова.

Теоретическія изслѣдованія пресса Татаринова, хотя бы въ частичной формѣ, представляютъ рядъ глубоко интересныхъ задачъ для техника инженера во многихъ отношеніяхъ. Новизна вопроса вызываетъ пробужденіе личнаго творчества, а этотъ фактъ глубоко педагогиченъ въ особенности для молодыхъ инженеровъ, въ коихъ заложенъ весьма часто запасъ, выражаясь фигурно, черноземной силы. Благодарная роль педагога и состоитъ, по нашему мнѣнію, въ томъ, чтобы направить потокъ этихъ силъ въ надлежащее русло. Тотъ, кому эти изслѣдованія прійцутся по душѣ, не пожалѣетъ о потраченномъ времени, такъ какъ кромѣ поучительности ознакомленіе съ излагаемыми дальше задачами и занимательно, съ технической точки зрѣнія. Однако эта занимательность не дается даромъ: сравнительная полнота изслѣдованія затрудняется такими препонами математическаго характера, о которыхъ и помышлять не приходится при бѣгломъ ознакомленіи съ конструкціей новаго орудія техники. Отсюда возникаетъ необходимость, ограничиваться болѣе или менѣе вѣроятными допущеніями, и только съ такимъ подходомъ получать отвѣты на представляющіеся вопросы. Въ этой побочной задачѣ, относящейся къ выбору вѣроятныхъ допущеній, и можетъ наиболѣе полно проявиться характеръ личнаго творчества и обнаружиться болѣе или менѣе тонкое техническое чутье. Чѣмъ ближе къ дѣйствительности выбраны допущенія, тѣмъ вѣроятнѣе практическая точность ожидаемаго рѣшенія.

Въ числѣ вопросовъ, не затронутыхъ мною въ предыдущей статьѣ, трактующей о прессѣ, остался открытымъ вопросъ объ опредѣленіи толщины стѣнокъ складывающейся гармоники. Къ этому опредѣленію и переходимъ, при чемъ заранѣе, необходимо оговориться, что предлагаемый методъ отнюдь не является единственнымъ въ своемъ родѣ, такъ какъ рѣшеніе носитъ характеръ приблизительный.

Пусть А В представляетъ скатъ какого либо звена пресса (чер. 1). На единицу поверхности по прежнему давленіе будетъ равно р килограммамъ и направлено опо перпендикулярно скату, наклоненному къ горизонту подъ угломъ ?. Разложимъ это давленіе на двѣ слагающихъ Р\ и р2, направленныхъ параллельно А С и А В. Тогда

Р!=і>: sin <р: p2=p:tg?

Обозначимъ АС черезъ rx а BD черезъ г2 и станемъ разсматривать дифференціальный кольцевой элементъ конической поверхности, у которой высота dh, а соотвѣтствующій ей радіусъ г. Если толщина стѣнки будетъ е, то дифференціальная разрывающая сила d Т, будучи равномѣрно распредѣлена по кольцевому сѣченію, приложится къ площадкѣ 2'гсге.

Величина этой силы найдется изъ уравненія

Л p.dh Л 2тгг». cos?

dT=p2 dh 2тгг = -—• 2тсг = -т—-—

tg ? sm ?

Такъ какъ dr — dh cos ?, то

dT=

2izr.pdr sin ?

Конечная же сила Т найдется, какъ опредѣленный интегралъ, беря предѣлы для г верхній гѵ а нижній г2. Итакъ,

2 тгр /Ѵх 7 тер (г 2— г22)

Т= —— / г d г =

sin?J r2 sin?

Обозначимъ допускаемое напряженіе на разрывъ, относя его къ квадратному сент., черезъ К . Тогда

2 тсг е, к =

Отсюда имѣемъ

тер (гх2— г2, sin?

£t =

Р {rx2—r%2) 2 г sin Ф &

а)

Изъ разсмотрѣнія этого уравненія становится яснымъ, что толщина стѣнки ската пресса гг не является величиной постоянной, а зависимой отъ г, при чемъ наибольшее значеніе для г соотвѣтствуетъ минимальному г = г2-

Что касается силы ръ то ею тоже нельзя пренебрегать, а потому выяснимъ, какое вліяніе оказываетъ она на стѣнку гармоники. Эта сила тоже стремится разорвать нашъ дифференціальный кольцевой

элементъ по сѣченію 2 rdh. Соотвѣтствующее напряженіе въ матеріалѣ гармоники обозначимъ черезъ Klz, при этомъ вообще говоря, Математическая зависимость между элементами кольца, нагрузкой рі и напряженіемъ Klz найдется безъ всякаго труда

hi_Pi-2rdh р\Г рг __ рг

z 2 ц. dh ц e2sin 9’ °2— к], sinf

Выяснимъ теперь вопросъ отнрсительно того, какой изъ этихъ формулъ и въ какихъ случаяхъ нужно пользоваться для опредѣленія толщины стѣнокъ пресса. Съ научной точки зрѣнія этотъ вопросъ не имѣетъ достаточнаго вѣскаго raison d’etre, но тутъ примѣшивается практическое значеніе, а игнорировать его инженеру не полагается. Само собой понятно, что тутъ рѣчь можетъ идти о наибольшихъ зна-

Р (rj2—г22)

ченіяхъ толщины стѣнокъ. Въ виду того, что въ формулѣ S]

2 г sin укі

перемѣнной величиной является только г, входящая въ знаменатель, можно сказать, что наибольшее значеніе для Sj будетъ соотвѣтствовать наименьшему .г = г2

Наиб.

_ р(г?— г22) 1 — 2 r2 sin <р ке

Для г2 цѣло обстоитъ'иначе. Здѣсь наибольшее значеніе г2 соотвѣт-ствуеть наибольшему г = Г\. Поэтому можно написать

Наиб.

Положимъ" для простоты, что К2 = К\. Тогда

Г,2- г22

г2 = —п------- : Го

2 2 п 2

(2)

Это равенство служитъ критеріемъ при выясненіи вопроса, какой формулѣ, въ смыслѣ надежности, стѣдуетъ отдать въ практическихъ случаяхъ предпочтеніе при опредѣленіи толщины стѣнокъ гармоники пресса. Въ самомъ дѣлѣ, если

у 2_г 2

~1977L>1’ то £і>£2

Это значитъ, что толщина стѣнки, опредѣленная по формулѣ (1), вполнѣ гарантируетъ отъ разрыва силами рѵ Рѣшая написанное неравенство, получаемъ слѣдующій результатъ: г*—r22^2rj г2

Или г12—2г1гг-\-г^>2г^\г1—ц>цѴ^',г1'^ц{\. + ^2)\г1> 2,41 г2

Такимъ образомъ, въ этомъ случаѣ повѣрку прочности стѣнки необходимо производить только по формулѣ (1)

£ _ Р(Г\~Г22)

1 2 r2 sin 9. kz

Если же !.-----1, то гг<82

2 гхгг

Рѣшая зто неравенство находимъ:

і/з); Г!<2,41 г2

Для этого случая предпочтеніе, при опредѣленіи толщины стѣнокъ

пресса, нужно отдать формулѣ второй (2) &<з--

РГ і

к\ sin 9

И только при условіи Г\— 2і41г2 у насъ одна и та же толщина стѣнки будетъ хорошо гарантировать прочность противъ разрыва. Если теперь ввести условіе, что к2 > Ц. или = h\, гдѣ а = 0,8, то раньше выведенное соотношеніе для : е2 преобразуется въ такое

|si : 4 = (ri—r^)kxz : 2 rx r2 кг

Рѣшеніе этого равенства приводитъ къ слѣднющему результату: если гг : s2^ 1, то (n2—r22)0,8j^5> 2rlr2kz или r]2—r22 > 2,5. rx r2;

т 2 — 2,5. ri r2 —r22j> 0

Откуда Г!^2,85г2

Всѣ эти, на первый взглядъ мелкія соображенія, интересны въ томъ отношеніи, что наибольшая добавочная сила отъ самой гармоники пресса очень близко подходитъ къ только что разсмотрѣннымъ условіямъ, такъ какъ раньше мы видѣли, что отношеніе ах: а2= 4 (гі=4г2), когда добавочная сила отъ гармоники пресса достигаетъ максимума. Практическій смыслъ вниманія къ гармоникѣ пресса состоитъ въ томъ, что правильнымъ выборамъ формы гармоники мы не только достигаемъ надежной прочности стѣнокъ, но и выгадываемъ въ объемѣ пресса, такъ что при меньшемъ расходѣ рабочей жидкости на одинъ ходъ достигаемъ того же самаго силового эффекта. Тутъ, стало быть, на лицо разумная экономія энергіи, а насколько это важный факторъ въ техникѣ, объ этомъ излишне распространяться.

На тотъ случай, когда желательно толщину стѣнокъ гармоники пресса опредѣлить болѣе точно съ принятіемъ во вниманіе вѣса стѣнокъ и атмосфернаго давленія, можно поступить такъ: пусть давленіе жидкости внутри коническаго патрубка будетъ р, а внѣшнее атмосферное

давленіе будетъ q\ пусть удѣльный вѣсъ матеріала стѣнокъ трубки бу детъ уь а удѣльный вѣсъ жидкости внутри пресса д2\ пусть толщина стѣнокъ будетъ по прежнему г. Вырѣжемъ коническое кольцо вышиною dx изъ нашего патрубка въ разстояніи х отъ верхней кромки, черт. 2. Верхнее основаніе усѣченнаго конуса имѣетъ радіусъ г2, нижнее гь а у представляетъ перемѣнный радіусъ, соотвѣтствующій разстоянію х. Скатъ по прежнему наклоненъ къ горизонту подъ угломъ . Безъ особаго труда напишемъ нижеслѣдующее равенство.

G'.V+ Gl+ Gl = 2 У £ кг + У'Ѵх (3)'

Здѣсь G' — представляетъ вѣсъ трубки высотою х, такъ что

G‘r = fX2T.ydxzgx

л е/ О

Второй членъ лѣвой части G" выражаетъ давленіе атмосферы на проекцію на горизонтальную плоскость боковой поверхности усѣчен-' наго конуса высотою х9 такъ что

^*=1с(у2-»,28)г

Наконецъ, третій членъ представляетъ вѣсъ жидкости въ объемѣ усѣченнаго конуса высотою х, такъ что

G2 = fl~ у~ (і х у-і

Эти три силы, дѣйствующія вертикально внизъ, уравновѣсятъ силы упругости въ кольцевомъ сѣченіи 2тгуе, т. е. силу 2^уг]сх1 и давленіе жидкости упругости р , т. е. силу ъу2рг

Для успѣшной интеграціи выраженій для G\r и G'”, воспользуемся слѣдующимъ соображеніемъ

У = *2 + х cotg9; dy = dx cotgcp

Т°ГДа ’ , о , .

G'x =j 'l 2 * (.Ч+Х ctg <p) zgxdx ~ 2 ТГ £ gx (r&-\- X-C02°^

Такимъ же точно образомъ найдемъ безъ труда, что

G"x = f: K (ra 4- X ctg <p )* r/2 dx — -g2 + r2 ctg 9 x2-\-X Cg—j

Подставляя найденныя значенія для вѣсовъ въ уравненіе (3) будемъ имѣть

,2-

(»2 4 X Ctg Cf)2 - ГІ

+~/72 г£х + гг ctg ? ж24-

х^ ct<*2 ф

_]-----1—і-) = 21C £ кх {г2 + х ctg ?) + (r2 f X ctg <Р)2

Производя сокращеніе на тс и полагая, что р является линейной функціей отъ ху такъ что р — хдъ получимъ

/ Ф^СІ£Г2ф\

' Щъ ()'2+^ctg'-f)2- 2(2r2jcctg9 + ic2ctg2?) — <Цr22x-\-r2ctg-ix2Н-^—1

Щгу ф\

д\[ чх+ —g—j ^(г2 + хctg?)

Въ книгѣ проф. I. Perry „Applied Mechanics" дается нѣсколько иное рѣшеніе этого вопроса. Исходнымъ уравненіемъ служитъ уравненіе, идентичное съ третьимъ (3), а именно

2 тг г е А г дх + 2 ~ г2 Д хд% +- 2 тг г А г = Д #

(Trr2j) -\-2ъгк(і)

Путемъ не совсѣмъ понятныхъ подстановокъ и сокращеній по (аме-мериканской манерѣ передѣлки всѣ опущены) онъ приводитъ это основное уравненіе къ такому дифференціальному у-нію

dr

dx

4-

г dp , , 2qx

2і^(1 + №)+ hi

q + pa

= О

Неопредѣленный интегралъ имѣетъ такой видъ

х + )£iog (і _ Ьх) + 2 log г = С.

g/с d

Тѣ немногія указанія, которыя даны I. Perry, сводятся къ нижеслѣдующему: е д\ 92 Р <1 и к(і имѣютъ тѣ же самыя значенія, что приняты и нами. Величина q разсматривается имъ, какъ опредѣленная

функція отъ Ху дг — const, д2 = Щг

2 Кг

Затѣмъ а — 1 + , гдѣ к наибольшее напряженіе въ матеріалѣ

стѣнокъ. По видимому здѣсь рѣчь идетъ о kd = к2 и к — кх2, значеніе которыхъ даны раныііе. Кромѣ того

г=”у; p = pa\\ — bxY\ q = q0(l — cxY

При всемъ желаніи подойти путемъ передѣлокъ отъ осноыюго у-нія къ дифференціальному, сдѣлать этого мнѣ не удалось. Можетъ быть, кто изъ инженеровъ будетъ счастливѣе меня въ этомъ отношеніи и укажетъ рѣшеніе загадки, за что заранѣе благодаренъ. Дифференціальное у-ніе приняло у меня такой видъ

2 г г ді + г2д2 +2 rq , —2 si АЛ.+

dr

dr

dx

dx

rdk:.

dx

Л dr

+2w«

-\-r

2 dp*

dx

или

dr

dx

откуда

2 г q — 2 е к — 2 г р

X

+ 2ггд1+г2д2-----

2 £ г d кх г2 dp

dx

dx

— О

dr

dx

Л , 2 г dkx r dp.

2 ^

rq—гкх—rpx Это уравненіе приводитъ къ такому

О

dr , 2 dx~T~~

dpx

dx

+

2 г dkx rdx

— <72 —

2 s <7i

. £ ft#

p* + -r - <z

= о

Или окончательно

dr

dx

dpx . 2 e dkx

dx rdx

.<72

2 8 01

Px И “b

г A

= 0

Л?

Интегралъ этого выраженія приводятъ къ виду

• 1, ч . r{2edkx — rg2dx—2tgldx)

2lognr + -\ogn(apx-q) + J ----

г (pa — q)

= C

Полагая, что ft величина постоянная, а г = r2 + a: cotд f получимъ

1 о х 2 s о 1

2 log,, —log,, (аи — q)----2—--------—• ——logM(r2+a;cota<f)=C

Ьп і а ъп \ і х ра— q ра — q cotд ср 2 J

Или

„, , 1, , доХ 2 е а,

2 log, r+ - log,, (ар,-q) -

1

— q ра — q cot д ср

; 10£Г}іГ=с

Беря предѣлы для х — 0 и х2 — h; рг=р0 и px-~ph, опредѣлимъ. С, а затѣмъ и е. Такъ въ первомъ случаѣ

2 1оСи г2 а І08п (аР* іо) ар^— q^ co|g ф ^°<?» г2 — С

А толщина стѣнокъ г найдется изъ ѵ-нія

.2 е.0і_ 1

Риа ~ id cotS ¥

2 log.,, гi + - log (ap-, —q})— —'— w a ъп\ rh Hi’ pha — qh

C= ......-*1----— log„ П

Весьма существенную задачу при опредѣленіи толщины стѣнокъ, гармоники пресса представляетъ вопросъ о сопротивленіи стѣнокъ на изгибъ. Въ самомъ дѣлѣ, наименьшая деформація стѣнокъ, въ смыслѣ.

изгибанія, обусловливаетъ въ значительной степени наличность той или иной величины добавочной силы отъ самой гармоники. Отсюда понятна необходимость повѣрки стѣнокъ на изгибъ. Здѣсь вопросъ усложняется весьма многими обстоятельствами, а въ частности тѣмъ, что каждое звено1 измѣняетъ свою форму, то выростая, то уменьшая высоту при работѣ гармоники; то увеличивая свой объемъ, то сокращая его, вслѣдствіе перемѣннаго натяженія стѣнокъ подъ вліяніемъ какъ внѣшняго, такъ и внутренняго давленія, при чемъ для каждаго ската или звена эти давленія являются функціями не только высоты отдѣльныхъ звеньевъ, но и высоты всего пресса, вѣса нажимной плиты (матрицы) и т. д. Приходится поэтому дѣлать цѣлый рядъ допущеній и разсматривать звено при наибольшей допускаемой высотѣ звена Ь max. въ моментъ равновѣсія, апріорно полагая, что въ наиболѣе невыгодныхъ условіяхъ будетъ находиться нижнее звено, къ которому и относятся всѣ дальнѣйшіе выводы.

Пусть АВ (черт. 4) представляетъ скатъ гармоники пресса; г, т2 и х радіусы, соотвѣтствующіе различнымъ уровнямъ работающей жидкости Ву Нх и Н\. Вырѣжемъ изъ днища полоску QMNP, соотвѣтствующую центральному углу сЫ. Обозначимъ NP черезъ ' Sx; MQ — черезъ S2; затѣмъ вырѣжемъ площадку FEDG въ разстояніи ВС = у, при чемъ ІС = dy.

Давленіе на эту площадку выразится такъ

dpx = д2. Sy. dy Ex — д2 Нх .

Чтобы придать этому выраженію болѣе наглядный видъ, воспользуемся рядомъ подстановокъ

1) Sy. dy 2) Sy-Sl : S.-s^y : h; .S„ = Sl+ ^~Sl)

3) Hx ~ Hi : H—Hx — у : h; II.r = Щ-\-У{Hj Hx)

Здѣсь h ~AB. Послѣ соотвѣтствующихъ подстановокъ и интегрированія получимъ

J* dpx — Jff2■ Sy. Нх dy — //г H\Siy-\- 2/г (Hsx— 2 Hxsx + -HiS2)+

(Н-Щ (s2-sx)

+ c

Полагая здѣсь y=0, получимъ у-ніе для опредѣленія О.

Итакъ, 6=РВ

т. е. произвольная постоянная С представляетъ давленіе въ точкѣ В.

Послѣ этого можно написать

Рх =Рв 4-^2

Или въ общемъ видѣ

Рх — Ауа+Ву2+ Су-{-В

Это уравненіе показываетъ, что давленіе при переходѣ отъ точки В къ точкѣ А измѣняется слѣдуя закону кубической параболы. Правая часть послѣдняго у-нія, какъ функція отъ у, не имѣетъ ни max., ни min., потому что наличіе ихъ обусловливается не допустимыми на практикѣ условіями.

Самую кубическую параболу можно легко построить по точкамъ, придавая у значенія 0, 0,1 h, 0,2h и т. д. Примѣрный вицъ будетъ FHg (черт. 5). Замѣнимъ эту кривую ломаной FEg, такъ что точка Е приходится надъ В срединой АВ.

Нагрузка на нашу полоску выразится при такихъ условіяхъ площадью AFEGB=AFB-\-BZG=u>1-\-<»2

Но - г

AF.AB Fk.h PB.h «>1= ---:<1>0=—:—;

Если разсматривать нашу пластинку, какъ балку съ закрѣпленными концами, то опорныя сопротивленіямъ въ точкахъ А и В найдутся по правилу моментовъ силъ, беря за центры моментовъ точки В и А. Тогда опорный моментъ

Bkh=wl,i/sh-\-*»2^\ Rk = —С°1 (точка А)

Точно также опорный моментъ

_ , о),Л , 5 , ^ 2 о)і-4-5(а)2 . ^

Вв. h~ “з~ 4“ “g Вѣ =---------g----(точка В)

Если точка С (черт. 5) соотвѣтствуетъ сѣченію, гдѣ моментъ изгиба будетъ наибольшимъ, то ордината СК найдется изъ пропорціи

СК: AF=y : 1і; СК=рх=^~-

Если остановиться на обычныхъ формулахъ сопротивленія матеріаловъ (см. Худяковъ „Сопротивленіе матеріаловъ*), то для моментовъ силъ имѣемъ у-ніе Е Іу"=Мх.

Максимальное значеніе Мх достигаетъ тогда, когда

dMx

Е jT. dх

2р=0

Послѣднее уніе даетъ указаніе, что въ сѣченіи О сѣкущія усилія равны нулю. Выражая это положеніе аналитически, напишемъ

Въ — т— Д СКВ = О

Послѣ подстановки значенія получимъ

2 u)j-J- 5 о>2

— (1)2

«>1 У‘

Ь?

О

Отсюда

y = h |/

2(1)! — Ш2

6 0>!

Этого условія достаточно, чтобы написать у-ніе для момента изгиба

' / Ті\ о)і.м2 4 2 (і),4- 5 о)2 , , / 2«). — <д)2

М тах = Вв.у — ші[у—-^І-------^-д =------------h']/

— <д)о h

V

CD, - <В2

6 (О

(1>1 Jl5

/

2 о)і — о)

6

3 Л /о)2 2a)j — a)2

2 I - __

6 (Oj

3\ 2

/

2 (1>! — (1>2 6(1)!

Окончательное рѣшеніе вопроса, т. е. подборъ сѣченія по заданному изгибающему моменту не представляетъ труда, если перейти къ конечному центральному углу a = одному градусу, одной минутѣ, или положить а = 2 тс. Тогда опредѣлится дуга Sy. Чтобы перейти отъ «> = Sydy къ Q конечной, можно положить, что мы оперируемъсъ площадкой, высота которой не dy, а какая либо единица: миллиметръ, сентиметръ. Послѣ этихъ подготовокъ можно написать и примѣнить къ дѣлу уравненіе

М max = W. Къ

Таково рѣшеніе вопроса.

J*

I

>o

$

¥

=4

$

■l?

&

~ir

I

I

I

iS

I

I

A

■*s-