Расчет резонансных частот открытого диэлектрического аксиально-симметричного резонатора с кусочно-постоянным радиусом Текст научной статьи по специальности «Физика»

Расчет резонансных частот открытого диэлектрического аксиально-симметричного резонатора с кусочно-постоянным радиусом

А. Н. Боголюбов, А. И. Ерохин, И.Е. Могилевский, Н. Е. Шапкина"

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра

математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. I, стр. 2. E-mail: " [email protected]

Предложен алгоритм расчета резонансных частот открытых диэлектрических аксиально-симметричных резонаторов с кусочно-постоянным радиусом, применимый для произвольного слоистого аксиально-симметричного диэлектрического заполнения. Резонатор помещается в кожух с идеально проводящими стенками достаточно большого радиуса. Рассмотрены случаи частичного покрытия структуры идеальным проводником.

PACS: 02.60.Cb

Ключевые слова: моделирование, резонатор, частоты, аксиально-симметричный.

Статья поступила 26.03.2008, подписана в печать 07.05.2008.

Введение

Одной из основных характеристик резонаторов является спектр резонансных частот, которые определяют его добротность [1]. Современные технологии позволяют изготовлять резонаторы практически любых форм и размеров. Последнее время появилась возможность создания диэлектриков с любым показателем диэлектрической проницаемости. Таким образом, при конструировании резонансных высокодобротных систем уже отсутствует необходимость в поиске материалов и не возникает практических трудностей при создании любого диэлектрического резонатора. На передний план выходит задача поиска оптимальных электродинамических и геометрических параметров резонансных конструкций с точки зрения получения максимальной добротности при минимальных экономических затратах. Поэтому возникает необходимость в предварительном математическом моделировании таких систем. В ряде технических устройств требуется использовать резонаторы аксиально-симметричных форм кусочно-постоянного радиуса. Предполагается, что они могут найти применение при конструировании проводящих систем с малыми потерями. В частности, такие резонаторы экспериментально исследуются на кафедре колебаний физического факультета МГУ [2]. В настоящей работе рассчитываются резонансные частоты открытых диэлектрических аксиально-симметричных резонаторов с кусочно-постоянным радиусом.

В. П. Моденовым была предложена идея о введении диэлектрических слоев в полый резонатор с целью повышения его добротности. Методом математического моделирования в работе [3] было показано, что выбором определенного диэлектрического заполнения для сферического резонатора можно действительно существенно повысить добротность резонатора. В связи с этим в работе также рассчитываются частоты для систем со слоистым аксиально-симметричным диэлектрическим заполнением.

ра. Объемную конструкцию резонатора можно получить путем вращения области П вокруг оси Ог (рис. 2). Диэлектрическую проницаемость обозначим е. Будем считать, что потери в диэлектрике отсутствуют, т. е. е — вещественная величина, принимающая положительные значения.

В случае открытой системы ее спектр является непрерывным [4]. Рассмотрим математическую модель, позволяющую решать задачу на собственные значения с дискретным спектром.

Ограничим пространство, в котором располагается резонатор, идеально проводящим цилиндром, размеры которого существенно больше размера резонатора. Ось цилиндра совместим с осью исходной структуры.

Собственные колебания полученного закрытого резонатора описываются нетривиальным решением однородной краевой задачи для системы уравнений Максвелла. Граничные условия представляют собой равенство нулю касательной составляющей вектора напряженности электрического поля на поверхности цилиндра. На поверхности диэлектрика поставим условия сопряжения, заключающиеся в непрерывности касательных к этой поверхности составляющих векторов напряженностей магнитного и электрического полей.

Рассмотрим колебания электрического типа. Тогда компоненты решения данной системы представимы

Рис. 1. Аксиально-симметричная структура кусочно-постоянного радиуса, принимающего два значения, для пяти секций

Постановил задачи

Рассмотрим диэлектрический резонатор, ограниченный аксиально-симметричной поверхностью с кусочно-постоянным радиусом (рис. 1). Введем цилиндрическую систему координат (р, ф,г), совместив при этом начало координат с центром левого торца конструкции и направив ось Ог вдоль оси симметрии резонато-

Q

0

Рис. 2. Разрез аксиально-симметричной структуры кусочно-постоянного радиуса, принимающего два значения, для пяти секций

11 ВМУ. Физика. Астрономии. .4» 2

в виде

Ег =

д2и

dz2

д2и

k2U,

Нг = о,

и -Ь dU //_• = ik r——.

где U нию

Е = -v р dzdip'

Е - d2U р dzdp,

— потенциал Боргниса, удовлетворющий уравне-

др

_ ike dU р р dip'

1 a f ви

р dp у dp

i d2u d2u

p2 dtp2 dz2

■ k2eU = 0.

Применяя метод разделения переменных, представим решение в виде

и = и(р,г)е'т*, т = 0,±1,±2,... .

Тогда для и будем иметь уравнение

1 d ( du

т'

р dp \ dp) р2 " которое можно привести к виду „2

d2u dz2

—T + k2eu = О,

Lu

mr

P

-и ■

■ pk ей = О,

(1)

где Ей = <Иу(р и).

Здесь дивергенция понимается как операция в двумерной прямоугольной системе координат (р,г). Обозначим область внутри прямоугольника, вращением которого вокруг оси Ог получается цилиндр, как О, а его границу как dQ. Граничное условие примет вид

и\ад/Ог = 0, (2)

а условия сопряжения на границе dfl запишутся как

£1

дщ

dn

s±

= £2-

du<i dn

"1 S|| ="2 Sil

(3)

vEu du = о pv^-ds dn

c)Q

p(grad u, grad v) du.

Q

du I

Учитывая граничное условие щ\0гпдд = 0 и полагая, что

и\ая/Ог = О,

получим, что интеграл по поверхности равен нулю.

Таким образом, из (1) мы приходим к следующему соотношению для и:

p(grad и, grad v) dq + m2

uv

Q

Q

— dq = k2 P

epuvdq. (5)

Q

Обозначив через X пространство функций и £ Н1, удовлетворяющих граничным условиям (2)—(4), мы приходим к постановке задачи для вычисления собственных частот данного резонатора: найти нетривиальные функции и £ X и соответствующие им значения к2, удовлетворяющие уравнению (3) для всех функций V £ X.

В монографии Ф. Сьярле [5] показано, что решение поставленной задачи существует.

Численное решение задачи

Для численного решения задачи будем использовать метод конечных элементов [6]. Обозначим Е\ семейство разбиений области П на треугольники Т диаметром не большие, чем /г (/геЯ). Потребуем, чтобы для этого семейства разбиений были выполнены следующие условия:

-и

Т, quad inf h = 0,

hen

Рт

inf min > 0,

h€H T6Fh hT

тт

где кт — диаметр треугольника Т, рт — диаметр круга, вписанного в этот треугольник, /г = тахкт- В качестве

конечного носителя на треугольнике Т выберем пирамиду Куранта [6].

Введем следующие обозначения:

а(и, v) =

p(grad и, grad v) du + m2

Q

uv

— du, P

b(u, v) =

epuv du.

где 5ц — часть границы dfl, параллельная оси Ог, 5+ — перпендикулярная, и\ и щ — потенциалы внутри и вне диэлектрика соответственно.

На части границы dQ, лежащей на оси Ог, которая не фигурирует в описании трехмерной задачи, поставим условие вида

ди п / л\

— =0. (4)

ОП ОгПдЯ

Таким образом, задача на нахождение собственных частот диэлектрического резонатора, ограниченного идеально проводящим цилиндром, сводится к задаче на собственные значения (1)-(4) в двумерной области. Умножим последнее уравнение на функцию V и проинтегрируем его по (3. Первая формула Грина имеет вид

Q

Тогда уравнение (3) примет вид a(u,v) = k2b(u,v). Из непрерывности коэффициентов, входящих в выражения для а и Ь, следует, что а и b суть непрерывные билинейные формы. Форма а также удовлетворяет условию

sup a(uh,vh) > k\\uh\\x Vw„ £Xh,

{Vb€Xh: |Ы|л-=1}

где Xu — проекция пространства X на пространство построенных конечномерных функций с конечным носителем. Любой элемент v из пространства X можно сколь угодно близко приблизить элементом v^ из пространства Xпри достаточно малом h, т. е.

lim ||w — üftll^n = 0. Решение, построенное с помощью

л-> о

выбранных конечных элементов, сходится к точному решению при стремлении h к нулю [7].

Результаты

Из решений поставленной задачи выберем те частоты, которым соответствует поле, в основном сосредоточенное в диэлектрике. Численный эксперимент показал, что эти частоты практически не зависят от размеров проводящего цилиндра, его расположения по отношению к диэлектрику.

В качестве теста проводился расчет частот для аксиально-симметричной структуры кусочно-постоянного радиуса, принимающего только одно значение, т. е. для цилиндра, полностью покрытого идеальным проводником. Существует аналитическое решение этой тестовой задачи. Для получения численного решения использовались

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

23

две программы, одна из которых является программой НРББ [8], а другая написана на основе предложенного выше алгоритма. Результаты сравнивались с точными решениями поставленной задачи. Оказалось, что даже на высоких модах погрешность найденных частот не превышает одного процента, при этом скорость вычислений была выше при использовании программы, написанной на основе предложенного метода.

На основе математического моделирования диэлектрического резонатора получены следующие результаты.

1. Построен спектр частот для полностью металлизированного эбонитового цилиндра, который соответствует экспериментальным данным.

2. Проведен расчет собственных частот для открытой аксиально-симметричной структуры кусочно-постоянного радиуса, принимающего два значения: 1 и 0.6 см, состоящей из одиннадцати секций длиной 0.9 см.

3. Выяснено, что существуют частоты, на которых электромагнитное поле практически полностью сосредоточено в диэлектрике (рис. 3). При металлизации

Рис. 3. Распределение поля в аксиально-симметричной структуре кусочно-постоянного радиуса, принимающего два значения, для 11 секций на частоте 55 ГГц

Рис. 4. Распределение поля в аксиально-симметричной структуре кусочно-постояннного радиуса, принимающего два значения, для 11 секций, три из которых покрыты идеальным проводником (обозначены белыми черточками), на частоте 41 ГГц

Рис. 5. Разрез трехслойной аксиально-симметричной структуры кусочно-постояннного радиуса, принимающего два значения, для 11 секций

I 0.02 I о

■ -0.02

-0.04

-0.06

Рис. 6. Распределение поля в трехслойной аксиально-симметричной полностью металлизированной структуре кусочно-постояннного радиуса, принимающего два значения, для 11 секций на частоте 136 ГГц

нескольких секций такой структуры поле может сосредоточиваться только в нескольких из них, при этом необязательно в металлизированных (рис. 4). Возбуждение определенных секций наблюдалось также и при экспериментальном исследовании подобных структур.

4. Рассмотрена структура, геометрия которой описана в предыдущем примере, но с добавлением двух диэлектрических слоев радиуса 0.2 см и длины 9.9 см (рис. 5) и покрытая полностью идеальным проводником. Диэлектрическая проницаемость нижнего слоя с =6, среднего слоя s = 4, а исходной структуры е = 2. Показано, что существуют частоты, на которых возбуждаются только несколько секций, при этом поле сосредоточено как в добавленном слое с большей диэлектрической проницаемостью, так и в исходной структуре (рис. 6).

Списож литературы

1. Взятышев В.Ф. Диэлектрические волноводы. М., 1970.

2. Афонин Д.Г., Малышкин А.К. // Тр. 12-й Междунар. конф. «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии«. Севастополь, Украина, сентябрь 2002. С. 379.

3. Моденов В.П., Чцлков Ф.М. // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 2000. 8, № 3-4. С. 89.

4. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., 1973.

5. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980.

6. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977.

7. Roberts J.Е., Thomas J.-M. Mixed and Hybrid Methods // Handbook of Numerical Analysis. V. 2. North-Holland, 1991.

8. Банков С.E., Курушин A.A., Разевиг В.Д. Анализ и оптимизация трехмерных СВЧ-структур с помощью HFSS. М., 2005.

12 ВМУ. Физика. Аетршюмия. „Ч!? 2

Resonance frequencies of an open dielectric axially symmetric resonator of piecewise constant radius

A.N. Bogolyubov, A.I. Erokhin, I.E. Mogilevskii, N.E. Shapkina"

Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomotiosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: 11 [email protected].

Computation algorithm for resonance frequencies of an open dielectric axially symmetric resonator of piecewise constant radius is proposed to be employed in the case of arbitrary layered axially symmetric dielectric filling. The resonator is placed into the large enough cover with perfectly conducting walls. The structures locally covered by a perfect conductor were considered.

PACS: 02.60.Cb.

Keywords: modeling, resonator, frequencies, axially symmetric. Received 7 May 2008.

English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2009).

Сведения об авторах

1. Боголюбов Александр Николаевич — д. ф.-м. п., профессор; профессор; e-mail: [email protected].

2. Ерохии Александр Игоревич — студент; e-mail: ([email protected].

3. Могилевекий Илья Ефимович — к. ф.-м. п., ассистент.

4. Шанкина Наталия Евгеньевна — к. ф.-м. п., доцент; e-mail: [email protected].