CC BY
60
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 537.84
РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В МЕЖЭЛЕКТРОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
© Е. Г. КРАСНАЯ
Пензенская государственная технологическая академия, кафедра “Биотехнологии и техносферная безопасность” e-mail: [email protected]
Красная Е. Г. — Расчет распределения потенциала в межэлектродном пространстве электрогидродинамических устройств численными методами // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 550—555. — Рассмотрены численные методы расчета потенциала электрического поля между двумя плоскими электродами, позволяющие получать информацию необходимую для оптимизации конструкций электрогидродинамических устройств.
Ключевые слова: численные методы расчета, потенциал, напряженность, электрическое поле, электро-гидродинамические устройства
Krasnaya E. G. — The distribution of potential and strength in the interelectrode space numerical methods // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 550—555. —
Numerical methods for calculation the potential electric field for a number of geometries of the electrodes are considered, allowing obtaining the information necessary to optimize the structure of electro hydrodynamic devices.
Keywords: numerical methods, the potential strength, electric field, electro hydrodynamic device
В последнее время для исследования процессов электрогидродинамических течений все чаще применяются численные методы [3-5], позволяющие моделировать процессы в межэлектродном промежутке и получать информацию необходимую для оптимизации конструкций электрогидродинамических устройств.
С этой целью в данной работе рассмотрены численные методы расчета потенциала электрического поля. Анализ литературных данных, эксперименты и предварительные расчеты позволили выделить для отработки методики форму электродов - “две плоскости”. Сравнение полученных результатов с опубликованными результатами экспериментального определения потенциала электрического поля между плоскими электродами позволяет сделать вывод об адекватности рассчитанных полей.
Известно, что прямой метод вычисления потенциала электрического поля 2 (x, y, z) в электро-
статических задачах состоит в решении уравнения Лапласа
л / n д V д22 д22
Д2 (x,y,z) = dx2 + dy2 + dZ2 (1)
и уравнения Пуассона
д22 д22 д22
Д2 (x,y,z) = дХ2 + д~2 + dZ2 = -P(x,y,z). (2)
Уравнения (1) и (2) относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Для решения двухмерных уравнений эллиптического типа Пуассона и Лапласа в МаШСАБ предназначена функция гв1ах(а, Ь, о, й, в, /, п, т^ао), реализующая метод релаксации. В этой функции а, Ь, о, й, в
- квадратные матрицы одного и того же размера, содержащие коэффициенты дифференциального уравнения; / — квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке внутри квадрата; п - квадратная матрица, содержащая граничные значения функции на краях области, а также начальное приближение решения во внутренних точках области; т^ао - параметр, управляющий сходимостью процесса релаксации или спектральный радиус итераций Якоби. Параметр Якоби управляет сходимостью алгоритма релаксации. Оптимальное значение И, зависит от параметров задачи и выбирается в пределах 0 < И < 1.
Фактически, эту функцию можно использовать для решения эллиптического уравнения общего
вида
\д2п д2п д 2п дп дп
А я”^" + 2Б^~Я--+ я"Т + ая + Я + оп = ^(x, ^,
дх2 дхду ду2 дх ду
когда Б = АС — Б2 > 0 .
В этом случае дифференциальное уравнение в частных производных может быть сведено к уравнению в конечных разностях
аг,3 пг+1,3 + Ьъ,3 пъ-1,3 + еъ,3 П^,3 + 1 + й^,3 П^,3-1 + в^,3 п^',У $^,3 '
Для уравнения Пуассона для равномерной сетки размером
N3 := 50
и для постоянного значения электропроводности коэффициенты А,Б,С,Б имеют единичные значения.
3 " 0 ю ]3 , 0.. N3
А,3,]3 . 1 ВВ,р - 1 С'3,]3" 1 0;з,Р , 1
Коэффициент
вычисляется с учетом электроотдачи
р := 0.0005
Расположение внутренних источников, а так же граничные условия задаются в виде квадратной матрицы, содержащей значения правой части уравнения в точках области, в которой ищется решение:
Квадратная матрица, содержащая значения функции на границе области и начальное приближение внутри области имеет вид ■ ■ ■ _ _
Метод релаксации сходится достаточно медленно, так как фактически он использует разностную
h2
схему с максимально возможным для двумерного случая шагом т = hf •
Функция
□3 := relax(A, В, С, D, Е, Source, Fiinit, 0.999)
возвращает квадратную матрицу, в которой: расположение элемента в матрице соответствует его положению внутри квадратной области.
Рисунок 1. Графики распределения потенциала. Расчет произведен с испльзованием функции relax: а - трехмерный график; б - линии уровня.
Для расчета распределения потенциала можно использовать другой метод численного решения общего уравнения (2). Алгоритм, содержащий решение, выглядит следующим образом:
1. задание функции, реализующей итерационную процедуру,
здесь NN - количество точек в которых вычисляются значения функции; шах_йег - число итераций;
- параметр, задающий метод релаксации; ^ - матрица, содержащая значения потенциала на границе области и начальное приближение во внутренних узлах;
вь=(о о о о)т
лллл/ \ /
- имя функции, описывающей распределение потенциала.
I 0 т ,..0*0 ,0,^0
Mi.N1 := 0 ,N1,^0
2. Задание узлов сетки и краевых условий:
N1 := 50
3. задание функции, описывающей распределение плотности заряда в ячейке р(х,у) реализовано в итерационной процедуре.
4. задание начального приближения
□f := (0 0 0 0)
Т
и числа итераций
max iter := 70
5. вычисление потенциала
N1
ф1 :=----------iterationD (N1 ,max_iter ,q ,ц ,Bi ,<jf )o
6. построение карты эквипотенциальных уровней (рис. 2).
Рисунок 2. Графики распределения потенциала. Расчет произведен с испльзованием итерационной процедуры: а - трехмерный график; б - линии уровня.
Заключение
Решение двумя способами дает близкие результаты. Отличия заметны по линии соответствующей значениям потенциала между пластинами, поскольку процедуры построены несколько различным образом. Для функции relax имеется четкая линейная зависимость, отвечающая аналитическому решению данной задачи. Для программы ^>1 линейная зависимость получается при числе итераций гораздо больше 100, и при равной величине сеток время на расчет гораздо больше.
ВЫВОД. Встроенная функция позволяет реализовать сетку с большим числом ячеек достаточную для расчета относительно грубых форм, для которых объем вычислений невелик, а затем экстраполировать полученные решения на более мелкую сетку и использовать эти значения в качестве начального приближения для последующих итераций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дритов Л. А., Мещеряков А. С., Таранцев К. В. Процесс электрогидродинамического диспергирования при получении топливных эмульсий // Электронная обработка материалов. 1992. № 2. С. 30 -33.
2. Апфельбаум М. С., Бутков В. В., Дритов Л. А., Таранцев К. В. Электрогидродинамические течения и их влияние на процесс диспергирования // Электронная обработка материалов. 1995. № 1. С. 53-56.
3. А.с. 1813485 СССР. Горизонтальный электродегидратор / Л. А. Дритов, A. M. Раззорилов, К. В. Таранцев. Опубл. 07.05.93. Бюл. № 17.
4. Пат. 1780822 РФ. Электрогидродинамический диспергатор / В. В. Бутков, К. В. Таранцев. Опубл. 12.03.93. Бюл. № 46.
5. Таранцев К. В., Таранцева К. Р. Алгоритм расчета электрогидродинамического эмульгатора // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2001. № 11. С. 7-9.
6. Таранцев К. В., Таранцева К. Р. Конструкции электрогидродинамических эмульгаторов // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2002. № 8. С. 7-9.
7. Таранцев К. В., Таранцева К. Р. Оптимизация параметров электрогидродинамических эмульгаторов // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2002. № 10. С. 6-8.
8. Lacoste D., Menon G. I., Bazant M. Z., Joanny J. F. Electrostatic and electrokinetic contributions to the elastic moduli of a driven membrane // European Physical Journal. 2009. N 28. P. 243-264.
9. Squires T. M., Bazant M. Z. Breaking symmetries in induced-charge electro-osmosis and electrophoresis // Fluid Mech. 2006. N 560. Р. 65-101.
10. Huang C. C., Bazant M. Z., Thorsen T. Ultrafast high-pressure AC electro-osmotic micropumps for portable biomedical microfluidics // Lab on a Chip. 2010. N 10. P. 80-85.
11. Поршнев С. В. Методика использования пакета Mathcad для изучения итерационных методов решения краевых задач для двумерных эллиптических уравнений // Вычислительные методы и программирование. 2001. № 2. (http://num-meth.srcc.msu.su).
12. Очков В. Ф. MathCAD 8 Pro для студентов и инженеров. М.: "КомпьютерПресс 1999. 381 с.
