CC BY
86
а) б)
Рис. 4. Часть зубчатого колеса с переменной изгибной жесткостью зацепления [6]
VI. Выводы и заключение
Поскольку деформация таких вставок нелинейна и существенно зависит от формы эластомера, способа его фиксации внутри прорези, то вариацией этих параметров можно обеспечить достижение расчетной жесткости зацепления в зависимости от переменного силового потока. Такой расчет является обязательным, а использование эластомерных вставок перспективно для снижения виброактивности зубчатых передач. Реализация технического решения [6] не имеет ограничений и применима в редукторах общего назначения.
Список литературы
1. Fol^ga P., Burdzik R., Wojnar G. The optimization of the ribbing of gear transmission housing used in transportation machines // Journal of Vibroengineering. 2016. Vol. 18. Issue 4. P. 2372-2383.
2. Jedlinski, L. A new design of gearboxes with reduced vibration and noise levels // Diagnostyka. 2016. Vol. 17. № 4. P. 93-98.
3. Петрусевич А. И., Генкин М. Д., Гринкевич В. К. Динамические нагрузки в зубчатых передачах с прямозубыми колесами. М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1956. 134 с.
4. А. с. 1733777 СССР, МКИ5 F 16 Н 55/14. Зубчатая передача / Балакин П. Д., Рязанцева И. Л., Троян О. М. № 4750851/28; заявл. 16.10.89; опубл. 15.05.92, Бюл. № 18.
5. А. с. 2225552 Российская Федерация, МПК F 16 Н 55/14. Зубчатая передача / Балакин П. Д., Филлипов Ю.О., Михайлик О. С. № 2002119115/11; заявл. 15.07.02; опубл. 10.03.04, Бюл. № 7.
6. Пат. 112968 Российская Федерация, МПК F 16 Н 55/14. Зубчатая передача / Балакин П. Д., Дюндик О. С., Дюндик Е. А. № 2011131847/11; заявл. 28.07.11; опубл. 27.01.12, Бюл. № 3.
УДК 624.073.1: 519.635.1
РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
А. А. Комлев, С. А. Макеев
Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия
DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-29-34
Аннотация - В статье рассмотрены основные достоинства и недостатки существующих в настоящий момент времени расчетных методов пластин на упругом основании. Рассмотрен вопрос об автоматизации расчетов прямоугольных пластин на упругом основании методом конечных разностей, на основе которого получены автоматические расчетные алгоритмы. Проведены исследования степени дискретизации на точность расчетов. Приведено сравнение результатов деформаций и усилий, полученных методом конечных элементов и предложенным методом.
Ключевые слова: строительные конструкции, плиты на упругом основании, метод конечных разностей, автоматизированный расчетный комплекс.
I. Введение
Несмотря на то, что в настоящее время существует большое количество программных комплексов по расчету конструкций (балки, плиты, оболочки), основная масса расчетов выполняется вручную в соответствии с классическими теориями расчета стержней, плит и оболочек [1-4], так как большинство практических задач сводится к расчету статически определимых однопролетных конструкций, загруженных равномерно распределенными или сосредоточенными нагрузками.
В этом случае намного быстрее рассчитать усилия и деформации конструкций по общеизвестным формулам сопротивления материалов, чем выстраивать расчетную схему в каком-либо специализированном конечно-элементном программном комплексе.
Однако свести задачу к статически определимой не всегда является возможным, так как упрощение расчетной схемы ведет к значительному ее отличию от действительной работы конструкции. Одним из таких случаев является расчет конструкций стержневого типа и плит на упругом основании [5-7].
При расчете конструкций ленточных фундаментов, плит на упругом основании податливостью опор (грунта) пренебречь не представляется возможным, и задача не решается в квадратурах. В этом случае на помощь конструктору приходят расчетные программные комплексы. Но что делать, если их под рукой не оказалось?
В этом случае целесообразно воспользоваться методом конечных разностей (МКР), поскольку он легко реализуется в общедоступной электронной математической среде MS Excel.
II. Теория
Уравнение срединной поверхности пластины на упругом основании, загруженной распределенной по площади нагрузкой, можно описать дифференциальным уравнением следующего вида [8]:
V72Y72 C2 V72 , C1
V V v(X*) - J V V(xy) + J v(= J
q
(1)
где V - прогиб произвольной точки серединной поверхности пластины; С - коэффициент сжатия (кН/м3); С2 - коэффициент сдвига (кН/м);
q - распределенная нагрузка, перпендикулярная к серединной плоскости пластины (кгс/м2); Б - цилиндрическая жесткость пластины; х и у - координаты пластины в плане;
д V
д4v д4v
дх 4 + 2 дх 2 ду 2 + ду 4
(2)
- бигармонический оператор;
V 2v,
(х:у)
д2v д 2v дх2 ду 2
(3)
- оператор Лапласа.
После подстановки (2) и (3) в (1) получим уравнение (4):
д 4v + д 4v дх 4 дх 2ду 2
д v C2 д v C2 д v C, q
+ —7--2—^--2—^ + v = —
ду4 D дх2 D ду2 D D
(4)
1
(х-1у+1) (ху+1) (х+1:у*1.
(Х-1.У) (ху) (хг 1у) (х+2у)
<xy-V (Х+1.У-1)
(ху-2)
X
Рис. 1. Нумерация точек сетки пластины
Для дальнейших расчетов уравнение (4) нужно представить в конечно-разностном виде (5), для этого воспользуемся разностными схемами из [9]:
6(а + —) + 8 а
\x:y) - 4
(1 + a)(v(
x-1:y) + v( x+1: y )) + (1 + — )(v( x:y+1) + v(x:y-1))
+ 2(v( x-1:y+1) + v( x+1:y-1) + v( x-1:y-1) + v( x+1:y+1)) + a(v(x-2: y) + v( x+2:y)) + ~(v( x:y+2) + v( x: y-2)) + (5)
У)' x:y+2) ' (x:y-
■2 Лу2 л.^л.,2
2C2v(x:y)(Ar2 +Лу 2) С2Лу 2(v( x-1:y) + v(x+1:y )) С2Л^ (v(
x:y-1) + v(x:y+1))
D D D DD
где a = Ay2/AX.
Значения перемещения v на краях пластины (контурные точки) и за краями (законтурные точки) определяется по условиям опирания согласно [10].
Полученное уравнение является громоздким, поэтому при ручном расчете проектировщики идут на ряд упрощений, главным из которых является принятие для расчетов квадратной сетки, когда Ax=Ay. А во-вторых, на пластину наносят очень крупную сетку (в первом приближении), когда Ax=Ay=L/4. В-третьих, пластину рассчитывают лишь в двух взаимно перпендикулярных сечениях. Только в этом случае система алгебраических уравнений становится удобной для расчета. Но в этом случае ни о какой точности расчета речи идти не может.
Ситуация стала меняться с появление ЭВМ. При их использовании необходимость в ручном расчете отпала, и проектировщики смогли увеличить степень дискретизации, тем самым повысить точность расчетов. Однако и на сегодняшний день, даже при использовании ЭВМ, на пластинах разбивают сетку не чаше, чем Ax=Ay=L/8 [11].
Поэтому МКР в настоящее время используется только в образовательных целях.
Однако все меняется, если при расчетах платин МКР использовать общедоступную математическую среду MS Excel. Встроенная функция итерационных исчислений позволяет решать систему (5) при значительной степени дискретизации.
Если на рассчитываемой пластине разметить сетку (рис. 1), то, выражая из уравнения (5) значение прогиба в точке (x:y) и применяя это выражение для всех точек пластины, можно получить систему взаимосвязанных уравнений.
В результате получается поле, где каждая ячейка взаимосвязана с соседними. И, таким образом, между ними образуются циклические ссылки. Далее, после активации команды «Включить итерационные вычисления» перемещения в пластине рассчитываются автоматически.
После вычисления перемещений усилия вычисляются по формулам, приведенным в [12].
Однако вопрос о степени дискретизации остается открытым.
+
III. Результатов расчетов
Для определения влияния степени дискретизации на точность расчетов выполнены расчеты плиты, лежащей на упругом основании, на действие сосредоточенной нагрузки МКР и МКЭ (ПК Лира) с шагом:
- Ar = Lx/10 и Ay = Ly/10;
- Ar = Lx/15 и Ay = Ly/15;
- Ar = Lx/20 и Ay = Ly/20.
В табл. 1 приведен сравнительный анализ результатов расчета железобетонной плиты с размерами в плане 6x3 м на упругом основании, толщиной 200 мм на сосредоточенную нагрузку 100 тс в середине пролета в математической среде MS Excel МКЭ и в ПК Лира. Картина прогибов плиты и изгибающих моментов представлена на рис. 2, 3, 4.
ТАБЛИЦА 1 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
МКР - Excel МКЭ - Лира Сапр
10x10 15х15 20x20 10x10 15x15 20x20
Vmax, мм 19.1 18.9 18.6 19.2 18.8 19.0
*Mx, кН*м/м 308.96 225.35 228.21 184.70 267.70 226.90
My, кН *м/м 273.37 182.22 181.56 136.50 205.47 174.70
Мху, кН *м/м 18.53 18.91 18.56 22.30 24.20 23.50
*расчетные значения в таблице приведены по модулю
Рис. 2. Эпюра вертикальных перемещений плиты V
Изгн&ающнй момент Мх, кНГм/м Изгибающий момент Мх, кН*мУм
_ | 1С
» с ■ С-Я; ■ -Н 4 И-1К-Н' ■ -150 "11» ■ -1И-1» »-но-г» ■ -Есс-гю | 4 рС-5С ' ■ -!,С ЧГ * а-им » ( ■-15С-1И?
'»О -ЗЮ ■и» т Г 5 «-НО-19« а ало-т ] •■!ИС-2!0
_ / 3
I 5 ) » ■) 7 В Э 1ы 11 ^
Рис. 3. Эпюра изгибающих моментов Мх
Рис. 4. Эпюра изгибающих моментов Му
Из табл. 1 следует, что при расчете МКР при степени дискретизации элемента более Ь/15 значения прогибов сопоставимы, а расхождение значений усилий не превышает 2%. При расчете МКЭ сходимость внутренних усилий не наблюдается. Такая картина для МКЭ объясняется тем, что в нем значения усилий определяются по центру тяжести элементов. И поэтому МКЭ в более значительной степени зависит от дискретизации, чем МКР.
Далее был проведен ряд сравнительных расчетов в МКР и МКЭ плит с различной геометрией, параметрами оснований и видами нагрузок. В табл. 2 приведен сравнительный анализ результатов расчета максимальных прогибов различных плит на упругом основании. Графические результаты прогибов расчетных плит представлены на рис. 5.
ТАБЛИЦА2
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАКСИМАЛЬНЫХ ПРОГИБОВ В ПЛАСТИНАХ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
№ схемы ПК «Лира» М8 Ехсе1 % Параметры
1 Утах, мм 10 10 0 Железобетонная плита 3*3 м толщиной 250 мм С! = 5000 кН/м3 С2 = 500 кН/м Нагрузка равномерно распределенная q = 50 кН/м2
2 V, мм 12.1 11.94 1.3 Железобетонная плита 4*2 м толщиной 100 мм С! = 10000 кН/м3 С2 = 1000 кН/м Нагрузка полосовая в середине пролета вдоль длинной стороны q = 200 кН/м
3 V, мм 9.24 9.43 2 Железобетонная плита 5*5 м толщиной 150 мм С! = 9000 кН/м3 С2 = 900 кН/м Нагрузка в виде четырех сосредоточенных сил по углам пластины Р = 150х4 кН
4 V, мм 3.8 3.91 2.8 Железобетонная плита 6*2 м толщиной 200 мм С! = 8000 кН/м3 С2 = 800 кН/м Нагрузка полосовая в середине пролета вдоль короткой стороны q = 100 кН/м
5 V, мм 6.76 6.51 1.7 Железобетонная плита 5*1 м толщиной 50 мм С! = 7000 кН/м3 С2 = 700 кН/м Нагрузка в виде трех сосредоточенных сил по длине плиты Р = 50*3 кН
Рис. 5. Эпюры вертикальных перемещений V
В результате сравнительного анализа расчетов установлено, что расхождение значений максимальных вертикальных прогибов, полученных по МКЭ и МКР, практически не отличаются. Расхождение значений изгибающих моментов не превышает 3 %.
IV. Выводы и заключение
Расчет пластин на упругом основании МКР в электронной среде MS Excel показал свою универсальность. Он позволяет рассчитывать прямоугольные плиты произвольных размеров с различными грунтовыми параметрами на различные виды нагрузок. Также этим методом легко реализовать расчет плит переменной жесткости на упругом основании. МКР показал лучшую сходимость, в сравнении с МКЭ. Однако и у МКР есть свои слабые места. В результате исследований обнаружилось, что МКР некорректно считает перемещения в пластинах при нагрузках, расположенных на краю. И этот вопрос требует дальнейшего изучения.
Список литературы
1. Донелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки: пер. с англ. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 568 с.
2. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.
3. Дикович В. В. Пологие прямоугольные в плане оболочки вращения. Л.: Госстройиздат, 1960. 143 с.
4. Ржаницын А. Р. Строительная механика. М.: Высш. школа, 1982. 400 с.
5. Жемочкин Б. Н., Синицын А. П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании. Подольск: Госстройиздат, 1962. 240 с.
6. Симвулиди И. А. Расчет фундаментов на упругом основании. М., 1972. 64 с.
7. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. 491 с.
8. Пастернак П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов пастели. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1954. 56 с.
9. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический: в 2 кн. / ред. А. А. Уманский. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Стройиздат, 1973. Кн. 2. 416 с.
10. Клепиков С. Н. Расчет конструкций на упругом основании. Киев: Будiвельник, 1967. 184 с.
11. Чуватов В. В. Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток. Свердловск: УПИ, 1972. 106 с.
12. Варвак П. М., Варвак Л. П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 160 с.
УДК 534.1
ГИДРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ, УСТАНОВЛЕННОЙ НА ОСНОВАНИЕ ВИНКЛЕРА
Д. В. Кондратов1, Л. И. Могилевич2, В. С. Попов2, А. А. Попова2
'Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, г. Саратов, Россия 2Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов, Россия
DOI: '0.25206/23'0-9793-20'7-5-'-34-4'
Аннотация — Исследованы вынужденные гидроупругие колебания круглой пластины, установленной на упругом основании. Колебания вызываются вибрацией штампа, взаимодействующего с пластиной через тонкий слой вязкой несжимаемой жидкости. Рассмотрена осесимметричная задача для режима установившихся гармонических колебаний. Для упругого основания выбрана модель Винклера. На основе решения задачи гидроупругости найдены законы прогибов пластины и давления в жидкости. Построены функции распределения амплитуд прогибов и давления жидкости вдоль пластины. Построенная математическая модель позволяет изучать динамику взаимодействия слоя вязкой жидкости с круглой пластиной, установленной на упругом основании, а также определять резонансные частоты колебаний пластины и соответствующие им амплитуды прогибов и давления жидкости.
Ключевые слова: гидроупругие колебания, пластина, вибрирующий штамп, вязкая жидкость, упругое основание Винклера.
