CC BY
53
УДК [621.314+621.3.017+621.3.013.5]
Остренко М. В.1, Тиховод С. М.2
Аспирант, Запорожский Национальный Технический Университет ,Украина 2Д-р техн. наук, доцент, Запорожский Национальный Технический Университет, Украина
РАСЧЕТ ПОТЕРЬ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИИ СИЛОВЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ И РЕАКТОРОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ИМПЕДАНСНОГО ТИПА
Цель работы. Данная статья предлагает обоснованную математическую модель, основанную на приложении метода конечных элементов (МКЭ), которое позволяет более эффективно моделировать вихревые токи и потери, вызванные полями рассеяния, в баке силовых трансформаторов и реакторов и элементах их конструкций.
Методы исследований. Основываясь на допущениях равенства нулю нормальных составляющих напряжен-ностей магнитного и электрического полей в ферромагнитном полупространстве, данная математическая модель вводит поверхностную плотность вихревого тока в уравнения МКЭ.
Основные результаты. Сделан вывод, что предложенная математическая модель позволяет более эффективно рассчитывать вихревые токи и потери, вызванные полями рассеяния, в баке силовых трансформаторов и реакторов и элементах их конструкций. При этом достигается существенное уменьшение результирующей системы уравнений (в десятки раз), что приводит к значительному сокращению времени расчета и компьютерных ресурсов без потери в точности.
Научная новизна. Новизной предложенной математической модели является форма, удобная для программной реализации известных граничных условий импедансного типа, описывающих распределение электромагнитного поля в баке и элементах конструкции, причем эти элементы представляются как ферромагнитное проводящее полупространство.
Практическая значимость. Примеры расчета однофазного автотрансформатора 167МВА 345кВ 161кВ в программном комплексе ELMAG-3D, созданном на основе описанного метода и в программном комплексе ANSYS с использованием классического подхода solid моделирования трансформатора, показывают применимость и достаточную точность описанного метода в контексте задач расчета потерь в баке и элементах конструкции силовых трансформаторов.
Ключевые слова: метод конечных элементов, поверхностная плотность вихревого тока, потери в силовых трансформаторах.
ВВЕДЕНИЕ
Потери энергии силового трансформатора являются одним из важнейших технико-экономических показателей. Высокая капитализация потерь трансформатора является веской причиной для проведения точного расчета потерь и принятия мер по их снижению. Весомую часть потерь в силовых трансформаторах высокой мощности составляют потери в баке трансформатора и в элементах конструкции от магнитного поля рассеяния. Более того, конкуренция на рынке производства силовых трансформаторов приводит к снижению массогабарит-ных показателей разрабатываемых трансформаторов, что, вследствие роста плотности энергии поля рассеяния, ведет к возникновению локальных перегревов бака, коробок вводов, элементов конструкции. Высокие температуры локальных нагревов вызывают преждевременное старение твердой изоляции и (или) интенсивное газообразование в трансформаторном масле, что может быть причиной выхода трансформатора из строя.
АНАЛИЗ И ПУБЛИКАЦИЙ
ИССЛЕДОВАНИЙ
Следует отметить, что потери и перегревы должны быть оценены для всех (или по меньшей мере для край-
©Остренко М. В., Тиховод С. М., 2016 DOI 10.15588/1607-6761-2016-2-4
них) положений переключающего устройства и для разных пар обмоток в двух-обмоточных режимах и трех обмоток в трех-обмоточном режиме. Распределение поля рассеяния сильно зависит от количества обмоток (витков обмоток), запитанных на данном положении переключающего устройства и от того как эти обмотки включены по отношению друг к другу. Следовательно, задача сокращения погрешности и времени расчетов потерь и перегревов от поля рассеяния в баке и элементах конструкции трансформатора является актуальной.
Существует большое количество методов позволяющих оценить величину потерь и перегревов от поля рассеяния в силовом трансформаторе. Условно множество методов можно разделить на: аналитико-эмпирические и численно-аналитические [1], численные [1-3], численные смешенные [4]. К преимуществам аналитико-эмпи-рических и численно-аналитических методов расчета можно отнести высокое быстродействие, но низкая точность расчетов и отсутствие универсальности делают эти методы неконкурентоспособными. Как указано в [1]: «Полученная в настоящее время практика моделирования трансформаторных устройств показала, что численные электромагнитные модели обеспечивают необходимую и достаточную информацию для расчетов нагревов элементов конструкции трансформаторов
и реакторов». Однако существенным недостатком существующих численных методов расчета является ресур-соемкость и низкое быстродействие. При решении задачи распределения квазистатического магнитного поля наиболее популярным является метод конечных элементов (МКЭ). Особенностью и недостатком метода конечных элементов является то, что область моделирования должна быть ограниченной, даже если поле занимает значительное пространство. В работе [5] показано эффективное использование МКЭ в пакете FEMM для моделирования электромагнитных процессов в трансформаторах. В этой работе область моделирования была ограничена пространством бака, но потери в баке не учитывались. МКЭ также используется в популярном пакете моделирования ANSYS [6] и других пакетах. В системе ANSYS проблема ограничения области моделирования решена использованием, так называемых абсорбционных граничных условий [7]. В этом случае расчетная область искусственно ограничивается некоторой поверхностью, которая должна поглощать всю энергию поля, попадающую на нее изнутри. Однако эта поверхность должна достаточно далеко отстоять от всех рассматриваемых объектов, что значительно увеличивает количество узлов конечноэлементной сетки. Другая проблема заключается в том, что в элементах модели, выполненных из конструкционной стали, возникает скин-эффект. Величина скин-слоя конструкционной стали на частоте 50-60 Гц - 1-2 мм. Следовательно, проникая вглубь скин-слоя на 1-2 мм, электромагнитная волна затухает в е (2,72) раз. Для аппроксимации экспоненциальной зависимости конечными элементами первого порядка удовлетворительной точности, количество конечных элементов по глубине скин-слоя должно быть не меньше трех. Т.е. учитывая размеры бака силового трансформатора в несколько метров, разбиение бака на конечные элементы со степенью детализации - несколько элементов на 1-2 мм приводит к размерам системы уравнений требующих большое количество компьютерных ресурсов и времени на решение этой системы. Смешенные численные методы [4] были разработаны для решения вышеописанной проблемы, но точность расчетов на сегодняшний день является неудовлетворительной.
Широкую популярность в решении данной проблемы приобрел эффективный метод: метод конечных элементов с граничным условием импедансного типа [812]. Этот метод впервые был предложен С.М. Рытовым, а потом был обоснован М.А. Леонтовичем и А.Н. Щукиным. Метод Щукина-Леонтовича в настоящее время обобщен на широкий круг электродинамических задач, что отражено в обзорной статье [13], посвященной 75-летию этого метода. По своей сути этот метод является приближенным. Следовательно, в реальных приложениях требуется обоснование корректности данного метода и оценки погрешности. Таким образом, при решении задачи расчета потерь в трансформаторах и реакторах требуется формализация принятых допущений, оценка погрешности и дальнейшее развитие метода.
В данной статье предлагается обоснованная математическая модель для расчета потерь в элементах конструкции трансформаторов, выполненных из ферромагнитного проводящего материала (например, конструкционной стали). Особенность модели заключается в замещении граничного условия МКЭ задачи поверхностной плотностью вихревого тока.
Цель статьи - систематическое изложение метода конечных элементов с граничными условиями импедан-сного типа в форме, удобной для приложений данного метода к задачам расчета потерь в баке и элементах конструкции силовых трансформаторов и реакторов, вызванных полями рассеяния.
ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО
МАТЕРИАЛА И АНАЛИХ
ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Распределение линейного магнитного поля гармонических источников промышленной частоты в пространстве описывается уравнениями Максвелла в комплексной форме [14]:
ю ю ю Ух н = J ;
(1)
Ух Е = - jю В : ю ю
У-В = 0 ; ю ю
У- J = 0 ;
ю 1 ю
н =-В ■ ц '
ю ю ю
J = ст Е+ J s,
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ю ю
где: Н - напряженность магнитного поля, А/м; J - плот-юность тока, А/м2; Е - напряженность электрического ю
поля, В/м; В - магнитная индукция, Тл; Ц - магнитная проницаемость, Гн/м; ст - удельная электропроводность, ю
См/м; J з - плотность тока источника, А/м2.
Решение задачи распределения квазистатического поля методом конечных элементов может быть выраже-
ю
но как через векторный магнитный потенциал А и скалярный электрический Ф потенциал (А, У-А формули-
ю
ровка) так и через векторный токовый потенциал Т и скалярный магнитный потенциал ф (Т, Ф-Ф формулировка). Так как Т, Ф-Ф формулировка МКЭ приводит к «ложному распределению вихревых токов в многосвязной области» [15], выразим задачу через A, У-А формулировку:
ю ю ю
Ух А = В
E = - j ю A - V • ф
(8)
Подставляем уравнения (5), (7) в (1) и (6), (8) в (4) получаем замкнутую систему уравнений включающую уравнения Максвелла (1-6):
N = £N , а=£а, .
г=1 г=1
Подставляя систему уравнений (11) в (12) получаем систему уравнений по методу Галеркина:
Vx (— Vx A) + ст(jro A+V•ф) = JS Ц
ст(- jro A - V - ф)
= 0
(9)
Применим метод Галеркина [16] к системе уравнений (9). Заменим истинное решение системы (9) А и Ф его разложением в конечный ряд по ортогональным (базисным) функциям:
_ N q N Q
A'=ZNi • A,, ф' = Ха/ 'Ф/ i=1 i=1
(10)
где^. и Ф ,- коэффициенты ряда; N, - векторная базис-
функция, определенная в пространстве конечных элементов, имеющих общую i-ю вершину в Nodal-Based формулировке или общее i-е ребро в Edge-Based формулировке [3]; а. - скалярная базис-функция, определенная в пространстве конечных элементов, имеющих
общую i-ю вершину; Nn - количество узлов конечно-элементной сетки в Nodal-Based формулировке или количество ребер в Edge-Based формулировке.
Подставляя аппроксимацию решения (10) A' и ф' в систему (9) получаем невязки (ошибки аппроксимации)
R и Rr
^ 1 ^ ^ ^ ^ ^ _
Vx (- Vx A') + ст(jra A' + V-ф ') - JS = R1 Ц
ct(- jro A ' -V-ф')
= R2
(11)
Определим условие минимизации невязок R1 и R2 в пределах области решения задачи О как равенство нулю взвешенного интеграла от невязки по области О. В качестве весовых функций совершенно очевидно выбрать базисные функции и а,:
| R1 • Ndv = 0
п
IR2 •аdV = 0, (12)
^ 1 ^ ^ ^ ^
Vx (- Vx A') + а(jrnkA' +V•ф') Ц
• NdV =
= JJS • NdV
J
ct(-jrokA' -V-ф ')
. (13)
• adV = 0
Для избегания дифференцирования производных второго порядка, применим к (13) формулы Грина[17]:
J
^ 1 ^ ^
Vx (- Vx A') Ц
Vx H
• NdV =
= J
J
Vx N
NdV = J n
• HdV + JV^H x N}lV = n
• HdV + J H x N • ndS = г
J (Vx N) •(- Vx A')dV - J[h x n\ NdS
Vx N
^
ст(- jrok A' - V>) • adV = J V^ J • adV
_ _ Q V
Jv
Q
= - J (V^a) • JdV + JV^J • a)dV =
Q Q
- J (V^ a) • JdV + J (J • n) • adS = n г
= J (V^ a) • с • (jrok A' + V^ ф')dV + J (J • n) • adS
(14)
где: Г - граница, окружающая область решения задачи О; п - вектор нормали к границе Г.
Подставляя (14) в систему уравнений (13) получаем симметричную систему уравнений, определенную в области О ограниченную границей Г, на которой еще должны быть заданы граничные условия:
in
J
Q
Q
Q
Q
Q
г
Q
г
ю 1 ю ю ю ю
(Ух N) - (- Ух А') + ст(j(йk А'+ У- ф') - N
ё¥ -
- {[Н х п ]- Ш8 = | ^ - М¥ г о
. ю ю ю
I (У-а) -ст- (1юкА' + У- ф')ё¥ +1 (J - п) -ас» = 0 . (15)
Система уравнений (15) показывает необходимость определить условие на границе расчетной области Г. Стоит отметить, что обнуление нормальной компоненты плотности тока на границе проводящей и непроводящей областей является естественным условием. Обнуление касательной компоненты напряженности магнитного поля, что соответствует условию ферромагнитного материала с бесконечной магнитной проницаемостью и нулевой проводимостью, не является естественным условием. Это искажает результаты распределения магнитного поля внутри области О. С одной стороны, наиболее распространенной рекомендацией для проведения расчетов является рекомендация отодвинуть границу Г с нулевой касательной компонентой напряженности магнитного поля от объектов основной задачи. Это позволяет исключить влияния граничного условия на результаты расчета. С другой стороны, расчетная модель силовых трансформаторов в большинстве случаев окружена баком, толщина которого превышает величину скин-слоя, т.е. электромагнитная волна затухает внутри бака. Таким образом, представление бака, как ферромагнитного проводящего полупространства, направленного от границы Г в обратном, относительно расчетной области О, направлении, является обоснованным.
Для решения задачи представления бака, как проводящего ферромагнитного полупространства, представим границу Г расчетной области О границей, отделяющей расчетную область О от ферромагнитного проводящего полупространства (бака) с магнитной проницаемостью бака ци проводимостью бака су Электромагнитное поле внутри ферромагнитного проводящего полупространства выразим через магнитную и электрическую напряженности: Ну и Еу. Примем^два допущения: напряженность электрического поля Е / и магнитного поля Н у внутри полупространства направлена по касательной к границе Г.
Первое допущение вытекает из условия нулевой компоненты плотности тока на границе Г, нормальной к границе со стороны ферромагнитного полупространства. Так как проводимость бака - величина постоянная по толщине бака, то при движении вглубь бака перпендикулярно границе Г плотность тока, а следовательно, и на-
ю
пряженность электрического поля Е у остается касательной границе Г.
Второе допущение вытекает из условия равенства нормальных компонент магнитной индукции на границе раздела двух сред с разными магнитными проницае-мостями. Т.к. магнитная проницаемость бака ц в сотни раз больше чем магнитная проницаемость воздуха (трансформаторного масла), то нормальная компонен-
ю
та магнитной напряженности Н у внутри бака в сотни раз меньше чем нормальная компонента магнитной напряженности воздуха (трансформаторного масла). Следовательно, влиянием данной компоненты на магнитное
поле внутри области О можно пренебречь.
Для простоты изложения предположим, что граница Г расположена в плоскости XY, проходящей через координату z=k. Тогда вектор нормали к Г:
п = 0 - Г + 0 - j +1- к = 1- к . Представим уравнения (1) и (2) в величинах электромагнитного поля ферромагнитного проводящего полупространства:
Ух Ну = -
дН
у дНу
1 + (—-дх
дН
ду
) - к =
дг дг
= ст у -Ех - Г + ст у -ЕУ-1 + 0 - к
ю ю дЕУ дЕХ дЕУ дЕХ „
Ух Ег =--у - Г + -1 + (-^----у) - к =
(16)
дг дг дх ду
- НХ - Г - /юц г - НУ
(17)
= -/юц у - Нх - Г - /юц у - Ну - / + 0 - к
Чтобы объединить уравнения (16) и (17) найдем ротор от правой и левой частей уравнения (17) и в результирующее уравнение добавим уравнение (16):
ю Ух
ю ю Ух Ег
д 2ЕХ д2 ЕУ д2 ЕХ д2 ЕУ _ - г--у -1 + (^—¡т -к =
дг
2
дг
2
дг -дх дг -¿У
(18)
= -/юц у ст у - Е^ - Г - /юц у ст у - Еу -1 + 0 - к .
Стоит отметить, что уравнения, соответствующие '
и 1 компонентам - независимые и могут быть решены как обыкновенные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнение, соответствующее
компоненте к , - не что иное, как равенство нулю частной производной по координате г от дивергенции электрической напряженности, что, при условии изотропных свойств электрической проводимости су соответствует уравнению Максвелла (4). Следовательно, общее решение уравнения (18) можно представить в виде [14]:
ЕХ = С1Х - ер(г-к) + Сх
- Р( г-к)
у - т^2
ЕУ = С1У - ер(г-к) + С2У - е-р(г-к)
I
о
о
ю ю
Исходя из того, что ферромагнитное проводящее полупространство начинается границей Г и простирается теоретически в бесконечность и при этом электромагнитное поле затухает до нуля, значения коэффициентов С^ и С1У принимаем равными нулю. Следовательно, производные от компонент напряженности в уравнении (19) по координате г:
дЕХ ( ,) _^ = _р. с^ • е~р(г-к) = ■ ~
= - р • Еу
дг дЕу
Г- = - р • СУ • е"р(г-к) =- р • Е}
дг
-р • с 2 • ^ = - р •
г ■
(20)
Подставляя (17) в (20) получаем:
НХ =
лан- г
Е} = (1 - Л)
• Е}
2юц у 1
НУ = • ЕХ = (Л -1) —Г— у Л'ЮЦу у ] 2юцу
• ЕХ
(21)
Так как касательные составляющие напряженности магнитного и электрического полей на границе раздела двух сред непрерывны, вставим (21) в поверхностный интеграл первого уравнения системы (15):
-_[Нхй[ШБ =-\\ну • Г-НХ • Л + 0^к]ШБ= г
М • Г
у •, -НХ • Л\ ШБ=
г
= (Л-1). = (Л-1).
I ЕХ •Г + Е} • Г ^у Г ^ +^
• ШБ=
(22)
V
у 2юцу
| [(п х Е^п} ШБ
где:
\(п х Е) х п]
п х Е) х й| = ЕХ •, + Еу • Л + 0 • к
для
п=0-г +0^ Л +1к=1к.
Таким образом, выразив напряженность электрического поля через потенциалы (8) и вставив (22) в систему уравнений (15), получим систему уравнений метода конечных элементов с поверхностной плотностью вихревого тока:
^ Г 1 ^ ^ ^ ^ Г
(Ух N) • (- Ух А') + а(]акА'+ V- ф') • N
п
+ (1 - Л)
¿V +
у I
2ацг Г
л
п х (Л а А' + У^ ф')
х п
• ШБ =
= |JS • NdV п
| (У^ а) • а • (Лак А'+ У^ ф'^ = 0
(23)
п
Решение системы уравнений (23) позволяет, с учетом двух выше оговоренных допущений, выразить влияние электромагнитного поля в ферромагнитном проводящем полупространстве на распределение электромагнитного поля внутри области решения О конечно-элементной задачи через поверхностный ток J б , А/м:
Js = а у | (ЕХГ •, + Е} • Л^г =
к
да
= а у | (С2Х • Г + С} • Л) • е" р(г-к ^г =
(С2 •, + с} • л ) = р 2
(1 - Л) (1 - Л)
(1 - Л)
а у
у Г Г
—(ЕдаХ •, + Еда} • Л) = 2юц у 1
(24)
—— [(и х Е) х п ] =
2юц у
2юц у
п х (ЛаА + У^ ф)
где: коэффициенты С2Х и С2У_соответствуют компонентам вектора напряженности Еу на координате г=к, т.е. на поверхности Г.
Таким образом, из выражения (24) видно, что повер-
хностный ток Б есть не что иное, как интеграл от плотности тока в ферромагнитном проводящем полупространстве по координате z т.е. по «глубине» ферромагнитного проводящего полупространства. Влияние, оказываемое поверхностным током J б на область решения
задачи О, соответствует влиянию всего вихревого тока в ферромагнитном проводящем полупространстве.
I
а
п
Используя аналогичный подход найдем поверхностную плотность потерь Р, Вт/м2:
Р.? = - Re
= - Re 2
у I (Ехг *ЕХГ + ЕУ -*ЕУ )ск к
у |С -*С| + С2-*С2У) - е"2р(2"к)С2
= Re
= Re
= Re
= Re
(С2 -*С2Х + С2 -*СУ )
(1 -1) ст /
4 12юц у
(1 -1) ст у
4 12юц у
(1 -1) ст Г
(Ету • Ету + Ету ■ Ету)
[(п х Е) х п ]2
(25)
2юц у
п х (1юА + У- ф)
Для получения потерь от полей рассеяния в элементе конструкции, функцию Рх необходимо проинтегрировать по поверхности элемента конструкции:
р = | рс
(26)
Стоит отметить, что данный метод можно распространить не только на расчет трансформаторного бака, но и на расчет элементов конструкции трансформатора, выполненных из конструкционной стали и с линейными размерами, превышающими глубину проникновения. Использование граничных условий импедансного типа
дает наименьшую погрешность, если глубина проникновения в металл много меньше радиуса закругления металлических конструкций [7]. Учитывая, что объем металла частей конструкции трансформатора с малыми радиусами закругления составляет доли процента, то погрешность расчета потерь будет незначительна. В качестве примера представим поверхность ярмовой балки трансформатора сложной формы (рис. 1) в виде проводящего ферромагнитного полупространства. Данное допущение основываем на том факте, что линейные размеры ярмовой балки в десятки раз превышают величину скин-слоя конструкционной стали и, как и в случае трансформаторного бака, электромагнитная волна затухает в нормальном, к поверхности балки, направлении при движении вглубь. Исходя из равенства нулю нормальной, к поверхности, составляющей вихревого тока и разницы нормальных составляющих магнитной напряженности на границе трансформаторного масла и конструкционной стали в сотни раз, примем те же допущения равенства нулю нормальных составляющих напря-женностей магнитного и электрического полей в ферромагнитном полупространстве, которые были приняты для расчета бака. Исключим область внутри балки из области решения задачи О.
В случае исключения внутренней области балки из области решения задачи О, исходя из формул Грина (14), поверхность ярмовой балки также становится частью границы Г, окружающей область решения задачи О. Следовательно, поверхностный интеграл в первом уравнении системы уравнений (15) включает и поверхность ярмовой балки. Применив выше оговоренные допущения к уравнениям (1-2, 8, 15) получим уравнения (16-24) для поверхности ярмовой балки.
На рис. 2 приведено распределение вихревых токов в ферромагнитном проводящем полупространстве, посчитанное на поверхности ярмовой балки.
да
2
СТ
2
ю
п
4
Рисунок 1 - Модель ярмовой балки трехфазного трансформатора в программе ELMAG-3D, выполненной из
конструкционной стали
Основываясь на вышеописанной модификации метода расчета, был разработан программный комплекс ELMAG-3D для расчета потерь и перегревов от полей рассеяния силовых трансформаторов и реакторов [18]. Для оценки быстродействия и точности предложенного метода были рассчитаны вихревые токи и потери в элементах конструкции однофазного автотрансформатора
167МВА 345кВ 161кВ с алюминиевым экраном, установленным на бак.
Модель трансформатора ограничена поверхностью Г, совпадающей с внутренней поверхностью бака, а также с заданной проводимостью и магнитной проницаемостью бака. Также для данного автотрансформатора те же величины были рассчитаны в программном комп-
Рисунок 2 - Распределение поверхностного вихревого тока на поверхности модели ярмовой балки трехфазного
трансформатора в программе ELMAG-3D
Рисунок 3 - Распределение поверхностного вихревого тока на поверхности бака модели однофазного автотрансформатора
167МВА 345кВ 161кВ в программе ELMAG-3D
лексе ANSYS [6], расчетная модель которого также включает бак и экран, заданные как solid объемы и разбитые на мелкие элементы конечно-элементной сетки для получения результата расчета заданной точности (проблема скин-эффекта). Во избежание влияния граничного условия на расчетную область поверхность, ограничивающая модель, отодвинута на достаточное расстояние (несколько метров).
Результаты рассчитанного в программе ELMAG-3D поверхностного вихревого тока в модели на поверхности бака приведены на рис. 3. Результаты рассчитанного в программе ANSYS вихревого тока в модели с баком, представленным как solid объем, приведены на рис. 4.
ВЫВОДЫ
Предложенная математическая модель, основанная на методе конечных элементов, позволяет более эффективно рассчитывать вихревые токи и потери, вызванные полями рассеяния, в баке силовых трансформаторов и реакторов и элементах их конструкций. Новизной предложенной математической модели является применение известных граничных условий импедансного типа к задаче расчета потерь и перегревов, что дает исключение использования подробной конечно-элементной сетки, обусловленной проблемой скин-эффекта. Более того, данное предложение позволяет при моделировании представлять трансформаторный или реакторный бак, как поверхность ферромагнитного проводящего полу-
пространства. Данный подход дает существенное уменьшение результирующей системы уравнений (в десятки раз), что приводит к значительному сокращению времени расчета и компьютерных ресурсов без потери в точности. Приведенные результаты расчета показывают практическое совпадение результатов расчета вихревых токов, полученных с использованием вышеописанного метода и проверенного классического метода конечных элементов в программе ANSYS на примере расчета бака трансформатора 167МВА 345кВ 161кВ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванков В. Ф. Электротепловые расчетные модели элементов конструкции трансформаторного оборудования / Иванков В. Ф., Басова А. В., Шульга Н. В.// Електротехшка та електроенергетика. - 2014 .- №№ 2.-С. 41-53.
2. Kurt P. Thermal-Electromagnetic Coupling in the Finite-Element Simulation of Power Transformers. / Preis Kurt // IEEE Trans. on Magn.- 2006. - vol. 42, No. 4.-Р. 999-1002.
3. Guйrin C. 3D Eddy Current Losses Calculation in Transformer Tanks Using the Finite Element Method / Christophe Gurnin, Gerard Tanneau, Gerard Meunier // IEEE Trans. on Magn.- 1993.- vol. 29, No. 2.-Р. 1419-1422.
4. Ostrenko M. V Power transformers and reactors stray losses and temperatures calculation using coupled IEM
Рисунок 4 - Распределение вихревого тока внутри объема бака модели однофазного автотрансформатора 167МВА 345кВ
161кВ в программе ANSYS
and FEM technique / Maxym V Ostrenko, Olexandr L. Tarchutkin, Bogdan Y. Andriienko // Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering (SIBIRCON).- 2010. - IEEE Region 8 International Conference, p. 717-721.
5. Яримбаш Д. С. Особливосп визначення napaMeTpiB короткого замикання силових трaнсформaторiв засовами польового моделювання. / Д. С. Яримбаш, С. Т. Яримбаш, Т. £. Ддвчук, I. М. Килимник // Елек-тротехнiкa та електроенергетика. - 2016. - № 1. -С. 12-17.
6. ANSYS software. - [Электронный ресурс] . - режим доступа: http://www.ansys.com
7. Григорьев А. Д. Методы вычислительной электродинамики / А. Д. Григорьев.- М.: Физматлит, 2012. -432 с.
8. Ostrenko M. V. Power Transformers and Reactors Structure Losses and Temperatures Calculation Using Surface Impedance Boundary Conditions / Maxym Ostrenko, Bogdan Andriienko, Sergei Tikhovod and Denys Prychynenko // 1-st IEEE Conference Advances in Magnetics AIM. - 2016. - Р.14-16.
9. Susnjic L. 3D finite-element determination of stray losses in power transformer / L. Susnjic, Z. Haznadar and Z. Valkovic // Electric Power System Research 78.2008.- Р.1814-1818.
10. Wagner B. Error Evaluation of Surface Impedance Boundary Conditions With Magnetic Vector Potential Formulation on a Cylindrical Test Problem / Bernhard Wagner, Werner Renhart and Christian Magele // IEEE Trans. on Magn.- 2008.- vol. 44, No. 6.- Р. 734-737.
11. Aymard N. An Improved Modified Surface Impedance for Transverse Electric Problems / N. Aymard,
M. Feliachi // IEEE Trans. on Magn.- 1997. vol. 33, No. 2.- Р. 1267-1270.
12. Ida N. High Order Surface Impedance Boundary Conditions with the A- Formulation / Nathan Ida, Yvonnic Lemenach and Thomas Henneron // FACTA UNIVERSITATIS, Ser.: Elec. Energ. - 2011.- vol. 24 no. 2 .- Р. 147-155.
13. Бердник С. Л. Использование концепции поверхностного импеданса в задачах электродинамики (75 лет спустя) / С. Л. Бердник // Радиофизика и астрономия .- 2014.- Т.19, №>1.- С. 57-80.
14. Бессонов Л. А Теоретические основы электротехники: Электромагнитное поле, Учебник для студентов вузов. - 7-е изд., перераб. и доп. / Л. А. Бессонов .- М.: Высш. школа.- 1978. - 231с.
15. Kuczmann M. Nodal and Edge Finite Element Analysis of Eddy Current Field Problems / Miklos Kuczmann // PRZEGLAD ELEKTROTECHNICZNY.- 2008 .Р. 194-197.
16. Zienkiewicz O. C. The finite element method. Fifth edition. / Zienkiewicz O. C, Taylor R. L. // Volume 1: The Basis. «Butterworth-Heinemann». - Oxford. - 2000 .
17. Левин В. И. Методы математической физики. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов / В. И. Левин. - М. : Высш. школа. - 1956. - 243 с.
18. Андаенко Б. Ю. Комп'ютерна програма «Програ-ма розрахунку тривимiрного магнгтного поля, вих-рових струмiв, втрат та температур у силових трансформаторах та реакторах ELMAG-3D» СВ1ДОЦТВО про реестрацш авторського права на твiр .№ 41639 / Б. Ю Андаенко, О. Л. Тарчутшн, М. В. Остренко. -Державна служба штелектуально! власносп Укра!-ни, - 2012.
Остренко М. В1, Тиховод С. М.2
^странт SoftTeam Group, Зап^зький Нацюнальний Техтчний Утверситет, Укра!на 2 Д-р техн. наук, доцент, Зап^зький Нацюнальний Техщчний Утверситет, Укра!на РОЗРАХУНОК ВТРАТ В ЕЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦП СИЛОВИХ ТРАНСФОРМАТОР1В I РЕАКТОР1В МЕТОДОМ К1НЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТ1В З ГРАНИЧНИМИ УМОВАМИ 1МПЕДАНСНОГО ТИПУ
Мета роботи. Дана стаття пропонуе обгрунтовану математичну модель, засновану на застосуванн методу стнченних елементiв, яке дозволяе быьш ефективно моделювати вихровi струми i втрати, викликан полями розсювання, у баку силових трансформаторiв iреакторiв та елементах ix конструкцш.
Методи дослгджень. Грунтуючись на припущеннях рiвностi нулю нормальних складових напруженостей магнтного i електричного полiву феромагнтному пiвпросторi дана математична модель вводить поверхне-ву щыьшсть вихрового струму врiвняння МКЕ.
Основтрезультаты. Зроблено висновок, що запропонована математична модель дозволяе быьш ефективно розраховувати виxровi струми i втрати у баку силових трансформаторiв i реакторiв та елементах 1х конструкцш. При цьому досягаеться ктотне зменшення результуючо1 системи рiвнянь (в десятки разiв), що приводить до значного скорочення часу розрахунку i комп 'ютерних ресурЫв без втрати точностi.
Наукова новизна. Новизною запропоновано1 математичноi моделi е форма, зручна для програмно1 реалi-зацп вiдомиx граничних умов iмпедансного типу, що описують розподы електромагнтного поля в баку i елементах конструкци, причому ц елементи подаються як феромагнтний електропровiдний пiвпростiр.
Практична значимкть. Прикладирозрахунку однофазного автотрансформатора 167МВА 345кВ 161кВ в програмному комплекЫ ELMAG-3D, створеному на основi описаного методу i в програмному комплекЫ ANSYS, з використанням класичного тдходу solid моделювання трансформатора показують застосовтсть i необх^дну точтсть описаного методу в контекстi завдань розрахунку втрат в баку i елементах конструкци силових трансформаторiв i реакторiв.
Ключовi слова: метод ктцевих елементiв, поверхнева щыьшсть вихрового струму.
Ostrenko M. V.1, Tykhovod S. M.2
'Postgraduate student, SoftTeam Group, Zaporozhye National Technical University, Ukraine
2Doctor of science, Assoc. Prof. Zaporozhye National Technical University, Ukraine
CALCULATION OF LOSSES IN ELEMENTS OF CONSTRUCTION OF POWER TRANSFORMERS AND REACTORS BY FINITE ELEMENT METHOD WITH SURFACE IMPEDANCE BOUNDARY CONDITIONS
The purpose of the work. This paper offers the wellfounded mathematical model based on the applying of the finite element method, which allows more effective modeling of the eddy currents and losses in the tank of power transformers, reactors and elements of their constructions, caused by the dispersion fields.
Research methods. Based on assumptions ofequality to the zero ofnormal components of the magnetic and electric fields' intensities in ferromagnetic half-space, this mathematical model enters the surface eddy current density in FEM equations.
The obtained results. Conclusion that the offered mathematical model allows to calculate eddy currents and losses in the power transformers tank, reactors and elements of their constructions more effectively is done. Reduction in tens of times of the resulting system of equations is also arrived, that results to considerable decreasing ofcalculation time and computer resources without accuracy losses.
Scientific novelty. The novelty of the offered mathematical model is the form that is comfortable for programmatic realization of the known surface impedance boundary condition describing the electromagneticfield distribution in a tank and construction elements and in addition these elements are represented as ferromagnetic conducting half-space.
Practical importance. Examples of single-phase autotransformer 167MVA 345kV 161kV calculation in a program complex ELMAG - 3d software, created on the basis of the described method and in the program complex ANSYS software with the use ofclassic approach ofsolid modeling oftransformer, demonstrate applicability and required accuracy of the described method in the context of problems of losses calculation in the tank and construction elements of power transformers.
Keywords: finite element method, surface current density.
REFERENCES
1. Ivankov V F., Basova A. V, Shulga N. V, Elektroteplovye raschetnye modeli elementov konstruktsii transformatornogo oborudovaniya, Elektrotekhnka ta elektroenergetika, 2014, No. 2, pp. 41-53.
2. Kurt P., Thermal-Electromagnetic Coupling in the Finite-Element Simulation of Power Trans-formers, IEEE Trans. onMagn, 2006, Vol. 42, No. 4, pp. 999-1002.
3. GuMn C., Tanneau G, MeunierG., 3D Eddy Current Losses Calculation in Transformer Tanks Using the Finite Ele-ment Method, IEEE Trans. on Magn., 1993, Vol. 29, No. 2, pp. 1419-1422.
4. Ostrenko M. V, Tarchutkin O. L., Andriienko B. Y., Power transformers and reactors stray losses and temperatures calculation using coupled IEM and FEM technique, Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering (SIBIRCON), 2010, IEEE Region 8 International Conference, pp. 717-721.
5. Yarimbash D. S., Yarimbash S. T., Divchuk T. E., Kilimnik I. M., Osoblivost viznachennya parametrv korotkogo zamikannya silovikh transfor-matorv zasovami polovogo modelyuvannya, Elektrotekhnka ta elektroenergetika, 2016, No 1, pp. 12-17.
6. ANSYS software [elektronnyj resurs]. rezhim dostupa: http://www.ansys.com
7. Grigorev A. D. Metody vychislitelnoj elektrodinamiki. Moscow, Fizmatlit, 2012, 432 p.
8. Ostrenko M. V., Andriienko B, Tikhovod S., Prychynenko D., Power Transformers and Reactors Structure Losses and Temperatures Calculation Using Surface Impedance Boundary Conditions, 1-st IEEE Conference Advances in Magnetics AIM, 2016, pp.14-16.
9. Susnjic L., Haznadar Z., Valkovic Z., 3D finite-element determination of stray losses in power transformer,
Electric Power System Research 78, 2008, pp. 1814-1818.
10. Wagner B., Renhart W., Magele Ch., Error Evaluation of Surface Impedance Boundary Conditions With Magnetic Vector Potential Formulation on a Cylindrical Test Problem, IEEE Trans. on Magn., 2008, Vol. 44, No. 6, pp. 734-737.
11. Aymard N., Feliachi M., An Improved Modified Surface Impedance for Transverse Electric Problems, IEEE Trans. on Magn., 1997, Vol. 33, No. 2, pp. 1267-1270.
12. Ida N., Lemenach Y., Henneron T., High Order Surface Impedance Boundary Conditions with the A- ^ Formulation, FACTA UNIVERSITATIS, 2011, Vol. 24, No. 2, pp. 147-155.
13. Berdnik S. L., Ispolzovanie kontseptsii poverkhnostnogo impedansa v zadachakh elektrodinamiki (75 let spustya), Radiofizika i astronomiya, 2014, Vol.19, No. 1, pp. 57-80.
14. Bessonov L. A., Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki: elektromagnitnoe pole, uchebnik dlya studentov vuzov. 7-e izd., pererab. i dop., Moscow, Vyssh. shkola, 1978, 231 s.
15. Kuczmann M., Nodal and Edge Finite Element Analysis of Eddy Current Field Problems, Przeglad elektrotechniczny, 2008, pp. 194-197.
16. Zienkiewicz O. C., T aylor R. L. The finite element method. Fifth edition, Vol. 1, The Basis. ButterworthHeinemann, Oxford, 2000.
17. Levin V. I. Metody matematicheskoj fiziki. Uchebnoe posobie dlya fiziko-matematicheskikh fakultetov pedagogicheskikh institutov. Moscow, Vvyssh. shkola, 1956, 243 s.
18. Andrnko B. U., Tarchutkn O. L., Ostrenko M. V. Komp'yuterna programa «Programa rozrakhunku trivimrnogo magntnogo polya, vikhrovikh strumv, vtrat ta temperatur u silovikh transformatorakh ta reaktorakh elmag-3d» Svdotstvo pro restratsyu avtorskogo prava na tvr 41639, Derzhavna sluzhba ntelektualno vlasnost ukrani, 2012.
