Расчет поля статора электростатического генератора Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени-С. М. КИРОВА

1969

Том 191

РАСЧЕТ ПОЛЯ СТАТОРА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА

И. П. ГУК, В. А. ЛУКУТИН.

(Представлена научным семинаром кафедры теоретических основ

электротехники)

Мощность электростатического генератора (ЭСГ) определяется энергией электрического поля в рабочем объеме машины, поэтому расчет этого поля представляется весьма желательным. В общем случае эта задача довольно сложная, если учитывать все конструктивные элементы генератора и условия его работы.

На рис. 1 представлен схематичный разрез цилиндрического генератора с проводящими транспортерами. Здесь статор изображен двумя концентрическими поверхностями радиусов Т\ и г4 и двумя парами индукторов. Между поверхностями статора помещен диэлектрический ротор с размещенными внутри него металлическими стержнями-тран спортерами.

Мы будем рассматривать электрическое поле в области между поверхностями статора, причем это поле создается заряженными транспортерами и индукторами. Для облегчения задачи целесообразно, пользуясь принципом наложения, порознь рассчитывать поля, созда ваемые статором и ротором. В данной работе предполагается вариант определения потенциальной функции поля статора.

Будем пренебрегать краевым эффектом у торцов машины, при этом поле будет двухмерным. По ряду причин, о которых мы здесь го ворить не будем, сечение транспортеров выбирают весьма малым, потому металлические включения в диэлектрике ротора искажают поле лишь в непосредственной близости от себя. Во всяком случае они не влияют на характер поля в газовом промежутке, поэтому ниже мы будем полагать диэлектрик ротора однородным и не будем обращать внимания на проводящие транспортеры.

С учетом сделанных допущений задача будет сводиться к отысканию потенциальной функции в плоской кольцевой области с трехслойным диэлектриком. Потенциал высоковольтного индуктора известен (ин) и распределение его по поверхности статора полагаем заданным

Ф(гь б) —ер (г4; 6) =11 (8). (1)

Если в диэлектрике нет свободных зарядов, то в кольцевой области потенциальная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Д<р=0 (2)

и«

Рис. 1. Принципиальная схема ЭСГ цилиндрического типа с проводящими транспортерами:

1 — индуктор возбуждения,

2 — высоковольтный индуктор,

3 — полупроводящий слой статора,

4 — транспортеры-проводники,

5 — тело ротора с е = ед,

6 — рабочая среда с е = ес.

и расчет поля статора ЭСГ сводится к решению внутренней задачи Дирихле.

Известно, что потенциал ср^ в области, заполненной средой с диэлектрической проницаемостью 8ь также удовлетворяет уравнению Лапласа

Аф^-О, (3)

где ¡ = 1, 2, 3 — номер кольцевой области.

Применяем метод разделения переменных к решению уравнения (3). и для цилиндрической системы координат можно записать формулу для потенциала в виде ряда

к=1

Теперь остается только определить коэффициенты а0(1), ак<'> и Ьк(1), и задача будет полностью решена.

Коэффициенты у синусной составляющей Ьк(]) равны нулю, так как распределение потенциала симметрично относительно диаметра, проходящего через середины индукторов (6 = 0).

Косинусные коэффициенты а0(1) и ак(1) определим, пользуясь граничными условиями на границе раздела сред (непрерывность потенциала и нормальной составляющей вектора диэлектрического смеще-

ния на границе двух сред г = г2, г = г3) и учитывая распределение потенциала на крайних окружностях.

Подставляя значения коэффициентов а0(1), ак(1) и Ьк(1), определен ных по вышеуказанным условиям, в ряд (4) и вводя обозначения

£пр= (ед + ес) —'(ед-ес) Я2к,

еПр*=-(ед + ес) - (ед —ес)

где

Г1 гз

получаем выражение для вычисления потенциальной функции, описывающей поле статора ЗСГ.

я первого слоя (п^г^гг, е = ес)

ф(г; 0) = ^ + > ; [Ак<4( гк - г,2К) + г,к] ^-соз кв, (5)

г, \2к

к= 1

где

А <*)

г5к-4гдзс - г1к[(£д + 2с)еПр''" + (£д £с)£пр 1

г Кг. 2 _ г '¿К* :

•4 Т1р 1 1

Для второго слоя (г2^г^г3, е = ед)

00

?(г; = + Лк(2)(г2К - ГД/)С08 ко (3)

где

2ь_с

пр I Ч ^пр Для третьего слоя '(г3^г^г4, е = ес)

д (2) _ ___

К Г4кр -к г кР

Г ПР ^ Г1 £1

со

2" + [АК<3)(Г2К ~ Г42К) + ^

<р(г: 0) = Ц- + >', [Ак(3)(г2к - г42к) + г4к] ^соз кО, (7)

к= 1 где

2к

г,к

Ак(3)

(*д + гс)епр + (£д - £С>пр*

д-с

м ьпр ч ^пр

Входящие в выражения (5), (6), (7) постоянные а0 и ак получаем из разложения граничной функции и (0) в ряд Фурье:

и,«, - ^ + 2

к = 1

КсоэкО д- р^т кб). (8)

Граничная функция Щ8) в общем случае может иметь самый произвольный вид и зависит она от многих факторов.

В электростатических генераторах с транспортерами-проводниками стремятся принудительно задать линейное распределение потенциала по статору с целью выравнивания электростатического поля. В этом случае функция и (0) будет выглядеть, как изображено на рис. 2.

Рис. 2.

Здесь кривая а соответствует кондукционной схеме возбуждения, а кривая в—индукционной схеме.

Разложение в ряд Фурье таких функций дает следующие значения для коэффициентов при кондукционной схеме возбуждения (рис.2, кривая а):

ссо = ин,

а —.........Ц тг

ак - __ 260)к- н'

4созкб где к — 1, 3, 5 ■ ■ ■ ,

Рк=0;

при индукционной схеме возбуждения (рис. 2, кривая б)

ао = ин—ив,

4 созк60

- 260)к2

*(ин -г ив),

Подставляя теперь значения этих коэффициентов в (5), (6), (7), получим окончательные формулы для потенциальной функции, описывающей поле статора цилиндрического ЭСГ.

В заключение следует отметить, что ряды, входящие в выражения потенциалов, очень быстро сходятся и в инженерных расчетах можно ограничиться первым и удвоенным вторым членами ряда.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. И. Левитов, А. Г. Ляпин. Электростатические генераторы с жестким ротором, ч. 1, М., 1963.

2. Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М., 1948.