Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений невязкого газа методом сквозного счета второго порядка точности Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986

М 2

УДК 517:518:519:533.6

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕВЯЗКОГО ГАЗА МЕТОДОМ СКВОЗНОГО СЧЕТА ВТОРОГО ПОРЯДКА

ТОЧНОСТИ

А. Н. Ганжело

В работе для плоских и осесимметричных сверхзвуковых стационарных течений идеального газа описан аналог явной монотонной разностной схемы второго порядка аппроксимации [1]. Использование этой схемы позволяет значительно повысить точность расчетов сверхзвуковых течений по сравнению со сверхзвуковым аналогом схемы Годунова (СГ) (2—4]. При этом время решения с заданной точностью задачи на ЭВМ уменьшается на порядок.

1. В качестве исходных возьмем уравнения стационарного плоского

или осесимметричного течения идеального газа в форме:

дЬ

да .

дх ду

А

(О

а-

ри рг>

Р + Р«2 и

р иго , о — Р + ?Ъ2

ри (2г + д2) ,рг> (2г+ ?2)

/= —

V

иу

и2

V (2г + Я2)

Здесь р — плотность, р — давление, I — удельная энтальпия, и и V — продольная и поперечная компоненты вектора скорости, х и у — координаты декартовой или цилиндрической систем координат (в осесимметричном случае ось х совпадает с осью симметрии), у = 0 и 1 соответственно для плоского и осесимметричного случаев.

Далее все переменные предполагаются безразмерными с масштабами а*, р*, р*а2и/# для скорости, плотности, давления и длин. Выбор указанных масштабов уточняется конкретно в каждой задаче. Система (1) замыкается уравнением состояния 1=1 (р, р), которое для совершенного газа с показателем адиабаты к имеет вид: 1 = хр/[(и—1) р].

При сверхзвуковой скорости потока <72=м2+а2>а2, где а — скорость звука, система (1), кроме линий тока, на которых

— = й?/0 = 0, (2)

имеет два семейства действительных характеристик (характеристики первого и второго семейств). Уравнения, определяющие их направления, и выполняющиеся вдоль них «условия совместности» имеют вид:

dy

г: М2 ± (1 + гз) Y № — 1

dx

М2 — 1 — £2

\ (3)

В (2) и (3) £ = г»/«, s — удельная энтропия, i0=i+q2/2 — полная энтальпия, М = q\a — число Маха. Верхние (нижние) знаки в уравнениях (3) отвечают характеристикам первого (второго) семейства. Второе равенство из (2) справедливо и для любой функции энтропии («энтропийной функции»), В частности, для совершенного газа под s будем понимать р/р*.

Ограничиваясь далее «х-сверхзвуковыми» потоками, как и в [2], разобъем область течения прямыми ж = const на полосы. Каждый из отрезков прямой x = const, заключенный между границами потока, разделим на N частей, которые пронумеруем снизу вверх. Концы отрезков, лежащих на соседних прямых х = const и имеющих одинаковые номера, соединим отрезками прямых. В результате вся расчетная область оказывается разбитой на элементарные трапеции. Для обеспечения аппроксимации системы (1) со вторым порядком разность длин (Ну) соседних

Первый и основной этап в описываемой разностной схеме, именуемой далее вслед за [1] С2, как и в СГ, заключается в вычислении промежуточных «больших» величин при x = x0+hx/2, где hx — расстояние между соседними слоями х = const. Для этого этапа используются характеристические уравнения (2) и (3). Записывая эту систему в конеч-но-разностном виде вдоль соответствующих характеристик, приходящих на середину боковой грани с предыдущего слоя, получаем соотношения для вычисления «больших» величин. Получение «больших» величин поясняет рис. 1. На нем цифрами 1, 2 к 3 помечены характеристики первого и второго семейства и линия тока. Записав в конечных разностях вдоль отрезков характеристик и линии тока, приходящих в точку В, условия совместимости из (3) и условия сохранения s и io из

(2), придем к равенствам:

В соотношениях (4) р, £, «, 10 с индексами 1, 2 и 3 — параметры в точках Ль Л2 и А3, без индексов — в точке В; через и лг- обозначены коэффициенты из (3), порядок вычисления которых описан ниже. Точки Л2 и Л3 пересечения характеристик и линии тока, приходящих в точку В, со слоем х = хй определяются после замены характеристик отрезками прямых с коэффициентами, найденными в согласии с (2) и

(3), как полусумма их значений в точках /—1/2 и /Ч-1/2. Так же, в первом приближении, вычисляются и входящие в уравнения (4) коэффициенты Шг и щ. В следующем приближении эти коэффициенты получаются как полусумма величин, вычисленных в точке / — 1/2 или /-Н1/2, и величин в точке В, найденных по предыдущему приближению. Что касается параметров р, 5 и г0 в точках 1, 2 и 3 то они, как

отрезков прямой х = const не должна превышать О (hi).

и в [1], вычисляются с помощью интер- или экстраполяции по точкам слоя х = х0 с использованием принципа минимальных значений производной [5]. Значения и, V, р в точке В, которые вместе с р из (4) играют роль «больших» величин и, р, Р, Р, находятся по £, р, я, г0 в согласии с определением последних. Найденные «большие» величины используются затем на втором шаге С2 так же, как в стационарном аналоге СГ.

Если Р превышает |/2 или (и) /?,•+

на заданную величину, т. е. вниз или (и) вверх от продольной границы ячейки распространяется достаточно интенсивная ударная волна, то «большие» величины уточняются с использованием соотношений на косом скачке.

Как показал опыт расчетов, данное уточнение оказывается существенным только при наличии в потоке скачков большой интенсивности.

ЕсЛИЯ</7/-1/2ИЛИ (и) Р < />/+1/2. то при вычислении больших величин из (4), как правило, достаточно двух итераций (по коэффициентам Шг и Пг).

Для плоского течения линеаризованные соотношения на косом скачке уплотнения совпадают с линеаризованными соотношениями вдоль характеристики, пересекающей скачок.

Поэтому вместо соотношений (4) можно применять соотношения на косом скачке уплотнения. При этом параметры до скачка необходимо выбирать так, чтобы энтропийная функция и полная энтальпия перед скачком были равны в3 и /оз. При бесскачковом течении использование соотношений на скачках не понижает порядок аппроксимации. Если же гладкость решения нарушается, то понижается и порядок аппроксимации. Для осесимметричного течения использование вместо первого или второго равенства из (4) соотношения на косом скачке уплотнения снижает порядок аппроксимации, так как при этом не учитывается правая часть соответствующего уравнения из (4). Поэтому для осесимметричного течения большие величины находятся из характеристических соотношений (4) всегда за исключением случаев больших перепадов давления в соседних ячейках, что свидетельствует о наличии в потоке скачка уплотнения. В подобных ситуациях соответствующее равенство из (4) заменяется соотношением на косом скачке.

Как уже отмечалось, второй шаг разностной схемы С2 выполняется так же, как и в СГ. При этом правые части интегрального уравнения, соответствующие / из (1), аппроксимируются по верхнему и нижнему слою, как в [2], или с помощью полусуммы «больших» величин для середин боковых граней данной ячейки. В случае сильных волн разрежения предпочтительно, как и в [2], воспользоваться вместо переменной р новой переменной р, связанной с р соотношением

р=р(/-

В том случае когда боковая грань ячейки лежит на границе области течения, для получения «больших» величин используются граничное условие, одно из уравнений (4) и условие постоянства энтропийной

функции и полной энтальпии вдоль линии тока. Значение энтропийной функции получается экстраполяцией этой величины на границу по двум прилегающим к границе ячейкам. Расчеты проводились с двумя видами граничных условий: твердая граница с заданной величиной £ и затопленная струя с заданной величиной внешнего давления р. Первое приближение для «больших» величин на границе получается, как и для точки в поле течения. В зависимости от величины р на границе для уточнения «больших» величин находится или второе приближение для одного из уравнений (4), или используются соотношения на косом скачке.

Анализ такой реализации граничных условий показал, что при использовании граничных «больших» величин нарушается порядок аппроксимации в приграничных ячейках. Для того чтобы не нарушать порядок аппроксимации, необходимо доопределять параметры слоя на два узла за границу области течения с учетом граничных условий. Так, в случае оси симметрии параметры доопределяются с учетом условий симметрии. В случае границы струи или твердой границы параметры доопределялись с помощью экстраполяции или с помощью соотношений вдоль характеристик. Можно комбинировать эти два подхода. Результаты расчетов показали, что условия симметрии значительно улучшают результаты вблизи оси, тогда как доопределение за твердую границу дает улучшение только для непрерывного течения в сопле. В примерах течения в сопле с контактным разрывом энтропийная ошибка в приграничных ячейках при этом заметно не уменьшается.

Анализ С2 для модельного уравнения показал, что условие устойчивости для этой схемы сводится к требованию, чтобы число Куранта не превышало единицы [1]. При численной реализации это условие использовалось в том же виде, как и в работе [2].

2. Описанная выше схема сквозного счета второго порядка точности была реализована в виде программы на языке ФОРТРАН. Расчеты проводились на ЭВМ БЭСМ-6 с равномерной по у сеткой. Результаты расчетов, соответствующих обтеканию клина сверхзвуковым потоком совершенного газа, показали, что С2 меньше размазывает скачки уплотнения по сравнению с СГ. Как и в [1], отличие растет с уменьшением интенсивности скачка.

Еще более полно преимущества С2 демонстрируют рис. 2 и 3, на которых приведены результаты расчета сверхзвуковых течений в расширяющемся осесимметричном канале с контуром, образованным плавно сопрягающимися дугой окружности радиуса Я0=2 с центром на оси у цилиндрических координат и прямой '(1у/йх = 0,5. Здесь в качестве линейного масштаба взят радиус канала в сечении х = 0, а в качестве а* и р{ — критические скорости либо (рис. 2) в набегающем равномерном потоке, либо (рис. 3) —в приосевой области.

Рис. 2 отвечает равномерному при х = 0 потоку с и=1,5. В сечении х = 6 с явно выраженными немонотонностями параметров построены кривые распределения по у давления р. Результаты получены методами С2 и СГ при разном числе ячеек М, в сечениях х = сопз1:. Сплошная кривая — результат С2 для = 100, в масштабе рис. 2 не отличающийся от точного. Штрихами и кружочками даны распределения, рассчитанные по СГ (N=100) и по С2 (N=25). При практически одинаковой точности время счета по СГ при N=100 в 12 раз превосходит время С2 при N = 25.

На рис. 3 сопоставляются СГ и С2 при расчете потока с тангенциальным разрывом и интенсивной волной разрежения. При х = 0 параллельный оси д: поток разрывен: для у<0,5 он тот же, что в преды-

дущем примере, а для 0,5 при тех же безразмерных и и р плотность в 10 раз больше. Из-за этого пристеночный слой, имея большую сверхзвуковую скорость (М = 5,48), обтекает стенку с образованием интенсивной волны разрежения. На рис. 3 приведены распределения р/?х по у°=у/ут, где Ун, — ордината стенки (точные значения р)рх в пристеночном слое и у оси 0,028 и 0,714). Цифры 1 и 2 отвечают сечениям х=2,05 и 6; сплошные (штриховые) кривые — результаты, полученные по С2 при N=100 (30), а штрих-пунктирные (пунктирные) —по СГ при тех же N. Левая часть рис. 3 дает значения р/рх у оси и в зоне размазанного тангенциального разрыва. О степени размазывания можно судить по размеру ячейки Ау°= 1/Ы.

Из рис. 3 видно, что С2 размазывает контактный разрыв значительно меньше, чем СГ. Правая часть рис. 3 (ось справа) дает распределение р/рх у стенки. Для реализующейся в данном примере интенсивной волны разрежения СГ в отличие от С2 не дает приемлемой точности даже при N=100. При N=100 СГ дает погрешность на стенке

61%, тогда как при том же количестве точек погрешность С2, и то только возле самой стенки, достигает 0,7%.

Автор выражает признательность А. Н. Крайко и В. И. Копченову за полезные обсуждения вопросов, связанных с данной работой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Копченое В. И., Крайко А. Н. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, № 4.

2. Иванов М. Я-, Крайко А. Н., Михайлов Н. В. Метод

сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. I. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, № 2.

3. Иванов М. Я-, Крайко А. Н. Метод сквозного счета для

двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. II.—Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, № 3.

4. Годунов С. К., 3 а б р о д и н А. В., И в а н о в М. Я., К р а й-

к о А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач

газовой динамики. — М.: Наука, 1976.

5. К о л г а н В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. III,

№ 6.

Рукопись поступила 16/1У 1985 г■