Расчет параметров низкотемпературной плазмы высокочастотного индукционного разряда Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

УДК 533.9:537.52

Р. Н. Гайнуллин, А. П. Кирпичников

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ

ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ИНДУКЦИОННОГО РАЗРЯДА

Предложен комплексный метод решения задачи восстановления полной картины распределения электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда (включая значение электропроводности плазмообразующего газа) по измеренным значениям амплитуды продольной составляющей магнитного поля в разряде.

Введение

Систему уравнений Максвелла в случае цилиндрически симметричного квазиста-ционарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины для основных компонент поля, можно представить в виде:

—ф = -—Нг б1п(фн -фЕ );

& с г у г Еф/

дфЕф — Нг

с Еф

ЭН2 1 д

СОБ

(фн, -ФЕф);

= -7^(,нг)сОБ(фН -фнг )-

дг г дг

дфн / \

нг-^;Г Э|П (фн, -фнг ); (1)

д, 2 г

дфн,

- д (гНг )Б|П (фн, -фн. )'

дг нг

и дфнг ( \

- н^“д^СОБ( -фнг )

днг дн, / \ . дфн

2СОБ

(фн, -фнг )-нг дГ^Б|П (фн, -фнг ) +

дг дг Е г дг

+ 4т^Еф СОБ (фнг -фЕф);

С

1

дфнг =

д, нг

Б|П( -фнг )+ н,-^СОБ( -фнг )-

дг , г дг

^ТСТЕ ф Б|П (фнг -фЕф)

ст

С

где н, - амплитуда продольной компоненты магнитного поля в разряде, нг - амплитуда радиальной компоненты магнитного поля в разряде, Е ф - амплитуда азимутальной компоненты его электрического поля, фн , фн , фЕ - фазовые углы этих же компонент соответственно.

В системе уравнений (1) число величин характеризующих поле на единицу больше числа самих уравнений, то есть система уравнений незамкнута. Поэтому, считая заданной одну из величин, характеризующих поле, можно получить на выходе этой системы набор различных зависимостей, состоящих из электромагнитных величин и проводимости в разряде ст.

Для решения системы дифференциальных уравнений (какой является система уравнений Максвелла) необходимым является ещё и знание граничных условий для всех электромагнитных величин, составляющих поле, и поэтому - с точки зрения чисто практической - наиболее удобным является выбор в качестве входной величины амплитуды продольной компоненты магнитного поля в разряде, поскольку для всех остальных электромагнитных величин эти граничные условия с точки зрения физики заранее очевидны и, таким образом, не нуждаются в дополнительном экспериментальном определении (речь идёт о граничных условиях на оси плазменного сгустка).

В пользу выбора в качестве входного параметра для решения системы уравнений (1) данных магнитных измерений говорит ещё и то, что в этом случае для определения поля температур отпадает необходимость прибегать к дополнительным зависимостям. Изменение величины магнитного поля по сечению разряда определяется поглощением электромагнитной энергии в проводящем слое газа. Поэтому, при прочих равных условиях, именно электропроводность газа определяет скорость изменения величины магнитного поля по радиусу разряда. Ввиду такой однозначной зависимости и становится возможным не прибегать к дополнительным уравнениям и решать задачу, оставаясь в рамках системы уравнений Максвелла.

Тем самым, используя взятое из эксперимента двухмерное числовое поле амплитуды н, , можно попытаться путём совместного аналитического и численного решения системы максвелловских уравнений решить задачу восстановления полной пространственной структуры квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда, включая значение электропроводности плазмообразующего газа, а также восстановленное температурное поле Т = Т(ст)) по измеренным значениям амплитуды продольной составляющей магнитного поля в разряде.

Для решения поставленной задачи был предложен новый метод, который можно назвать комплексным методом диагностики ВЧИ - плазмы.

Основная проблема, с которой приходится сталкиваться в этой постановке задачи, заключается в следующем. В соответствии с системой уравнений (1), проводимость в разряде ст - эта основная величина, связывающая собой все главные характеристики электромагнитного поля в разряде, - определяется из соотношения

стМ=- 4П

дн, днг / \

-------------СОБ (фн —фн )"

дг дг ' 2 г ’

- нг “фн^5|П (фн, -фн ) /Е ф СОЭ (фн, -фЕф)

Казалось бы, что, аппроксимируя в соответствии со сказанным выше экспериментально полученные значения амплитуды н, , например, стандартным кубическим сплайном, мы без труда решим поставленную выше задачу. В действительности, однако, эта задача носит значительно более сложный характер.

Дело в том, что в данном случае проводимость, рассчитанная по формуле (2) при условии аппроксимации амплитуды продольного магнитного поля в разряде н, сглаженным кубическим сплайном, обнаруживает резкую расходимость вблизи оси плазмоида, начиная с расстояний порядка одной трети радиуса плазменного сгустка. Очевидно, что это явление представляет собой прямое следствие неверной интерполяции н, (г), вблизи нуля,

и значит, в данном случае, для решения задачи восстановления амплитуды н, , как непрерывной функции радиальной координаты г, по конечному числу её экспериментально измеренных значений кубическими сплайнами пользоваться уже нельзя.

Таким образом, основной задачей, становится выяснение истинной картины поведения всех главных характеристик квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазмоида при достаточно малых значениях радиальных координат г. Говоря другими словами, нужно проанализировать систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в разряде и попытаться получить если не точное, то хотя бы их приближённое решение вблизи оси г = 0 . Именно отсутствие информации о поведении характеристик поля внутри плазмоида тормозило до сих пор широкое использование такого рода метода диагностики ВЧ низкотемпературной плазмы на практике, в связи с чем, выбранная тема представляется актуальной.

В настоящей работе использован новый метод приближённого интегрирования системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля ВЧИ - разряда, который позволяет однозначно описать структуру решений этих уравнений вблизи оси плазмоида при малых значениях радиальной координаты г. Данный метод, названный авторами методом предельных соотношений, был использован для решения поставленной задачи [1,2].

При этом приосевые части двухмерных сплайн-поверхностей, интерполирующих амплитуды продольного магнитного поля н,(г,г), радиального магнитного поля нм и азимутального электрического поля Е ф (г,,) заменяются более точными зависимостями [2]:

Ь 2г2

1о (Ьг)- -

н2(г,Е) = н2(0,е)

нг(г,,) = н2(0,е)

10 (Ьг) + СОПБ1

11 (Ьг) + СОПБ1

1

I — ■ — -

4

Ьг Ь3г3 I, (Ьг) - — - — 2 16

Е ф (г,,) = ^нЬР) и (Ьг) + сопй

Ьг Ь3г3 I (Ьг) - — - —

2 16

б|п(Ь,)

^соБ(Ьг);

в которых постоянная

. 1

b = — arccos L

Hz(0,L)

н,(0,0)

где |_ - длина плазмоида, 10,11 - модифицированные функция Бесселя нулевого и

первого порядка соответственно.

Из условия сшивания решений в некоторой точке I в этом случае следует, что для каждого сечения плазмоида должно быть выполнено условие

Ь 212 (дг )2

н^Дг^) = н,(0,2])10 (Ь1Дг) + СОПБ^ 1 (1^'- 1----------------^

Io (ЫДГ )-1

4

откуда следует

Hz (I Дг, Zj) - Hz(0,Zj)Io (Ь1Дг)

const i =-------------j-------------j—— -----

j b 2I2 (дг )2

|0 (Ь| Дг) - 1 - 4

Уравнения (1), при условии аппроксимации в приосевой области плазмоида электрического и магнитного полей в разряде по формулам (3), решались численно конечноразностным методом относительно неизвестных величин нг, Еф, фн^ фн , фЕф и проводимости в разряде ст. Входным параметром при этом являлась н, - экспериментально измеренная амплитуда продольной компоненты магнитного поля в разряде. Расчетная область сетки в нашем случае: по координате г от г = 0 на оси плазменного сгустка до г = 3,2 см вблизи стенки разрядной камеры, и по координате 2 от значения 2 = 0 в центральном сечении плазмоида до 2 = 7 см на выходе индуктора. Заметим, что расчётная сетка при этом выбрана равномерной, а шаги Д г по координате г и Д 2 по координате 2 - для удобства анализа промежуточных результатов расчёта - равными друг другу, а именно Д 2 г = Д 2 = 0,1 см.

В результате магнитных измерений в разрядах на воздухе были получены радиальные распределения продольной составляющей магнитного поля н, в различных сечениях по г; г = 0 - означает плоскость центрального сечения плазмоида, координата ъ отсчитывается от этого сечения вниз по потоку, шаг зонда по г - 0,4 см, по 2 - 1 см. В этом случае первый этап решения задачи, как уже говорилось, сводится к тому, чтобы восстановить числовое поле значений амплитуды н,(г)^] с шагами Дг по координате г и Д2 по координате 2, достаточно малыми для того, чтобы дифференциальные уравнения (1) можно было заменить их конечно-разностными аналогами. При этом амплитуда н, аппроксимируется двухмерным сглаживающим кубическим сплайном с учётом зависимости (3) для приосевой области плазмоида.

После обработки экспериментальной информации с помощью двумерной численной модели (конечно-разностный аналог уравнений электромагнитного поля (1)) были найдены радиальные профили основных электромагнитных величин, характеризующих ВЧИ разряд. Одновременно в каждой точке интегрирования рассчитывались значения равновесной температуры Т(ст) и удельной мощности тепловыделения.

Полученные результаты представлены на рис. 1-5 в виде графиков зависимостей проводимости в разряде ст(г), плотности вихревого тока ] = стЕ ф, объёмной плотности

вкладываемой в разряд мощности W = стЕ ф, амплитуды напряженности азимутального

электрического поля Е ф и распределения температуры для трех сечений плазмоида высокочастотного индукционного разряда, начиная от его центрального сечения вниз по потоку для двух различных расходов плазмообразующего газа Q1=9 м3/час и Q2=13 м3/час.

Рис. 1 - Радиальное распределение проводимости в различных сечениях индуктора при расходе плазмообразующего газа 01=9 м3/час (сплошная кривая) и 02=13 м3/час (штриховая кривая)

П см

Рис. 2 - Радиальное распределение плотности вихревого тока в различных сечениях индуктора при расходе плазмообразующего газа 01=9 м3/час (сплошная кривая) и 02=13 м /час (штриховая кривая)

Рис. 3 - Радиальное распределение объёмной плотности вкладываемой в разряд мощности в различных сечениях индуктора при расходе плазмообразующего газа 01=9 м3/час (сплошная кривая) и 02=13 м3/час (штриховая кривая)

Рис. 4 - Радиальное распределение амплитуд напряженностей азимутального электрического поля Еф в различных сечениях индуктора при расходе плазмообразующего газа Оі=9 м3/час (сплошная кривая) и О2=13 м3/час (штриховая кривая)

Рис. 5 - Радиальное распределение температуры в различных сечениях индуктора при расходе плазмообразующего газа 01=9 м3/час (сплошная кривая) и 02=13 м3/час (штриховая кривая

Анализ полученных результатов

Из приведенных на рис. 1-3 графиков, можно заметить, что для каждого поперечного сечения плазмоида максимум проводимости, как функция радиуса, находится ближе к оси разряда, чем максимум плотности вихревого тока, а максимум плотности вихревого тока, в свою очередь, располагается ближе к оси, чем максимум полной вкладываемой в разряд мощности на единицу объёма. Таким образом, в результате построенной нами численной модели обнаружено явление коаксиальности высокочастотного индукционного разряда. Интересно отметить, что это эффект, несмотря на свою кажущуюся простоту - до сих пор не был известен специалистам в области ВЧ низкотемпературной плазмы, несмотря на сейчас уже более, чем сорокалетнюю историю изучения этого физического явления.

Заключение

Предлагаемый новый комплексный метод диагностики ВЧ индукционной плазмы позволяет получить наиболее полную информацию о двумерном распределении основных электромагнитных и тепловых характеристик ВЧИ разряда. Он также может использоваться как независимый диагностический метод определения температуры в разряде, рассчитанной по обратной зависимости T = Т(ст), особенно в тех случаях, когда применение оптических методов измерения по каким-либо причинам невозможно.

Полученная картина распределения тепловых полей и найденные при этом зоны максимального выделения электромагнитной энергии могут быть использованы при решении проблемы оптимизации высокотемпературных и плазменных устройств, использующих принцип высокочастотного индукционного нагрева.

Литература

1. Гайнуллин Р.Н., Герасимов А.В., Герке А.Р., Кирпичников А.П. / В кн.: Тепло- и массообмен в химической технологии / Под ред. Усманова А.Г. Казань: КГТУ, 1995. С. 106.

2. Кирпичников А.П. Структура квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного раз ряда вблизи плазменного сгустка // ТВТ. 1995. Т. 33. № 1. С.139.

© Р. Н. Гайнуллин - канд. техн. наук, доц. каф. автоматизированных систем сбора и обработки информации КГТУ; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф. каф. интеллектуальных систем управления информационными ресурсами КГТУ.