Расчет осесимметричного струйного обтекания тел по схеме Рябушинского Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ и А Г И

То м XI 1 980.

М 5

УДК 532.528

РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО СТРУЙНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ПО СХЕМЕ РЯБУШИНСКОГО

Л. А. Иожуро

Для численного решения задачи о струйном обтекании тел вращения несжимаемой невязкой жидкостью применен метод, основанный на размещении на границе потока вихревой пелены с неизвестной интенсивностью. Получены решения для обтекания диска и сферы. Приведено сравнение с экспериментальными результатами для кавитационных течений.

Согласно схеме Рябушинского область постоянного давления за телом замыкается на симметричном относительно плоскости миделевого сечения каверны .отраженном* теле. На рис. 1 в плоскости осевого сечения линия ВВ' соответствует свободной поверхности тока 50 (поверхности каверны), а АВ и А'В' — сечения смоченных поверхностей тел 51- Течение симметрично относительно плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси х.

Функция тока Стокса 6 определяется соотношением 1> = (ф,/г, — 4'х/г). гДе

г — вектор скорости жидкости, отнесенной к скорости на бесконечности. Коор-

динаты х и г отнесены к радиусу миделя тела. Из условия отсутствия завихренности в потоке для определения функции тока имеем следующее уравнение:

Ф«—0 (1)

с граничными условиями: на бесконечности — однородный поток: ф-» г5/2 при .¥* Ч- г2 -* оо; на смоченной поверхности тел {< = 0; на поверхности каверны (1/ = 0 и 4/п!г = г0. Здесь 1>0 — скорость течения на поверхности каверны, отнесенная к скорости невозмущенного потока, а п — направленная в сторону течения нормаль к поверхности каверны.

Пусть поверхности 5] и 50 представляют собой вихревые поверхности с интенсивностями и> и 1 = — 1>о соответственно. Тогда для функции тока имеем интегральное представление

+ (2>

где /? = [(х — *')*-(-г2 + г'* — 2/т' сое8]12— расстояние между точкой (х, г, ?) в цилиндрической системе координат и точкой интегрирования (х\ г', ?'),

0 = 9 —

Рис. 1

Функция (2) удовлетворяет уравнению (1) и условию на бесконечности. Как легко показать, при осесимметричном обтекании тела интенсивность вихревого слоя на его поверхности с точностью до знака совпадает со значением скорости на теле. Поэтому при выполнении условия обращения функции тока в нуль на поверхности тел и каверны скорость жидкости на поверхности каверны окажется постоянной и равной t'0 = — 7.

Таким образом, задача нахождения функции тока, удовлетворяющей уравнению (I) и соответствующим граничным условиям, сводится к системе двух интегральных уравнений [которые получаются из условия обращения в нуль функции (2) на поверхностях St и S0] относительно интенсивности вихревого слоя на теле ш, формы поверхности каверны и постоянной 7— интенсивности вихревого слоя на поверхности каверны.

В случае, когда положение окружности схсда струй не фиксировано изломом контура тела, оно определяется из условий Бриллуэна [I]: скорость на теле всюду меньше v0; граница каверны не пересекает поверхность тела.

Рассмотрим граничные условия для функции ш. На окружности схода струй интенсивность вихревой поверхности должна быть непрерывна, поэтому в точке отрыва о> = т(. В случае, когда тело затуплено или имеет ненулевой угол заострения в точке пересечения с осью симметрии, интенсивность вихревой поверхности в этой точке обращается в нуль. Это следует из совпадения абсолютной величины интенсивности вихревого слоя со значением скорости на поверхности тела.

Представим интенсивность вихревого слоя на поверхности диска в виде

N

" (О — —/(*. 7) + 2 а" sin nt, t=>rr. (О < г < I). (3)

Л=1

Здесь /(/, 7)— распределение скорости на поверхности плоской пластинки, обтекаемой по схеме Кирхгофа со скоростью на бесконечности, равной 7.

Эта функция может быть задана параметрически следующим образом:

t = — WIT (2 + \r 1 — и) + arcsin \ ],

я + 4

/ = - 7 1 J_ “ <0<«<1).

V *

Легко видеть, что представление (3) обеспечивает выполнение граничных условий для функции ш : <о (0) = 0,

Потребовав обращения функции тока в нуль в (N + 1)-й точке на поверхности диска, получим систему уравнений, линейную относительно 7 и ап.

ff cos& ff sin«*cos& С(*,# % со*8

1 J J “Ъ— dS + 2 ап J J ------я----- dS = J J Н*' Tt) —R~ dS ~ 2ягЬ

П=\

r 1 £ (0. >1 <*- I....N+l).

Из условия <1 = 0 на поверхности каверны получаем интегральное уравнение

г - - -к tf-тг-5Г J/^T "• “•г) е * 151

Для получения численного решения системы ураинений (4) и уравнения (5) применялся следующий итерационный метод: при заданном приближении для формы каверны из системы уравнений (4) находились коэффициенты ап и параметр f, следующее приближение для формы каверны находилось из уравнения (5), правая часть которого вычислялась по предыдущему приближению; затем снова находились а„ и -у и т. д.

Начальный участок сечения каверны представлялся в виде степенной функции (показатель степени оказался близким к 1,5). Остальная часть сечения поверхности каверны искалась в виде кубического сплайна, который плавно сопрягался с начальным участком каверны. Узлы сплайна располагались таким образом, чтобы расстояние между ними изменялось пропорционально радиусу каверны; их число изменялось от '7 (при расстоянии между дисками Z. -= 0,6) до 77 (при L = 160). Для аппроксимации функции ю использовалось 29 членов в ряде Фурье (3). Коэффициенты а„ принимали значения в пределах от а, ^4-10“a до * 4-10—5. При вычислении интегралов использовалось соотношение

Зг

Г COtfi Г- di> = У (X -*')* +(г + г')’ [(2 - А») К - 2£], о

где к- = 4гг’Щх — jf')J + (г 4- г’)3] — квадрат модуля полных эллиптических интегралов первого и второго рода К и Е.

В малой окрестности точки (х, г) выделялись логарифмические особенности подынтегральных функций. Неособые интегралы вычислялись по квадратурной формуле Гаусса. При интегрировании функций с логарифмической особенностью использовалась квадратурная формула Гаусса с весом g(u)=lnu [2]. Интегралы по остальной части кривой вычислялись с помощью формулы Симпсона. Для получения одного решения (при заданном расстоянии между дисками) требовалось в среднем около 30 мин счета на ЭВМ БЭСМ-6. Итерации прекращались, когда относительные изменения радиуса миделя каверны не превышали 10—в (в среднем примерно 50 итераций). Для оценки точности результатов количество узлов интегрирования увеличивалось в два и в четыре раза. Для основных характеристик течения это приводило к незначительным изменениям в пятой значащей цифре.

Отметим отличительные особенности расчета струйного обтекания сферы. Функция и представляется в виде частичной суммы ряда Фурье

Л’

ш (<) = У а„ cos nt, t = — Т., 0 < а < «о, п = 0 “о

где з„ —угловое положение точки отрыва.

При заданной форме каверны для определения коэффициентов ап и интенсивности вихревого слоя на поверхности каверны 7 имеем линейную систему уравнений:

ГГ cos в If cos nt cos 9

7 J J ft dS ^ an J J p dS — — 2r.rj, 1 — 1, ... , Л/,

So n-0

N

2 °n = °-

я=0

ЛГ

2 (-1)%„ = V

/1=0

Первые N уравнений представляют собой условие обращения в нуль функции тока в точках смоченной поверхности сферы (ди, г{), а два последних следуют из граничных условий для функции ш.

При заданном положении окружности схода струй с поверхности сферы решение проводилось итерационным методом, аналогичным описанному выше.

Осевое сечение поверхности каверны вблизи точки отрыва представлялось в виде функции ух = еде, в декартовой системе координат (хи у,) с началом координат в точке отрыва, осью у1( направленной по внешней нормали к поверхности сферы, и осью л:,,— по касательной в направлении скорости течения. Остальная-часть сечения каверны, как и в случае обтекания диска, искалась в виде кубического сплайна.

Методом последовательных приближений определялось такое положение точки отрыва потока, при котором показатель степени в представлении для начального участка каверны ? = 2 + 10—* (для этого требовалось 3—6 итераций). При этом коэффициент с был близок к—0,3. Таким образом, поверхность каверны не пересекала границу тела. Однако скорость на поверхности тела принимала максимальное значение на небольшом расстоянии от точки отрыва и превосходила скорость на поверхности каверны на величину ~10“* 1>о. При смещении точки отрыва вниз по потоку положение максимума скорости на теле удалялось от точки отрыва, и максимальное значение скорости возрастало. При движении точки отрыва к точке торможения положение максимума скорости на поверхности сферы приближалось к положению отрыва, а показатель степени $ уменьшался. Это означает, что граница каверны вблизи точки отрыва пересекает границу тела, поскольку в системе координат (дг„ у{) граница тела близка к — *?/2.

Таким образом, действительное положение места отрыва потока, при котором выполняются оба условия Бриллуэна, по-видимому, находится между положением отрыва, при котором р я: 2, и крайним положением, при котором максимум скорости на теле достигается в точке отрыва. При расчетах находилось среднее между этими двумя случаями положение отрыва потока. Ошибка в определении точки отрыва по нашим оценкам не превосходит Д* = 0,05°.

Результаты решения для диска приведены в табл. 1. Здесь Л и /? —расстояние между дисками и радиус каверны, отнесенные к радиусу диска;

: = (рх — ^о)/(?1’те/2) •= 73 — 1 — число кавитации (рх и р0 — давления в невозмущенном потоке и в каверне соответственно); Сх — коэффициент лобового сопротивления, отнесенный к площади диска.

Результаты расчета обтекания сферы представлены в табл. 2. Расстояние

между центрами сфер £, и радиус каверны /? отнесены к радиусу сферы. В ко-

эффициенте Сх сопротивление сферы отнесено к площади ее миделевого сечения. Угловое положение точки отрыва дано в градусах.

Талбица 1 Форма каверны для /. = 3,8; 8; 16 по-

1 3 с, казана на рис. 1. На рис. о приведены графики зависимости радиуса и длины каверны за диском и его коэффициента сопротивле-

1 а о л и ц а &

0.6 1 2,748 1,777 1,147 1.225 3,301 2,405 £ 5 /? Сх “0

2 0,9951 1,383 1,6966

5 0.4673 1,720 1,2287 1 0,6211 1,071 0,6334 68,42

10 0,2636 2,115 1,0513 2 0.4494 1,150 0,5281 65,17

20 0,1477 2,678 0,9516 5 0,2590 1,356 0,4251 62,04

30 0,1048 3,109 0,9150 10 0,1583 1,628 0,3764 60,60

40 0,0819 3.471 0,8955 16 0,1103 1,888 0,3548 59,99

50 0,0676 3.788 0,8833 30 0,0663 2.359 0.3359 59,49

60 0,0577 4.074 0,8749 40 0.0521 2,631 0,3300 59,33

70 0,0505 4.336 0.8688 50 0,0432 2,872 0,3264 59.24

80 0,0450 4.579 0,8640 60 0,0369 3,089 0,3239 59,18

100 0,0370 5,022 0,8573 80 0,0288 3,475 0,3206 59,11

120 0,0315 5.421 0,8527 120 0,0201 4,118 0,3172 59.03

160 0,0244 6,124 0,8467 160 0.0156 4.657 0,3155 58,99

ния от числа кавитации. Основные результаты расчетов для сферы представлены на рис. 4.

Как было показано Л. А. Эпштейном [3] в результате обработки экспериментальных результатов, коэффициент лобового сопротивления диска Сх при малом о и коэффициент сопротивления Сх0 при а = 0 связаны приближенным соотношением

Сх х Сх о (1 -4- в) = 0,82 (1 + с).

На рис. 5 приведены данные для СХЦ1 + а), полученные в настоящей работе (кривая /) « в работе [4) (кривая 2)\ 3 —средняя кривая экспериментальных результатов Л. А. Эпштейна [3]. Результаты работы [4] получены путем экстраполяции данных численного расчета конечно-разностным метолом течения Рябушинского в канале на случай бесконечно удаленных стенок канала. Полученное в данной работе значение коэффициента сопротивления Сх0= 0,826

Рис. 2

Рис. 3

8—«Ученые записки» ДА 5

практически совпадает со значением, полученным путем экстраполяции данных работы [4] к 5 = 0, и незначительно отличается от экспериментального результата.

Зависимость величины Сж/(1-(-в) от в для сферы представлена на рис. 6 (/ — данные настоящей работы, 2—работа [4]). Приведенные на графике средние значения экспериментальных результатов (кривые 3) взяты из работы [4]. Коэффициент сопротивления Сд-о = 0,310, а ао з: 59° при о=0, что мало отличается от значений, полученных в работе [4] (путем экстраполяции) СхО^0,Ъ2 и ао = 56’.

1*6

0,83

' 0 0.1 0,4 0,6 «

Рис. 5

Однако теоретические результаты для сферы значительно отличаются от данных эксперимента. По результатам эксперимента коэффициент сопротивления сферы с ростом о растет значительно быстрее, а экстраполяция экспериментальных данных к з = 0 дает Сх0я:0,25. Расхождение между положениями отрыва потока, полученными из условий Бриллуэна и из экспериментальных наблюдений, еще значительней. Как показали экспериментальные исследования [4], положение отрыва потока на сфере определяется не только числом кавитации, но существенно зависит от числа Рейнольдса Ие. Отрыв на сфере происходит значительно ниже по потоку от положения, предсказанного по условиям Бриллуэна для невязкой жидкости, причем с уменьшением числа Ие разница возрастает. Например, при о=0,1 и 1?е = 3*105 угловое положение точки отрыва 00 = 79°, а по данным расчета для невязкой жидкости оо я: 60’. Вязкость, таким образом, оказывает существенное влияние на положение линии схода свободной поверхности на гладком теле и, следовательно, на коэффициент сопротивления тела.

На рис. 7 приводится сравнение полученной из расчетов зависимости радиуса миделевого сечения каверны от числа кавитации при обтекании диска с экспериментальными данными Г. В. Логвиновича [5), полученными при больших погружениях, обеспечивающих осесимметричность каверны.

В заключение отметим, что численное решение для осесимметричных течений Рябушинского рассматривалось и в работах (6, 7]. Так же как и в данной работе, решение проводилось методом размещения вихревого слоя на поверхности тел и каверны с той лишь разницей, что для нахождения интенсивности вихревого слоя на поверхности тела использовалось

Рис. 6

0,03 0,05

Рис. 7

условие ее совпадения с величиной скорости течения на теле. Однако в работе (6] приведены лишь отдельные результаты для обтекания конусов, а результаты работы [7] получены с низкой точностью и существенно отличаются от данных настоящей работы и работы [41.

Автор выражает благодарность Г. И. Таганову, по инициативе и при постоянном внимании которого выполнена работа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.. „Физматгиз*, 1961.

2. Крылов В. И., Пальцев А. А. Таблицы для численного интегрирования функций с логарифмическими и степенными особенностями. „Наука и техника*, Минск, 1967.

3. Эпштейн Л. А. Течения около тел вращения при малых числах кавитации. Труды ЦАГИ, 1950, переиздано в Трудах ЦАГИ, вып. 817, 1961.

4. Вгеппеп С. A numerical solution of axisymmetric cavity flows. J. .Fluid Mech.“, vol. 37, p. 4, 1969.

5. Л о г в и н о в и ч Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев, .Наукова думка", 1969.

6. Гузевский Л. Г. Осесимметричные задачи обтекания со свободными границами. В сб. .Исследования по развитой кавитации*. Новосибирск, СО АН СССР, Ин-т теплофизики, 1976.

7. Ам ромин Э. Л., Иванов А. Н. Осесиммитричное обтекание тел в режиме развитой кавитации. .Изв. АН СССР, МЖГ\ 1975, № 3.

Рукопись поступила 111X11 1979 г.