Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.02

О. Ю. Чигирева

РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ СЛОЯ ТЕРМОИЗОЛЯЦИИ В МНОГОСЛОЙНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПАКЕТЕ

Решена задача о нахождении оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете, при которой обеспечивается значение температуры внутренней граничной поверхности пакета, не превышающее заданного предельного значения. Предложена методика расчета нестационарного температурного поля в многослойном цилиндрическом пакете, в которой учитывается зависимость теплофизических свойств материалов слоев от температуры.

Постановка задачи. Рассматривается нестационарный процесс теплопроводности в цилиндрическом пакете (рис. 1). Пакет состоит из двух металлических оболочек, разделенных слоем термоизоляции толщиной Н2. На внешнюю металлическую стенку нанесен слой теплозащитного покрытия (ТЗП), поверхность которого подвержена интенсивному нагреву газовым потоком, приводящему к уносу массы с поверхности. При этом величина плотности потока энергии, поглощенной поверхностью ТЗП, определяется соотношением [1]

д Т

д = А— + рИъ. д п

Здесь Т — температура; р — плотность; А - коэффициент теплопроводности; П — внешняя нормаль к поверхности; И — тепловой эффект процесса разрушения; V — скорость разрушения нагреваемой поверхности [1]:

Е

V = v0ехрI

(

Рис. 1. Осевое сечение многослойного цилиндрического пакета:

1,3 — металлические оболочки, 2 — слой термоизоляции, 4 — слой теплозащитного покрытия; Тс—температура внешней среды

где Е — величина, определяемая энергией активации процесса разрушения; Тт — температура нагреваемой поверхности.

Охлаждение многослойного пакета происходит на внутренней металлической стенке по закону Ньютона.

Под оптимальной толщиной слоя термоизоляции в многослойном пакете будем понимать такую его толщину, при которой обеспечивается нагрев внутренней граничной поверхности пакета до температуры, не превышающей заданного предельного значения Тп [2].

В данной постановке задачи будем полагать, что тепловые контакты между слоями являются неидеальными [3], а теплофизические свойства материалов слоев зависят от температуры.

Рассматриваемая задача относится к классу краевых задач нестационарной теплопроводности с подвижной границей, при этом движение границы фронта разрушения теплозащитного покрытия определяется в процессе решения задачи.

Нахождение оптимальной толщины слоя термоизоляции осуществляется в два этапа:

1) определяется температура многослойного цилиндрического пакета при различных значениях Н2;

2) выбирается наименьшее значение Н2 = Н*, удовлетворяющее следующему условию: температура внутренней поверхности оболочки должна оставаться ниже некоторого заданного значения Тп в конце процесса разогрева, когда толщина неразрушенной части ТЗП составляет приблизительно 10 % от первоначальной.

Математическая модель процесса. В данной постановке задачи приходим к следующей математической модели:

t > 0, Tj-i < r < rj = Tj-i + hj, j = 1, 3;

(1)

Tj (r, 0) = Tq, rj-i < r < rj, j = 1, 3;

(2)

T4(r, 0)= Tq, гз < r < lo, 1q = /(0);

Ai№) А4СГ4)

Aj (Tj)

д Ti

д r

д T4

= a(Ti(ro,t) - Tc), t > 0;

r=r 0

д r д Tj

= q(t) - p4#v(Tw), t > 0;

д r

= Rr(Tj+i(rj + 0, t) - Tj(rj - 0, t)) =

— Aj+i(Tj+i)

д Tj+i

д r

t > 0, j — 1, 3.

r=rj +0

Здесь Тх(г, £) и Т3(г, £) — температуры металлических оболочек; Т2(г, £) и Т4(г, £) — температуры слоя термоизоляции и теплозащитного покрытия соответственно; Т0 — начальная температура; Тс — температура внешней среды; с., ^ = 1, 4, — удельная теплоемкость слоя ]; г0 — внутренний радиус металлической оболочки; Л,3 — толщины металлических оболочек; а — коэффициент теплоотдачи; Я. — термическое сопротивление контактной поверхности г = т., ] = 1, 3; /(£) — положение фронта разрушения теплозащитного покрытия, определяемое соотношением

г

/(£) = 1о - V(Т№)йт,

где

4

Тш(*) = Т4(/(*),*), /о = то +

¿=1

Л,4 — толщина ТЗП в начальный момент времени.

Построение алгоритма приближенного решения. Для нахождения приближенного аналитического решения краевой задачи (1)-(3) воспользуемся методикой, изложенной в работах [4, 5]. Проведем дискретизацию временной переменной I точками tk = кт, к = 1, 2,..., где т > 0 — достаточно малый шаг разбиения, и заменим в уравнениях (1) производные по времени конечно-разностными отношениями

д Tj

д t

Tj (r,tfe) - Tj (r, tk-i)

t=tk

т

j — 1, 4.

Далее введем функции С.(Т., г) = р.тс.(Т.), Л.(Т., г) = тЛ.(Т.), ^ = 1, 4, и, полагая, что все нелинейные теплофизические параметры найдены на предыдущем временном слое I = £к-1, представим

r=rj — 0

разностно-дифференциальный аналог краевой задачи (1)-(3) в следующем виде:

-i (j(r)j) + 1 Cf = 1 j(r)T(k-1)(r),

dr \ j dr I т j j т j j

rj—i < r < rj, j = 1, 3;

-d iAik)(r)^ +1 Cf (r)T4(k)(r) = 1 Cf (r)Tf—1)(r), dr \ dr у т т

(4)

Гз

< r < 1(k);

лт(к)

Л (kb \dJ1 /o(k)

Л1 )(r)—-— = Q0 ) при r = r0; dr

A4k)(r) dT-) = Q4k) при r = 1(k);

dT(k) _

Ajk)(r)^T = Qjk) при r = rj, j =173;

dT(k)

(5)

Aj+_)1(r)j = Qjk) при r = rj, j = 1, 3;

здесь

T?(k)(r) = Tj(r,tk), j = 1, 4;

Aj (r) = Aj(Tj 1)(r),r), Cj(k)(r) = Cj(T( 1)(r),r), j = 1, 4; 1(k) = i(k—1) - v(TWk—1))t;

Q0k) = aro(T|k—1)(ro) - Tc), Q4k) = 1(k)(q(k—1) - ^(T^-1))),

Qjk) = j(j—^(rj) -T(k—11)(rj)), j = 173.

j

На первом шаге итерации величину /(0) следует считать равной значению /0, а величины Т|0) (г), ^ = 1, 4, равными начальной температуре Т0 из условий (2).

Применяя метод конечных интегральных преобразований, на к-м шаге итерации найдем функции Т|к)(г), ] = 1, 4, в форме разложения в тригонометрические ряды Фурье

j (r) —Ё ^najk2Xj,n(r), rj—i < r < rj, j — 1, 3, n=0

T4(k)(r) — £ 0"k)Yn(k)(r), Гз < r < /(k), (6)

J 0,5 при n — 0,

— ^ 1

I 1 при n > 0,

по ортогональным системам функций

, , nn (r — r.;_i) -

Xj,n(r) — cos-( j i), j — 1, 3,

hi

ллШ/ \ пп (г - Тз)

где ^(к) = /(к) — т3 — толщина ТЗП при t = 4.

Тогда с учетом граничных условий (5) приходим к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье а.^, 3 = 1, 3, и ьПк) [5]:

£ j^mj — j, n — 0, 1,..., j — 173;

"Г (7)

V^ B(k) 5 b(k) —0(k) n — 01 ;

m=0

здесь

A(k) — n_nm f^(k) (k) A + hj f^(k) + ,(k) N

j,nm 4h V j'n—" j,"+my 1 у ' j,"—m 1 т j,n+my?

, 00

j"—(-1)" j - j+4j £ Mi—(c— „+ju),

m=0

в (к) = п!пт (с (к) _ с (к) \ + ^ (+ п (к) \

пш 4^(к) у — ш ^ 4т у /п—ш ' /п+шу )

^ = (—1)п з4к) — д3к) + ^ сПк);

. . — коэффициенты Фурье функций Л.к)(т), С.к)(т) по ортогональной системе {(т)}^=0,3 = 1, 3; *Пк), пПк), СП&) — коэффициенты

Фурье функций Л4*°(г), С^(г), 0(к)(г) = с4&)(г)Т4^-1)(г) по ортогональной системе {У„(к)(г)}

В силу того, что матрицы А^, ] = 1, 3, и Б(к) систем (7) являются симметрическими положительно определенными [6], приближенные решения этих систем могут быть найдены методом редукции из систем конечного порядка [7].

Построенный алгоритм (6), (7) нахождения приближенного аналитического решения задачи (1)-(3) позволяет провести расчеты температурного поля в многослойном цилиндрическом пакете.

Результаты численных расчетов. Приведем пример расчета температурного поля в многослойном цилиндрическом пакете при следующих значениях параметров: р1 = р3 = 2670кг/м3; р2 = 200кг/м3; р4 = 1300 кг/м3; А2(Т) = (0,062 + 0,263 ■ 10-3Т) Вт/(м-К); с2(Т) = = (930 + 0,12Т) Дж/(кг ■ К); а = 400Вт/(м2 ■ К); Д1 = Я2 = 9,6 х х 10-4 м2 ■ К/Вт; Я3 = 1,4 ■ 10-3м2 ■ К/Вт; Т0 = 290 К; Тс = 290 К; Тп = 300 К; д = 106 Вт/м2; Е = 2000 К; И = 1,5 МДж/кг; v0 = = 0,002 м/с; г0 = 0,7м; Н = 0,8 ■ 10-3 м; Н3 = 1,2 ■ 10-3 м; Н4 = 40 х х 10-3 м [8,9].

Значения теплофизических параметров металлических оболочек и теплозащитного покрытия в зависимости от температуры приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Параметры материала оболочек

T ,K 300 400 500 600 700 800 900

Ai,a, Вт/(м ■ K) 207 213 222 233 251 271 282

ci,3, Дж/(кг ■ K) 871 938 999 1053 1079 1118 1145

Таблица 2

Параметры теплозащитного покрытия

T ,K 300 500 700 900 1100 1300 1500

A4, Вт/(м ■ K) 1,50 1,56 1,70 1,86 2,06 2,30 2,56

С4, Дж/ (кг ■ K) 1500 1511 1534 1567 1611 1666 1732

Как показали расчеты, при выборе толщины слоя термоизоляции Н2 > 5,5 ■ 10-3 м температура внутренней граничной поверхности пакета в конце процесса разогрева не превосходит заданного предельного значения Тп = 300 К. При Н* = 5,5 ■ 10-3 м продолжительность процесса разогрева, при котором толщина неразрушенной части ТЗП составляет 4,5 ■ 10-3м, равна I = 95с (рис.2). Зависимость скорости

Рис. 2. Зависимость толщины неразрушенной части ТЗП от времени

Рис.3. Зависимость скорости разрушения ТЗП от времени

разрушения ТЗП от времени приведена на рис. 3. В момент времени £ = 95 с распределения температуры в металлических оболочках 1 и 3 представляют собой линейные профили с перепадами температур порядка 15 К, а температура поверхности ТЗП достигает значения 1200 К (рис. 4).

Выбор шага дискретизации осуществлялся на основе сравнения результатов расчета температуры на поверхности металлического слоя при двух значениях шага т1 и т2 = тх/2, при которых обеспечивается выполнение условия

\Тп - ТТ2 |

Тт

т,к 1100

1000

800

600

m

гоо

/

У /

с 3\ /

Z,

1__-

0Ш 0Ш 0,006 0,006 0,01 г-г0, м

Рис. 4. Распределение температуры в осевом сечении многослойного цилиндрического пакета в момент времени Ь = 95 с:

1 и 3 — температура металлических оболочек, 2 — температура слоя термоизоляции, 4 — температура ТЗП

< 6,

где ТТ1 и ТТ2 — значения температур, соответствующие шагам Т1 и Т2.

Как показали расчеты, в данной задаче для 6 = 0,05 значение т можно положить равным 0,02 с.

Следует отметить, что итерационный процесс проводился с внутренними итерациями: на каждом шаге итерации сначала использовались значения искомых величин, полученные на предыдущей итерации, а затем вычисления проводились повторно на этом же шаге с вновь полученными данными.

Сходимость метода Роте решения краевых задач для параболического уравнения с самосопряженным дифференциальным оператором установлена в работе [10]. В нелинейной постановке в работе [11] доказательство сходимости метода Роте проведено для класса степенных функций.

Порядок усечения систем уравнений (7) определялся на основе оценки Рунге

Ц1У+N0 — Т^ ¡2 < е 11^ ¡2

где TN — искомое решение, найденное методом редукции; N — порядок усечения бесконечной системы; N0 — целое положительное число. Погрешность вычислений менее 2 % достигается при N > 30.

Автор благодарит профессора В.С. Зарубина за полезные обсуждения, касающиеся постановки задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зарубин В. С. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов.

- М.: Машиностроение, 1978. - 184 с.

2. Зарубин В. С. Расчет и оптимизация термоизоляции. - М.: Энергоатомиздат, 1991.-191 с.

3. Зарубин В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 326 с.

4. Малов Ю. И., Мартинсон Л. К. Приближенные методы решения краевых задач. - М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1989. - 26 с.

5. Чигирева О. Ю. Моделирование и расчет термического разрушения цилиндрической оболочки // Инженерно-физический журнал. - 2004. - Т. 77. - № 3. -С. 174-177.

6. Малов Ю. И., Чигирева О. Ю. Моделирование и расчет процесса высокотемпературного прогрева оболочки с теплозащитным покрытием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2003. - Т. 10. - № 1. -С. 99-107.

7. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. - М.-Л.: ГИФМЛ, 1962. - 708 с.

8. Малов Ю. И., Мартинсон Л. К. Разогрев многослойной оболочки при наличии контактного термического сопротивления между слоями // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 1989. - № 12. - С. 43-37.

9. Малов Ю. И., Мартинсон Л. К. Разогрев оболочки при наличии термического разрушения нагреваемой поверхности // Изв. вузов. Сер. Машиностроение.

- 1989.- № 1.- С. 52-56.

10. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973.-407 с.

11. Л и о н с Ж. -Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 587 с.

Статья поступила в редакцию 16.09.2004