CC BY
13
РАСЧЕТ ОБОЛОЧКИ В ФОРМЕ РЕЗНОЙ ЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ МОНЖА С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
С.И.ТРУШИН, доктор технических наук, профессор Московский государственный строительный университет
Одним из наиболее эффективных и экономичных видов оболочечных конструкций являются тонкостенные торсовые конструкции, в частности оболочки в форме линейчатых резных поверхностей Монжа, у которых параллель представляет собой эвольвенту окружности, а меридиан является отрезком прямой линии. Благодаря тому, что торсовые оболочки обладают способностью разворачиваться на плоскости без складок и разрывов, процесс их изготовления существенно упрощается.
Используя известные формулы для определения коэффициентов первой квадратичной формы поверхности А и В и кривизн кх и к2 с помощью уравнения поверхности Монжа, заданной в векторном виде [1], получим:
/4 = С0 + С, + СгР\ В = 1; 4,=-^; *2=0, (1)
аА
где
Г
'■"О
а
I- С =
COS©
т =
(2)
a a sin ©
В формулах (1) и (2) а и р - криволинейные ортогональные координаты; cío - начальное значение координаты а; © - угол между образующей (меридианом) и осью вращения.
Для построения решения задачи используются геометрические соотношения теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, записанные в системе ортогональных криволинейных координат а, р, г, совпадающих с линиями главных кривизн [2]. С учетом соотношений (1) и (2) геометрические зависимости между деформациями и перемещениями имеют вид:
1 ди C,v w I
£„=--+—+-+~в1 ;
А да А тА 1
ду \ Л. 22 д/З 2 1
1 дх л д(и
Е12~--- -
Ада д/3\А;
+ 0t02
1 дв. С20,
АГ,,=--—+ - 2--
А да
др' 1 dw А да
1 да лд
■■---+А—
А да
тА
+fl;
др д w
~др
_L А
+ 0.
2 '
(3)
где и и V - функции, характеризующие растяжение (сжатие) оболочки соответственно направлению осей а и Р; в] и 02 - углы поворота поперечных сечений оболочки соответственно в плоскостях аг и (к; м> -нормальное перемещение (прогиб).
Для расчета оболочки используется вариационная постановка задачи. Функционал Лагранжа теории упругих оболочек записывается следующим образом:
I(и) = - \y Dy.ABdadp- ЦЧгиАВс1ас1р , (4)
где и = (и V 8) 02 и>)' - вектор функций перемещений; £=( с,, £22 кп к22 к\2 ев е2з)7 - вектор, содержащий компоненты тензора деформаций; О -матрица упругости; ЦНЦ\ Цг т{ тг -вектор внешней нагрузки; 5 -область изменения переменных аир.
Для дискретизации задачи используется вариационно-разностный метод [3], состоящий в том, что на область 5 изменения независимых переменных накладывается сетка, искомая функция и, доставляющая стационарное значение функционалу (4), приближенно задается своими значениями в узлах, а производные функции и заменяются конечными разностями.
Решение нелинейной задачи выполнялось методом Ньютона-Рафсона при шаговом изменении параметра нагрузки:
(5)
где Щи) - дискретный аналог потенциальной энергии деформации; р -параметр нагрузки; () - нормированный вектор внешних нагрузок; У2^ -матрица Гессе; УИ7 - градиент дискретного аналога потенциальной энергии деформации; т - номер шага нагружения; к - номер итерации.
Решена задача по определению несущей способности оболочки в форме резной линейчатой поверхности Монжа, жестко заделанной по контуру \ 0|^в2=и' 0), при действии вертикальной нагрузки интенсивностью ц. Составляющие этой нагрузки по направлению перемещений определяются соответственно по формулам:
дх = —¿7Я1П
— , qг = (] СОБ 0 сое
а ' ¿¡гг = ^зтвэт а
а
Геометрические и физические характеристики оболочки имеют следующие значения: 0 = л/4; а = 1 м ; а<> = 2я; 0<р<2л; л /2< а < Зя /2; й ~ 0,025 м; Е=2*Ю10Н/м2; у=0,16.
Некоторые результаты расчета с использованием процедуры (5) приведены в таблице 1, где даются значения прогиба тангенциальных усилий Nа и Л/р и изгибающих моментов М, и Мр в центральной точке с координатами а = я, р=я.
Таблица 1
q*W\ H/m2 w*103,M Н/м /Vio-3, H/m Ma* 10'2, Hm/m Щ* 10, Hm/M
8,80 1,58 4,677 7,927 2,649 5,648
26,4 4,31 14,00 22,57 7,932 16,25
44,0 6,29 23,26 35,40 13,19 25,84
61,6 7,25 32,44 46,05 18,43 34,25
79,2 6,83 41,59 53,85 23,73 41,28
96,8 4,65 50,94 57,43 29,37 46,66
114,4 0,495 61,24 53,04 36,19 49,77
123,2 -1,96 66,62 46,98 39,995 49,93
Результаты расчетов показывают, что оболочка данного типа обладает относительно малой деформативностью. Учет геометрической нелинейности позволяет выявить особенность поведения конструкции такого типа, заключающейся в перестройке формы равновесия начиная с некоторого уровня нагружения и появлению прогибов, направленных в сторону, противоположную действующей нагрузке (таблица 1).
Литература
1. Кривошапко С. Н. Торсовые поверхности и оболочки; Справочник,- М.: Изд-во УДН, 1991. - 287 с.
2. Трушин С. И. Теория и расчет нелинейно деформируемых многослойных оболочек вращения // Численные методы расчета и оптимизации строительных конструкций. Труды ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, 1989. -с. 157- 164.
3. Милейковский И. Е., Трушин С. И. Расчет тонкостенных конструкций. - М.: Стройиздат, 1989 -200с.
GEOMETRICALLY NONLINEAR ANALYSES OF SHELL BUILT ON THk tiASE OF MONGE'S SURFACE
S.I.Trushin
Thin flexible elastic shell built as Monge's surface is considered. Procedures for analysis of shell are based on the theory of shells with account of transverse shear deformations, finite difference energy method and Newton method. Numerical results of geometrically nonlinear analysis of shell are presented.
