Расчет напряженно-деформированного состояния в системе «Двойник-трещина нормального отрыва в зерне поликристалла» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.21:517

Физика

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В СИСТЕМЕ «ДВОЙНИК-ТРЕЩИНА НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА В ЗЕРНЕ ПОЛИКРИСТАЛЛА»

Т.В. Дробышевская, О.М. Остриков

С использованием численно-аналитических методов расчета изучено поле напряжений, создаваемое распределением дислокаций в системе «двойник-трещина в зерне поликристалла». Разработана методика расчета напряженно-деформированного состояния данной системы. Рассчитаны компоненты тензора напряжений в зерне поликристалла, содержащем единичный остаточный клиновидный двойник и трещину нормального отрыва. Установлено, что максимальные растягивающие напряжения сконцентрированы у вершины двойника, а сжимающие - у вершины трещины, удаленной от вершины двойника. Выявлены закономерности распределения полей напряжений в зерне поликристалла при наличии в нем некогерентного остаточного двойника и трещины нормального отрыва

Ключевые слова: двойникование, дислокационные модели, прогнозирование разрушения

Введение. Вопросы прочности и долговечности являются важнейшими с точки зрения практического применения деталей машин. Именно поэтому изучение процессов разрушения было и остается актуальной задачей в современных исследованиях. Влияние двойнико-вания на процесс образования микротрещин и последующего разрушения материала неоднократно рассматривалось такими авторами, как В.М. Финкель, В.А Федоров, Ю.И. Тялин и др. [1] - [3]. При этом взаимосвязь двойникования с процессами формирования микротрещин является не до конца изученной. Следует отметить, что изучение обозначенных выше процессов целесообразно проводить с точки зрения анализа напряженно-деформированного состояния в соответствии с методами, предложенными в [4] и [5].

Цель данной работы - разработка метода расчета напряженно-деформированного состояния в зерне поликристалла, содержащем единичный двойник и трещину нормального отрыва, а также изучение данного состояния.

Постановка задачи. Как уже было отмечено выше, в качестве объекта исследования выбрано зерно поликристалла, содержащее единичный двойник и трещину нормального отрыва. При этом рассмотрим зерна поликристалла различной формы - правильные четырех-, пяти-, шести- и семиугольники, так как такая форма зерен является наиболее распространенной. В данной задаче рассмотрим клиновидный двойник, зарождающийся у концен-

Дробышевская Татьяна Викторовна - ГГТУ им. П.О. Сухого, аспирант, e-mail: [email protected] Остриков Олег Михайлович - ГГТУ им. П.О. Сухого, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected]

тратора напряжений на границе зерна (точка О на рис. 1). При расчете напряженно-деформированного состояния и его анализе будем учитывать напряжения, создаваемые элементами системы: зеренными и двойниковыми границами, трещиной. С целью уменьшения громоздкости решения все иные источники напряжений (концентратор напряжений, границы соседних зерен поликристалла и др.) учитывать не будем.

систему «двойник-трещина»

В общем случае профили элементов рассматриваемой системы в плоскости ХОУ описываются следующим образом. Форма зерен-ных границ функциями /(1)(у0), /„(2>(х0), ..., /ь"Кхо), где п - количество зеренных границ; форма границ клиновидного двойника - функциями /^(хо) и /¿2)(хо); форма границы трещины - функцией / (х) (рис. 1) [5], [6]. При этом дислокации на каждой из рассматривае-

мых границ параллельны друг другу и оси 02, перпендикулярной плоскости (рис. 1).

В поставленной задаче рассматриваемую систему моделируем дислокационной моделью, представленной на рис. 2. Так, границы зерна представлены в виде стенок полных краевых дислокаций (граница чистого наклона), двойниковые границы - в виде скопления частичных дислокаций. Трещина нормального отрыва в соответствии с дислокационной моделью, предложенной В.И. Астафьевым [4], смоделирована в виде стенки полных краевых дислокаций. Плотность полных и частичных дислокаций элементов системы равна р^1', р^ , ..., ррп) для зеренных границ; р^, ) для двойниковых границ и р для границ трещины.

Рис. 2. Схема расположения дислокаций, их компонент вектора Бюргерса и декартовых систем координат для расчета полей напряжений и смещений в системе «двойник-трещина нормального отрыва в зерне поликристалла»

В соответствии с поставленной задачей смещения и напряжения, характеризующие рассматриваемую систему, в соответствии с принципом суперпозиции [6] определяем по формуле:

^ (и,(тК*, >01, ^ Г («П(*, у)Л

Г и 1

а..

V 1)

Г (и

+ (

(а

=1

п

><!(*, > ))+Ъ [а >)>, у\

(1)

Здесь /, ] принимают значения х или у;

смещения и напряже-

(^к*,>), ШЛ>) -

/и Уи } ' \ у /му

ния, создаваемые т-й двойниковой границей; (и(к)) (*,у), (а(к)) (*,у) - смещения и напряжения, создаваемые к-й зеренной границей; (ц \г(*,у), (а) (*,у) - смещения и напряжения, создаваемые трещиной.

I.

(2)

Смещения и напряжения, обусловленные двойниковыми границами, определяются в соответствии с методикой, разработанной О. М. Остриковым [5]:

т ^ Г („)Г (и^К*, >)1

>,м1 [ «к*, >)

Здесь (ц(га,0)),„(х,у) и (о^*у) - смещения и напряжения, создаваемые отдельными дислокациями на двойниковых границах.

Криволинейные интегралы (2) представим в виде определенных интегралов в соответствии с методикой, описанной в [5]:

' 1=^ 1+/т) (*о ))')2 р» =

\\ I >Ш ) о

Ю >, у, *о)

г('

(3)

где Ь - длина двойника (рис. 1).

Смещения и напряжения, создаваемые двойникующими дислокациями, определяем из соотношений [5]:

К

_И

2л

(ито)) = ^ V * /1и пъ

аго^У ^ (*°) +

* - *

(у-/ИИ)(*о)Х*-*о ) '

2(1 -уЩу - /Г (*о ))2 + (* - *о )2).

1 - 2у

(и(-о)) =-

V у

2л

2л

-1п1

((у - /г (*о ))2

+(* * )2)+ (* - *о )2 - (у - /г (*о ))2 '

+ (* - *о))+ 4(1 -у)((у-/Г (*о ))2 + (* - *о )2).

(4)

ф,

а (-,о)) =„ х

а " К 2л(1 -у)

х (у - /п (*о ))|з(* - *о )2 + (у - /Г (*о ))2 |

[(* - *о )2+(у - /т (*о ))2 ]2 '

а то)) =_

а » 2л(1 -у)'

(у - /Iт (*о ))|(* - *о )2 - (у - /Г (*о ))2 |

[(* - *о )2 + (у - /т) (*о ))212 :

а то)) =_

а " 2л(1 -у)'

х (* - *о )|(* - *о )2 - (у - /Г (* ))2 |

[(* - *о )2 + (у - /Г (*о ))212 :

ал=-

ФУ ,

л (1 -у)

у - /Г (*о )

(* - *о )2 + (у - /Г (*о ))2'

(5)

Здесь у - коэффициент Пуассона; ф -модуль сдвига; Ьеы - модуль краевой составля-

х

+

+

т=1

*

ющей вектора Бюргерса частичной двойнику-ющей дислокации.

Аналогичным образом определяем смещения и напряжения, обусловленные полными краевыми зернограничными дислокациями [5]:

№))

(«П (х, у)

и Л 1Г (к) и )ь\х, У)

Ш РР (х, У)

V \ ч >ьх

,

где

(иП (х, У) и (х, у) -

(6)

смещения и

" \ ч /ь *

напряжения, создаваемые отдельными дислокациями на зеренных границах.

Криволинейные интегралы (6) представляем в виде определенных интегралов в соответствии с методикой, описанной в [5]:

г(и С V

))

V ч )ь

\\ ч >ь У

^ П (

X

Га/1 + / )(хо ))')2 Р

хк

х У, хо)

(к) .

ч^0))ь(х,у,хоР ;

(7)

'(« ? ))ь

№)) ,

V ч /ь У

Г(и <-о))ь (х, у, Уо) Ч) (х, у, уо )у

" ГЛ/йГр )х

^Уо '

(8)

где х , х4+1, ук, у4+1 - координаты начальной и конечной точек к-й границы зерна; г - малый параметр порядка межатомного расстояния.

Смещения и напряжения, создаваемые отдельными полными краевыми зернограничны-ми дислокациями, определяем в системах координат Х'у'к2 (рис. 2) с последующим преобразованием их в напряжения и смещения в системе координат XУZ. Для определения смещений и напряжений, создаваемых отдельными зерно-граничными дислокациями в системах координат ХкУкЪ , используем соотношения [5]:

аг^

ук - /Як,)

(и (-)) = Ы V Н 2п

У - /Ь")(хк,о))хк - хк,о)

2(1 -у%у- - /ь(к )(х4,о))2 + (х" - х'к о)2)_

И =- £ 1п((ук - /^ Ц

+ (хк - хк,о )2 )+

(хк - хк,о )2 -(Ук - /к )(хк,о ))2

4(1 -уЩу- -/ь(к)(хк,о))2 +(хк -х'к о)2)_

(9)

(и «к-)) = Ы \ хк 'ь о —

2л

агеГЕ , Ук .У*, + хк - /Ь" >{ук о )

г(к)(

(хк - /()(Ук,о )Хук - ук,о)

2 (1 -у)((хк - /Ьк ) (ук,о ))2 + у - у'к о )2).

Ы) =-Ч. \-2у 1п((х - /(к) у о))2 + 1 ук 'ь _ 2л ь Кук,°"

+ (у»- ук,о)2)+

(хк - /Ъ^о ))2 - (у" - ук,о)

,2 / , , \2 , .... - ....... /к - Ук,о)

4(1 -у)((хк -/ь(к)(Ук,о))2 +(Ук -Ук,о)2), (<т(к,.о))

V хл 1ь

ф,

2л(1 - у)

(ук -/Яко)Кхк -хк,о)2 +(Ук -/ь(к)(хк,о [(хк - х" о)2 + (ук - /ь(к )(хк,о))21

(ст^)

V УкУк ')

2л(1 -у)

(ук - /ь(к)(хк,о ))[(хк - х'к о )2-(Ук - /ь(к)(хк

, (")(х' ))[(х - х )2 „ , ,

к /ь \хк,о / ДУхк хк,о/ Ук /ь \хк,о [(хк - Хк о )2 +(ук - /ь(к)(хк,о ))21

V хкУк п

Ф\

2л(1 - у)

(хк - хк,о )[(хк - хк,о )2 -(Ук - /1")(х

к _к,о / |У к ку к JЬ \_к,о

(^¿,о))ь =-

Иь'ьу

л(1 -у)

Ук -/ь(к)(хк,о)

(хк - хк о )2 +(Ук - /ь(к)(хк,о ))2 '

V хкхк >ь 2л(1 -у) (Ук- Ук,о |.з(хк- ,/ь(к)(Ук,о))2 +(у" - Ук,о)2 ]

(11)

[(хк -/ь(к)(Ук,о))2 +(Ук -Ук,о)2

(Сг(к,о))

V УкУк 'ь

Фь

2л(1 - у)'

(Ук -Ук,о)[(хк -/ь(к)(Ук,о))2 -(Ук -Ук,о)2]

[(хк -/ь(к)(Ук,о))2 +(Ук -Ук,о)2

(-<",о)) V хкУк >ь

2 л (1 -у)'

(хк -/ь(к)(Ук,оШ -/ь(к)(Ук,о))2 -(Ук -Ук,,

[(хк -/ь(к)(Ук,о))2 +(Ук -Ук,о)2

Фьеу

л(1 -у)

У к - Ук,о

X

(12)

(хк - /ь(к)(Ук,о))2 +(Ук - Ук,о)2

Здесь ьеь - модуль вектора Бюргерса полной краевой дислокации. Выбор формул для расчета смещений и напряжений на зеренных границах зависит от способа задания функции соответствующей границы. В случае задания функции как Дг) используются формулы (9), (11); в случаеДу) - формулы (10), (12).

2

X

2

X

X

X

2

Для преобразования координат и компонент тензоров напряжений и смещений в соответствующую систему координат (ХУ2 или Х'У.2) используем следующие соотношения

[7]:

* = * • соз(«) + у • зш(«), (13) у = -* • зш(«) + у • соз(«); (14)

* = * • соз(«) + у • зш(«), (15) уо = -*о • зш(«) + у • соз(«); (16)

(17)

(18)

(19)

(20)

/ ( )(уо)=*о • «эф)+/ (уо) • вт«, / ( )(*о)=(*о) • вь«+уо • со§(«);

(/>)=(/>)• сов«)-^ вш(«); (иу°')=И-зш(«)+ (/>)• соз(«); (а£»))=а)^ соз2 («) + (о».)-зт2 («)-

-(О))-з1п(2а);

(аУ°))=fe))• зт2 («К^) соз2 («) + + (а*°>)• з1п(2а);

х соз

(2«).

(21) (22)

(23)

Здесь « принимает значения ак либо «сг; « - угол поворота системы координат к-ой зеренной границы ХкУк2 относительно системы координат XXX, либо угол « - угол поворота системы координат трещины Х'сгУ'сг2 относительно системы координат ХУ2 (рис. 2); (а.(о)) - компоненты тензора напряжений в системе ХУ2, (а.(о)) - компоненты тензора напряжений в

системе Х'сгУ'^2 .

Смещения и напряжения, обусловленные влиянием образованной в зерне трещины, рассчитываем с учетом работ В.И. Астафьева [4], О.М. Острикова [5] и других авторов:

(и I у)

(и,(0))„ (*, у У

а I (*, у)] = К I (*, у)

I.

Здесь (и^ (*, у) и (о(°>1 (*, у) -

(24)

смещения

и напряжения, создаваемые отдельными дислокациями трещины.

Криволинейные интегралы (24) представляем в виде определенных интегралов в соответствии с методикой, описанной в [5]:

/("'1 (*,у)1 ^ 1+( ))) р. X

I (*, у)

(и? О, (*, у, *о )1

(25)

&^ (*, у, *о )J где I - длина трещины (рис. 1); *]г и */ - координаты начальной и конечной точек трещины.

Смещения и напряжения, обусловленные отдельными дислокациями трещины, определяем в системе координат ХУ2 (рис. 2) с последующим преобразованием их в систему ХУ2 (13) - (23):

Ь Г1-Г ш(у: - /-и(*:,о ))2+

2л \2

+ (*сг - *сг,о )2 ) +

__(усг - /С( ) (*;, ,о )) - (*;г - *;, ,о )

4(1 -у)((у;, - /^(¿,о ))2+(*;, - *;„ )2) _

(и <»») = ъ, V у, >;Г 2л

± ;г ;г ,о ,

;г сг V сг ,о /

г(сг')( ;г 2

_(*€г *;, ,о )(у;г /( )(*;, ,о ))_

2(1 -у)((у, - /У )(*;„о))2+(*;, - *;„)2)_

(26)

(а(о). )

2л(1 -у)'

о ,)[(у,т - .[;_._

[(*;,- *;„)2+(у'сг - /;(;')(*;„о))2 ]

(*;г *;г,о )[(у;г /!( )(*;г,о)) (*;г *;,,о

И )

V у„у„ ),

2л(1 -у)

(*;, - *;,,о )з(у;, - /;(;,)(*;,,о ))2+(

* - *

;. ;., о 2

[(*;,- *;,,о)2+(у;,- /;(;,)(*;, ,о))2 ]

(а<0) ) = ^-чх

V ',»,■>;, 2л(1 -у)

х (у;, - /;(;')(*;,,о)У(>;, - /Л*;,,о))2 -(

х (* - * )2 +(у - / (;,)(* ))2 Р

V ;г ;г,о ' V;, ^ ;г V ;г,о// J

(а(0)) =-

V /;г

;г ;г, о

ФьЬух

л(1 -у)

*;, - *;, ,о

(* - * )2 +(у - /(;, )(* ))2 •

(27)

Здесь Ьесг - модуль вектора Бюргерса полной краевой дислокации.

В рамках решаемой задачи рассмотрим случай, когда плотности дислокаций всех рассматриваемых элементов системы постоянны и равны: на зеренных границах р6(к) = Сх, на двойниковых границах р(т = С, на границах трещины р = С. Границы рассматриваемых зерен принимаем прямолинейными, что наиболее полно соответствует равновесным условиям [7]. В таком случае в плоскости Х0У зерно име-

2

х

2

х

ет форму правильного многоугольника, имеющего п границ и вписанного в окружность с радиусом Я. Выбор расположения систем координат ХУ2, X'kУkZ и X сУ'с2 представлен на рис. 2 и определен расположением рассматриваемого зерна и направлением векторов Бюргерса дислокаций системы. В таком случае уравнения границ зерен представляем в следующем виде:

/ь(1)(Уо) = о ,

/ь(2)(хо)=а -

(28)

2 (8(акГ

/ь(к) (хо) = /ь("-1) (- а • (81п(«2) +... + ап(«к-1))) -х0 - а • ^т(а2) +... + sin(аi_1))

(29)

%(ак)

(30)

где а - длина зеренной границы, ак - угол поворота к-ой зеренной границы относительно 1 -ой. Данные параметры определяем следующим образом:

л

а = 2 • Я • sin

г(п - 2)

(к-1),

(31)

(32)

где Я - радиус вписанной в зерно окружности; п - число граней у зерна.

Уравнения границ зерен в системе Х'Ук2 определяем с помощью уравнений (13) - (18).

Форму двойника обуславливают формы его границ. В данной задаче принимаем их прямолинейными, а форму двойника - в виде равнобедренного треугольника (рис. 2) с шириной у устья Н и длиной Ь. В плоскости ХОУ двойник описывается следующими формулами:

/Лхо ) = Н |1 - ^

ь

/^ )=-НI1 - Ь ].

(33)

(34)

Уравнения, описывающие рассматриваемую трещину в плоскости ХОУ, имеют вид:

¿г (хо )= ™ -

-(г + ь),

%аег '

(35)

где I - длина трещины, асг - угол поворота трещины относительно оси ОХ; г, w - параметры, определяющие расположение трещины относительно двойника (рис. 2).

Результаты расчетов и их обсуждение. Расчеты были проведены для железа (^е). При этом принималось: ьеь = ь = о,248 нм; ьI = ь: = о,124 нм [8]; ф = 81 ГПа [9];

у = о,29 [8]; Я = 7о мкм; п = 4,5,6,7; Н = 11 мкм; Ь = 9о мкм; I = 3о мкм, г = 1о мкм, : = о , а = о.

ег

Результаты расчетов полей напряжений рассматриваемой системы, расположенной в шестиугольном зерне (рис. 1, рис. 2), представлены на рис. 3. Для других вариантов (четырех-пяти- и семиугольных зерен) поля напряжений имеют схожую конфигурацию.

Из рис. 3 видно, что концентраторами напряжений являются основные элементы системы: вершины зерен (а**, а^, агг, оху); двойниковые границы (ахх, агг, аху); вершина и устье двойника (ауу, Оху), а также вершины трещины

(Ох аyy, аzz, аху).

Нормальные напряжения а^ максимальны на границах двойника и вблизи них. При этом верхняя граница испытывает сжимающие напряжения, а нижние - растягивающие. Аналогично, верхние вершины зерен характеризуются отрицательными значениями напряжений, а нижние - положительными. Напряжения а^ на берегах трещины также имеют высокие численные значения. При этом характер напряжений а^ на берегах трещины изменяется с растягивающих у вершины, расположенной вблизи вершины двойника, на сжимающие у противоположной вершины (рис. 3, а,).

Напряжения ауу локализованы в узловых точках рассматриваемой системы (вершины зерен, двойника и трещины). При этом максимальные значения ауу соответствуют границе трещины. У вершины трещины, обращенной к двойнику, напряжения имеют положительный знак, а у противоположной вершины - отрицательный. В целом концентрация напряжений ауу за пределами зерна существенно ниже, чем в его пределах (рис. 3, б).

Максимальные значения нормальных напряжений а22 соответствуют вершинам зерен и границам двойника. При этом трещина не является концентратором напряжений агг, однако она является границей перехода напряжений от растягивающих к сжимающим (рис. 3, в)

Напряжения аху сконцентрированы в пределах рассматриваемого зерна. При этом максимальную концентрацию аху можно отметить у вершины двойника и расположенной вблизи нее вершины трещины. У устья двойника напряжения являются отрицательными, а у вершины двойника и у границ трещины - положительными. Кроме того, имеются места локализации сжимающих напряжений аху, обусловленные наличием трещины в зерне (рис. 3, г).

х

о

п

ак =- Л-

п

х

V, мкм

V, мкм

-100 -100 -50

50 х, мкм

-100 -100 -50

50 х, мкм

V, мкм

V, мкм

-100

-100

-50

50 х, мкм

-100

-50

50 х, мкм

Рис. 3. Распределение напряжений в шестиугольном зерне поликристалла, обусловленных наличием в нем системы «двойник-трещина нормального отрыва»: а - ахх(х,у); б - ауу(х,у); в - агг(х,у); г - аху(х,у)

Заключение. В результате проведенного исследования изучено напряженно-

деформированное состояние в системе двойник-трещина нормального отрыва, находящейся в зерне поликристалла. Выявлены области концентрации растягивающих и сжимающих напряжений в зерне поликристалла в соответствии с предложенной дислокационной моделью рассматриваемой системы двойник-трещина нормального отрыва. Результаты расчетов компонент тензора напряжений свидетельствуют о возможности практического применения разработанного метода расчета напряженно-деформированного состояния в зерне

поликристалла, содержащем единичный клиновидный двойник и трещину нормального отрыва.

Литература

1. Финкель, В. М. Разрушение кристаллов при механическом двойниковании [Текст] / В.М. Финкель, В.А. Федоров, А.П. Королев. - Ростов н/Д.: Изд-во Рост. ун-та, 1990. - 171 с.

2. Зарождение микротрещин при двойниковании в ОЦК и ГЦК металлах [Текст] / В.А. Куранова, С.Н. Плужников, Ю.И. Тялин, В.А. Федоров // Вестник Тамбовского государственного университета. - 2001. - Т. 6. - Вып. 3. -С. 346 - 350.

3. Зарождение трещин на границе свободного упругого двойника [Текст] / В.А. Федоров, Ю.И Тялин, С.Н. Плужников и др. // Вестник Тамбовского государствен-

0

0

0

0

ного университета. - 2003. - Т. 8. - Вып. 4. - С. 726 - 728.

4. Астафьев, В.И. Нелинейная механика разрушения [Текст] / В.И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова. -Самара: Изд-во «Самарский университет», 2001. - 562 с.

5. Остриков, О.М. Механика двойникования твердых тел [Текст]: монография / О. М. Остриков. - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2008. - 301 с.

6. Остриков, О.М. Дислокационная макроскопичес кая модель клиновидного двойника [Текст] / О.М. Остри-

ков // Вестник ГГТУ им. П.О. Сухого. - 2006. - № 2. - С. 10 - 18.

7. Хирт, Дж. Теория дислокаций [Текст] / Дж. Хирт, И. Лоте. - М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.

8. Полухин, П.И. Физические основы пластической деформации [Текст] / П.И. Полухин, С.С. Горелик, В.К. Воронцов. - М.: Металлургия, 1982. - 584 с.

9. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела [Текст] / Ч. Киттель. - М.: Наука, 1978. - 792 с.

Гомельский государственный университет имени П.О. Сухого

STRESS AND STRAIN STATES IN THE SYSTEM «TWIN-CRACK IN THE GRAINS

OF THE POLYCRYSTAL»

T.V. Drobyshevskaya, O.M. Ostrikov

With the use of numerical and analytical methods for calculating studied the stress field generated by the distribution division-dislocations in the system "twin-crack in the grains of the polycrystal". Developed the method of calculation of the stress-strain state of the system

Key words: twinning dislocation model, fracture prediction