Расчет надежности с использованием свойств монотонности функций и эквивалентных преобразований графа надежности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:004.421.5:004.7

Е. Б. ЮДИН 13. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ РНЛ. Н. ИОД-МСРА

Омикис гс^су^цар^ств^нный технический университет

РАСЧЕТ НАДЕЖНОНСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИЙ И ЭКВИВАЛ ЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФА НАДЕЖНОСТИ

Предлагается ускоренный алкоцитм рнсчета надежноссе, реасйнующий /нктод редукции графа надежности и использующий свойство монотонности функций. Ключевые слова: надежностс, лыеиалсвтя, ск^чграф. Работа выполнена при поддери-юг-змиа РФФИ КЫНИ15СН нюл-а.

Введение. В последние столетия развитие технс. генной сферы происходило в очень высоком темпе. Достигнуты выдающиеся результаты во всех областях промышленности. Но при этом созданы невиданные ранее потенциальные и реальные угрозы человеку [1]. Поэтому разработка адекватных че-делей и эффективных алгоритмов для расчета кс-дежности современных систем является весьма актуальной задачей. В теоретическом плане актуанк-ность этой задачи обостряется структурной сложностью, обусловливающей слишком быстрый, как правило, показательный, рост числа операций, необходимых для расчета надежности, который нередко требует полного перебора состояний системы. Впрочем, нередко сложность исследуемых систем является лишь маскировкой простоты, связанной с их развитием, правил, заложенных в их формирование [2]. Во многих случаях сложность задачи расчета надежности можно уменьшить, опираясь на знание об исследуемой системе. Например, если известно, что система формируется на основе блочно-иерархического проектирования, то для уменьшения сложности расчета ее надежности может быть использован метод редукции [3].

1. Метод редукции. Наиболее часто для моделирования надежности систем используются структурные методы расчета надежности. В данной статье будем представлять структурные схемы надежности [3] в виде двухтерминальных графов [4], ребра которых соответствуют элементам надежности на структурных схемах. Полюса структурной зхе-мы надежности соответствуют терминальным вершинам графа надежности. При моделировании надежности каждое ребро графа помечается вероятностью его «выпадения», равной вероятности отна-за соответствующего элемента в структурной схеме надежности. Отказы элементов будем считать независимыми случайными событиями. Состояние системы однозначно определяется набором состояний

ии алерннтов. Счнигается, чио системи исходитчя в состоянии отказа, если в результате случайного выпадения ребер отсутствует путь между терминаль-нымм чедшиксми.

При последовательном соединении всех ребер трнфа на.ижнрсмт «выпадениепхотя иы однтио иа нна привснитк откаау вссйснстемы.и.е. к несвкин 1-сти терминальных вершин (вершины а, Ь на рис. 1). Вероятноаиа снразай тсссой иессомы выкнжиенит через вероятности отказа р. ее элементов формулой

Р = 1 -П (1 - Р,),

(1)

где п — число элементов в системе.

При параллельном соединении всех п ребер графа только «выпадение» всех этих ребер одновре-менао прнгеадт к не с тязноста тее мкнаеаных ве р-шин (вершины а, Ь на рис. 2). Расчет вероятности отказа ссстемы, которая паедзтаелана ннаим графом, выполняется по правилу умножения вероятностей:

р = П р*.

(2)

Совокупность последовательно (или параллельно) соединенных ребер может быть заменена одним ребром, помеченным вероятностью его выпадения, рассчитанной по формуле (1) (или, соот-ветственно,по формуле (2)), так как такая замена не изменяетвероятностиотказа системы в целом. В параллельно-последовательном графе такие операции можно выполнять многократно до тех пор, пока весь граф не окажется редуцированным до одного ребра, соединяющеготерминальныевершины и помеченного искомой вероятностью Р. Если граф не параллельно-последовательный, то с помощью рассмотренных двух типов замен его нельзя редуцировать до единственного ребра, однако нередко

*=1

а 1

N Ь -•

х2 х2

| 0010 | 0100 | 1000 |

Рис. 1. Последовательное соединение элементов

N

| 0011 | 0110 | 1100 | | 0101 | 1010 | | 1001 |

2-й слой

1

Рис. 2. Параллельное соединение элементов

можно существенно упростить. Наглядность и несложность расчетов надежности с применением метода редукции делает этот метод распространенным в инженерной практике.

2. Сокращение перебора. Не все графы надежности могут быть представлены в виде последовательного или параллельного соединения. Единственный подход, гарантированно приводящий к точному решению при расчете надежности, основывается на методе прямого перебора [5].

Сопоставим состоянию графа с N ребрами ^-разрядное двоичное число (единица в г-м разряде которого означает выпадение г-го ребра). Множество двоичных чисел, в записи которых имеется г единиц, назовем г-м слоем (г = 0, ..., В каждом слое будем выделять также четные и нечетные двоичные числа.

Рассмотрим алгоритм послойного перебора состояний графа (рис. 3). Нулевой слой содержит только одно четное двоичное число, все цифры ко -торого — нули. Единственное нечетное число в первом слое можно получить прибавлением единицы к четному числу нулевого слоя. Все четные числа первого слоя можно получить умножениями нечетного числа этого же слоя на 2, выполняемыми мно-

| 1111 | 4-й

Рис.3. Послойнаясхема перебора состояний

1)1 1)2 ЭЭ Э4 ... Эг

Рис.4^1^4 — типовыеподграфыграфанадежности

гократно до тех пор, пока единица не перейдет в нужный разряд. Сложив с единицей каждое полученное четное число первого слоя, можно получить все нечетные числа второго слоя. Далее умножением этих нечетных чисел на 2 получаются м се четные числа второго слоя. Аналогично можно получить числа всех других слоев.

Для сокращения перебора состояний системы используем свойство монотонности функций. Если мы представим состояния отказа элементов и системы единицами, а работоспособные состояния — нулями, то граф надежности определит функцию надежности, выражающую состояние системы череа вектор состояний ее? элементов. Очевид-но,ф°нк:вия надржтесте евеяетси менеионно неу бывающей фикцией. Двт использования монотонности те двоичные числа (начиная с нулевого слоя), для которых терминальные вершины оказались несвязны, заносятсявсписок «запрещенных». Всякое

Таблица 1

Расчет надежностинаосновеанализаграфанадежности

Граф р б — терминсаьные вершины)

Число состояний

Числорропуеиов

Коэффициент сокращения

162144

258289

0,985

2097152

77439

0,0369

1097152

2029912

0,963

524288

411542

0,785

262144

12(922

0,041

1

Н

а) б)

Рис. 5. Генерация теста, релевантного приложению П-1, — а) и тест, релевантный приложению П-2, — б)

1, с 300

200

100

0

-пуассонов

граф -02,03

01-04

—»—01,03

редуцированных ребер

0 5000 10000 Рис. 6.Скоростьпрограммырасчетанадежности

полученное в старших слоях число (состояние I) поразрядно сравнивается с числами из списка запрещенных, и, если результат сравнения показывает, что состояние I включает все единицы запрещенного состояния, то процедуру поиска пути между терминальными вершинами для состояния I можно не выполнять.

В табл. 1 представлены графы, для которых проведен расчет двухтерминальной меры надежности с использованием описанного алгоритма с послойной декомпозицией и с использованием альтернативного алгоритма, не учитывающего свойства монотонности функции надежности.

3. Комбинированный расчет надежности. Можно предложить алгоритм, реализующий смешанную схему расчета надежности, начинающуюся с редукции, после которой, если граф не редуцировался полностью, используется перебор, сокращенный c учетом монотонности функции надежности. К преобразованиям графа надежности, не изменяющим искомой вероятности Р, помимо последовательных и параллельных преобразований добавляется удаление нерелевантных ребер.

Нерелевантные ребра находятся с помощью поиска петель (ребер, замкнутых на себя) и вершин, имеющих единственное инцидентное им ребро. Эти достаточно простые проверки следует проводить, когда после параллельного и последовательного редуцирования происходит изменение графа. Для последовательного редуцирования необходимо найти все вершины, которые имеют только по две смежные вершины. Каждая такая вершина и два инцидентных ей ребра заменяются единственным ребром, вероятность «выпадения» которого рассчитывается по формуле (1). Для параллельного редуцирования просматриваются все пары вершин, соединенных более чем одним ребром. В каждой такой паре совокупность ребер, соединяющих ее вершины, заменяют одним ребром, вероятность «выпадения» которого определяется по формуле (2). Вначале выполняются все возможные последовательные редуцирования, затем — все параллельные, после

этого вновь последовательные и т.д., пока редукция не становится невозможной.

4. Тестирование на графах декомпозиции. Тестирование алгоритма проведено на основе подхода, предложенного в [6]. В качестве тестовых графов надежности генерировались случайные графы надежности методом декомпозиции [6], причем структура графов калибровалась под предметную область, где возможно применение программы расчета надежности. Рассматривались две предметные области (два приложения) и, соответственно, генерировались случайные графы двух типов.

В приложении П-1 граф надежности типовых технических проектов, выполняемых в соответствии с технологией блочно-иерархического проектирования, формируется путем рекурсивного применения декомпозиций D1-D4 (рис. 4) к ребрам. Начальный граф, к которому применяются декомпозиции, представляет собой две терминальные вершины, связанные единственным ребром. Выращивание тестов, ориентированных на приложение П-1, иллюстрируется на рис. 5а). Ребра и их декомпозиции D1-D4 выбираются в процессе выращивания тестового графа надежности случайно.

В приложении П-2 граф надежности формируется эволюционно, что соответствует структуре систем, развивающихся без разработки единого проекта. Для этого приложения тестовые графы надежности формируются путем наращивания безызбыточной последовательной цепочки ребер, соединяющих терминальные вершины, случайно генерируемыми резервными ребрами. Для калибровки вероятностной модели такого приложения достаточно оценить единственный параметр — среднюю плотность E/N ребер графа. На рис. 5б приведен пример теста, релевантного приложению П-2. Средняя плотность ребер у тестов, представленных на рис. 5а и рис. 5б, одинаковая: E/N = 13/6.

Эффективность предложенного алгоритма может быть оценена тремя показателями: вероятностью Q полной редукции графа, временем t полной редукции и коэффициентом k сжатия графа при неполной редукции (не полностью стянутый граф далее анализируется сокращенным перебором). Показатели Q и k можно повысить, добавляя к типовым подграфам декомпозиции дополнительный набор D3-Dr более сложных подграфов. На рис. 6 показаны P-ориентированные зависимости среднего времени расчета надежности от числа E редуцированных ребер.

Графы приложения П-1 редуцируются с вероятностью Q = 1. Для приложений П-1 и П-2 имеем t(N) ~ N 28. Но для приложения П-2 метод редукции оказывается практически непригодным, так как здесь уже при N > 10 имеем Q и 0, и при этом

слишком малый коэффициент сжатия: 59% ребер остаются нередуцированными. А последующий расчет на основе сокращенного перебора является ЫР-сложным и невозможен уже для графов, содержащих десятки вершин.

Библиографический список

1. Соложенцев, Е. Д. Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике / Е. Д. Соложенцев. — СПб. : Бизнес-пресса, 2004. — 432 с.

2. Цветоват, М. Каскады конфликтов и самоорганизованная критичность в динамических сетях / М. Цветоват, М. Руло // Искусственные общества, интернет-журнал. — 2008. — Т. 3. — № 1. — C. 5-15.

3. ГОСТ P 51901.14 — 2005. Метод структурной схемы надежности. — М., 2005. — 35 с.

4. Семенов Ю.А. Алгоритмы телекоммуникационных сетей. Часть 2. Протоколы и алгоритмы маршрутизации в INTERNET / Ю.А. Семенов. — М. : Изд-во Бином. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий, 2007. — 832 с.

5. Ушаков, И. А. Курс теории надежности систем / И. А. Ушаков. — М. : Дрофа, 2008. — 239 с.

6. Задорожный, В. Н. Статистически однородные случайные графы: определение, генерация, применение / В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин // Омский научный вестник. — 2009. — № 3 (83). — С. 7-13.

ЮДИН Евгений Борисович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

ЮДИНА Мария Николаевна, ассистент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 04.07.2014 г. © Е. Б. Юдин, В. Н. Задорожный, М. Н. Юдина

УДК 0047385 В. А. БАДРЫЗЛОВ

Омский государственный технический университет

ПРИНЦИПЫ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЕТИ ИНТЕРНЕТ

В статье рассмотрены возможности моделирования сети Интернет случайными графами с различными принципами их генерации.

Ключевые слова: социальная сеть, случайный граф, предпочтительное связывание.

Введение. В современном информационном пространстве возникла и активно развивается новая информационная структура — Интернет. В последнее десятилетие Интернет — основа не только для передачи информации. Через Интернет сегодня осуществляется электронный документооборот между удаленными подразделениями организаций, ведутся межбанковские расчеты, производятся платежи физических лиц, функционируют электронные магазины, аукционы, биржи, ведет свою деятельность Электронное Правительство, работают системы оказания электронных услуг различными государственными организациями, создаются социальные сети, объединяющие единомышленников и т.д. Сеть становится инструментом информационного влияния и, в перспективе, противоборства различных групп, стремящихся оказать давление на общественное мнение, сформировать ту или иную точку зрения.

Вместе с тем структура, свойства, закономерности развития Интернет остаются слабо изученными из-за крайне большого количества элементов этой сети и постоянного изменения ее структуры. Вместо реальной сети было бы удобно рассматривать и анализировать не саму сеть, а ее адекватную

модель, обладающую самыми важными свойствами Интернет, но более простую и доступную для изучения. Перспективным направлением такого моделирования является применение случайных графов в качестве модели сети. Несмотря на множество предложений по способам построения графов, на наш взгляд, есть несколько принципиально разных базовых принципов построения случайных графов. В настоящей статье предпринята попытка выделить такие базовые принципы.

Эмпирические наблюдения. В своих статьях А. М. Райгородский [1, 2] формулирует следующие три основных свойства сети Интернет.

1. Диаметр графа сети Интернет очень мал. Диаметр графа — самое большое расстояние между вершинами графа, где под расстоянием между вершинами графа понимается количество ребер в кратчайшей цепочке, соединяющей эти вершины. По результатам исследований Всемирной паутины (WWW) предложен закон, определяющий среднее количество ссылок D, необходимых для перехода с одной страницы Интернета на любую другую [3]:

D - 0,35 + 2,06log(N), где N —число узлов в WWW.