CC BY
44
УДК 69.04
DOI: 10.17213/0321-2653-2016-1-95-98
РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ
CALCULATION OF PLANE BENDING STABILITY OF BEAMS WITH VARIABLE STIFFNESS
© 2016 г. А.А. Карамышева, С.Б. Языева, А.С. Чепурненко
Карамышева Анна Анатольевна - ассистент, кафедра «Строительство уникальных зданий», Ростовский государственный строительный университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected]
Языева Светлана Борисовна - канд. техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Дизайн», Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected]
Чепурненко Антон Сергеевич - ассистент, кафедра «Сопротивление материалов», Ростовский государственный строительный университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: anton_chepurnenk@mail. ru
Karamysheva Anna Anatolyevna - assistant, department «Construction of Unique Buildings», Rostov State University of Civil Engineering, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]
Yazyeva Svetlana Borisovna - Candidate of Technical Sciences, professor, department «Design», Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]
Chepurnenko Anton Sergeevich - assistant, department «Strength of Materials», Rostov State University of Civil Engineering, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: anton_chepurnenk@ mail.ru
Приведена методика расчета на устойчивость плоской формы изгиба дощатоклееных балок переменного сечения. Решение выполнялось численно-аналитически при помощи метода Бубнова - Галерки-на. Задача свелась к обобщенному вековому уравнению. Вычисления производились в пакете MatLab. Исследовано влияние переменной жесткости на величину критической нагрузки на примере двускатной балки, загруженной сосредоточенной силой. Выполнено сравнение с расчетными зависимостями, приведенными в действующих нормах проектирования деревянных конструкций, а также результатами А.А. Журавлева. Установлено, что нормы проектирования дают сильно заниженные значения коэффициента кжМ, что ведет к перерасходу материала. Предложена уточненная расчетная формула в виде полинома с переменными коэффициентами.
Ключевые слова: устойчивость плоской формы изгиба; дощатоклееные балки; метод Бубнова - Галеркина; вековое уравнение; собственные числа; численно-аналитические методы.
The paper presents the technique of calculation of the stability of plane bending of glulam beams with variable section. The solution was made numerically-analytically using the Bubnov-Galerkin method. The problem reduced to a generalized secular equation. The calculations were made in the software package Mat-lab. The influence of variable rigidity on the critical load was investigated on the example of gable beams loaded by a concentrated force. We compared results with the formulas given in the design standards of wooden structures, as well as the results of A.A. Zhuravlev. It was found that the design standards give very low values of the reducing coefficient, which leads to a waste of material. A refined calculation formula in the form of a polynomial with variable coefficients was proposed.
Keywords: the stability of plane bending; glulam beams; Bubnov-Galerkin method; the secular equation; eigenvalues; numerical and analytical methods.
Введение
Известно, что задача устойчивости плоской формы изгиба балки прямоугольного сечения сводится к следующему дифференциальному уравнению [1 - 4]:
d2е (My (х))2
dx
GIк Elz
е=0,
(1)
где 6 - угол закручивания; М у - изгибающий момент; G - модуль сдвига; Е - модуль упругости; 1г = ЬУ?/12- осевой момент инерции; 1к- момент инерции при кручении, который определяется следующим образом [5]:
I к =РУЬ3,
+
Р - коэффициент, зависящий от отношения УЬ.
В табл. 1 представлены значения коэффициента Р при разных отношениях УЬ. Для очень узких прямоугольников при УЬ>10 можно принять Р«1/3 [5].
Таблица 1
fe/b 1 2 3 4 6 8 10 да
ß 0,140 0,229 0,263 0,281 0,299 0,307 0,312 0,333
M,
(2)
М © = <! (4)
[Р1(1-§)а, а<§<1.
Подставив (3) и (4) в (1), считая, что коэффициент в по длине балки не меняется, получим следующее дифференциальное уравнение:
d
^+V №0, d
где Х = P2l4 /(GIK0El0); Iк0 = ßHb3; I0Z = bH3 /12 ;
(5)
Коэффициент в также можно определить по приближенной формуле [6]:
Р=!(1-0,63ь).
3 h
В случае чистого изгиба при постоянном поперечном сечении формула критического момента имеет вид [1]
f ©=
(1-а)212
(у + 2(1-у)|)2 (1-а)2
0 <§< 0,5;
(1-(1-у)(2|-1))2 (1-02 а 2
(1-(1-у)(2|-1))2
0,5 <|<а; а<§<1.
При переменном изгибающем моменте аналитическое решение уравнения (2) отыскивается в Бесселевых функциях, либо в бесконечных степенных рядах.
Постановка задачи
Рассмотрим двухскатную балку прямоугольного сечения, шарнирно опертую по концам в плоскости и из плоскости изгиба, к которой приложена сила Р не в середине пролета. Расчетная схема и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 1. В опорных сечениях балка закреплена от поворота вокруг своей оси.
Граничные условия для уравнения (5) имеют вид 6(0) = 9(1) = 1.
Решение уравнения (5) выполняется методом Бубнова - Галеркина. В качестве базисной функции принимаем тригонометрический ряд с п неопределенными коэффициентами:
9(|) = £с,. яп(^).
1=1
Условие ортогональности невязки записывается в
виде
1
]V Yi 2сг sin(ra§) + У (OXc sin(ra§)] sin(^d = 0
0 i=1 i=1
k = 1...n .
(6)
Условие (6) представляет систему линейных алгебраических уравнений:
([ A] + X[B]){X } = 0,
iT
(7)
где {X}={с1 с2 ... сп} - вектор неизвестных коэффициентов ряда;
[ A] =
Рис. 1. Расчетная схема и эпюра изгибающих моментов
Введем безразмерную координату £ = х/1. Высота балки изменяется по закону
Г Я[у + 2(1-7)^1,0<£<0,5; А(^) Ч (3)
[Н [1-(1-у)(24-1)],0,5 <5<1.
Изгибающий момент определяется следующим образом:
л a •
а^л а^о ... 0л
; [ в]=
b11 b12 ... b1n b21 b22 ... b2n
bn1 bn2 ... bn
п1 п2 ''' "к
Коэффициенты матриц [А] и [В] определяются
следующим образом:
1
aik = -(ra)2 j"sin(ra'|)sin(:rck|)d £ =
2
0, г Ф k;
г = k;
bik = jf (¡i)sin(ni^)sin(nkQd§.
(8)
a
1n
Интеграл в (8) может быть вычислен численно при помощи формулы трапеций или Симпсона. Система (7) имеет ненулевое решение, если равен нулю ее определитель:
+ Х[ В]) = 0. (9)
Выражение (9) представляет обобщенное вековое уравнение. Решение данного уравнения выполнялось численно в пакете МайаЬ. Первой критической нагрузке соответствует наименьшее по абсолютной величине из собственных значений X.
Критическую нагрузку можно найти по формуле
P =
кр
^ кр GI0 EI0 l2
В действующих нормах проектирования деревянных конструкций [7] расчет на устойчивость плоской формы изгиба ведется по формуле
M
-< R
Фм^бр
где М - максимальный изгибающий момент; №бр -
момент сопротивления брутто на рассматриваемом участке; Rи - расчетное сопротивление при изгибе.
Коэффициент фм для изгибаемых элементов прямоугольного постоянного сечения определяется по формуле
Ь2
Фм =140ТГ
1рУ
где Iр - расстояние между опорными сечениями элемента; kф - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке Iр; Ь и У - размеры поперечного сечения.
Переменная жесткость в [7] учитывается понижающим коэффициентом kжМ , на который умножается коэффициент устойчивости фм.
Для случая действия сосредоточенной силы на двускатную балку в нормах проектирования деревянных конструкций приводится следующая формула коэффициента kжМ :
Результаты исследований
Поученные авторами значения коэффициента krM в зависимости от параметров а и у представлены в табл. 2.
График изменения коэффициента krM в зависимости от а и у , соответствующий табл. 2, показан на рис. 2 закрашенной поверхностью. Сетчатой поверхности соответствует зависимость, приведенная в нормах. Из рис. 2 видно существенное расхождение норм с результатами, полученными автором.
Для случая действия сосредоточенной силы в середине пролета А.А. Журавлевым была получена следующая формула коэффициента kwM [8-10]:
k = 3_10(3 + у)_
жМ 2\h80y4 -570у3 + 762у2 -575у + 293
(11)
1 о
Y
kжМ =у3-2С "р =у 4-2а
(10)
Рис. 2. Изменение коэффициента klsM в зависимости от а и у
На рис. 3 представлены графики изменения коэффициента krM в зависимости от у при а = 0,5. Кривой 1 соответствует результат, полученный авторами, кривой 2 - по формуле (10), а кривой 3 - по формуле А.А. Журавлева.
Из рис. 3 видно, что как формула (11), так и формула (10) дают сильно заниженные значения коэффициента krM . Отклонение решения А.А. Журавлева от результатов авторов можно объяснить тем, что А.А. Журавлев разбивал балку всего на два конечных элемента.
Таблица 2
Значения коэффициента k.xM в зависимости от а и у
k
а Y
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,5 0,816 0,846 0,872 0,897 0,919 0,941 0,962 0,981
0,6 0,792 0,825 0,854 0,882 0,908 0,933 0,956 0,978
0,7 0,735 0,777 0,815 0,850 0,883 0,914 0,944 0,973
0,8 0,665 0,719 0,768 0,813 0,855 0,894 0,931 0,966
0,9 0,599 0,668 0,728 0,783 0,833 0,879 0,922 0,962
0.6
0.4
0.2
1
1 ~-^
2 А-:-'" -•.''--г'* 3
[
1
0,2
0,4
0,6
Рис. 3. Изменение коэффициента кж от у при а = 0,5
0,8 Y в зависимости
Зависимость kжМ (а, у) в случае действия сосредоточенной силы хорошо аппроксимируется следующей формулой:
kжм(а,У) = ^(а) + ^(а)у + kз(а)у2 , где ^(а) = -1,25а2 + 0,926а + 0,606;
k2(а) = 2,86а2 - 2,71а + 0,984; ^(а) =-1,69а2 + 1,87а-0,616 .
Литература
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1975. 984 с.
2. Карамышева А.А., Никора Н.И., Языева С.Б. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования односкатной балки // Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом: сб. статей междунар. науч.-практ. конф.. Челябинск: АЭТЕРНА, 2015. С. 32 - 34.
3. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. Л., М.: Гостехиздат, 1946. 532 с.
4. Стружанов В.В., Бахарева Е.А. Итерационные процедуры расчёта параметров равновесия и устойчивость процесса чистого изгиба балок из пластических и хрупких разупрочняющихся материалов // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. 2010. №. 1. С. 84 - 95
5. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд-во АСВ, 1995. 568 с.
6. Журавлев А.А. Устойчивость плоской формы деформирования непризматических дощатоклееных балок: дис. ... канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 1998. 154 с.
7. СП 64.13330.2011. Деревянные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-25-80. 88 с.
8. Журавлёв А.А. Устойчивость непризматических балок при действии сосредоточенной силы // Изв. вузов. Строительство. 1996. № 4. С. 110 - 113.
9. Журавлёв А.А. Устойчивость непризматических балок при чистом изгибе // Изв. вузов. Строительство. 1995. № 5 - 6. С. 29 - 35.
10. Журавлёв А.А. Влияние положения точки приложения силы на устойчивость плоской формы изгиба непризматической балки // Изв. вузов. Строительство. 1996. № 7. С. 7 - 10.
к
References
1. Vol'mir A. S. Ustojchivost'deformiruemyh sistem [Stability of deformable systems]. Moscow, Nauka, 1975, 984 p.
2. Karamysheva A.A., Nikora N.I., Jazyeva S.B. [Calculation of the stability of a flat shape pent beam deformation]. Aktual'nye problemy tehnicheskih nauk v Rossii i za rubezhom: sbornik statej mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii [Actual problems of engineering science in Russia and abroad: a collection of articles of the international scientific-practical conference]. Chelyabinsk, AJeTERNA, 2015, pp. 32-34.
3. Timoshenko S.P. Ustojchivost' uprugih system [Stability of elastic systems]. Leningrad-Moscow, Gostehizdat, 1946, 532 p.
4. Struzhanov V. V., Bahareva E. A. Iteracionnye procedury raschjota parametrov ravnovesija i ustojchivost' processa chistogo izgiba balok iz plasticheskih i hrupkih razuprochnjajushhihsja materialov [Iterative procedure for calculating the parameters of the equilibrium and stability of pure bending of beams of plastic and brittle softening materials]. Vestnik Samarskogo gos. tehn. un-ta, 2010, no. 1, pp. 84-95. [In Russ.]
5. Vardanjan G.S., Andreev V.I., Atarov N.M., Gorshkov A.A. Soprotivlenie materialov s osnovami teorii uprugosti iplastichnosti [Strength of materials with the basics of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Izd-vo ASV, 1995, 568 p.
6. Zhuravlev A.A. Ustojchivost' ploskoj formy deformirovanija neprizmaticheskih doshhatokleenyh balok: diss. kand. tehn. nauk [Resistance of flat shape deformation of not prismatic glulam beams: diss. cand. tehn. sciences]. Rostov-on-Don, 1998, 154 p.
7. SP 64.13330.2011. Derevjannye konstrukcii. Aktualizirovannaja redakcija SNiP II-25-80 [Wooden structures. The updated edition of SNiP П-25-80]. 88 p.
8. Zhuravljov A.A. Ustojchivost' neprizmaticheskih balok pri dejstvii sosredotochennoj sily [Stability not prismatic beams under the action of a force]. Izv. vuzov. Stroitel'stvo, 1996, no. 4, pp. 110-113.[In Russ.]
9. Zhuravljov A.A. Ustojchivost' neprizmaticheskih balok pri chistom izgibe [Stability not prismatic beams in pure bending]. Izv. vuzov. Stroitel'stvo, 1995, no. 5 - 6, pp. 29-35.
10. Zhuravljov A.A. Vlijanie polozhenija tochki prilozhenija sily na ustojchivost' ploskoj formy izgiba neprizmaticheskoj balki [Influence of location of the point of application of force on the stability of plane bending not prismatic beam]. Izv. vuzov. Stroitel'stvo, 1996, no. 7, pp. 7-10.
Поступила в редакцию 15 ноября 2015 г.
