Расчет квазистационарных полей в металлических листах и плитах, расположенных в магнитных полях, с использованием двойных рядов Фурье Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.013.001.24:509.65

РАСЧЕТ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЛИСТАХ И ПЛИТАХ, РАСПОЛОЖЕННЫХ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

Докт. техн. наук, проф. ¡ГЕРАСИМОВИЧ А. Н.|

Белорусский национальный технический университет Канд. техн. наук ГЕРАСИМОВИЧ Д. А.

ООО «Электротехническая компания "Экнис "» Инж. КОЗИК А. М.

Пинские электрические сети РУП «Брестэнерго»

В различных электроустановках на большие токи применяются металлические конструкции в виде перегородок и ограждений из листов, плит, щитов и т. п. В них могут иметь место значительные величины мощности потерь, недопустимый нагрев и вибрация, вызванные вихревыми токами, которые наводятся электромагнитными полями рассеяния. Эти явления влияют на надежность и экономичность установки, а также на ее термическую и динамическую стойкость. Поэтому важна разработка методов количественной оценки отмеченных явлений, которые основываются на решении классической задачи анализа электромагнитных процессов в проводящих средах, расположенных в неоднородных магнитных полях переменных токов. Анализ таких процессов проводят экспериментально, аналитически или численно-аналитически [1-4]. Следует отметить, что указанные методы являются частными. Они ориентированы на определенный круг задач с заданными граничными условиями и заданным расположением проводящей среды относительно источника поля.

Решение задачи расчета электромагнитного поля в проводящих средах, напоминающих листы, плиты, щиты и так далее, рассмотрим на примере рис. 1. Плита с изотропными однородными электромагнитными свойствами расположена в неоднородном переменном магнитном поле источника. Принимаются известными параметры этого поля в любой точке пространства при отсутствии проводящей среды. Геометрические размеры плиты (длина I и ширина к) всегда такие, что намного превышают ее толщину 5 и глубину проникновения электромагнитной волны. Эти условия позволяют при решении задачи, из-за незначительного влияния, исключить из рассмотрения диффузию в плиту электромагнитного поля через ее узкие грани и не рассматривать электромагнитные процессы вблизи краев плиты.

Поле (рис. 2) в среде I, т. е. над и под проводящей средой П, является результирующим, создаваемым источником и вихревыми токами среды П. Поле в плите обусловлено вихревыми токами. Так как вихревые токи вызваны магнитными потоками, пронизывающими сечение плиты, при определении их величин и других параметров поля простые соотношения полу-

чаются при использовании в решении задачи магнитного векторного потенциала. В технических системах токи источника поля и вихревые токи являются замкнутыми. Это позволяет однозначно определять величины их магнитных векторных потенциалов, так как для таких случаев условие однозначности йШ = 0 (калибровка Кулона) выполняется автоматически [5]. Обозначим комплексную величину магнитного векторного потенциала источника \(х,у,г) , а вихревых токов - Ав(х,у,г) . Тогда результирующий потенциал в среде! при *е(0,й), уе(0,1), ге (5,оо) и 2е(-оо,0) будет:

4(х, у, г) = 4(х, у, г) + 4 а(х, у, г),

(1)

а в среде П -

Ап(х,у,г) = А2в(х,у, г).

(2)

Рис. I. Геометрическая модель листа в неоднородном магнитном поле

Ах1(х,у,г)

' Л1в(Х>У>2) Ал(Х'У'51 т , —/ 7.. I /

/

II

, Ах1в(х,у,г) АхП(х,у, 0) Ах1{х,у,г)

Ау[(х,у,г)

7* / С 1

II

> Г

У

\ _ "Ау1ъ{х,у,г) Ау11(х,у,0)

Рис. 2. Векторный потенциал источника и вихревых токов на поверхностях плоскостей

сечений листа хОг (а) и уОг (б)

>

I

При этом вектор Ах(х,у,г) содержит все три проекции Ак1(х,у,г),

Ау1(х,у,г) и Ал(х,у,2), а векторам А1в(х,у,г) и А,в(х,у,г) присущи только тангенциальные составляющие к поверхностям плиты. Через циркуляцию АхП(х,у,г) и АуП(х,у,г) по соответствующим контурам и Ь2 определяются величины проекций магнитных потоков в сечениях плиты.

Электромагнитное состояние среды в неоднородном магнитном поле для установившегося режима определяется дифференциальным уравнением относительно комплексной амплитуды магнитного векторного потенциала А(х,у,г) [5, 6]

М(х,у,г)-а2А(х,у,г) = 0, (3)

где Д - оператор Лапласа;

для среды I: А(х,у,г) = А1(х,у,г), а^ =-со2ц,е,, ^ = ц0=4я-1(Г7 Ом-с/м, е, - е0 = у * 10~9 с/(Ом- м) - диэлектрическая проницаемость;

для среды II: А(х,у,г) - Ай(х,у,г), а^ = _/юу2ц2, у2 - электропроводность среды; ¡л2 - магнитная проницаемость; со - круговая частота.

При исследовании поля в плите полагаем известными тангенциальные к ней составляющие векторного потенциала и магнитной индукции В(х,у,г) на границах раздела сред I и II и их зависимости от координат х и у. Разложим эти зависимости в двойной косинусный ряд Фурье [7] по пространственным координатам с дополнением зависимостей потенциала и индукции до четных функций, т. е.:

00 00 -г

Д(Л У, г) = X Е ™&(кыхх) соз(т<ауу), г = 0, 5; (а)

к=0т=0

(4)

_ СО СО

В1(х,у,2) = ^^ВктГ(г)С08(к(0хх)с08(та>уу), г = (б)

к=0м=0

где г = I, П, а>х = и/}г, о>у - я//; ш,. соу - пространственные частоты разложения по соответствующим координатам; А^тт , Вкт'" - комплексные амплитуды (к, т)-х гармоник пространственного разложения соответствующих функций.

Теперь расчет электромагнитного состояния можно проводить методом наложения результатов диффузии поля в среды I и II от каждой гармоники. С учетом (4) уравнение (3) для проекций векторного потенциала среды II примет вид:

А:,т дк,т / •

дг

г = 0;

Лту д21

г)' АК'т(7\

где кга = л!аи + (Ю2 + ■

Для среды I уравнение (3) разрешается только относительно потенциала реакции вихревых токов (поле от источника считается известным):

к,т \к.т / \ _ г\.

Р\ ЛпххА2)-",

(6)

д'4,у1В(2) _ к,т -Лк,т , Ч = 0 Р\ "т)\я\я> и'

где = ^ких)2 + (пту)2 + а;

Уравнения (5), (6) формально определяют распределение магнитного потенциала в рассматриваемых средах с безграничными шириной и длиной. Их решение покажем для проекции вектора А^"' (г). Изменение проекции А^'хд (г) в проводящей плите по ее толщине определяется выражением [8]:

&) = ^п(О) + ге(0,5), (7)

вЬСРи 5) 5)

где Акт™](0), А^ц(8) — неизвестные значения магнитного векторного потенциала вихревых токов на нижней и верхней поверхностях плиты.

Для воздуха решение (6) относительно вихревой составляющей потенциала определяется выражениями:

А^М = А^в(0)ехр(р^), ге(-со,0);

(8)

Л^да = ехр(^и(5 - 2)), 2 6 (5, + оо),

а (к, т)-я гармоника результирующего векторного потенциала в воздухе определяется выражениями:

+ 0)ехр(р[ т1)соэ^аус)соз(тоо,.у), г е (-со,0); (а)

(9)

4,{т(х,у,г) = Ах{'"(х,у,г) +

+ А^2(8)схр(р^(5 - г))Со5(к(охх)Со5(та>уу), г е (5, + оо), (б)

где Акх{т (х,у,г) - известные величины, определяемые магнитным полем источника.

Величины 1(0), 5), А^(0) и в (7)-(9) подлежат опре-

делению. Для их нахождения составим уравнения равенства магнитного векторного потенциала на границах раздела сред для отдельных (к, т)-х гармоник, т. е.:

Два других уравнения составим на основе равенства тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля Н(х,у,г) при г = 0, 8, определяя последние по величине магнитного векторного потенциала из условия Н(х,у,г) =—В(х,у,г)=—гоЩх,у,г). В результате получим-

к,т ( .

(И)

Ч с/ у

где (°) . Вту\ (5) ~ известные амплитуды гармоник двойного ряда Фурье индукции магнитного поля источника на границах раздела сред.

Из совместного решения уравнений (10), (11) находятся неизвестные амплитуды гармоник магнитного векторного потенциала вихревых токов на границах раздела сред:

1 Р\ +Рц <ЩРи V

м2; 2 РпШ И, ) { ^СРп'т8) , 2

4^(0)=

[п"*пГаНр!{-

2 1

(12)

-4^7(0); (13)

V 1*2 у |+ М,(

Цгу1 | А Ц1 !

л.-.••-)

(14)

4^(5)=-

1 2 ^ ' к,т \2 А И1

-&). (15)

Выражения (12)-(15) совместно с (4), (7), (8) позволяют рассчитывать параметры электромагнитного поля в рассматриваемых областях сред I и П. При этом необходимо знать только электромагнитные свойства сред и параметры магнитного поля источника (гармоники индукции и магнитного векторного потенциала двойного ряда Фурье) на границах раздела сред.

учетом отмеченного для рассматриваемых листов и плит результирую-ш магнитный векторный потенциал (комплексная амплитуда) будет рас-итываться по выражению

□О оо

Axa(x,y,z) = 2^L

iW + л-

null *

к-О т-0 \

W5)

х cos{k(oxx) cos(mco у).

ntcIlV

£

IX

У

(16)

Так как в данном случае отсутствует потенциальная составляющая в шряженности электрического поля, ее величина определяется через знание векторного потенциала по формуле [6]

Exn(x,y,z) = -joiAm(x,y,z), напряженность магнитного поля находится соответственно

(17)

(д2

1

-ttIS

r-2 /c=0m=0V

Sh(pkn'"S)

х cos(kwxx)cos(m(oyy).

■к ¿ГсЬ(рГг)

(18)

Аналогичные формулы получаются при решении уравнения (3) относи-;льно составляющей векторного потенциала Ау(х,у,г) с учетом замены в

элученных выражениях индексов х на у и у на х. Формулы (12) (18) яв-потся общими. Однако для преобладающего числа задач расчета поля в иите, особенно при незначительной ее толщине (лист), можно принимать (0) - А^; (5) - Актхп; и Вкт; (0) - Вкт;х (5) = Вкп;; . При таких допущениях

ыражения для расчета напряженностей электрического и магнитного по-ей приводятся к виду:

к,т/

к=0т=0\

.WPWTth{^Ъ/гЩр^ЪП)

Bkm;sh{p^m(5/2-z))

cos(k(oxx) cos(meo у},

(19)

Km I

II ( \_VV птх\У\ У п JtlVFH V"'*- ->>

(X,y,z) - + ^-^-8/2)^-6/2)

+

Bkmy:pkamoHpknm(b/2-z))

I формулы для расчета величин А^ф) и Д^(8) будут:

(20)

cos{Ыхх) cos(mco у),

___^ 2

"аъК) Ц2рк1т + ^1ркптЧркпт 8/2)

В случае, если рассматривается металлоконструкция, расположенная в

однородном магнитном поле (к = 0, т = 0, =ап, р\'т = а, ~ 0 и

Нту1(х,у,0) = Нту1(х,у,8) ~Нту,), получаем широко известные выражения

по расчету напряженностей электромагнитного поля (с учетом переноса системы координат в середину толщины плиты, т. е. г = г + 8/2 ) [8, 9]:

V У2 ' ^сЬ(ап6/2)' ^ ^

^тхп(2)- -.1 "ту!

Я (г уг) = сЬ(ад2,) =Я с1г(а"2,) (24)

¡а, сп(апо/2) сп(апо/2)

Часто для количественной оценки отдельных параметров электромагнитного поля используют вместо удельных величин усредненные значения на отдельных участках. В таких случаях в расчетные формулы подставляются значения амплитуд (0, т)-й или (к, 0)-й гармоник. К примеру, усредненное значение плотности вихревых токов на поверхности плиты

с>^|(х, у, 0) будет определяться по формуле

оср

(х,у, 0) = у2е^(х,у,0) = усоугИгЕ

( 0, от

_Аы Р\

ПЦ'П

+ ___тх[

(25)

соб(ты у).

Приведенные выражения по расчету величин параметров электромагнитного поля в рассматриваемой среде позволяют разделить их на две составляющие. Первая их них обусловлена тангенциальной величиной напряженности электрического поля источника ЕтхХ ( Атх1), ЕтуЛ (Ату1) или

нормальной составляющей индукции ВтЛ. Вторая вызвана тангенциальной индукцией (напряженностью магнитного гюдя) Втй (НтА), Вту1 (Нту1).

При принятых допущениях и произвольной ориентации плиты по отношению к токам источника (рис. За) в расчетах учитываются все три составляющие индукции, а при ее расположении к току источника под углом 90° (рис. 36) или в области, где отсутствует или незначительна величина индукции ВтЛ (рис. Зд), учитываются только составляющие, содержащие ВгюЛ и Вту]. Если ток ориентирован в направлении осей координат Ох или

Оу, то в расчетах учитываются соответственно составляющие Вту1 и В (рис. Зв) или Вт1 и Вт,х (рис. Зг).

mzl

/ /

х|

/у—% // л'

Рис. 3. Примеры расположения листа относительно токов (источников магнитного поля) и составляющие вектора магнитной индукции на его поверхностях

Таким образом, рассмотренный алгоритм по исследованию электромагнитных процессов в металлических листах и плитах, обусловленных неоднородными магнитными полями переменных токов, позволяет количественно оценить величины параметров поля по результатам разложения в двойной ряд Фурье распределений магнитного векторного потенциала и магнитной индукции источника поля на поверхностях указанных объектов.

ВЫВОД

Предложен метод расчета электромагнитного состояния металлических листов, плит, щитов и т. п., расположенных в неоднородных магнитных полях переменных токов с использованием двойных рядов Фурье, позволяющий определять электромагнитные величины по параметрам поля источника на поверхностях исследуемых объектов и их геометрическим размерам и электромагнитным свойствам.

ЛИТЕРАТУРА

1.Кияницина М. С., Попова В. Ф. Потери в ферромагнитных конструкциях мощных токопроводов. - Л.: Энергия, 1972. - 112 с.

2. К р а в ч е н к о А. Н., Н и ж н и к Л. П. Электродинамические расчеты в электротехнике. - Киев: Техника, 1977. - 182 с.

3. В а л ы н с к а я Г. Л., X о л и н В. Н., Ц и ц и к я н Г. Н. Об одной задаче расчета активной мощности в проводящих слоях и некоторых ее приложениях // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1974. - № 8. - С. 89-97.

4.Герасимович А. Н. Приближенные методы определения электромагнитных характеристик токоведущих систем и проводящих конструкций электроустановок: Авто-реф. дис. ... докт. техн. наук: 05.09.05 / СПбГТУ. - СПб., 1993. - 34 с.

5. Т а м м И. Е. Основы теории электричества. - М.: Наука, 1976. - 616 с.

6. Туровский Я. Техническая электродинамика / Пер. с польск. - М.: Энергия, 1974.-448 с.

7. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики. - М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 656 с.

8.Герасимович А. Н. Техническая электродинамика. - Мн.: БГПА, 1997. - 94 с.

9. Б е с с о н о в Л. А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высш. шк., 1973. -752 с.

Представлена кафедрой электрических станций

Поступила 17.10.2005