Расчет колебаний, генерируемых вибратором в пограничном слое несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том XIX 198 8

№ 3

УДК 532.526

РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ, ГЕНЕРИРУЕМЫХ ВИБРАТОРОМ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

С. В. Мануйлович

Рассматривается задача о возбуждении малых колебаний в течении вязкой несжимаемой жидкости при помощи вибратора, совершающего гармонические колебания на дне пограничного слоя. Методом Фурье исследуется корректность поставленной краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Навье—Стокса. Асимптотический анализ возмущенного движения вниз по потоку позволяет определить амплитуду генерируемой волны Толлмина — Шлихтинга. Произведен расчет возмущенного давления в окрестности вибратора.

1. Формулировка краевой задачи. Будем изучать нестационарные двумерные возмущения течения вязкой несжимаемой жидкости около плоской полубесконечной пластины, вызванные малыми гармоническими колебаниями локализованного участка обтекаемой поверхности. Набегающий поток будем предполагать равномерным и параллельным поверхности пластины.

Введем декартову систему координат с началом в точке О, расположенной на обтекаемой поверхности на расстоянии Ь от передней кромки, осью х, направленной вдоль набегающего потока, и осью у, перпендикулярной пластине. Все величины будем считать безразмерными, используя в качестве основных единиц плотность жидкости р, скорость внешнего течения иоо и характерный масштаб длины I, выбранный таким образом, чтобы профиль и (у) невозмущенного течения в точке О удовлетворял соотношению сШ1йу= 1 при у = 0. Безразмерный коэффициент кинематической вязкости V будем считать достаточно малым с тем, чтобы к описанию основного течения в окрестности точки О была применима концепция пограничного слоя.

Расчет колебаний, генерируемых вибратором в пограничном слое, был проведен в работе [1], где число Рейнольдса Н=^-1 предполагалось бесконечно большим, а частота вибрации соответствовала окрестности нижней ветви нейтральной кривой [2]. Поскольку в этом случае реальное течение в пограничном слое является турбулентным, результаты Р] имеют лишь теоретическое значение. Постановка задачи о вибраторе для случая конечного числа Н была впервые предложена в [3]. В работе ![4] был проведен расчет параметров генерируемой вибратором волны Толлмина—Шлихтинга (Т—Ш), представляющей собой лишь

часть возмущенного движения. Целью настоящей статьи является полный расчет возмущенного течения.

Предположим, что возмущения основного течения вызваны вибрацией поверхности пластины, точки которой перемещаются в вертикальном направлении по закону

yw = af(x)exp(— Ш); (1)

здесь t — время, со>0 — частота колебаний, а<1 — их амплитуда. Основное невозмущенное течение будем предполагать параллельным, поэтому в дальнейшем считаем \х\ <L, не исключая при этом возможности | х | > 1.

Обозначим посредством aq{x, у) exp (—mt) возмущения компонент вектора скорости и давления (q = vx, vv, р). Функции q удовлетворяют линеаризованной системе уравнений Навье—Стокса:

1 d2 vx R дУ‘

udv>

dx

+

dvy

~w

(2)

В системе (2) опущены члены, обусловленные непараллельностью основного течения, а также члены младшие по сравнению с последними; в связи с этим в (2) сохранен лишь старший «вязкий» член (см. [5]).

Краевые условия на обтекаемой поверхности непосредственно следуют из условий прилипания, записанных для стенки (1):

vx (х, 0) = - f(x), vy (х, 0) = — imf(x).

(3)

В качестве краевых условий для системы (2) будем использовать также условия затухания возмущений при у-+оо и вверх по потоку (х-+— оо).

Сформулированные граничные условия не позволяют замкнуть задачу для уравнений (2). Для построения единственного решения задачи необходимо различать два основных случая:

1) пара параметров а», И принадлежит области устойчивости £2] (т. е. области затухания соответствующей волны Т—Ш пространственного типа при х-*- + оо);

2) точка со, И расположена в области неустойчивости.

Рассмотрим сначала случай 1, т. е. предположим, что решение системы (2) затухает при я—>-±оо (случай 2 будет рассмотрен отдельно в п. 4). Решение сформулированной краевой задачи будем искать с помощью преобразования Фурье по переменной х

q = | /* (k) q* (k, у) exp (ikx) dk,

— 00

+ oo

f* = — j f{x) exp (— ikx) dx.

(4)

Здесь фурье-образы искомых функций ради удобства нормированы на образ формы вибратора /*. Поскольку коэффициенты уравнений (2) зависят только от переменной у, преобразование (4) позволяет

свести систему уравнений в частных производных для возмущений q к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для их фурье-компонент q*.

Введем новую неизвестную функцию ф, положив V* — — ik'S) . В результате задача расчета функций q* сводится к решению уравнения типа Орра—Зоммерфельда [5] с неоднородными граничными условиями

т____с)( d2 у — k2 — d2 U■ Ф = —_____ di<t

^ с> V dy* V df у ikR dy* ’

л (5)

?(0) = с, -g-(0) = -l, ?(оо) = 0.

Здесь c = a/k•—фазовая скорость; первые два краевых условия следуют из условий прилипания (3), последнее условие (5) является следствием требования о затухании возмущений в направлении у-*-оо, поскольку это условие исключает два экспоненциально растущих линейно независимых решения уравнения (5). Затухание возмущений течения при | х! оо обеспечивается самим применением интегрального преобразования (4) к решению сформулированной краевой задачи.

Таким образом, соотношения (4), (5) определяют решение краевой задачи (2), (3) для случая 1 [при условии сходимости интегралов

(4)].

2. Исследование корректности постановки. Рассмотрим вопрос о корректности краевой задачи, сформулированной в п. 1. Для этого необходимо изучить поведение функций q* в окрестности особой точки k = 0.

Итак, пусть k —О, ш~1, R~l. В этом случае асимптотическое решение задачи (5) имеет двухслойную структуру: интервал изменения переменной i/e[0, оо) разделяется на две характерные области.

Область / определяется соотношением у— \k\~l; здесь в первом приближении U= 1, влиянием вязкости можно пренебречь, поэтому затухающее при у-*-оо решение уравнения (5) имеет простой вид

<р = Сехр (— | k | у). (6)

Выражение для р* в этой области может быть получено из второго уравнения системы (2), оно совпадает с (6) с точностью до мультипликативной постоянной —(0 sign k.

Область Г1 занимает основную часть пограничного слоя; асимптотический анализ решения при у~ 1 показывает, что в первом приближении возмущения вертикальной компоненты скорости и давления постоянны поперек пограничного слоя. В результате первое граничное условие (5) определяет неизвестную постоянную из (6) С=с, а вместе с ней и фурье-образ возмущенного давления на обтекаемой поверхности

р*{к, 0)~-y£j-. (7)

Построенное решение (6), (7) показывает, что ни dy/dy, ни v* не имеют особенности при k-+0; то же относится и к фурье-образу градиента давления. Отсюда следует, что в задаче (2), (3) на гидродинамические параметры vx, vy, др/дх, dpldy действительно может быть наложено условие затухания при |х|->-оо. в то же время согласно (7)

интеграл Фурье для возмущения давления вообще говоря расходится, следовательно поставленная краевая задача некорректна.

Особенность (7) является следствием первого граничного условия (5) (или, что то же самое, второго условия (3) для вертикальной компоненты скорости), и ее можно трактовать как результат внесения в течение «дополнительной» массы жидкости. Этот вывод подтверждается и тем фактом, что расходимость интеграла Фурье может быть устранена, если сузить класс рассматриваемых вибраторов условием /*(0)=0: таким свойством обладают вибраторы, имеющие «нулевую площадь» [см. вторую формулу (4)]

т. е. суммарно не вытесняющие жидкость. Для вибраторов из класса (8) сформулированная краевая зада.ча является корректной.

Если формально отказаться от требования о затухании р при |л;|->оо, то рассмотренная задача является корректной и в случае /*(0)=^=0. Исследуем подробнее влияние особенности (7) на структуру решения для этого случая. Сделаем сначала некоторые дополнительные предположения относительно формы вибратора f(x).

Основной целью настоящей работы является изучение процесса возбуждения собственных колебаний пограничного слоя—волн Т—Ш. Ясно, что амплитуда генерируемой волны будет наибольшей, если характерная длина вибратора по порядку величины равна длине волны Т—Ш X. Пусть F(х)—произвольная функция, такая, что F~ 1, dF/dx~ 1 при х~1; тогда в'качестве функции, задающей форму вибратора, можно выбрать f(x)=F(x/X). Обозначим F*(k) —фурье-образ функции /г(л:). Тогда f*(k) =KF*(%k).

Представим теперь фурье-образ функции р(х, 0) в виде суммы регулярной и сингулярной частей

Функциональный вид сингулярной части Р8 выбран из соображения простоты вычисления ее обратного преобразования Фурье. Под константой X будем подразумевать наибольшую длину волны фурье-гар-моники, расчет которой с удовлетворительной точностью может быть произведен в приближении параллельности основного течения (1<Х<£).

Регулярная часть фурье-образа Рг не имеет особенности при й = 0; соответствующая ей «регулярная» часть рг(х) возмущенного давления р(х, 0) затухает при \х \ ->оо и может быть вычислена с помощью обратного преобразования Фурье. Напомним, что вся функция р в вышеуказанной постановке не удовлетворяет условию затухания при \х \ —»--оо; она может быть определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной [см. систему (2)]. Для определения вида «сингулярной» части р8(х) вычислим сначала ее произвольную (фурье-образ которой р'5' = 1кР$ не имеет особенности при & = 0)

+ 00

(8)

•оо

f*(k)p*(k, 0) = Pr + Ps, PS = -^\F*(0)ехр(—*|Л1).

1*1

(9)

и затем восстановим функцию р8 с помощью интегрирования выражения (9)

Из этой формулы становится ясно, почему возмущенное давление из решения задачи (2), (3) не может удовлетворять условиям затухания вверх и вниз по течению при /* (0) =7^0.

Следует отметить, что при \x\~X функция йра/йх (9) мала по сравнению со всей производной др/дх, поскольку в интересующей нас области окрестности нейтральной кривой со ~ 0,1, а величина X в несколько раз больше длины волны Т—Ш1, и только при |*|>А, «сингулярная» часть йрв/(1х~хг1 начинает играть определяющую роль, что и приводит к логарифмической расходимости в распределении возмущенного давления при \х \ ->-оо.

Заметим, что указанная расходимость имеет чисто «невязкий» характер. Она может быть устранена только при учете снимаемое™ течения.

Таким образом, решение некорректной задачи (2), (3) позволяет с удовлетворительной точностью описать поведение возмущений поля скоростей и градиента давления на умеренных расстояниях от вибратора— порядка нескольких длин волны Т—Ш. Это решение можетбыть рассчитано только с помощью численных методов.

3. Метод расчета. Опишем алгоритм построения численного решения задачи (2), (3). Прежде всего отметим, что непосредственный эффективный расчет интеграла Фурье (4) возможен только при достаточно быстром затухании подынтегрального выражения при |&|->-оо. Как показало исследование, функции затухают довольно медленно* поэтому необходимо потребовать быстрого затухания множителя /*(&). Это может быть достигнуто, если в качестве формы вибратора выбрать достаточно гладкую функцию (что является оправданным также и из физических соображений).

Исходя из этого в данной работе расчеты проводились для вибратора, форма которого имеет вид

Эта функция заметно отлична от 0 лишь при |х|^а-1/2, поэтому воздействие такого вибратора на течение в пограничном слое может считаться локализованным. Фурье-образ (4) функции (10) быстро затухает при | & | —*■ оо

Величина константы а выбиралась из условия, сформулированного в п. 2: а=0,02 (-Ат®).

Расчет возмущений, вносимых в поток вибратором, выполнялся на примере функции

р3 (х) = со2 Р* (0) X 1п + сопб!.

/(х) = ехр (— ах'2), а > 0.

(Ю)

Р’ {х)=-^-{х, 0)= | Р'{к) ехр (/£*)</£,

—оо

Р' = 1кр* (к, 0)/* • к), Р* (к, 0) = ^ К 0)

Для точного вычисления интеграла (11) фурье-амплитуда Р'(к) табулировалась в —800 точках на отрезке —1,5; 1,5], причем точки сгущались в областях более резкого изменения функции Р\ Вычисление этой функции в каждой из точек производилось следующим образом. По заданным параметрам И, ю, й методом ортогонализации [6] рассчитывались два линейно независимых решения ф4, ф2 уравнения (5), затухающих при г/-*-оо. Общее решение уравнения, удовлетворяющее последнему условию (5) представлялось в виде ф = с4ф! + с2<р2- Коэффициенты с4 и с2 однозначно определялись из первых двух краевых условий (5). Одновременно определялась величина сРу/йу3, входящая в последнее равенство (11) (при численном интегрировании уравнения (5) методом Рунге—Кутта она является одной из неизвестных функций), а затем вычислялась искомая величина Р'.

Для расчета функции р' (х) интеграл (11) заменялся суммой интегралов по отрезкам проведенного разбиения, причем на каждом промежутке функция Р'(к) заменялась своей линейной аппроксимацией по значениям на концах, что позволяло вычислить каждый из входящих в сумму интегралов по точной формуле. Точность расчетов контролировалась уменьшением числа узлов в два и четыре раза: даже

в последнем случае в рассматриваемом диапазоне изменения переменной х результаты вычислений решения (11) менялись менее чем на 1%.

4. Возбуждение волны Толлмина—Шлихтинга. На рис. 1 и рис. 2 приведены результаты расчета продольного градиента давления, порожденного вибратором, совершающим колебания на до- и околокри-тических частотах (случай 1): со = 0,05 и 0,1 соответственно, I? =1500 (сплошные линии).

Из приведенных графиков видно, что вниз по потоку от вибратора распространяется затухающая бегущая волна. Расчет показывает, что она имеет параметры волны Т—Ш.

Механизм формирования собственных колебаний пограничного слоя из вынужденного решения был подробно изучен в [1] для случая И-> оо, (о~Й-1/2. Следуя [1], аналитически продолжим функции q* на плоскость комплексного й с разрезами вдоль мнимой оси и по отрезку £0, со]. Функции д* имеют полюсы первого порядка в точках ^(ю, И),

Яер’-Ю*

1

К - 750и 1тр11Пг

ш=0$5 А

Рис.

Ъер'юЧ 7500 1тр'Шг ~

Рис. 2

являющихся собственными значениями однородной задачи для уравнения (5). Полюс (со, R), соответствующий неустойчивой моде, расположен вблизи действительной оси, вдоль которой происходит интегрирование в обратном преобразовании Фурье (4). Сильное изменение подынтегральной функции в окрестности k0 и приводит к тому, что решение (4) вниз по потоку от вибратора имеет вид волны Т—Ш, определяемый вычетом подынтегрального выражения в точке kQ [1]

qT_s = 2%if* (k0) res q* (k, y) exp (tk0 x). (12)

£ = fc„

В случае докритических частот генерируемая волна быстро затухает при х-^+оо (см. рис. 1). При приближении частоты колебаний к критической полюс кй приближается к действительной оси, поэтому декремент затухания соответствующей волны Т—Ш уменьшается (см. рис. 2). Если в результате дальнейшего изменения частоты точка ш, R пересекает нейтральную кривую, интеграл (4) изменяется скачком [7]: вниз по потоку он становится быстро затухающим, а вверх по потоку, наоборот, затухает слабо и определяется вычетом в точке k0 (12), взятым со знаком «—».

Для обеспечения непрерывности изменения решения при переходе к закритическим частотам изменим постановку задачи (2), (3) (случай 2). Отбросим требование затухания решения при х^-+оо и представим искомое решение в виде суммы классического преобразования Фурье (4) и волны (12). Нетрудно видеть, что эта сумма является решением задачи (2), (3), поскольку функции (12) удовлетворяют системе уравнений (2) и однородным граничным условиям при у = 0; одновременно достигается непрерывность изменения решения в зависимости от параметра о. Описанная выше процедура построения решения для случая закритических частот была впервые предложена в [7] и впоследствии обоснована в [8]. Результаты расчета решения задачи для случая вибратора, колеблющегося с закритической частотой <й = 0,15, R=1500, отмечены на рис. 3 сплошной линией.

На всех рисунках кружками нанесены результаты расчета колебаний, соответствующих генерируемой волне Т—Ш (12). Вычисления показывают, что формирование волны Т—Ш заканчивается на расстоянии порядка длины волны вниз по потоку от вибратора.

В заключение напомним, что в построенном решении функция р не удовлетворяет условию затухания при х—>--------со. Тем не менее, при-

веденные результаты расчета можно трактовать как решение коррект-

Рис. 3

ной задачи о колебаниях вибратора, имеющего форму f(x)=—2ахх Хехр(—ах2); при этом под р' надо подразумевать функцию р (х, 0).

Автор благодарит М. Н. Когана и В. В. Михайлова за полезные замечания во время дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое. — ПММ, 1981, т. 45, вып. 6.

2. Линь Цзяцзяо. Теория гидродинамической устойчивости.—

М.; Изд. иностр. лит., 1958.

3. G a s t е г М. On the generation of spatially growing waves

in a boundary layer. — J. Fluid Mech. 1965, vol. 22, p. 3.

4. T у м и н А. М., Федоров А. В. Возбуждение волн неустойчивости-локализованным вибратором в пограничном слое. — ПМТФ, 1984,

№ 6.

5. М и х а й л о в В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5.

6. Г о д у н о в С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Успехи матем. наук, 1961., т. 16, вып. 3.

7. Богданова Е. В., Рыжов О. С. О возмущениях, генерируемых осцилляторами в потоке вязкой жидкости на закритических частотах.— ПМТФ, 1982, № 4.

8. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания на закритических частотах в дозвуковом пограничном слое. — ПММ, 1984, т. 48, вып. 2.

Рукопись поступила 18/XII 1986 г.