CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XIX 198 8 Мб
УДК 629.735.33.015.4 :533.6.013.43
РАСЧЕТ КОЛЕБАНИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА С УПРУГИМИ ПОДВЕСНЫМИ ГРУЗАМИ
В. Л. Мосунов
Описан способ стыковки двух упругих систем для расчета собственных колебаний ЛА с внешними подвесками. В качестве иллюстрации возможностей расчетной схемы приводится расчет колебаний двух параллельных однородных упругих балок, шарнирно связанных между собой на концах.
При решении задачи об упругих колебаниях ЛА на ЭВМ широко используется метод Ритца (метод заданных форм) как весьма экономный с точки зрения подготовки необходимых исходных данных и потребных ресурсов памяти ЭВМ. В настоящее время при расчетах колебаний и флаттера ЛА большое распространение получил метод полиномов [1]. В этом случае в качестве функции деформации берется полином вида
W (х, г) = хРк г*к,
где tik — коэффициенты полинома, являющиеся обобщенными перемещениями, описывающими деформацию упругой поверхности ЛА. Таким образом, когда координатные
функции fk выбраны (в методе полиномов fk = xPkz9k), деформация ЛА может
быть описана вектором {U{ult и2..........ид,}' размерности N. т. е. k = 1, 2, N.
Кинетическая энергия деформации ЛА может быть представлена
Т=\{й)'[С]{ Щ. (1)
Потенциальная энергия деформации ЛА равна
Л = {U}' [G| {£/}, (2)
[С] и [G] — симметричные матрицы инерции и жесткости размерности NXN.
Уравнение колебаний ЛА в матричном виде:
[С] {£/} + [G] {£/} =0.
Величина деформации в точке х,, zj поверхности ЛА выражается как w(xt. zh t) = {fik} {U},
где fik--*—значение k-й координатной функции в точке Xi, г*. Далее в тексте будут встречаться также
fXik = -£r (/k)x=x = Рк ¿¡к
z=zi
В последнее время остро встал вопрос о влиянии грузов, упруго крепящихся к конструкции ЛА, на частоты и формы его упругих колебаний. Особенно важно знать частоты и формы колебаний ЛА с упруго подвешенными грузами при решении задач флаттера и разработке САУ. Такие исследования довольно сложны, так как количество вариантов размещения внешних упруго подвешенных грузов на одном ЛА может быть большим. Все это приводит к необходимости развивать расчетные методы, совершенствовать расчетную схему ЛА, в частности, расчетную схему упругой подвески.
1. Выбор расчетной схемы. Каждый груз, упруго крепящийся к ЛА, обладает, вообще говоря, шестью степенями свободы, которые должны учитываться при расчете колебаний и флаттера ЛА. В некоторых случаях можно принимать во внимание не все шесть степеней свободы, а в зависимости от характера крепления груза к ЛА, выбирать те или иные из них. Например, для короткого пилона, обладающего большой жесткостью в своей плоскости, можно пренебречь смещением груза по вертикали и в продольном направлении относительно ЛА. Реальные жесткости пилона на изгиб и кручение можно схематизировать соответствующими пружинами, которые связывают жесткий груз — массу и упругую поверхность ЛА. Для таких схем подвесок расчетные методы существуют и успешно используются уже в течение ряда лет.
Однако имеются случаи, когда такие простые расчетные схемы становятся непригодными; тогда подвеску на пилоне возможно схематизировать лишь системой грузов, упруго связанных между собой. Кроме того, есть подвески, которые нельзя рассматривать как жесткий груз — например, длинный топливный бак, имеющий низкую собственную частоту изгиба, сравнимую с частотами колебаний конструкции ЛА. Такую подвеску также можно рассматривать как систему масс, упруго связанных между собой, аналогично методу конечного элемента. В этих случаях упругая схема подвески получается довольно сложной, кроме того, неясно заранее, какими из степеней свободы можно пренебречь, т. е. каждый груз имеет 6 степеней свободы -— размерность задачи, а значит потребные ресурсы ЭВМ быстро возрастают.
Поэтому предлагается расчет ЛА с подвесками разбить на два этапа. Вначале проводится расчет подвески на стенде, т. е. на неподвижном основании. Для подвески сложной схемы этот этап расчета сам по себе является довольно сложной задачей. Расчет может быть заменен частотными испытаниями подвески на стенде. В расчете или стендовых частотных испытаниях должна быть, конечно, смоделирована упругость узлов крепления подвески к ЛА [2] и получены парциальные частоты и формы колебаний грузов, которые составляют упругую подвеску.
Пусть подвеска состоит из I грузов, каждый из которых имеет массу /и,- и собственные моменты инерции /х ¡, ]у 1, Jzi^, координаты грузов будем отсчитывать от точки закрепления подвески на стенде (или на ЛА). Обозначим их как аг-, кг, (рисунок). Перемещение каждого груза относительно стенда полностью описывается тремя перемещениями его центра тяжести в направлении осей х, у, г и тремя поворотами вокруг осей, параллельных х, у, г и проходящих через ц. т. груза: т,
Юг—смещения вдоль х, у, г, соответственно, уь Рь оц— углы поворота.
Предполагается, что система крепления подвески к ЛА статически определима (или может быть сведена к одноточечной).
/•
У' ъ
Возможное перемещение системы I грузов может быть представлено в виде вектора {Л} размерности 61:
{#} = {«,, ти VI, 7!, .....Гг а[}'.
Пусть в результате расчета или стендовых частотных испытаний получены г собственных частот о,, со2....(Ог и матрица форм колебаний [Ф]; ее г столбцов — векторы
собственных колебаний ситемы I грузов. Размерность матрицы [Ф] 61Хг.
Возможное перемещение подвески на стенде может быть представлено линейной комбинацией собственных форм
{Яс} = [Ф] {?} (3)
{<7} — вектор обобщенных координат размерности г.
Дополнительная потенциальная энергия упругих деформаций Связей подвески может быть представлена в виде
Пп = -1{9}'[^п]{9} =^-{^'[й][Ф]'[Л^][Ф][2]{?} (4)
[£2] — диагональная матрица; на диагонали стоят ш* — стендовые частоты подвески;
![М] — диагональная, по диагонали стоят шестерки чисел пи, т(, От(, /*,, /г4;
1 1<г</.
Полная потенциальная энергия деформации ЛА с подвеской получится, если просто сложить (4) и (2).
и } ' С? I 0
7] [0] = 0 1 8п
можно полную потенциальную
энергию Л А С подвеской представить в виде П = -1- {(/}' [<3] {V}.
Кинетическая энергия Г Л А дается выражением (1). Дополнительная энергия
от подвески Тп — —^~ {^?}' [М] {/?}. Грузы подвески, закрепленной на упругом ЛА,
участвуют в двух движениях: 1) переносное движение за счет упругой деформации и смещения самого ЛА — вектор {/?.,} и 2) относительное движение за счет упругой деформации связей, т. е. вектор {/?с}-
Таким образом, {Я} = {/?л} + {/?с}.
{/?л} = [^Л] (5)
[Хл] — прямоугольная матрица размерности 6/хЛ^, ее элементы выражаются через к’-^п А>-^п к> и геометрические параметры подвески. Индекс п означает, что значения координатных функций и производных берутся в точке х=хП, г=гп.
Обозначив [ЛГ]=[ХП \ Ф], и учитывая (5) и (3), представим
{*} = [*]{&}.
Тогда Тп=±-{0у1Х]'[М][Х]{и).
Таким образом, вклад от подвески в общую матрицу инерции ЛА равен:
[Сп] = [ху [Щ [X]
Размерность этой матрицы (М+г) X (Ы+г). Полную матрицу инерции [С] получим, просуммировав [Сп] и [С], расширенную нулями до соответствующего порядка. Полученные таким способом матрицы [6] и [С] ЛА с подвеской можно использовать в задаче расчета собственных колебаний и для других целей.
2. Пример расчета. Для иллюстрации возможностей описанного метода был проведен расчет примера, имеющего точное решение.
В качестве ЛА была взята свободная однородная балка длины ¿=2, жесткости £У=104, погонной массы |х = 4 104. В качестве упругой подвески была взята точно
Форма колебаний со Теория О) Расчет - ч Ошибка % |
0 0 0
0 0 0
1,234 1,234 0
7^4 2,731 2,808 0,32 .
С V/ 4,335 4,335 0 ч
7,703 7,770 0,73
ООО 11,10 11,13 0,81
15,10 16,05 €,3 >
такая же балка, которая своими концами шарнирно крепилась к концам балки, изображающей ЛА.
Такая система двух однородных параллельных балок, шарнирно соединенных концами, имеет в спектре частоты как свободной балки (обе балки деформируются синфазно), так и шарнирно опертой балки (когда прогибы балок имеют противоположные направления, и концы балок при колебаниях не перемещаются).
Парциальными частотами и формами балки-подвески в данном случае являются частоты и формы шарнирно опертой балки, т. е.
те2 к3 Г рт пхк
У? (х) — А віп — .
Для расчета совместных колебаний балка — подвеска была представлена в виде цепочки десяти грузов с Ші — ци 10 и /гі = рХ3/12 ООО. В расчете учитывались первые
4 парциальных тона (й=1,...,4), амплитуды и углы поворота грузов брались
]
в центре тяжести грузов, т. е. в точках л.= (г—~г;)Ь/10, ¿=1, 2, ...,10. Балка — ЛА рассчитывалась по методу полиномов с N=8, т. е.
]У(х) = и1 + и^х + и3 л:2 + и1 х3 ц5 х4 + ав хъ + и, л6 + и8 х7.
Общий порядок расчета, таким образом, был равен N=12.
В таблице приводятся частоты и формы первых 8-ми тонов колебаний описанной системы, полученные в результате по описанному способу, и теоретические значения частот. Точность может быть повышена увеличением количества разбиений упругой балки и количества задаваемых тонов парциальных колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Буньков В. Г. Учет деформации сдвига при расчете колебаний крыла, малого удлинения методом многочленов. — Ученые записки ЦДГИ, 1972, т. 3, № 4.
2. Келдыш М. В., Пархомовский Я. М. Колебания крыла с упруго прикрепленным мотором. Избранные труды. Механика. — М.: Наука, 1985.
3. Ш и б а н о в Р. А. Основы метода синтеза динамических схем конструкций пакетного типа. — Сб. «Колебаний упругих конструкций с жидкостью». — М.: ЦНТИ «Волна», 1984.
4. Breitbach E. Application of modal synthesis techniques for the dinamic qualification of wing with stores. — DFVLR—AVA Coettingen Institute of Aeroelasticity.— AGARD CP—318, Part II.
Рукопись поступила 25/VI 1986 г.
