Расчет коэффициента восстановления ударной системы, состоящей из трех и более материальных точек Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

УДК 621.01

Д. И. ЧЕРНЯВСКИЙ Д. Д. ЧЕРНЯВСКАЯ

Омский государственный технический университет

РАСЧЕТ

КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ УДАРНОЙ СИСТЕМЫ,

СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ТРЕХ И БОЛЕЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК___________________________

Статья посвящена проблеме расчета ударного взаимодействия в системе, состоящей из трех и более тел, которые можно свести к материальным точкам. Уравнение коэффициента восстановления, предложенное Ньютоном, позволяет рассчитать одновременный удар только двух тел. Предлагается методика расчета, позволяющая определять коэффициент восстановления при одновременном ударе нескольких материальных точек. В работе рассмотрены примеры использования данной методики, в том числе на примере камеры Вильсона.

Ключевые слова: коэффициент восстановления, удар трех материальных точек, коэффициент передачи кинетической энергии.

При расчете деталей и узлов машин на ударную прочность используется специальная величина, называемая коэффициентом восстановления к

к = ■

(1)

где у1, у2 — доударные скорости центров масс первого и второго, соударяющихся тел; и1, и2 — послеударные скорости центров масс этих тел. Данный параметр ввел Ньютон [1], который считал, что коэффициент восстановления зависит только от материала соударяющихся тел и поэтому может быть определен экспериментальным путем для каждой пары материалов. Однако позже было доказано [2], что коэффициент восстановления тесно связан с величиной потерь кинетической энергии при ударе и зависит от многих факторов: конфигурации, размеров и материалов соударяющихся тел; скорости их соударения и т.д. Иначе говоря, каждой конкретной ударной системе соответствует своя величина коэффициента восстановления. Определив эту величину, можно рассчитать энергии упругих и пластических деформаций, энергию волны деформации в телах, а также другие потери. Установив данные величины, можно вычислить силы, деформации и напряжения при ударе.

К настоящему времени разработано достаточное количество методик, позволяющих проводить такие расчеты, комбинируя классический ньютоновский метод с элементами теории упругости. Однако выражение (1) для коэффициента восстановления к позволяет рассматривать случай ударного взаимодействия только двух тел. Во многих случаях этого достаточно для практического использования. Но для ударных систем, состоящих из трех и более тел, выражение (1) использовать невозможно.

Для решения данной проблемы необходимо определить пределы применимости классической ньютоновской теории удара для ударных систем,

в которых твердое деформируемое тело допустимо считать материальной точкой. Как показывает практика [3], если время удара достаточно велико, в результате многократных отражений ударных волн от контактной площадки и границ тел постепенно происходит затухание и дисперсия волн напряжений. Вследствие этого поле скоростей становится более однородным, а потенциальная энергия напряжений переходит в кинетическую энергию центров масс соударяющихся тел.

Как показано в [2], формулы классической механики удара применимы в том случае, если безразмерное время удара т в несколько раз (3 — 5) превышает наибольший период собственных колебаний соударяющихся тел Т. Период собственных колебаний тел зависит от их размеров и скорости распространения в них волн напряжений. Например, для стержней

Т = 21 = 2/ Г, а \Е

(2)

где 1 — длина стержня, а — скорость распространения ударной волны в материале стержня, р — плотность материала стержня, Е — модуль Юнга. Таким образом, критерий применимости формул классического ньютоновского метода можно выразить

Р = т/Т > 3 + 5.

(3)

Чем больше Р, тем точнее расчеты.

Для повышения эффективности удара контактные поверхности соударяющихся тел имеют радиус закругления. Как показано в работах [4, 5], значения сил, деформаций и напряжений меньше по величине при ударе тел с закругленными торцами, чем при ударе тел с идеально плоскими торцами. Однако время удара в первом случае значительно больше, чем во втором. Так, если безразмерное время удара т во втором случае равно двум, то для первого случая при одинаковых параметрах удара безразмерное

и

и

2

2

время т больше 10. Это связано с тем, что закругленный торец обладает значительно меньшей жесткостью, чем плоский торец. Напомним, что под безразмерным временем удара т понимается количество проходов волн сжатия (растяжения) по более короткому соударяющемуся телу за время ударного процесса.

Таким образом, для удара тел с закругленными торцами классический ньютоновский метод, использующий понятие коэффициента восстановления, применим в большинстве случаев ударного взаимодействия.

Для решения поставленной задачи об одновременном ударе трех и более материальных точек рассмотрим ударную систему, состоящую из п материальных точек, перемещающуюся в декартовой системе координат. В начальный момент времени материальные точки m1, ..., mj, ..., mn имеют следующие координаты: ml(Xl0,Уl0,Zl0,t0), ..., mj(Xj0,Уj0,Zj0,t0), ... тп(хп0,Упо'2по'^о). Ударное взаимодействие произойдет тогда, когда положение материальных точек будет описываться координатами: т^х^У^^) ..., т(х0

Ую'zю'ty), ..., т^пО'УпО'^у). После удара точки разлетятся друг от друга и их положение будет определяться: т1(Х11.Уи^1Л).......................тп(Хп1'Уп1'

Zn1’tl).

Для описания ударного процесса необходимо знать скорости всех материальных точек непосредственно перед ударом и после удара. Введем следующее допущение: «Материальные точки до и после ударного взаимодействия движутся равномерно». Это положение значительно упрощает вывод уравнений. В большинстве случаев можно выбрать такие значения Дt, что будет иметь место следующее выражение:

= ип

хт11 хт1у . УтП ут1у . ^т\\ 2ш1у

Іу — Іу

І1 Іу

иті Um^(Um^xfUm^yfUm^z)

хті1 — хтіу ' уті1 — утіу < zmі1 — zтіу

І1 иу

І1 иу

І1 иу

ип

итп итп(итпх, итпу, итп)

хтп1 хтпу у тпі у тпу zmnl zmny

І1 иу

І1 иу

І1 иу

(5)

где Ут! — доударная скорость материальной точки тV &т1 — послеударная скорость материальной точ-

і ті

ки т .

Согласно выражению (4), аналогично запишем выражения для импульса системы тел до и после удара:

(

£ тУ = X тУ

і=1 і=1

ху £ ті — £ тіхті0 і = 1 і = 1________________.

Іу І0

уу £ ті — £ тіуті0 ^ £ ті — £ т^ті0 і = 1 і = 1_. і = 1 і = 1_______

Іу І0

Іу І0

Аг Аг

V = І1Ш Усг = ііш — » —

АІ®0 Аі Аі

(4)

где V — мгновенная скорость или скорость в данный момент времени, vsr — средняя скорость, Дг — элементарное перемещение, Дt — элементарный промежуток времени.

Варианты, в которых соударяющиеся материальные точки осуществляют движение равноускоренно или по каким-либо другим законам, в настоящее время разрабатываются автором.

Согласно выражению (4), запишем:

£ тіиі = £ тіУі і=1 і=1

£ тіхті1 —ху £ ті

І1 Іу

п п п п Л

£ щуті1 —уу £ ті £ т^ті1 —^ £ ті і = 1__________і = 1 . і = 1________і = 1

І1 Іу

І1 Іу

(6)

т1

V

Ут1 Ут1 (Ут1х, Ут1у, Vm1z)

хт1у — хт10 . ут1у — ут10 . ^1у — zm10 . Іу — І .

Іу и

0

у

І0

Іу І0

Запишем выражения для закона сохранения энергии и импульса для ударных систем до и после удара:

= %е С) Ікс Є)

і=1 2 і=1 2

(7)

= Ут

V • = У (У • У ■ У • ) =

ті тЛ тіх тіу mіz> хтіу — хті0 утіу — уті0 zmіy — zmі0

Іу І0

Іу І0

Іу І0

Ут

У = У (У ,У ,У ) =

* тп * тт * тпх< * тпу * тп І хтпу — хтп0 утпу — утп0 zmny — zmn0

Іу І0

Іу І0

Іу І0

ит1 = ит1(ит1х, ^т!у ,Um1z) :

£ тіиі = £ т^і.

і =1 і =1

(8)

где Цке — КПД передачи кинетической энергии, характеризующий степень преобразования кинетической энергии в другие виды энергии при ударном процессе.

С учетом известного уравнения аналитической геометрии Дr2=Дx2+Дy2+Дz2, преобразуем выражения (7, 8):

2

Л ке =

Іу І0

І1 Іу

= иті

=1

і =1

X

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

81

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

Ёші ((хші1 - Ху )2 + (Уші1 - Уу )2 + (2ші1 - 2у )2)

■ і =1_________________________

п

Е2 2 2

ші ((х у - хші0) + (у у - у ші0 ) + (2 у + 2ші0) )

і =1

(9)

2 I Ё шіХші1 - Ху Ё ші I +

пп

ХУ Ё ші -Ё шіХші0 | + і =1 і =1

і=1

і=1

+ 1 Ё^УшЯ - Уу Ёшi | +1 Ёші2ші1 - 2у Ёшi

і=1

і=1

пп

+ |Уу Ёш -Ё^УшЮ I + |Ч Ёшi -Ёш^ і=1 і=1 0 V і=1 і=1

= 1. (10)

Введем следующие обозначения, учитывая, что скорости материальных точек до удара известны из начальных условий:

Сі - і V

1У 10

Vі1 - іУ у

^Ё ші ((ху - Хші012 + (Уу - Уші012 + (2у - 2ші012 )|,

(11)

К2 =

іУ - і0

VІ1 ІУ 0

пп

ХУ Ё ші -Ё шіХші0 | + і =1 і =1

к2

ку

2

С ІУ - І0 1

і1 - іУ

2 2 2 X (хш.1 — хш]1 + (ушИ + уш]1 + (-ш.1 — -ш]1) (16)

(хшЮ — хш]0)2 + (уш;0 — уш]0) + (-шЮ — -ш]0)2

Общий коэффициент восстановления ударного взаимодействия системы, состоящей из п материальных точек, определяется по следующей формуле:

Ё ші Ё шІкі]

к2 = і = 1 ] = і +1

п -1 п

Ё ші Ё ш]

і=1 ]=і+1

(17)

Для пояснения приведенных выражений рассмотрим следующий пример.

Пример. В декартовой системе координат перемещаются 4 материальные точки массами ш1 = 1 кг, ш2 = 3 кг, ш3=10 кг и ш4 = 5 кг. В начальный момент времени материальные точки имеют следующие координаты: ш1 (—1 м , —2 м, 4 м); ш2 (1 м, 3 м, 7 м); ш3 ( — 7 м, 0 м, 5 м) и ш4 (5 м, 4 м, 7 м). Через 2 с происходит ударное столкновение материальных точек в области с координатами: ш1 (2 м, 4 м, 8 м); ш2 (2 м, 4 м, 8 м); ш3 (2 м, 4 м, 8 м); ш4 (2 м, 4 м, 8 м). Определить диапазоны возможного изменения коэффициентов восстановления г|ке и к. через 2 с после ударного взаимодействия.

Подставив исходные данные в выражение (14), получим следующее уравнение:

Л ке = 22420(10726 + 114к22 + 410к23 + 405к24 +

пп

+ | УуЁші -ЁшіУші0 | +| 2уЁші -Ёші2ш

і=0 і=0 0 V і=1 і=1

пп

. (12)

Решая уравнения (9) и (10) совместно, получим:

Ё ші

С ! п-1 п

+ Ё ші Ё ш] ((Хші1 - Хш]1)2 + і=1 ]=і+1

22 + (у ші1 - У ш]1) + (2ші1 - 2ш]1)

Перепишем выражение (13):

(13)

С ' п-1

Ё ші

і=1

Л

К1 +Ёші Ёш]к і=1 ]=і+1

] і]

(14)

По аналогии с выражениями (11, 12) запишем:

к 2 = к 2 кі] ~ кі]

Сі - і ^2 іУ -і0 і1 -іУ

х((хшЮ — х ш]0 )2 + (ушЮ — уш]0)2 + (—шг0 — -ш/0)2 ), (15)

где к] — коэффициент восстановления ударного взаимодействия . и ] материальной точки.

+ 2310к|3 + 255к 24 + 8200к 34).

Если предположить, что 0 £ к^ £ 1, 0 £ к^ £ 1, 0 £ ки £ 1, 0 £ к23 £ 1, 0 £ к24 £ 1, 0 £ к34 £ 1, то 0,4784 £ лкэ £ 1.

Это означает, что примерно половина первоначальной кинетической энергии материальных точек до удара перейдет в другие виды энергии после удара.

На рис. 1 приведены треки частиц, зарегистрированные камерой Вильсона в результате ядерных реакций [6]. Понимая всю сложность ядерных процессов, попытаемся применить предложенные выражения для данного явления.

Некая частица в результате взаимодействия распалась на несколько частиц. Введем допущение о том, что процесс разлета элементарных частиц, зарегистрированных камерой Вильсона (рис. 1), можно рассматривать как ударное взаимодействие п материальных точек, перемещающихся в декартовой системе координат при условии, что в этой системе осуществляется обратный отсчет времени.

Это означает, что начальный момент времени ^ для регистрируемого процесса является конечным моментом времени для ударного процесса и конечный момент времени для регистрируемого процесса является начальным моментом времени для ударного процесса. Пусть в момент времени ^ материальные точки ш1, ... , ш., ... , шп имеют следующие координаты:

..., Шi(XilУi1^Zi1^t1), ..., шп(Хп1'Уп1-пЛ). Ударное взаимодействие произойдет тогда, когда положение материальных точек будет описываться координатами: шl(xly,Уly,zly,ty), ..., шi(xiy,Уiy,ziy,ty), ...,

2

і =1

і=1

2

2

2

X

2

і =1

Рис. 1. Треки элементарных частиц в камере Вильсона

т (х ,у ^ Л ). После удара материальные точки

П' ПУ1 •' ПУ1 ПУ' У' J ± ±

слипнутся в одну материальную точку т1 с координатами т0(х0,у0^^0).

Масса материальной точки т0 будет определяться выражением:

(

2 тУ =2 тУ j=1 j=1

2 Щх1у -2 т1Х1

t у t1

где т1, ..., т, ..., тп — массы материальных точек; т.vv — масса эквивалентная энергии, которая вызвала распад первоначальной частицы.

Согласно выражению (4), запишем:

2^у!у " 2mjУjl 2mjУjz "2mjzjl

j=1 j=1 . j=1 j=1

tУ t1

■■У

У1 = У1(У1х ,У1у ,Уlz) =

х1у -х11 у1у -у11 ^у-^1

1у t1

1у t1

2 т1х

Ю х 0 ^ ллЧл.у

j=1

t0 tу

У = У (У ,У ,У ) =

* j * !х < * !У < * jZ )

Сх1у - х*1 Угу - Уг1 zjy - zj1 ]

1у t1

1у t1

то у о-2 тУ1у то Zo-2 ^!у j=1 j=1

t о ty

t0 t у

(19)

У = У (У ,У ,У )

п М пх * пу1 п >

= У

= и 0

и 0 = и 0(и 0х ,и 0у ,и 0z) =

х 0 - х 0 у У 0 - У 0 У Z 0 - Z 0 У

tу tl

1у 11

1у t1

(18)

Из уравнения (4) аналогично получим следующие выражения:

С учетом известного уравнения аналитической геометрии получим:

Л ке

С t -t ]2

1у 10

тУУ +2mj ]((х0 -х0у^ +(у0 -у0у^ +(z0 -^уI2)

2mj((х!у -хпУ + Уу -УпУ + (zjу + ^)

j=1

(20)

j = 1

= 1

т0 = т1 + ...+ т. + ...+ тп+ mvv

т0и0 = т0и0

хпу хп1 Упу Уп\ zпу zn\

X

j=1

X

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

83

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014

КА

(і - і V

<у (0 V<1-іУ 0

Е тіХіу -Е тіХП 1 + і=1 і=1

М = I т„ (Х 0 - Х 0у ) + Е ті(Х 0 - Х 0у )

5 = I туу (У0 - У0у ) + Е ті (У0 - У0у )

А + В + С

І=1 І=1

Е туіу -Етіул І +1Ет^у -Е т^«

А =

П

І=1 І=1

П

(21)

тУУ +Е ті 1Х0-Е тіХ0у

і=1 у і=1

Д = Vт„ (z0 - z0У ) + 2 т (z0 - Z0у ^ ■ (24)

Таким образом, анализируя фотографии, полученные с помощью камеры Вильсона можно оценить затраты энергии в результате взаимодействия частиц.

Библиографический список

В =

С--

туу +

Е ті |у 0-Е тіу 0у

тУУ +Еті р0-Еті20у і=1 0 і=1

Решая уравнения (20) и (21) совместно, получим:

' 1

Пкв =-----------------

к2 + 2туу I Е ті |(Х0у (Х0у - Х0 ) +

т,„, +Е ті і=1

і =1

+ у0у (у0у - у0 )+ z0y (z0y - z0 )) +

Е

К2 =

(і - і V

іу <0

V<1 <у у

Е ті (Хіу - Хі1 )|| +

М + 5 + Я

+ 1 Е ті (уіу - уі1)^| + |Е ті (^у - zi1)

(22)

Е = т„(х0у(х0у - 2х 0) + У 0у (У 0у - 2У 0) +

+ -2 0у (z 0у - 2z 0)).

Преобразуем выражение (21):

(23)

1. Чернявский, Д. И. Определение параметров удара в машинах ударного действия : моногр. / Д. И. Чернявский ; ОмГТУ. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2009 — Ч. 1. — 2009. — 135 с.

2. Александров, Е. В. Прикладная теория и расчеты ударных систем / Е. В. Александров, В. Б. Соколинский. — М. : Наука, 1969. - 201 с.

3. Чернявский, Д. И. Определение параметров удара в машинах ударного действия : моногр. / Д. И. Чернявский ; ОмГТУ. -Омск : Изд-во ОмГТУ, 2009 - Ч. 2. - 2010. - 123 с.

4. Чернявский, Д. И. Перфоратор ударно-вращательного действия / Д. И. Чернявский // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2004. - № 5 - С. 85-90.

5. Чернявский, Д. И. Механический импульс энергии материальной точки переменной массы / Д. И. Чернявский, Д. Д. Чернявская // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. - 2013. - № 2 (120). - С. 62-64.

6. Википедия [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/ ^М/% Б0%9А%Б0%В0%Б0%ВС%Б0% В5%Б1%80%Б0%В0_%Б0%92%Б0% В8%Б0%ВВ%Б1%8С%Б1%81% Б0%ВЕ%Б0%ВБ%Б0%В0 (дата обращения: 29.11.2013).

ЧЕРНЯВСКИЙ Дмитрий Иванович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Менеджмент».

ЧЕРНЯВСКАЯ Дарья Дмитриевна, магистрант группы ДПМ-513.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 11.12.2013 г.

© Д. И. Чернявский, Д. Д. Чернявская

і =1

2

2

і =1

2

2

2

+

2

2

і=1

і =1

2

і =1

2

Книжная полка

Соколов, В. А. Контроль качества сварных конструкций : учеб. пособие / В. А. Соколов ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 91 с. - ISBN 978-5-8149-1182-7.

Рассмотрены вопросы обеспечения качества сварных конструкций. Описаны основные виды внутренних и внешних дефектов сварных соединений. Приведены данные по физическим основам, технологии и применяемому оборудованию методов визуально-измерительного контроля, механических испытаний сварных соединений, основных методов неразрушающего контроля (радиационного, ультразвукового, магнитного и пр.), а также методов контроля герметичности сварных соединений.