Расчет изгиба балок методом сплайнов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

РАСЧЕТ ИЗГИБА БАЛОК МЕТОДОМ СПЛАЙНОВ

В, П, Павлов, А. А. Абдрахманова

1. Постановка задачи. Многие элементы конструкций при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость рассматриваются как балки, работающие на изгиб. В рамках технической теории изгиб балки описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка

где ш = ш(х) — функции перемещения точек осевой линии вдоль оси 2, Е — модуль упругости материала балки, 1у — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно оси У, = qz (х) — интенсивность поперечной распределенной нагрузки, действующей в плоскости осей X, 2 и направленной вдоль оси 2.

Производные от функции перемещения ш = ш(х) определяют деформацию стержня и действующие в нем внутренние силовые факторы [1]: первая производная от функции перемещения — это угол поворота поперечного сечения; вторая производная определяет изгибающий момент и возникающие в балке нормальные напряжения; третья производная характеризует поперечную силу и касательные напряжения; четвертая производная тесно связана с внешней распределенной нагрузкой. Поэтому при численном решении дифференциального уравнения (1) необходимо применять функции без разрывов производных до четвертого порядка включительно.

Такому требованию удовлетворяют сплайны пятой степени дефек-

© 2006 Павлов В. П., Абдрахманова А. А.

[1]:

(1)

та 1, методика построения и применения которых для решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел изложена в работе [2].

В работе [2] изложены варианты метода сплайнов, обеспечивающие от второго до четвертого порядки сходимости решении уравнения вида (!)•

В предлагаемой работе представлена новая схема применения метода сплайнов, обеспечивающая шестой порядок сходимости.

2. Основные положения метода сплайнов пятой степени.

При построении сплайна пятой степени дефекта 1 на отрезке [а, Ь] формируется сетка А, имеющая N узлов:

Д : а = х < ж2 < ... < = Ь (2)

На сетке А по методике, изложенной в [2], строится сплайн-функция (ж) степени 5 дефекта 1, имеющая

N.5 = N + 4 (3)

степеней свободы, равных минимальному числу параметров, однозначно определяющих сплайн-функцию '\^5д(ж).

В пределах каждого отрезка [ж^ж^], г = 1,... , N —1, функция д (ж) является многочленом пятой степени:

5

(ж) = ^ага(ж — , ж е [ж*,ж*+1 ], г = 1, .. . , N — 1, (4)

а=0

и, кроме того, во внутренних узлах сетки А выполняются условия непрерывности по производным до четвертого порядка включительно

(хд- — 0) _ ¿^5,1 (жд- +0)

, 8 = 0,1,...,4, .7 = 2,... , N — 1.

(5)

В работе [2] параметры, определяющие сплайн, сведены в вектор-столбец параметров сплайна

<Э= (дк,А = 1,2,... ,N + 4^ , (6)

¡=1,2,...

(7)

где

_ ¿4УУ5,1(Ж1) У! — (¿ж4 '

_ <12УУ5, 1(Х1)

® - —щр—,

q¿+2 = (х^,

9дг+з ---,

qN+i - -^-•

Число компонент вектора С^ точно соответствует числу степеней свободы сплайна Ns = N + 4.

Согласно (4) в пределах каждого отрезка [х^, х^], {= 1,... , N — 1, функция д (х) однозначно определяется коэффициентами

а, а = од,...,5, 1 = \,...,N—1,

(8)

которые сведены в векторы-столбцы

Аа= (аа, г=\,... ,N — Т , а = ОД,... ,5.

(9)

Векторы Аа однозначно определяются [2] через вектор параметров сплайна С^ матричными выражениями

Аа = СаС^, а = ОД,... ,5. Матрицы Са, а = ОД,... ,5:

(10)

Са= \\cjj, г=1,... ^ — 1, з = 1,... ,N4- 4\\, а = ОД,... ,5, (11)

зависят от вида сетки узлов А. Методика построения данных матриц изложена в работе [2].

На основе (4) определяются производные от сплайн-функции (х) в любой точке с координатой х го области определения [а, 6]:

<!'•УУ5Л(х) _

„м

х—

хг

^ (а-8)\ V- -У , ^

х € ], г=l,...,N — 1, в = 0, ...,5.

В пределах каждого отрезка [ж^ж^] функция 'N^'5,1 (ж) является многочленом пятой степени с коэффициентами, определяемыми в соответствии с (10) следующими выражениями:

N+4

= ЕС,?, - 1, а = 0,1,...,5. (13)

з=1

При подстановке (13) в (12) получено

5,1(и) _ у^ а! ^Т^ЛГ+4 г(а) \ , _

~ ¿^ (а-я)! ^¿=1 Ч1) ^ 1> '

ж € [ж$, ], г = 1,... , N — 1, в = 0,... ,5. При изменении порядка суммирования в (14) получено

м™ / Ч N+4 /5 , . \

<1 ЛУбдИ _ ^ / ^ а! Ма) / _ ча-я \

~ ^ ) ъ' (15)

ж € [ж^, ], г = 1,... , N — 1, в = 0,... ,5. В соответствии с (15) введена вектор-строка

Н8(ж) = (Щ(ж), 3 = 1,... , N + 4) , ж € [ж*,ж*+1 ], в = 0,... ,5,

(16)

компоненты которой определяются следующими выражениями: 5 ; ^^

Щ{х) = (а-з)1 {х - хг)а ^

ж € [ж$, ], г = 1,... , N — 1, в = 0,... ,5, 3 = 1,... , N + 4.

(17)

С учетом (16) выражение (15) принимает вид 1 (ж)

-^- = К,8(ж)с$, X £[Хг,Хг+1}, г = 1,... , N - 1, в = 0,... , 5.

ж (18)

,ж

ж

определения.

3. Дискретный аналог уравнения равновесия. Дифференциальное уравнение равновесия (1) записано в развернутой форме

¿(Е1у) (Р (Е1у) _

+ + "яЛх)- (19)

Заменой искомой функции перемещения осевой линии ш = ш(х) на ее сплайповую аппроксимацию 'N^'5,1 (х) определена поперечная нагрузка qz = qz(х), при которой сплайн '\^5д (х) является точным решением дифференциального уравнения (19). При этом подстановкой (18) в (19) получен сплайновый аналог дифференциального уравнения равновесия (18):

Ш = (Е1у 1Мх) + + ^/^(х)) д. (20)

На основе (20) введена вектор-строка

К(х) = Е1уТи(х) + + г]2{^у)Т12(х) (21)

и уравнению (20) придан более лаконичный вид:

qл х) = К(х)С*. (22)

При построении дискретного аналога дифференциального уравнения (19) использован полученный в теоретической механике результат [3]: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной нх главному вектору п приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Базируясь на этом положении, выбираем сетку узлов А с четным числом отрезков [х^, х^] при N = 2г + 1, г = 1, 2,.... В пределах этой сетки рассмотрены узлы с номерами п:

п = 2ш, ш=1,...,М приМ=^ — 1 )/2. (23)

Данные узлы, имеющие координаты выбраны в качестве центров приведения для заданной qz = qz(х) и приближенной qz = qz(х) распределенных нагрузок.

Для определения сплайн-функции '\^5д (х), близкой к искомому решению ш = ш(х), используются условие эквивалентности внешних действующих на балку нагрузок, заключающееся в том, что в пределах каждого отрезка [х^х^] распределенные нагрузки qz = qz(х) и

qz = qz(x) приводились к центру приведения, имеющему координату xk ■ Получаемые при этом на основе точной qz = qz (x) и приближенной qz = qz(x) нагрузок главный вектор сил и главный момент приравниваются. В итоге получалась система из N — 1 уравнений, имеющая следующий вид:

Жп+1 Жп+1

f qz(x) dx = J qz(x) dx,

/ qz(x)(x — xn) dx = J qz(x)(x — x„) dx,

—1

(24)

и = 2т, т=1,...,М, — 1 )/2.

При подстановке (22) в (24) получена система из N — 1 алгебраических линейных уравнений

(Жп+1 \ Жп + 1

/ к(х) ¿х т = / д2(х) ¿х,

Хп- У Жп-1

\ (25)

/ К(х)(х — х„) ^ ^ = / д2(х)(х — х„) ¿х,

Хп — У Хп—

п = 2ш, т=1,...,М, М=(Ж — 1 )/2.

Вектор параметров сплайна имеет N + 4 компонент, для определения которых необходимо иметь N + 4 уравнений.

В связи с этим дополнительно к системе (25) записывается уравнение, требующее равенство заданной д2 и приближенной д2 поперечных

х

ЧЛ хО = чЛ х). (26)

С учетом (22) уравнение (26) принимает вид

К(х)д = дг( х). (27)

Недостающие четыре уравнения должны формироваться на основе учета краевых условий.

В итоге получается система из N + 4 алгебраических уравнений, однозначно определяющая вектор и, следовательно, саму сплайн-функцию (х).

ЛИТЕРАТУРА

1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

2. Павлов В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел. Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 2003.

3. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. 1. Статика. Кинематика. М.: Высш. шк., 1977.

г. Уфа

7 июля 2006 г.