Расчет характеристик течения в ядре вихревой пелены Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XX

1989

№ 1

УДК 629.735.33.015.3.025.1

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕЧЕНИЯ В ЯДРЕ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ

А. М. Гайфуллин

Описан метод расчета структуры ядра вихревой пелены. Предложен эмпирический критерий, позволяющий судить о местоположении «взрыва» вихря над крылом.

В настоящее время численные методы расчета течений с вихревыми пеленами (поверхностями разрыва тангенциальной компоненты скорости) в рамках модели идеальной жидкости хорошо развиты [1—3]. Если вихревая пелена незамкнута, то ее свободный конец, как правило, сворачивается в спираль с бесконечным числом витков. Линию, вокруг которой наматывается вихревая пелена, будем называть центральной линией, а окрестность этой линии—ядром.

Практическая важность исследования течения в ядре вихревой структуры заключается в необходимости создания методов расчета местоположения «взрыва» вихря — резкого изменения структуры ядра закрученного потока.

Различают три подхода к исследованию течения в ядре вихревой пелены: исследование крупномасштабной (невязкой «безвзрывной») структуры ядра, исследование мелкомасштабной (вязкой «безвзрывной») структуры и исследование течений со «взрывом» вихря. Для расчета «взрывных» течений, вообще, говоря, необходимо знание как мелкомасштабной, так и крупномасштабной структуры течения.

В численных расчетах ядро вихревой пелены обычно заменяется простой моделью [4]. Ядро аппроксимируется изолированным вихрем, координата которого определяется из условия отсутствия силы, действующей на систему вихрь—прямолинейный разрез, соединяющий ядро с концом вихревой пелены. Такая замена вполне оправдана, так как на интегральные характеристики в основном влияют внешние витки спирали. Однако рассчитать с помощью такой схемы течение в самом ядре вихревой пелены, являющемся, спиралью с бесконечным числом витков, не представляется возможным.

В работе [5] предложен метод расчета характеристик вязкого течения в ядре вихревой пелены, сходящей с кромок крыла. В ней течение рассчитывалось на основе решения уравнений типа пограничного слоя (квазицилин-дрическое приближение). Однако метод решения, описанный в этой работе, не позволяет получить невязких характеристик течения в ядре. Кроме того, расчет достаточно сложных уравнений пограничного слоя происходит в об-

ласти, размеры которой намного больше толщины пограничного слоя, что, вообще говоря, нецелесообразно.

В данной работе предложен метод расчета крупномасштабной структуры ядра вихревой пелены, проведены расчеты крупномасштабной и мелкомасштабной структур ядра вихревой пелены, сходящей с острых кромок треугольного крыла и системы крыло — фюзеляж, предложен критерий, позволяющий определить наличие «взрыва» вихря над крылом.

1. Постановка задачи. Рассмотрим обтекание крыла или комбинации крыло—фюзеляж потенциальным потоком. Введем безразмерные величины так, чтобы корневая хорда крыла и скорость набегающего потока равнялись единице. Угол атаки а. Ось Х\ направим вдоль корневой хорды крыла, ось х—вдоль центральной линии вихревой пелены, (х, г, 8)—цилиндрическая система координат, (и, и, ы>)—скорости в системе координат (х, г, 0), рр — статическое давление, р — плотность. Задача заключается в исследовании профилей скорости при малых г (ядро вихревой пелены), а также в указании местоположения «взрыва» вихря.

Данную задачу можно разбить на несколько самостоятельных подзадач:

1) расчет глобального отрывного обтекания летательного аппарата; ядро заменяется моделью [4];

2) расчет характеристик невязкого течения в ядре вихревой пелены;

3) расчет характеристик вязкого течения в ядре вихревой пелены;

4) расчет местоположения «взрыва» вихря с помощью использования эмпирического критерия.

Каждая последующая задача использует результаты предыдущей. Задача 1) рассчитывалась по программе Воеводина А. В. и Судакова Г. Г. [2].

2. Расчет невязкого течения в ядре вихревой пелены. Разрывное течение в ядре вихревой пелены представляется в виде [6, 7]:

и(х, г, 0) =и0(х, г) -\-и\(х, г) (05 —0 — я) + и2(х, г) (0* — 0 — л)2 + . . . ,

и{х, г, 0) = и0(х, г) + V^(x, г) (05 — 0 — л) + и2(х, г) (0* — 0 — л)2 + ... ,

я)(х, г, 0) = щ>о(х, г) + ОМ (х, г) (05 — 0 — л) + т2(х, г) (05 — 0 — л)2 + , . . ,

р(х, г, в)=р0(х, г)+р2(х, г) (05 —0 —л)2+ ... ,

где 05— 2л 0 ^ 05, 0 = 0Х (л:, г)—уравнение поверхности тангенциального разрыва.

Функции и0(х, г), Ш>о(х, г) И Ро{Х, г) могут иметь особенность при г-»-0, а м,/ио->-0, (»= 1, 2, . . . ), когда г->-0.

Так как течение потенциально всюду за исключением поверхности разрыва (и = дср/дх, V = д<р/дг, гш = дф/д0), воспользуемся уравнением Бернулли, положив, не теряя общности, константу в нем равной нулю:

р+ -1 (ы2 + г;2 + ау2) = 0. (2.1)

Из соотношения (2.1) следует, что

Ро + -у (и2 + и2 + да2) =0, (2.2)

хотя скорость Уо{х, г) = (и0, у0, шо) не имеет потенциала.

Задача о нахождении величин и0, vo, ш0, р0 в некоторой области Ь, включающей центральную линию вихря, является осесимметричной. Для ее решения необходимо задание граничных условий — трех компонент скорости — на входящих в /. линиях тока. В качестве области Ь выбирается следующая: 0^л:^л:к, 0^г^г£, где хк — соответствует задней кромке крыла (х,= 1), гь — расстояние от центральной линии вихревой пелены до последнего вихря на пелене, полученной при решени задачи 1). В дальнейшем для упрощения записи индекс «0» в скоростях и давлении опустим.

Рассмотрим уравнения, которые определяют траекторию жидкой частицы и профили скоростей и давления в ядре вихревой пелены:

4Г/<И = 0, ш = Г/2я г, др/дг — т2/г,

2р + и2 + V2 + до2 = О,

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

д(Ц') і 9(уг) _ л ах ' дг

(2.7)

Дг ________ Л__ ,

дх и ’

дг

~дх

(2.8)

здесь Г — циркуляция, уравнение (2.6) является следствием уравнения (2.2).

Разобьем область £ на п (і= 1, 2, . . . , п) сечений вдоль оси х и т(х) (/ = 0,1,2— 1) кольцевых слоев вдоль г. Завихренность каждого /-го слоя сосредоточим на внешней границе этого слоя г = г;. Будем выбирать т(х) таким образом, чтобы /-вихревой слой в і-м сечении соответствовал /-му вихревому слою в Ї+1 сечении. Итак, вся область разбивается на осесимметричные вихревые трубки, радиус которых меняется при движении вдоль оси х\ на оси расположена вихревая нить. При переходе через поверхность вихревой трубки скорости и и ш терпят разрыв.

Введем индексацию: тройную—для осевой и окружной скоростей ы,, у, *, а»/,;,*; и двойную—для радиальной скорости, давления и радиуса вихревой трубки иі,}, рі,;, Гі, /. Индекс і указывает на номер сечения вдоль оси х, /—на номер вихревой трубки, к— 1 означает, что скорости вычисляются под поверхностью разрыва, а к = 2 — над поверхностью.

Так как в дискретном виде течение представляется в виде вихревых трубок, уравнение (2.3) выполняется автоматически. В случае, когда скорость не имеет степенной особенности при г-*-0, уравнения (2.4) — (2.8) при /^ 1 перепишем в виде:

При / = 0 вместо первого соотношения (2.9) и соотношения (2.12) имеем

■'і+і./ч-і

Г,.

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

гі+і.1 гі,і ці+і./. і ~Ь ці-н./.г

(2.13)

ХУ:

''+М.1 - 2^-

1+1,1

ы1+1,1,1 г?+1,1 — щ, 1,1 Ал-

(2.14)

(2.15)

Таким образом, если известно значение всех параметров в сечении г, с помощью соотношений (2.9) — (2.15) методом итераций можно найти значение этих параметров в сечении (+ 1.

Если скорость имеет степенную особенность при г-»-0, то необходимо учитывать ее характер при представлении уравнений (2.3) — (2.8) в конечноразностном виде.

3. Расчет вязкого течения в ядре вихревой пелены. Расчет вязкого

течения в ядре вихревой пелены осуществляется с помощью уравнений, ана-

логичных уравнениям пограничного слоя в области Ь\

“1г+г£=-£-+^+т£- <31>

-2£. = -?£-, (3.2)

дг г у '

“1г+г(1г + т)-^-+Т1Г-7- <3-3>

^. + ^. + 4--0, (3.4)

дх ' дг г 4 ’

где о = £;1?е|/2, г=г 1?е|/2, Ие=1/у, V—кинематический коэффициент вязкости.

В качестве области Ь\ выбирается следующая: дг£| г = ги(х).

Для организации счета необходимо задание граничных условий на поверхностях:

а) х=хи, 0^.г^.ги(хи). При малых хи течение в первом приближении коническое, поэтому в этом сечении задается профиль скоростей и' и ш, соответствующий решению, полученному в [8];

б) дс^^дс^д^, г = ги(х). На этой границе из решения задачи 2) задаются значения величин и, ш, р\

в) дс£1^дс^дск, г=0. Эта граница является центральной линией вихревой пелены. На ней из условия симметрии задаются следующие условия:

ди __ ~__^р

дг

В расчетах принималось, что ги = ух1/2. Величина у выбиралась из условия гладкого выхода характеристик течения на внешнее невязкое решение. Метод расчета уравнений (3.1) — (3.4) аналогичен предложенному в работах [9, 10].

Следует отметить, что при расчете течения в ядрах вихревых пелен, сходящих с треугольных крыльев, решения уравнений (3.1) — (3.4) не имели особенностей над крылом даже на углах атаки, намного превосходящих критические (углы, при которых «взрыв» вихря расположен над задней кромкой крыла), что означает невозможность без привлечения каких-либо дополнительных условгий рассчитать местоположение «взрыва» вихря в рамках уравнений (3.1) — (3.4).

В работах [11], [12] показано, что при решении уравнений квазици-линдрического приближения может возникнуть сингулярность. Возникновение такой ситуации обычно связывают с разрушением регулярной вихревой

структуры. Тот факт, что данная особенность не была обнаружена при расчете течения над треугольным крылом, по-видимому, указывает на несовпадение местоположений «взрыва* вихря и точки сингулярности квазицилиндри-ческих уравнений, т. е. при наличии «взрыва» вихря над крылом точка сингулярности может располагаться в следе за крылом, где структура течения не исследовалась.

. 4. Сравнение результатов расчета с известными данными. Для проверки метода расчета, описанного выше, было проведено сравнение с эксперимен-

тальными [13] и численными данными [5]. В [13] при обтекании треугольного крыла с удлинением А,= 1, под углом атаки а— 14,9° (скорость набегающего потока 100 фут./с., корневая хорда 56 дюйм, что соответствует Ие«2,9 • 106) были исследованы характеристики течения в ядре вихревой пелены (рис. 1, 2).

Двум различным кривым на рисунке соответствуют измерения в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Штриховой линии соответствует расчет течения в ядре вихревой пелены, сходящей с треугольного крыла А= 1, под углом атаки 15° при Ке=3- 106 [5]. Сплошная линия — расчет автора Л, = 1, а= 14,9°, Не = 2,9-106.

5. Критерий наличия «взрыва» вихря над крылом. На основании сопоставления ряда экспериментальных данных о местоположении «взрыва» вихря и расчетов удалось выделить эмпирический параметр достижение которым критической величины ^ =/'„р = 0,92 указывает на разрушение вихря. Параметр Т7 имеет вид

сое а эт2 х ’

Г*

где х—Угол стреловидности, 5 = -1_^ —с1г —средняя закрутка течения в

о

ядре вихря, л*— расстояние от центральной линии до точки, лежащей на вихревой пелене и отстоящей от точки отрыва на три четверти оборота вокруг центральной линии [05(дг, г*)—05(х, точка отрыва) =1,5 я]. Следует отметить, что значение средней закрутки зависит от параметров потока в вязкой и невязкой областях. При больших числах 1?е величина г* намного больше толщины пограничного слоя, поэтому, при Ие-»-оо величина я, а, следовательно, и Р, будет слабо зависеть от числа Ие.

Формулу (5.1) качественно можно интерпретировать следующим образом. При переходе от течения над крылом к течению за крылом центральная линия вихревой пелены совершает поворот на некоторый угол. Причем, этот поворот тем больше, чем больше величины а и 90°—%. Таким образом! из (5.1) следует, что местоположение «взрыва» вихря зависит не только от величины закрутки потока, но и от траектории центральной линии вихревой пелены. У

На рис. 3 представлена зависимость угла атаки, при котором точка «взрыва» вихря соответствует задней кромке крыла (критический угол атаки), от стреловидности крыла. Данные взяты из работы [14]. Светлыми точками отмечены расчеты автора. Расчеты проводились при Ие=оо.

Экспериментальные данные свидетельствуют, что наличие фюзеляжа уменьшает критический угол атаки [15, 16]. Был проведен расчет системы крыло — фюзеляж при Не = 2-106. Вид системы показан на рис. 4. Критический угол атаки системы крыло—фюзеляж оказался на 5° меньше, чем у изолированного крыла (штриховая линия), что соответствует эксперименту [16].

Автор выражает благодарность Воеводину А. В. и Судакову Г. Г. за предоставление программы расчета глобального отрывного обтекания летательного аппарата [2] и помощь в ее использовании.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. — М.: Наука, 1978.

2. В о е в о д и н А. В., С у д а к о в Г. Г. Проекционный метод расчета характеристик отрывного обтекания тел идеальной жидкостью. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, № 5.

3. В rune G. W., Weber J. A., Jon son F. Т., L u P., Rub-b e r t P. E. A three-dimensional solution of flows oyer wings with leading-edge vortex separation, Part 1, —NASA CR-132709, 1975.

4. M a n g 1 e r K. W., S m i t h J. H. B. A theory of the flow past a

slender delta wing with leading edge separation. — Proc. of the Roy. Soc.

Ser. A, vol. 251, 1959.

5. L u k r i n g J. M. A theory for the core of a three-dimensional

leading-edge vortex. — AIAA Paper N 85-0108, 1985.

6. Mangier K. W., Weber J. The flow field near the centre of a rolled-up vortex sheet. — J. Fluid Mech., vol. 30, N 1, 1967.

7. Гайфуллин А. М. Течение идеальной жидкости в ядре вихревой пелены. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, X» 6.

8. Гайфуллин А. М., Зубцов А. В. Асимптотическое решение задачи о течении вязкой жидкости в окрестности оси вихревой пелены. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 5.

9. Hall М. G. Numerical method for solving the equation for a

vortex core. — ARC R and M 3467, 1967.

10. L a k s h m a n a n B. Viskous modeling and computation of leading and trailing edge vortex cores of delta wings. — AIAA Paper N 84-0082,

1984.

11. Три губ В. H. К вопросу о разрушении вихревой нити. — ПММ,

1985. т. 49, вып. 2.

12. Bossel Н. Н. Vortex computation by the method of weighted

residuals using exponentials. — AIAA J., 1971. N 10.

13. Earnshow P. B. An experimental investigation of the strukture

of a leading-edge vortex. — ARC R and M 3281, 1962.

14. Kulfan R. M. Wing geometry effects on leading-edge vortices.—AIAA Paper N 79-1872, 1979.

15. Hitzel S. М., Schmidt W. Slender wings leading-edge vortex separation: a chalenge for panel methods and Euler solvers.—J. Aircraft, vol. 21, N 10, 1984.

16. Визе ль E. П., Караск А. А. О влиянии фюзеляжа на разрушение вихрей треугольного крыла. — Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2174.

Рукопись поступила 8/IX 1987 г.