CC BY
13
УДК 539.37
А.П. ГРИБОВ, В.Г. МАЛАХОВ
РАСЧЕТ ГИБКИХ ПОЛОГИХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРЯМЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Предлагается методика решения задач о напряженно-деформированном состоянии (НДС) гибких пологих упруго -пласт и ч веках оболочек, основанная на методах последовательных приближений и граничных элементов. Используются фундаментальные решения для пластины постоянной толщины при плоском напряженном состоянии и изгибе. Дан вывод граничных интегральных уравнений.
1. Уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние (НДС) пологой оболочки, представим в виде
Ш = Х, (1)
где Ь - нелинейный дифференциальный оператор; и = (щ ,и2 ,м>)7 - вектор
л * •
перемещений; Х(Х1,Х2,Х3) - вектор нагрузки. Процесс метода последовательных приближений записывается следующим образом:
£/М = с/«-£/(*)).
(2)
Здесь х - диагональная матрица, ненулевые компоненты которой должны обеспечить сходимость процесса (2); к - номер итерации. Вектор II является решением линейной краевой задачи для уравнений
ь0и = х-ь}и{к\
(3)
где Ь0 - линейный оператор, описывающий НДС изотропной пластины постоянной толщины; Ь = Ь0+Ц. В плоскости плана оболочки введена система декартовых координат*., / = 1,2. Система (3) включает уравнения статики [1]:
дТ„
и
4-^=0, 3=0, »«Г« =0,
дм,
дх]
дх.
дх]
(4)
уравнения, связывающие деформации и перемещения [1]:
дм 1
IV • • - " &/ ' 2
дх, дх,-\ ) '
1
■«1-2
/
ди{ ди: —- + —I
дх:
N
дх,
\ J
' /
+ (5)
у 2 '
и уравнения физического закона:
Тп =Я(еп +у822)+АГ|«> Tj2 = *(l-v)e12 + Д7#>, (6)
2
+■
где ДГ« = jAof^z; АЛ/f = ¡Aafzdz; (/,7 = 1,2).
2
Здесь , Qi - тангенциальные усилия и поперечная сила в сечении оболочки xi = const; ui, w - тангенциальные перемещения и прогиб точки срединной поверхности; со,, со2 - повороты нормали к срединной поверхности вокруг координатных осей хг, х{; е,у - тангенциальные деформации срединной поверхности; к^ - изгибные деформации срединной поверхности; Му -изгибающий и крутящий моменты; k{j - кривизны срединной поверхности
3 Ge,
m
оболочки; АаЙ}=2Аа^ =-2Gco^}; со = 1-
функция А.А. Ильюшина [2], зависимость а;. (ei) известна; = е^ _ (l-4v
/ =
+ v2 j/(l-v)-(l -2v>o
; а,, -интенсивности напряжении и де-
' 3(1-У)-2(1-2У)О формаций.
В уравнениях (6) выделены члены, относящиеся к некоторой изотропной пластине постоянной толщины.
Для нахождения вектора и используется прямой метод граничных элементов.
Граничные интегральные уравнения (ГИУ) получим, используя метод взвешенных остатков [3], соотношение которого запишем в виде:
/
\
дГ0
—L+xi
dxj
\
80:
\
L-kijTyk) +Х1
\
dXj
w >da = 0,
У
(7)
где г/,, и2, - весовые функции. Соотношение (7) эквивалентно уравнениям
статики для усилий, содержащимся в уравнениях (4). Интегрируя по частям с учетом уравнений (4)-(6), можно записать (7) в виде
•w
/
щ до
дх, дх:
\
d<j = О,
(В)
Л. = Цтх + Ттих + + Ссо„ - Т„ип - Тпхих -Уи» - Сш„ ^ + (я* - Ям?) | ,(9)
где = <2„ -
ЭЯ
_ «
При выводе (9) использованы соотношения:
ип
т„
Я
и. =
= ГЛ>
= ТцП]ПИ Т
пт
м,т,, С0„ = 0)т=С0;Т,.,
= м]кп]ск,> сЦ™, = ми'Ь> = ТцП1х], Мп=Мцщп^
= б,«,,
(10)
где «(л,,«2), т(т,,г2) - нормаль и касательная к контуру С, ограничивающего
I
оболочку; с/у - компоненты дискриминантного тензора поверхности в декартовых координатах: сп = с22 = 0, с,2 = -с21 =-1; /и, - проекции векторов контурного усилия и контурного момента на ось Тп> Н - проекции векторов контурного усилия и контурного момента на нормаль п; Тпх, М„ - проекции векторов контурного усилия и момента на касательную т; ипУ ил - проекции
вектора перемещения точки срединной поверхности на нормаль п и касательную т; со „ - угол поворота нормали вокруг касательной т. При обходе по контуру область а, занимаемая срединной поверхностью оболочки, остается слева. Величины, помеченные символом «~», связаны с весовыми функциями щ9 и2, й> соотношениями:
~ 1
/
ВЫ: дЫ : 4 -- + -
8Х:
\ V
ЭХ;
Агч^
1
/
)
со,.=
ах,'К(/ ~ 2
/
\
+
V
V
дх] дх(
~ дМ:: —^
М„ =/)(кп +ЧК22), М,2 = л(1 -у)к12 ,
(П) (1« 2),
получающимися путем подходящих обозначений величии в процессе преобразований (7). Величины, входящие в контурный интеграл (9), вычисляются по формулам:
^ ^ _ ^ ~ ЛТГТ ГТ1 ГГ1 ГТ1
и =11,11*11 =11 Т , I = 1 "П. У1 •, 1 =1~П-Х-щ
ш„ = С = М^.л,, Я = -M¡jnixj, £>„ = = ~
дН
э/
(12)
Функция Ф определяется соотношениями:
Ф = Ф2+Ту
/
v 2. ' J
Соотношение (8) с интегралом (9) применяется при выводе ГИУ. Интегральное уравнение для касательных перемещений получим полагая
^ о, ^ = 5,7б(* - О-
СХ-
(13)
. - • •
Уравнения (11), (13) описывают плоское напряженное состояние бесконечной пластины при действии единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке с, в направлении оси хг Сингулярное решение, представляющее проекцию вектора перемещения на ось х1, имеет вид [4]
У\У\4
иа=С
г
\
СгЬа1пг-
г
/
(14)
где г
У2 + У2- V -а -Е -С - +
4тс£,/7 1 + V
Подставляя (14) в уравнения (11), (12), определим все величины, входящие в соотношение (8), которое представим как интегральное уравнение
а и, \{Тпип + Т„их - Тпип - Т„Х \ь " №<у = 0,
(15)
а
в котором а = 1, если точка \ находится внутри области а; а = 0,5, если точка \ принадлежит гладкому участку контура С. Записывая (14) для каждого направлениях{, / = 1,2 в точках \ е С, получим систему двух ГИУ для определения значений и{ (или ип, ит), ТпУ Тт на контуре С.
Аналогично, полагая
......" об)
гТ, = и2 ннО, =
ОХ:
получим уравнение для прогиба Соотношения (11), (16) описывают изгиб бесконечной пластины при действии поперечной единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке Решение этой задачи запишем в виде [3]
м> =
г21пг.
8 лО
(17)
С учетом (16) по формулам (10), (11) определяются величины, входящие в соотношение (8), которое в этом случае принимает вид
' dw ^
ni и записи полученного урав-
awfe)- ¡{vnw + G(on - Vnw - Gton jds + (#w -Hw) | - \Фdo = 0. (18)
С .Ca
Коэффициент a определяется так же, как в уравнении (15). Уравнение (18) для точек \ е С является ГИГУ с неизвестными значениями функций w, со„, F, G на контуре С. Краевые условия позволяют исключить две неизвестных величины в каждом из уравнений (15), (18). Это делает возможным найти две оставшиеся величины в (15), а для нахождения неизвестных в (18) вводится дополнительное уравнение, получающееся из (18) применением
формулы дифференцирования
W//
I —
нения в точках £ е С. При численном решении ГИУ записываются в точках некоторого дискретного разбиения контура, интегральные члены заменяются с использованием формул численного интегрирования. Решение ГИУ сводится к решению двух систем линейных алгебраических уравнений на каждой итерации. Следует отметить особый характер применяемых формул численного интегрирования, т.к. ядра ГИУ для уравнений (14), (17) имеют особенности типа 1/г при г -» 0, а ГИУ для сог - особенность типа \/г2.
X' л » 4t' I
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1975. 328 с.
2. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М: Машиностроение, 1975.400 с.
3. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982,248 с.
4. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.494 с.
Грибов Александр Павловичу доктор физико-математических паук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи в области механики оболочек.
Малахов Владимир Георгиевич, старший научный сотрудник КНЦ РАИ. Имеет публикации в области механики оболочек.
УДК 622.233.6 В.К. МАНЖОСОВ
А «
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССЫ ПО ПОЛУОГРАНИЧЕННОМУ СТЕРЖНЮ СУПРУГОЙ ПРОКЛАДКОЙ В УДАРНОМ СЕЧЕНИИ
Рассмотрена задача продольного удара сосредоточенной массы по полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении. Представлены дифференциальные уравнения движения ударной массы и поперечных сечений стержня. Получены решения уравнений и определены значения ударной силы при различных параметрах ударной системы.
• § I к
Продольный удар сосредоточенной массы по полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении описан в работах [2,3,4]. Расчетная схема ударной системы изображена на рис. 1.
Ч
к
о
м
7 X
А оо
ХМ О
Рис. 1. Расчетная схема ударной системы
Ударная масса М, перемещающаяся вдоль оси х со скоростью У0, наносит удар по неподвижному полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении х = 0. Жесткость упругой прокладки равна к, положение ударной массы определяется координатой хм.
Движение поперечных сечений описывается волновым уравнением вида
д2и(х9г) 1 д2и(х^)_
дх2 а2 Ы
где и{х,{) - продольное перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х; время, а - скорость звука в материале стержня.
При / = 0 (начальные условия)
и(х, 0)=0, = 0 < х < со. (2)
2 =0' 0)
дг
Граничные условия:
при х = 0 ЕА -&[ц(0,/)- хм] = О, если хм >и(0,/), (3)
дх ^ • ц ;гл:.и .. Г; и-- м
= если хм <и(0,/), "(4)
