Расчет электромагнитных характеристик уединенных вертикальных стержневых заземлителей конечной длины при стекании переменного тока промышленной частоты Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

4. А л е к с а н д р о в с к и й, С. В. Анализ схем питания вентильно-индукторных двигателей / С. В. Александровский, Ю. Н. Петренко // Энергетика... (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 2010. - № 6. - С. 27-31.

5. Александров с к и й, С. В. Математическое моделирование вентильно-индукторного привода / С. В. Александровский, Ю. Н. Петренко // Информационные технологии в промышленности: тез. докл. 5-й междунар. науч.-техн. конф., Минск, 22-24 окт. 2008 г.: ОИПИ НАН Беларуси; редкол.: Е. В. Владимиров [и др.]. - Минск, 2008. - С. 93-94.

6. А л е к с а н д р о в с к и й, С. В. Формирование электромагнитных процессов в вен-тильно-индукторном электроприводе / С. В. Александровский, Ю. Н. Петренко // Современные методы проектирования машин. - Минск, 2004. - Вып. 2: в 7 т. - Т. 6: Автоматизация проектирования и информационные технологии. - С. 145-148.

Представлена кафедрой электропривода и автоматизации промышленных установок

и технологических комплексов Поступила 24.01.2011

УДК 621.316.99

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УЕДИНЕННЫХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ ЗАЗЕМЛИТЕЛЕЙ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ ПРИ СТЕКАНИИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ПРОМЫШЛЕННОЙ ЧАСТОТЫ

Канд. техн. наук ГЕРАСИМОВИЧ Д. А., магистр техн. наук ДЕРЮГИНА Е. А.

ООО «Электротехническая компания "ЭКНИС''», Белорусский национальный технический университет

Исследованию электромагнитных процессов в вертикальных заземли-телях посвящены работы [1-3] и др. В них предложены математические модели, основанные на рассмотрении электромагнитного поля заземлителя или представлении заземлителя электрической цепью с распределенными параметрами. Ряд недостатков таких моделей рассмотрен в [4]. В частности, не учитывается, что для уединенного заземлителя на переменном токе активные и индуктивные сопротивления должны стремиться к бесконечности.

При стекании постоянного тока электрическое поле вертикального за-землителя изучено достаточно полно, а его сопротивление определяется по общеизвестной формуле [5]

Я =——, (1)

2п/у 2 Я2

где I - длина заземлителя; Я2 - внешний радиус заземлителя; у2 - электрическая проводимость земли.

На переменном токе характер стекания тока в землю существенно иной, нежели на постоянном. Вопрос о возможности использования (1) для переменного тока или необходимости применения моделей электромагнитно-

го поля для расчета параметров заземлителя остается недостаточно изученным. В [6, 7] разработан метод и проведены исследования электромагнитных характеристик бесконечно длинных стержневых заземлителей на переменном токе. Результаты этих исследований показали, что вертикальные заземлители можно рассматривать как бесконечно длинные при длинах порядка три-четыре и более глубины проникновения плоской электромагнитной волны в землю. Даже при большой проводимости земли (у2 = = 0,1 См/м) глубина проникновения плоской электромагнитной волны для тока промышленной частоты составляет 225 м. Таким образом, для получения результатов, пригодных для практики, необходимо учитывать реальную конечную длину вертикальных заземлителей.

Геометрическая модель заземлителя конечной длины приведена на рис. 1. Расчет параметров электромагнитного поля такого заземлителя в целом осуществляется методом [6], основанным на решении дифференциальных уравнений Максвелла методом конечных разностей в сочетании с методом итераций. Основная задача в данном случае состоит в определении предельных условий на границе раздела «земля - заземлитель» и выборе в соответствии с предельными условиями начального (нулевого) приближения распределения плотности тока в земле и заземлителе. На практике длина заземлителя существенно больше его внешнего радиуса (I >> Л2). С учетом отмеченного можно пренебречь током, стекающим с торцевой поверхности заземлителя, по сравнению с током, стекающим с его боковой поверхности (рис. 1):

Ст(г, -1) = ё>2т2(г, -1) « 0, г е[0, Я,], (2)

где ст (г, -1) - комплексная амплитуда вертикальной составляющей вектора плотности тока в заземлителе (/ = 1) и земле (/ = 2).

Рис. 1. Геометрическая модель уединенного вертикального стержневого заземлителя конечной длины

Тогда в слое земли, ограниченном областью г е [0, Л2] и г е (-/, -да),

можно пренебречь следующими проекциями векторов электромагнитного поля:

¿2шг (г, г) = 0; С2Иг (г, г) = 0; Я2Иф(г, г) = 0, (3)

где с2тг (г, г) - комплексная амплитуда радиальной составляющей плотности тока; Н2тф (г, г) - то же угловой составляющей вектора напряженности магнитного поля.

Таким образом, рассматриваемая область стекания тока в земле остается как и для бесконечно длинного заземлителя: г е[Л2, да) и г е[0, -да).

Для дальнейшего расчета плотности тока в земле необходимо знать предельные условия, а именно радиальную составляющую плотности тока на боковой поверхности заземлителя: г = Л2, г е[0, -/]. Вертикальная составляющая плотности тока в земле пренебрежимо мала [6]. Тогда с учетом уравнения непрерывности плотности тока с = 0 радиальная составляющая плотности тока на боковой поверхности заземлителя удовлетворяет уравнению

д2с2 г) =а2С2тг№,г), ге [0, -/], (4)

дг2

где а2 = ^уюу2ц,2; ю - угловая частота переменного тока; ц2 - магнитная

проницаемость земли.

Так как весь ток стекает с боковой поверхности заземлителя и угловая составляющая вектора напряженности магнитного поля Нгтф при г = -/ равна нулю, решением этого уравнения является

■ ч а21 т еЬ(а2(г +/)) Г ,

С2тг№, г) = —--——-—, ге[0, -/], (5)

2%к2 8п(а 21)

где I т - комплексная амплитуда тока, стекающего в заземлитель. С учетом (3) и (5) предельные условия принимают вид

С2тг (К-2, г) =

а 21т оЬ(а 2 (г +/)) г ^ _ л

2пЯ2 зЬ(а2/) , г е , -1; (6)

0, ге (-/, -да).

Распределение предельных условий для различных длин заземлителя по отношению к глубине проникновения плоской электромагнитной волны

в землю А,2 = ^/2/юу2ц2 иллюстрирует рис. 2. При малых длинах заземлителя / < Я2 плотность тока распределена практически равномерно, что, по сути, соответствует стеканию постоянного тока. При больших длинах начинает сказываться затухание электромагнитного поля в земле.

Рис. 2. Распределение радиальной составляющей вектора плотности тока по длине стрежня (ст2тг* = |б2тг (Я2, г)|/|а2тг (Я2,0)|) для различных длин заземлителя по отношению к глубине проникновения плоской электромагнитной волны в землю Х2

Для выбора нулевого приближения распределения плотности тока в земле учтем, что а2тг (г, г) ~1/г при г ^ да и определяется выражением [6]

, , а 21т

&2тг (г, г) = —— еа2г, г ^ да. 2пг

(7)

С учетом (7) преобразуем предельные условия к виду

¿2 тг (К-2, г) = <

а21т а21т е-а2/сЬ(а2г) Гл

2пЯ2 2пЯ2 8Ь(а27) 1 J (8)

0, ге(-/, -да).

а21т е-а2/сЬ(а2г)

Составляющая--в (8) при выборе нулевого приближе-

2пЯ2 8Ь(а 21)

ния с учетом требования (7), очевидно, должна затухать по координате г пропорционально не менее 1/г2. Примем ее зависимость по координате г на основе результатов, полученных для распределения постоянного тока [5]. Тогда окончательно можно записать выражение для нулевого приближения в земле

¿2тг (г, г) =<

а2'т.еагг + ^т^^ С^, г Е [Я2, да), г Е [0, - /];

2пг

а21 т

2пгф2 + (г -Я2)2 лЬ^/)

( , Л

2пг

еа2 г

1 -

/

(9)

V/2 + (г - Я2)2

, г е[^2, да), г е(-/, - да).

Данное выражение удовлетворяет предельным условиям (6) при г = Я2 и условию (7) при г ^ да. Дальнейший расчет распределения плотности тока в земле полностью аналогичен расчету бесконечно длинного заземли-

теля разностным методом [6]. При этом изменяется только нулевое приближение распределения радиальной составляющей плотности тока в земле в узлах расчетной разностной сетки.

Для заземлителя расчет распределения плотности тока также осуществляется на основании результатов [6]. В этом случае изменяются невязоч-ные величины радиальной составляющей плотности тока и зависимость вертикального тока в заземлителе 11тг (г) в соответствии с полученными для заземлителя конечной длины предельными условиями (5), а сам зазем-литель рассматривается в области: г е [Я1, Я2 ] и г е [0, -/].

На основании приведенных соотношений модернизирована программа расчета электромагнитных характеристик [7] с учетом конечной длины заземлителя. Также получены приближенные формулы для расчета электромагнитных характеристик, основанные, как и для бесконечно длинных заземлителей, на нулевом приближении распределения плотности тока в стержне заземлителя и земле. Опуская промежуточные выкладки, приведем итоговые выражения для приближенного расчета основных характеристик.

Сопротивление растеканию тока в земле

е-а2/ 21

-1п —

8Ь(а 2/) Я2

Л

(10)

где Я - расстояние до заземлителя с обратным током [7].

При малых длинах заземлителя второе слагаемое в (10) стремится к (1). Сопротивление стержня заземлителя

2 = I № МхОН^Ы- 1о(Х2)И(2)(Х1) М2к2/)-81п(2^/) Щ) "с 2пЯ^2Ъу2Ц2 МхОИР^) - -ЬЫНРЫ оЬ(2к2/) - 008^/Г

где уь - электрическая проводимость и магнитная проницаемость стержня заземлителя соответственно; 10(х), Мх) - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков соответственно; Н02)(х), Н(2)(х) -функции Бесселя третьего рода (вторая функция Ганкеля) нулевого и первого порядков соответственно; х1 = 7'а1Я1; х2 = 7'а1Я2; а1 = ^уюу1ц1; Я1 -

„ 1а У2Ц2

внутренний радиус заземлителя; к2 = л—-—.

Полное сопротивление заземлителя определяется как сумма сопротивления заземляющего стержня и сопротивления растеканию тока в земле [7]

2 (Я) = Яа (Я) + ]Х (Я) = 2 с + 2 з (Я), (12)

где Яа (Я), X (Я) - активное и индуктивное сопротивления заземлителя. Действующие значение напряжения на заземлителе

е-а21 2/

Л

1п — 8Ь(а2/) Я2)

На основе модернизированной программы проведено исследование электромагнитных характеристик медных и стальных вертикальных за-землителей конечной длины численным методом. Также выполнены расчеты по приближенным формулам (10)—(13). В исследованиях принимались: для меди - у! = 5,6 • 107 См/м, ц = 4п-10-7 Гн/м; для стали -У! = 6,8 -106 См/м, ц1 = 700 • 4п • 10-7 Гн/м; для земли у2 = 0,1; 0,0001 См/м,

= 4л40-7 Гн/м. Рассматривались заземлители радиусом Я2, равным 6 и 150 мм, с толщиной стенок й = Я2 - Д = 3,5; 5 мм соответственно. Расстояние Я до заземлителя с обратным током принято равным 1000 м.

Наиболее характерные результаты численных исследований иллюстрируют зависимости полных сопротивлений Z и отношений индуктивного X и активного Яа сопротивлений от длины стержня медных (рис. 3) и стальных (рис. 4) заземлителей различных радиусов. Как следует из рис. 3а и 4а, при малой проводимости земли (у2 = 0,0001 См/м) полное сопротивление заземлителя, полученное численным методом и по формулам (10)-(12), практически соответствует сопротивлению на постоянном токе (1). Величина индуктивного сопротивления заземлителя при этом близка к нулю (Х/Яа не превышает 0,1 (рис. 3в, 4в)). Сопротивление стержня зазем-лителя в данном случае несущественно по отношению к сопротивлению растекания тока в земле как для медных, так и для стальных заземлителей (Zc не превышает 2 Ом). Отличия в результатах, полученных численным методом и по формуле (1), для малой проводимости земли не превышают 9 %, а приближенные формулы (10)-(12) дают погрешность не более 6 % в сравнении с численным методом. Такие результаты объясняются тем, что при малой проводимости земли длина заземлителя существенно меньше глубины проникновения плоской электромагнитной волны в землю. Поэтому затухание в земле практически не сказывается, а электромагнитные характеристики заземлителя соответствуют распределению поля постоянного тока.

По-иному ведут себя зависимости сопротивления при большой (у2 = = 0,1 См/м) проводимости земли (рис. 3б, 4б). В данном случае соответствие постоянному току наблюдается для длин заземлителя не более 25 м, что составляет порядка 0,1 глубины проникновения плоской электромагнитной волны в землю. Отличия с результатами по (1) для таких длин не превышают 5-10 %. При больших длинах заземлителей заметно проявляется затухание электромагнитного поля в земле и формула (1) становится непригодной. Сопротивление заземлителя с ростом длины стержня уменьшается не так существенно, как для постоянного тока. Для длин 450 м и более (что соответствует двум глубинам проникновения плоской электромагнитной волны) сопротивление практически соответствует сопротивлению бесконечно длинного заземлителя. С увеличением длины также существенно возрастает индуктивное сопротивление заземлителя, причем оно может превышать активное сопротивление (рис. 3в, 4в).

Необходимо также отметить, что с увеличением длины заземлите-ля сказывается не только затухание электромагнитного поля в земле, но и электромагнитное поле самого стержня заземлителя. То есть существенный вклад в сопротивление вносит сопротивление стержня Zс. Эта со-

ставляющая больше для заземлителей меньшего радиуса, а для стальных заземлителей сопротивление стержня даже превышает сопротивление растеканию тока в земле. Объясняется это ярко выраженным поверхностным эффектом в стержне стального заземлителя. Для большой проводимости земли, кроме того, характерна точка минимума сопротивления, которая наиболее выражена для стальных заземлителей малого радиуса.

200 Z, Ом 160 140 120 100 80 60 40 20

у2 = 0,0001 См/м

0,50-Z, Ом-0,40 0,350,300,25 0,20 0,15 0,10 0,05

б _

у2 = 0,1 См/м

R2 = 150 мм 1 2, 3

0 100 200 300 400 500 600 700 800 1, м 1000

0 100 200 300 400 500 600 700 800 1, м 1000

Х_

0, 0,6 0,4 0,2

R 2 = 150 мм

1=1Г

Y2 = 0,1 См/м

0 100 200 300 400 500 600 700 800 1, м 1000

Рис. 3. Зависимости полного сопротивления Z (а, б) и отношения индуктивного сопротивления к активному X/Ra (в) от длины I медных заземлителей при малой (у2 = 0,0001 См/м) и большой (у2 = = 0,1 См/м) проводимостях земли: 1 - численный метод; 2 - приближенные формулы; 3 - формула (1)

a

в

200 Z, Ом 160 140 120 100 80 60 40 20

1,0 Z, Ом, 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

у2 = 0,1 См/м

0 100 200 300 400 500 600 700 800 1, м 1000

0 100 200 300 400 500 600 700 800 1, м 1000

R2 = 150 мм

1,2 Х_ R, 0

0,6

0,4

0,2

Рис. 4. Зависимости полного сопротивления Z (а, б) и отношения индуктивного сопротивления к активному X/Ra (в) от длины 1 стальных заземлителей при малой (у2 = 0,0001 См/м) и большой (у2 = = 0,1 См/м) проводимостях земли: 1 - численный метод; 2 - приближенные форму -лы; 3 - формула (1)

б

в

0 100 200 300 400 500 600 700 800 l, м 1000

Сопоставление результатов, полученных численным методом (кривые 1 на рис. 3б, 4б) и результатов на основе приближенных формул (кривые 2 на рис. 3б, 4б) для земли с большой проводимостью также говорит о пригодности приближенных формул. Отличия в сопротивлениях при этом не превышают 4 %.

Полученные результаты позволят сделать заключение, что для подавляющего большинства применяемых на практике конструкций вертикальных заземлителей для определения сопротивления заземлителя на переменном токе промышленной частоты можно использовать результаты, полученные для постоянного тока [5]. Исключение составляют скважинные заземлители, для которых характерны большие длины. Отметим, что для импульсных токов молнии скорости изменения параметров электромагнитного поля будут на несколько порядков больше, чем для промышленной частоты. Соответственно затухание электромагнитного поля в земле будет проявляться при значительно меньших длинах заземлителей, что свидетельствует о необходимости отдельных исследований характеристик заземлителей при стекании токов молнии.

В Ы В О Д Ы

1. Численный метод расчета характеристик электромагнитного поля уединенного бесконечно длинного стержневого заземлителя получил развитие для случая вертикального стержневого заземлителя конечной длины.

2. Исследованиями установлено, что для большинства конструкций вертикальных заземлителей для расчета их сопротивлений на переменном токе промышленной частоты можно использовать общеизвестное выражение, полученное для постоянного тока. Учитывать затухание электромагнитного поля в земле следует при длинах вертикальных заземлителей, превышающих 0,1 глубины проникновения плоской электромагнитной волны в земле.

3. Предложены приближенные аналитические формулы для расчета сопротивлений заземлителя конечной длины и напряжения на нем, учитывающие затухание электромагнитного поля в земле и заземлителе. Формулы обеспечивают пригодную для практики точность расчета параметров вертикального заземлителя.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. К а р я к и н, Р. Н. Электромагнитные процессы в протяженных заземлителях в неоднородных структурах / Р. Н. Карякин // Электричество. - 1996. - № 7. - С. 43-51.

2. М а к с и м е н к о, Н. Н. Расчет скважинных заземлителей / Н. Н. Максименко, Г. Г. Асеев // Электричество. - 1970. - № 9. - С. 44-47.

3. П о л е в а я и цепная модели волновых процессов в протяженном заземлителе / В. К. Слышалов [и др.] // Вестник ИГЭУ. - 2006. - Вып. 2. - С. 50-58.

4. Н е ту ш и л, А. В. О неадекватных математических моделях заземлителей / А. В. Нетушил // Электричество. - 1996. - № 7. - С. 74-75.

5. О л л е н д о р ф, Ф. Токи в земле. Теория заземлений / Ф. Оллендорф. - ОГИЗ -ГНТИ, 1932. - 215 с.

6. Г е р а с и м о в и ч, Д. А. Метод расчета электромагнитных характеристик уединенного стержневого заземлителя при стекании переменного тока промышленной частоты / Д. А. Герасимович, Е. А. Дерюгина // Энергетика... (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 2009. - № 5. - С. 21-32.

7. Г е р а с и м о в и ч, Д. А. Математическое моделирование электромагнитных характеристик уединенных бесконечно длинных стержневых заземлителей при стекании переменного тока промышленной частоты / Д. А. Герасимович, Е. А. Дерюгина // Энергетика... (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). - 2010. - № 4. - С. 5-13.

Представлена кафедрой