Расчет дифракционных явлений на 3D объектах постоянной толщины при освещении плоскими и сферическими волнами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.421/2:531-3

К.А. Зебрева, Ю.В. Чугуй

КТИ НП СО РАН, Новосибирск

РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ НА 3D ОБЪЕКТАХ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ОСВЕЩЕНИИ ПЛОСКИМИ И СФЕРИЧЕСКИМИ ВОЛНАМИ

Одной из актуальных задач современного приборостроения является автоматизация контроля геометрических размеров промышленных изделий. Для ее решения, как известно, используются различные методы Фурье оптики, такие как дифракционные, корреляционные и теневые, основанные на анализе и фильтрации спектров высоких и низких пространственных частот изображений таких объектов. Так как большинство изделий являются протяженными объектами, то необходимо учитывать влияние объемности этих изделий на их пространственные спектры. Поскольку теория Кирхгофа-Френеля позволяет проводить анализ дифракционных явлений только на объектах нулевой толщины, а существующие строгие и приближенные решения дифракционных задач чрезвычайно сложны для инженерных применений [1], возникает необходимость в создании конструктивной теории формирования изображений дифракционных картин Фраунгофера (спектров) протяженных 3D объектов.

В работе [2] была предложена конструктивная теория формирования в когерентном свете спектров 3D объектов постоянной толщины с плоскими абсолютно поглощающими внутренними поверхностями, которая, в отличие от известных, проста, физически наглядна и в то же время достаточно строга для инженерных применений. Она основана на модели эквивалентных диафрагм, согласно которой главный вклад в поле дают передняя и задняя грани объекта, причем влияние внутренней поверхности на дифракционное поле объекта полагается пренебрежимо малым и сводится либо к поглощению, либо к отражению волн, дифрагированных на передней грани. В результате проблема дифракции на объемных телах постоянной толщины сводится к анализу дифракционных явлений на плоских транспарантах, расположенных вдоль оптической оси, соответствующих передней и задней граням объекта, что позволяет применять для расчета стандартные методы Фурье оптики.

В [3] изучались дифракционные явления для случая освещения 3D тел плоскими волнами с нормальным падением. Однако, влияние конфигурации освещающего пучка для 3D тел (в отличие от двумерных) имеет принципиальное значение. Очевидно, что выбором конфигурации освещающего пучка можно подчеркивать (селектировать) или ослаблять влияние того или иного фрагмента объекта. Все это, однако, требует строгого математического рассмотрения. В настоящей работе представлены результаты расчетов дифракционных явлений на 3D объектах постоянной толщины при освещении их плоскими наклонными и сферическими волнами.

Дифракция света на 3Б объектах при освещении их плоскими наклонными волнами. Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на объектах с абсолютно поглощающей внутренней поверхностью при освещении их

наклонными волнами под углом у к оптической оси (рис. 1). При расчете воспользуемся ранее полученными результатами [2], в соответствии с которыми спектр Фурье для 3D с абсолютно поглощающей внутренней поверхностью постоянной толщины в приближении малых углов наблюдения 0 описывается следующим выражением (с учетом наклонного падения освещающей волны):

в) = I/(*)~(* + Ш)е

(1)

где А(х) и g(x) - граничные функции, описывающие амплитудные пропускания в передней и задней плоскостях объекта; 0 - угол дифракции; у -угол падения освещающей волны; к=2л/^ - волновое число;

к ' "'7 йЕ - френелевский образ функции g(x).

~(г) = (ІЛ^)1/2 Ig(^)ехр

І ^(г-Я2

Рис. 1. Объемный асимметричный край при наклонном падении освещающей волны (а) и его модель эквивалентных диафрагм (б)

— СЛ)

Для случая абсолютно поглощающего края используем уравнение (1) для вычисления пространственного спектра волны, дифрагированной на 3D крае протяженностью й и со скосом с (характеризующим параметр асимметрии). В этом случае граничные функции имеют следующий вид: ґ(х)=У(х); В(х)=У(х'-с), (2)

где Y(x) - ступенчатая функция Хевисайда.

В результате для пространственного спектра объекта можно получить следующее выражение:

Ы (в2-у2)

Р<(0)=хе[к(в-уЬ ^0^* е‘'-к0у ~с(3)

Видно, что первый член описывает вклад в дифракционную картину от прошедшего пучка света, второй - дифракцию света на передней грани объекта с учетом виньетирования дифрагировавших волн задней гранью, а третий соответствует вторичной дифракции света на задней грани. Величина последнего определяется значением амплитуды поля У (с -уй) - результата

дифракции света на передней грани - в точке расположения края задней грани объекта. Фазовая составляющая учитывает положение края в

поперечном (член в~]к{в—г)с) и продольном (член

Ы {в2-г2)

) направлениях.

Естественно, что в зависимости от величины и знака параметра с, а также от

угла падения освещающей волны у основной вклад в дифракционное поле объемного края дает его передняя или задняя грани.

В качестве примера, иллюстрирующего влияние наклона освещения на вид спектра на рис. 2. приведена дифракционная картина симметричного абсолютно поглощающего края. Видно, что отклонение в положении дифракционных минимумов в зависимости от наклона освещающей волны действительно имеет место.

На основе полученных результатов можно решить и обратную задачу: по спектру мощности 3D края определить его протяженно сть.

Для этого воспользуемся предложенной в [3] аппроксимацией френелевского образа ступенчатой функции Хевисайда. Расчеты показывают, что положение минимумов спектра волны,

дифрагированной на объекте типа симметричный край с абсолютно поглощающей внутренней поверхностью, описываются следующим

выражением:

Рис. 2. Спектр мощности 3Э края при его нормальном (пунктир) и наклонном (у=0.6°) освещении.

в” =^{к" +Ак")-1п7, где кп =л/ 2п -1, Акп =■

(4)

ссуі 2п — 1 +1

242ап(2п — 1) 2л/2ж(2п — 1)

Восстанавливаемый параметр d находится из (5) по результатам измерения двух углов вп и вт соответствующих т-му и п-му порядкам (п>т) спектра:

^ = (кп,т У1п.т)

(5)

2

Л

п,т г1п,т) ^ ,

(вп —вт)

п,т п т

Рис. 3. Модель объемного асимметричного края с абсолютно отражающей внутренней поверхностью

где I = I — I

п,т п т

Асимметричный абсолютно отражающий край. При вычислении спектра такого объекта, освещенного наклонной волной

2

1

(рис. 3), воспользуемся моделью такого края, предложенной в [4]. Согласно ней, результирующее поле такого объекта представлено в виде суперпозиции двух волн: прошедшей, спектр которой равен спектру объекта с абсолютно поглощающей поверхностью (3), и отраженной от боковой поверхности, волновой вектор которой направлен под углом Р-у к оси, где р=2сМ. Спектр второй компоненты поля эквивалентен спектру бипланарной щели при освещении ее плоской волной, падающей под углом р-у к оси.

Расчеты показывают, что результирующий спектр выглядит следующим образом:

к (в1 -у1 )і jk (в1 -у1 )і

^ (в) = пб (к(в - у)) + Г(М - с) + -

-¡к (в-у)с

Ік (в-у) Ік (в-у)

-У (с -уі )-

Г (в - с) е-к{в-у)се

~(с-у

Ік (Р-в-у)

Ік (Р-в-у)

(6)

Рис. 4. Асимметричная щель с абсолютно поглощающей внутренней поверхностью

поверхностями (рис. 4).

В (6) первые три члена описывают прошедшую волну, а остальные - отраженную. Следует отметить, что полученное выражение в пределе с=0, у=0 совпадает с известным

выражением [3] спектра волны, нормально падающей на

симметричный абсолютно

отражающий край.

3В абсолютно поглощающая асимметричная щель.

Воспользуемся этим подходом и для вычисления спектра асимметричной щели с абсолютно поглощающими внутренними

Граничные функции для данного объекта имеют следующий вид:

/ (х) = гесі

g (х) = гесі

х

1А,

х - Ь 1В

= У (х + А) - У(х - А);

= У(х + В - Ь) - У (х - В - Ь),

(7)

где 2А, 2В и Ь - геометрические размеры объемного отверстия.

Вычисляя интеграл (1) с учетом вида граничных функций можно получить:

А - Ь'

^з(в)(]к(в - у)) = е^к(в у)Агесґ\

1В

- е-Ік(в-у)А

гесц

+ А - Ь 1В

]кё (в1 -у1)

- е

,-Ік (в-у)( В+Ь)г£сі ( Ь + В-у

1А

- е~Ік (в-Г)(Ь-В)гесі ( Ь - В-у { 1А

е

и

1

где те а(х) - френелевский образ функции гес^).

Необходимо отметить, что варьируя угол наклона освещения можно подчеркивать (селектировать) или ослабить влияние тех или иных граней объекта (рис. 5). Например, при у <0 основной вклад в формирование спектра дают граничные точки S1 и S4 (эквивалентные источники), а при у >0 S2 и S3.

• с

; с

Рис. 5. Селекция элементов, дающих наибольший вклад в дифракционную картину вариацией наклона освещения

Рис. 6. Освещение асимметричной щели сферической волной

Дифракция света на 3Б асимметричной абсолютно поглощающей щели при освещении ее сферической волной. В этом случае существенно, что дифракционная картина Фраунгофера формируется в плоскости Р1, сопряженной плоскости Р0, в которой находится источник освещения S (рис. 6).

Спектр 3D асимметричной абсолютно поглощающей щели при освещении ее сферической волной описывается следующей функцией:

е

]ктШ

Рлв) =1кёгтеа I

]кйтв2

( Шт - Ат - Ь е

- ]ктвА

—

2В

—ге&1 -

]кв I

( Шт + Ат -Ь

—

2В

е 2 е-кШ

№

'та ( — 1-е‘ктгес!(Ь - В

(9)

^ 2 Ат

^ 2 А

Рис. 7. Согласованное освещение щели с параметрами А=1 мм, В=1.1 мм, d=5 мм, Ь=0 сферической волной с радиусом кривизны R=50мм. Пунктиром показан случай нормального освещения плоской волной

Я + $ $

где т =-----= 1 л—.

Я Я

Изменяя конфигурацию сферической волны,

можно подчеркнуть или ослабить влияние

передней или задней грани объекта. Случай согласованного освещения объекта

иллюстрирует рис. 7. При

п

е

этом расположение источника таково, что он находится по отношению к краю щели под углом, равным углу скоса: т.е. усопр=0О . Из рис. 7. видно, что контраст картины в этом случае заметно увеличивается.

Полученные результаты будут использованы при изучении и фильтрации картин Фраунгофера 3D объектов указанного типа.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М., Мир, 1964.

2. Yu.V. Chugui, B.E. Krivenkov. Fraungofer diffraction by volumetric bodies of constant thickness, J. Opt. Soc. Am. A. 1989, v. 6. № 5, pp. 617-626.

3. Yu.V. Chugui. Optical dimensional metrology for 3D objects of constant thickness, Measurement, 2001, v. 30, № 1, pp. 19-31.

4. Yu.V. Chugui, V.A. Sokolov. The imaging and high-frequency filtering of the 3D asymmetric edges, Proc. 2-nd International Conference on Measurement, Smolenice Castle, Slovak Republic, Bratislava, 1999, pp. 161-165.

©К.А. Зебрева, Ю.В. Чугуй, 2005