CC BY
33
МЕТОДЫ И ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ
РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАЗДЕЛЕНИЯ И ФОКУСИРОВКИ ИЗЛУЧЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ДЛИН ВОЛН.
JIM. Досколович Институт систем обработки изображении РАН
1.Введение
Расчету дифракционных оптических элементов (ДОЭ) дтя преобразования волновых фронтов и фокусировки когерентного излучения в заданную область посвящено большое количество работ [1-3]. Как правило, расчет микрорельефа ДОЭ производится для одной определенной длины волны. Для работы с различными спектральными компонентами известны цветоделительные фазовые дифракционные решетки (color separation gratings), позволяющие разделить три различные спектральные компоненты освещающего пучка по -1, 0 и 1 дифракционным порядкам [4-6].
В данной статье предлагается метод расчета 'спектральных' фазовых ДОЭ. обобщающих цветоделительные решетки. Предлагаемые ДОЭ позволяют: 1) сфокусировать три различных спектральных компоненты освещающего пучка в три одинаковые фокальные области, 2) при изменении длины волны изменять конфигурацию области фокусировки для трех различных длин волн.
2. Цветоделительные решетки
Для описания работы 'спектральных' ДОЭ предварительно рассмотрим принцип работы цвето-делительных фазовых дифракционных решеток.
Решетка, позволяющая разделить три спектральные компоненты, соответствующие длинам волн
Л)» ~~
Я0/У
Л. =
(1)
по 0, +1 и -1 дифракционным порядкам имеет на пе риоде N ступенек равной ширины [3-6]. Высота сту пенек определяется по формуле
4=7^,/ = 0^1
(2)
где п0- показатель преломления материала решетки для длины волны Хо.
Пренебрегая дисперсией материала решетки [4-6] получим, что решетка (2) для плоских пучков с длинами волн (1) формирует следующие фазовые набеги;
<Р0 = 2п • J,
<рл ~ 2п • / — = 2л ■ i -Я
2л
(рл = 2л • i —= 2л • /
.V 2л •
О)
-I
.V
С учетом 2л-периодичности фазы, представим распределения фазы (3) в виде:
<Рй
<Ра =
0 ,(рЛ = -2л
2 л ■ /
(4)
N
■А = 0, .V - 1
Согласно (4), для длины волны Хо фазовый набег равен нулю и. следовательно, данная спектральная компонента дифрагирует в нулевой порядок. Для длин волн и >..; фазовые набеги (4) соот-
ветствуют N-ступенчатой аппроксимации линейных фазовых функций, обеспечивающих фокусировку в порядках -1 и +1 соответственно. Доля энергии данных спектральных компонент, фокусируемая в порядках 1 и -1. соответствует эффективности Ы-уровневой линейной решетки,
Е{М) = 81псг{л / Лг). (5)
N
4 6 8 10 12 Рис. 1. Энергетическая эффективность линейной решетки, квантованной по N уровням
График функции Е(Ы) приведен на рис.1. Например, при N=4 решетка (2) направляет 100% энергии спектральной компоненты л0 в ну левой порядок и 81% энергии спектральных компонент Я.и=0.8?ч> и ?*.! =1.33л,0в порядки +1 и -1.
3. Спектральные ДОЭ для фокусировки в набор одинаковых фокальных областей
Использование комбинации цветоделительная решетка - линза позволяет сфокусировать три спектральных компоненты в три точки в фокальной плоскости линзы. Рассмотрим расчет спектрального ДОЭ - фазового ДОЭ, выполняющего разделение и фокусировку трех спектральных компонент (1) в три одинаковых фокальных области заданной формы, расположенных в одной или различных плоскостях
вдоль оптической оси (рис.2). Микрорельеф спектрального ДОЭ предлагается определить в виде:
Лс
//(и) =
2л ■ (л0 - 1)
Ф(и; Я0) =
(6)
где ^(и) е [0,2л) - фазовая функция, рассчитанная из условия фокусировки плоского монохроматического пучка с длиной волны Х0 в область Б в плоскости /=Г Для удобства дальнейших выкладок выделим из функции ^>(и) фазовую функцию линзы в явном виде
(u) = modJ)r
f г
л • и
Л>/
+
(7)
где добавка к линзе (р0\р) обеспечивает фокусировку сходящегося сферического пучка с фокусом £ в
Рис.2. Геометрия фокусировки спектральных компонент^) в набор областей
Функция в в (6) описывает нелинейное преобразование фазы
ф(и) = mod,^- ?>(u) + <ррХu) + w(u)J (8)
по закону фазового набега цветоделительной решетки для длины волны Х0;
'4
Ст{£) = 2л • int — е [0,2яг)
Функции
/ \ 2 л , \ л ;
И = т^ М") = - т~ги
(9)
<Р
I2 (10)
А>/ Л//
в (8) соотвегствуют фазовым функциям линзы и призмы и предназначены для разделения областей фокусировки для различных спектральных компонент.
Отметим, что функция Ф(и; Л0) в (6) соответствует фазовому набегу, формируемому спектральным ДОЭ для длины волны >ч>- При этом для пучка с длиной волны Л ф Л0, фазовый набег имеет вид:
Ф(и; Л) = 3L Ф(и; Лй)
Л,
(И)
Проведем анализ работы спектрального ДОЭ (6)-(10) для освещающего пучка, состоящего из трех
некогерентных между собой плоских пучков с длинами волн (1). Для описания связи распределения интенсивности поля с фазовым набегом Ф(и; Л) будем использовать интеграл Кирхгофа в приближении Френеля:
/(*; ^ Л) =
± Г ехр (/ ф Ф(и; Л0)} х ÁZ J Л
х ехр(— (х - и)2 ¡¿2и
) (12)
При л=Ло фазовый набег, вносимый спектральным ДОЭ, соответствует фазовой функции <р(и), что обеспечивают (фокусировку в область О в плоскости /={
Для пучков с длинами волн л+] и "к.; фазовые набеги, с учетом 2тг-периодичности фазы, описываются функциями;
V 4- 1 .
Ф(и; Я+1) = [<р{и) + 0{ф(и])) ==
N +1 , .
— <р[ и) + FN{(p{u)),
Ф(и; Л.) =
Функция
Л' Лг - 1
($7(U) + Ст{ф(\Х))) =
(13)
N
N - 1 .
—— <р(и) - /\v(p(u>)
_ 2л . (£N
(14)
в (13) описывает квантование фазы по N уровням. Нелинейная операция квантования ^(^(и)) в (13) приводит к появлению дополнительных дифракционных порядков (7-8). Проанализируем работу спектрального ДОЭ при длине волны . Для этого разложим комплексную амплитуду поля № (и; = ехр(;Ф(и; Л+])) непосредственно за плоскостью ДОЭ в ряд по дифракционным порядкам [7-111:
«=« / ¡V + 1 ехр(/Ф(и; Я.,)) = V с„ ехр i —— p(u) +
«- -ос V
+ in\ - — p(u) + <ppXu) + P»
4
Jj
(15)
где
/ |\(«-if .v c. (яп \ ' — л (- 1) Smc\—jexp^ —
c„ = <| и = 1 + pN,p = 0,±1,±2, . . 0,r¡ * 1 + pN
(16)
коэффициенты Фурье в разложении функции
ехр(//'д, .
Согласно (15), в первом порядке дифракции (при п=1 в (15)) формируется пучок с фазовой функцией
Фи(и; ¿м) = Аи) + М") + Р/Ц <17)
Для оценки структуры поля, формируемого пучком с фазовым фронтом Ф+1(и; Ли), подставим фазовую функцию (17) в интеграл Кирхгофа-Френе-ля (12) Проводя несложные преобразования, представим распределение интенсивности, формируемое в первом дифракционном порядке при К + 1 /•/,
г = =
N / +/,
(18)
в виде:
/(х; г, Я+1) =
| ехр Ц<р0(и) - <ррг{и)) х
( \
1П 1.2
х ехр -хи кги
чЛ.!2*! )
(19)
- п2
= Р, 1 где
/((х - р., - х0); /, Яо)
— |ехр(/^(и))ехр
хо./ о
!Л
и/
хи
-(20)
- распределение интенсивности при г=Г, формируемое при фазовом фронте <рв(и) дтя пучка с длиной волны л,». По определению функции распре-
деление интенсивности (20) соответствует фокусировке в область О. Согласно (19), (20) распределение интенсивности, формируемое спектральным ДОЭ в первом порядке при длине волны Х+1. соответствует фокусировке в смещенную на вектор х,, область О в плоскости г = 7.,. Масштабный множитель
//
(21)
в (19) описывает изменение физического размера области Э. вызванное уменьшением размера дифракционного пятна
Д(г.„А.,) = = — (Я,/ / я), (22)
/М
гле а - характерный размер апертуры ДОЭ.
Доля энергии Е спектральной компоненты Х,|. фокусируемая в порядке соответствует квадрат> модуля коэффициента Ф>рье С| (см.(5)) и при N>3 составляет более 80%
Повторяя приведенные рассуждения дтя пучка с длиной волны >. > получим, что фазовый фронт, формир>смый ДОЭ (6НЮ) в основном -1 порядке
дифракции соответствует фокусировке при
_ л' ~ 1 -г ' *
2 ~ 2 [ ~ -V /, - /'
(23)
в смещенную на вектор -Хо область О При этом изменение физического размера области Б описывается множителем
= 1 -
/ //
(24)
Параметр ], в (10), (18), (23) позволяет варьировать положением плоскостей фокусировки. В частности, полагая /, - Л/ в (18), (23), полупим что = 2_х = /.В этом случае спектральный ДОЭ фокусирует спектральные компоненты (1) в три, разнесенные на вектор Хо области Э в одной плоскости при г=Г
В заключение отметил!, что для уменьшения частоты микрорельефа целесообразно рассчитывать спектральный ДОЭ как дополнение к тонкой линзе с фокусом Г В этом случае вместо функции ^(и) в (6) следует использовать функцию^ (и), рассчитанную на фокусировку сходящегося сферического пучка с фоку сом Г в область О при /Н7.
4. Спектральные ДОЭ для фокусировки в различные фокальные области
Рассмотренный в пункте 3 метод расчета позволяет разделить и сфокусировать спектральные компоненты (1) в три области одинаковой формы в одной заданной плоскости или в трех различных плоскостях вдоль оптической оси. Рассмотрим расчет спектральных ДОЭ, позволяющих при изменении длины волны по закону (1), изменять конфигурацию фокальной области.
Длины волн в (1) и фазовые набеги (4) для цветоделительной решетки (2) не являются независимыми между собой, Поэтому в общем случае метод расчета (6)-(10) может быть модифицирован на случай фокусировки двух различных длин волн из (1) в две различные области О0 и Д. Обозначим (и),</>, (и) - фазовые функции для фокусировки пучков с длинами волн Хо, Х+1 в области и Бь Переопределим функцию <р(и) в общем выражении
для структуры микрорельефа спектрального ДОЭ (6) в виде:
р(и) + р»! (25)
(Ни) = шос12гг
При р(и) (25), спектральный ДОЭ для пучков с
длинами волн Х0 и формирует в 0 и +1 порядках дифракции пучки с фазовыми функциями
Ф0(и; ¿о) = р(и), (26)
Ф+,(и; Я.,) = р,(и), (27)
что обеспечивает фокусировку в области и Оь соответственно.
При использовании длины волны X.] ДОЭ (6), (17), (8) формирует в основном -1 порядке пучок с фазовой функцией
Фч(и; Л_х) = 2р(и)- ^(и) (28)
В случае произвольных фазовых функций р(и) и (р1 (и) структура области, формируемой при
Х-Х.|, не определена. Ряд результатов удается получить при использовании в качестве функций <р(и), 0>,(и) фазовых функций фокусаторов - ДОЭ, рассчитанных в приближении геометрической (лучевой) оптики [3]. Предположим для простоты, что спектральный ДОЭ рассчитывается как добавка к тонкой линзе с фокусом Г В этом случае функции ^0(и),<р,(и) соответствуют фазовым функциям для фокусировки сходящихся сферических пучков с длинами волн л0. А.+1 в области Оэ и Э) при г=Г Фокусаторы обладают интересным свойством; при умножении фазы фокусатора, рассчитанного на фокусировку сходящегося сферического пучка, на константу р, происходит р-кратное масштабирование области фокусировки [3].
Рассмотрим два примера выбора функции (и), позволяющих работать с тремя длинами волн Хо, Х+ь Я,.].
Пример 1.
Пусть <р[и)- фазовая функция фокусатора, а 9>,(и) - фазовая функция М-порядковой дифракционной решетки. Тогда при Х-ХА фазовая функция 2<р(и) в (28), реализует фокусировку в область 2x0, а функция <р,(и) - мультипликацию области 2x0 по N порядкам. В этом случае элемент, соответствующий суперпозиции 'спектральный ДОЭ - тонкая линза', при Х=ХС) реализует фокусировку в область Э, при Ля=А,.,1 - в набор из N точек, а при Х=Х.\ - в набор из N областей с размером 20.
Пример 2.
Пусть <р(и), <р1 (и) - фазовые функций фокусаторов пучков прямоугольного сечения в отрезки |х| 5 с1, у = 0 и < х = 0. Тогда при Х=Х\
распределение фазовая функция (28) соответствует фокусировке в прямоугольник с размерами (4<1)х(2с11> [9]. При указанном выборе функций (р{и), <р,(и) спектральный ДОЭ при >.=лс реализует фокусировку в отрезок оси Ох, при Х=Х-г\ - в отрезок оси Оу, а при Х-Хл - в прямоугольник.
5. Аспекты расчета квантованных спектрал ьн ых ДОЭ
Технология фотолитографии, традиционно используемая для изготовления ДОЭ, предусматривает квантование дифракционного микрорельефа по М уровням. Микрорельеф спектрального ДОЭ (6) содержит компоненту, соответствующую функции (и) и Ы-уровневую ступенчатую функцию При квантованной по Ь уровням функции р(и) микрорельеф (6) становится квантованным по М=КхЬ уровням.
Операция квантования приводит к снижению эффективности фокусировки и появлению дополнительных дифракционных порядков, снижающих качество формируемых изображений. Дтя компенсации погрешностей квантования на этапе расчета спектрального ДОЭ, функцию ^(и) в (6) для фокусировки пучка с длиной волны Х„ целесообразно рассчитывать на основе итерационных алгоритмов расчета квантованных фазовых функций [10-12]. Алгоритмы [10-12] основаны на оптимизации непрерывной функции, являющейся отрезком ряда разложения по дифракционным порядкам квантованной функции комплексного пропускания.
Спектральный ДОЭ для пучков с длинами волн Л±1 (]юрмирует требуемые изображения только в основных + 1 и -1 дифракционных порядках. Изображения в 'паразитных' порядках при п * ±1 в общем случае портят требуемые изображения Спектральные ДОЭ (6), (25). предназначенные для фокусировки двух длин волн л^, /.. 1 в две различные области 0(, и О], будем называть двухволновыми ДОЭ. Дтя двухволновых ДОЭ расчет функции р,(и) в (25) можно также провести с учетом влияния паразитных дифракционных порядков. Действительно, при Х=Х~\ ДОЭ (6), (25) формирует в порядках дифракции пучки с фазовыми функциями = +
п = (1 + рМ),р = 0,±1,±2, . .
При п=1 (р=0) в (29) Ф„(и; Лг]) = и), что обеспечивает в основном первом дифракционном порядке фоку сировку в область 01. Пусть функция (р(и) является квантованной по (N+1) уровням. При этом распределения фазы (29) принимают вид: Ф„(и;Я.,) = п(рх{\у),п = (1 + РХ),
Р = 0,±1,±2, . . .
Согласно (30), фазовый набег Ф(и; Л,,) не зависит от фазы <р(и) и соответству ег квантованной по N уровням функции <р, (и);
ф(и; Я.,) = ГЛ^(и)) (31)
Таким образом, при квантовании фазы до(и) по N-1-1 уровням расчет двухволновог о ДОЭ сводится к двум независимым задачам расчета квантованных фазовых фу нкций/''у., (^(и)) и (</>. (и)) из условия
фокусировки пучков с длинами волн Х.\ в области Оо и О соответственно. При этом число уровней квантования рельефа двухволнового ДОЭ равно Л/ = V - (.V ->- 1) Интересно отмстить, что рельеф двухволнового ДОЭ (6), (25) можно определить непосредственно через дискретные значения
<р(>) =
2л-
А + 1
U = О, N,
2л
Ш = 77 Л/ = о,*-1,
А
принимаемые квантованными функциями {<Р\ (и)) ■ Действительно, подставляя в
(25) и (6) вместо фикций <р(и), <р,(а) функции
(р({), , получим дискретные аналоги функций
р(и), 0(р(и)) в виде:
<p{i, j) = mod2
G(i, j) = In • modN(j - i)
(32)
(33)
Выражения (32), (33) позволяют представить высоту рельефа двухволнового ДОЭ в каждой точке и апертуры через индексы (у), соответствующие значениям квантованных функций /*ЛЧ1(<р(и)), в виде:
Я(/, j) =
К
2я-(я0 - 1)
2л
N + 1
i + 2л • modл,(/ ~ 0
(34)
/ = 0, Ы,] = 0, N - 1
Число уровней М = А • (А + 1) микрорельефа (34) можно уменьшить. Пусть <ЛД, d2 наибольшие делители чисел К, N+1; такие что М=р,с1ь р1>1, К+1=р2с1;, рг>1. В этом случае, из квантованных функций КРг (<р(и)) и (^(и)), рассчитанных из
условия фокусировки пучков с длинами волн Х0, Х^ в области и 01; можно построить двухволновый ДОЭ с числом уровней рельефа М = рхр2 по правилу:
Л „
j) =
М"с - 1)
2л_
Рг
i + 2л • modN(dJ - d2i)
(35)
i = 0, р2 - 1 ,j = 0, Px - 1
ДОЭ (35) при X=Xo формирует фазовый набег, соответствующий отсчетам фазовой функции /ГР2 Ыи)), что обеспечивает фокусировку в область D.
При к=-К\ фазовый набег, формируемый ДОЭ (35). имеет вид
= 2л ^ ; — + mod v id, J - d,i)
N [р2
= —]+2л- mod^i {dj - d2i\ Px (36)
l = 0, P2 -1,7 = 0,/?; "I. Функция Ф(i, j; K\) с учетом 271-периодич-ности имеет вид
2 л
фО, у; К\) = — hi = 0/ Р\ ~ 1 Р\
(37)
и соответствует отсчетам фазы Ирл (#>(и)), что обеспечивает фокусировку пучка с длиной волны Х+) в область Э].
Отметим, что поскольку одно из чисел Ы, N+1 является четным, то число уровней рельефа двухволнового ДОЭ всегда может быть уменьшено, по крайней мере, до Ы(>Н1)/2 значений.
Расчет квантованных двухволновых ДОЭ для фо-кусировки в области О0 и О] можно провести не только для длин волн Х0, Хч из (1), а также для двух длин Хо, Хь связанных существенно более общим соотношением
А, _ М
(38)
А 1 А'
где М и N - взаимнопростые числа.
Формула (34) подсказывает строить двухволновый ДОЭ из квантованных по М и N уровням функций и Определим рельеф
двухволнового ДОЭ через значения квантованных функций /^(и)) и (¡р} (и)) в виде:
Hii, j) =
2я-(и0 - l)
2л . М
i + 2л • М0 (/, у)
(39)
/ = 0, М - 1, у = О, А - 1
где Мо(/,У) - некоторая неизвестная функция, принимающая целочисленные положительные значения. ДОЭ (39) при Х=Хо формирует фазовый набег
2 70 ' *'
Ф(i,j;A) = —- + 2лМ 0 (г, у)) М
(40)
/ = 0, М - 1, j = о, А' - 1
соответствующий с учетом 2тс-периодичности фазы отсчетам (разовой функции Это обеспечи-
вает при Х=Хо фокусировку в область Б. При \=Х\ фазовый набег, формируемый ДОЭ (39), имеет вид
Ф(/, У; ) = 2л-
М_
N
ji + MA'J)
(41)
' = о, .V/ - 1 ,j = 0, .V - 1.
Для фокусировки пучка с длиной волны X] в область Du функция Л/0(/,/) в (39) долна выбираться из условия равенства по мод> лю 2л выражения (41)
отсчетам квантованной функции (и)). В результате для расчета функции М|(у) получим урав-
нение
2 л —
N
= 2л
^ + у)
/ = О, М - 1,7 = О, .V - 1.
(42)
где - произвольная функция, принимающая
целочисленные значения.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение уравнения (42) имеет вид:
ШоЬ У) = ±а\{] ~ 0 + №
1Л/,(/, у) = ±а2(/ - /) + Мг (43)
/ = О,М - 1,7 = О, .V - I
где аь аг - целые числа, определяемые из решения уравнения
М • а, - N ■ а2 = ±1, (44)
а 2 - наименьшее целое число, выбираемое из условия неотрицательности функции М>0,у). Отметим, что поскольку числа М и N предполагаются взаим-нопростыми, то уравнение (44) всегда имеет решение в целых числах по теореме о наибольшем общем делителе.
Согласно определению г, уравнение (43) может быть записано в "виде:
| М0(/, у) = тос1„(± а, (у - /))
У) = тос1Л,(± «,(/ ~ 0) (45)
/ = О, М - 1,; = 0, .V - 1.
При этом формула для микрорельефа двух-волнового ДОЭ принимает вид:
нЬ у) =
2л(п0 - 1)
2л_
М
/ = О, N,у = О, N - 1
1 + 2л • тос!л,(± а, (у - /))
(46)
Сравнение уравнений (35) и (46) показывает, что использование более общего соотношения (38) для длин Ао, А.] не приводит к увеличению высоты микрорельефа ДОЭ (46) по сравнению с ранее рассчитанным ДОЭ (35). Следует также отметить, что при Аг=р^1, р[>1, М= р2(12, р2>1 число уровней Ь-КМ микрорельефа (46) можно уменьшить до рф: значений.
Из формулы (46) несложно получить уравнение для цветоделительной решетки для разделения спектральных компонент (38) по 0 и +1 порядкам. Такая решетка имеет на периоде N ступенек равной ширины с высотой
=
Л
("о - 1)
тос1Л.(аА ' = 0/ # - 1 (47>
Решетка (47) может быть использована при аналитическом расчете спектральных фокусаторов пучков с длинами волн (38) в области и Б,. В этом случае достаточно общем выражении (6) переопределить функции С(4) и #>(и) в виде:
С}(%) = 2л- то{1 Л.I • иП
,^б[0,2яг) (48)
М
р(и) = тос!,Т| - — <р(и) + (и)
(49)
Несложно видеть, что спектральный ДОЭ (6), (48), (49) для пучков с длинами волн (38) в 0 и +1 порядках дифракции формирует пучки с фазовыми функциями (з(и), <Р[(и), **то обеспечивает фокусировку в области Ро и О] соответственно.
6. Результаты расчетов
Для оценки работоспособности предложенного метода приведем ряд примеров расчета спектральных ДОЭ.
Пример 1. Был рассчитан ДОЭ (6)-(10) как дополнение к тонкой линзе с фокусом Г для разделения и фокусировки спектральных компонент (1) в три отрезка длины в плоскости В качестве функции <р(и) в (6)-(10) использовалась фазовая функция фокусатора сходящегося сферического пучка с фокусом Г в отрезок
<р(и) = тосЦ
Зле!
М-3 1 2
\\
(50)
/У
где Я - радиус апертуры ДОЭ, с1 - длина отрезка фокусировки.
Расчет спектрального ДОЭ (6)-(10), (50) проводился для следующих параметров; длины волн ?Ч)=0.525мкм, Х..1=0.393мкм, Л^1=0.656мкм (N=4 в (1)), длина отрезков фокусировки (1=30Д(^)> (Л(/.)=^Ш1), радиус апертуры ДОЭ 11=2.5мм, фокус линзы ^500мм, параметры призмы и линзы в (10) хо=(0,10Д(Хо)), ^^=2000 мм.
Полутоновое изображение рассчитанного рельефа спектрального ДОЭ приведено на рис.За. Распределение интенсивности, формируемое спектральным ДОЭ (6)-(10), (50) для освещающего пучка, состоящего из трех некогерентных между собой плоских пучков с указанными выше длинами волн, приведено на рис.Зб. Рисунок 36 показывает высокое качество фокусировки в три отрезка. Различные длины и интенсивности отрезков на рис.Зб объясняются различным размером дифракционного пятна А(Л) для различных длин волн. Левый, центральный и правый отрезок на рис.Зб соответствует компонентам "к 1=0.656, л0=0.525мкм и л+,=0.393мкм, соответственно.
где а) определяется из решения уравнения (44).
Рис 3. (а) Полутонмой рельеф спектрального ДОЭ для разделения и фокусировки спектральных компонент
А#=0.525мкм, Х^1=0.393мкм, Х-, =0.656мкм * три отрезка;
(б) Распределение интенсивности в плоскости фокусировки
Пример 2. Был рассчитан спектральный ДОЭ (6), (25), позволяющий при изменении длины волны по закону (1), изменят» конфигурацию фокальной области. ДОЭ (6), (25) был рассчитан как дополнение к линзе для фокусировки компоненты Х0=0.525мкм в отрезок длины 20Д(Х0), компоненты Хп =0.393мхм - в четыре точки и компоненты Х_1=0.656мкм - в четыре отрезка с длиной 40Д(Я,_]). В качестве функции р(и) в (6), (25) использовалась фазовая функция (50) фокусатора в отрезок, Для компенсации влияния паразитных дифракционных порядков при фокусировке компонент л+ь в фазу (50) была дополнительна введена фазовая функция 2я
призмы = —— у0 V при >о=2Д(Хо). В качест-
во/
ве функции ^(и) в (6), (25) использовалась фазовая функция четырех порядковой дифракционной решетки, имеющей на периоде р (р=0,3571мм) следующий вид.
0,лф,р/4) тг,пе[р/4,р/2) л/2,пе[р/2,Зр/4) Зф,пе[1р/4,р)
Четырехпорядковая решетка (51) фокусирует 81% энергии освещающего пучка в порядках -2, -1, +1. +2. Полутоновое изображение рассчитанного рельефа спектрального ДОЭ приведено на рис.4а). Распределения интенсивности, формируемое спектральным ДОЭ для плоских пучков с длинами волн Хо=0*525мкм, Х+1=0393мкм и Х.|=0.656мкм приведены на рис.4б), 4в), 4г) и ясно показывают структуру излучения, сфокусированного в отрезок, четыре точки и четыре отрезка.
<рМ
(51)
4г)
Рис.4, (а) Полутоновой рельеф спектрального ДОЭ для фокусировки спектральных компонент (1) в отрезок, четыре точки и четыре отрезка; (б,в,г) Распределения интенсивности в плоскости фокусировки для
&о=0.525мкм (б), А+}=0.393мнм (в), X ,=0.656мкм (г)
Пример 3. Был рассчитан спектральный ДОЭ (6), (25) с квадратной апертурой 2,5x2,5мм для фокусировки компоненты л0=0.525мкм в квадрат 20Д(Ао)х20Д(Хо) и компонент Хч=0.393мкм, к. 1-0.656мкм - в отрезки с длинами 40Д(Хт1), 40А(л.1) осей Ох и Оу, соответственно. В качестве функций в (6), (25) использовались фазовые функции фокусаторов сходящегося сферического пучка с фокусом ^ в квадрат размером стороны КДРч,)
(р{и) = тос12я^ (р2 + V2)
и в отрезок оси Ох длины 2КД(л-1) / ч 1тхК 2
(и) =
(52)
(53)
где а - размер стороны апертуры ДОЭ.
ДОЭ (6), (25), (52), (53) при длине волны л., формирует в основном -1 порядке пучок с фазовой функцией
Ф. ,(и; Я,) = 2<р(и) - р,(и) = — V2 (54)
а
Фаза (42) соответствует фазовой функции фо-кусатора сходящегося сферического пучка в отрезок оси Оу длины 2КА(Х.]).
Полутоновое изображение рельефа спектрального ДОЭ (6), (25), (52), (53) приведено на рис.5а). Распределения интенсивности, формируемое спектральным ДОЭ для пучков с длинами волн Ло=0.525мкм, А,+1=0.393мкм и л_]=0.656мкм приведены на рис.56), 5в), 5г) и ясно показывают структуру излучения, сфокусированного в квадрат и отрезки.
5а)
56)
5в)
5г)
Рис.5, (а) Полутоновой рельеф спектрального ДОЭ душ. фокусировки спектральных компонент (1) в квадрат, отрезок оси Ох и отрезок оси Оу; (б,в,г) Распределения интенсивности в плоскости фокусировки для Ло=0.525мкм (б), Х^,=0.393мкм (в), Х-!^0.656мкм (г)
Пример 4. Были рассчитаны две квантованные спектральные дифракционные решетки для формирования четырех порядков -2, -1, +1. +2 при длине волны Х0 и трех порядков -1,0, +1при длинах волн Х_1=Злс/4 и Х+]=9Хо/4, соответственно Расчет квантованных спектральных решеток (период р) проводился по формулам (35) и (46) на основе квантованных фазовых функций четырехпорядков-ой решетки (51) и трехпорядковой решетки
\2л / 3,и е [0,р / 2)
0,и е [р / 2,р)
<рх(и) =
(55)
разложении функции ехр(/^(м)), для решетки (55)
равны /.1=0.304, /о=0.25, /-4=0,304. Следовательно решетка (55) концентрирует 85% энергии в порядках-1,0,+1.
Рельеф квантованной спектральной решетки (35), (51), (55) для фокусировки компонент /»о, Х.+1=Зл</4 представлен на рис. 6а), а рельеф спектральной решетки (46), (51), (55) для фокусировки компонент ло> -=9Х(]/4 - на рис. 7. Интенсивности дифракционных порядков, формируемых решетками на рис. 6а) и рис.7 при освещении решеток плоскими лучками с длинами волн Ао, Л+1=ЗХ,У4 и Х0, Х.\-9Х(/Л совпадают и показаны на рис.66) и 6в).
Ф(и,Ь)/2л
Значения интенсивностей порядков, соответствующие квадратам модулей коэффициентов Фурье в
бв)
Рис.6, (а) Фаза на периоде спектральной решетки для
формирова/шя четырех порядков (-2,-1,^1,-2) для компоненты Я0и трех порядков (-1,0,+1) для Ач=ЗХ(/4; (б,в) Интенсивности дифракционных порядков решетки для Л0 (б), А+/ (в)
5 "
4
3 -
2 -
1 ■■
Ф(и,АлУ2я
О
0.5
u/p
Рис. 7. Фаза на периоде спектральной решетки для формирования четырех порядков (-2,-!,+!,+2) для компоненты Х0 и трех порядков (-1,0,+1) для Хн=9Х//4
Заключение
В данной работе разработан метод расчета спектральных ДОЭ для разделения и фокусировки различных спектральных компоненты в различные фокальные области. Проведен анализ эффектов квантования спектральных ДОЭ и разработана процедура расчета квантованных спектральных ДОЭ. Результаты проведенных численных расчетов (рис. 3-6) демонстрируют высокую работоспособность разработанного метода расчета спектральных ДОЭ.
Благодарность Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 96-15-96026)
Литература
1. Lee W, Н. Computer-generated holograms: techniques and applications. Progress in Optics, Ed. Wolf E, North-Holland, Amsterdam, 1978.
2. Bringdal O., Wyrowsky F. Digital holography - computer-generated holograms. Progress in Optics, Ed.
Wolf E., v.28, pp. 1-86, North-Holland, Amsterdam, 1990.
3. VSoifer, VKotlyar, L.Doskolovich. Iterative methods for diffractive optical elements computation. Tay-lor&Francis, London, p.244,1997.
4. H. Dammann. Color separation gratings.// Appl.Opt,
1978, v.17, N_15, pp. 2273-2279.
5. H. Dammann. Spectral Characteristics of Stepped-pliase Gratings.// Optic, 1979, v. 53, pp. 409-417.
6. M. W. Farn, M. B. Stern. Color separation by use of binary optics.//Opt Lett, 1993, v.18, pp. 1214-1216.
7 Dallas J. M. Phase quantization - a compact derivation.// Appl.Opt., 1971, v.14, pp. 674-676.
8. Goodman J. M, Silvestri AM. Some effects of Fourier-domain phase quantization.// IBM J. Res. Dev., 1969, v.14, pp.478-484.
9. Голуб M.A., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С.И. Метод согласованных прямоугольников для расчета фокусаторов в плоскую область. // Компьютерная Оптика, М, МЦНТИ, 1992, NJ0-11, с.ЮО-110.
10. L.L. Doskolovich, P. Perlo, O.I. Petrova, P. Repetto, V.A. Soifer. Direct 2D calculation of quantized DOEs on the basis of a continuous series approach, jour, of Mod.Opt, 1997, v.44, N4, pp.685-695.
11. L.L. Doskolovich, P. Perlo, O.I. Petrova, P. Repetto, V.A. Soifer. Direct two-dimensional calculation of binary DOEs using a non-binary series expression approach, Int. Jour. Of Optoelectronics, 1995, v. 10, N4, pp. 243-249.
12.Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Сойфер В.A. Расчет бинарных дифракционных оптических элементов для фокусировки в заданную двумерную область. Автометрия,?!995, N5, с.42-50.
