Расчет бинарных диэлектрических решеток и одномерных ДОЭ в рамках электромагнитной теории Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТОДЫ И ЭЛЕМЕНТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

РАСЧЕТ БИНАРНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РЕШЕТОК И ОДНОМЕРНЫХ ДОЭ В РАМКАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ

Л.Л. Досколович Институт систем обработки изображений РАН

Разработан градиентный метод расчета диэлектрических бинарных решеток. Метод основан на использовании для решения прямой задачи точного дифференциального метода. Получены аналитические матричные представления для градиента функции невязки. Приведены примеры расчета решеток для формирования 5-11 порядков с равной интенсивностью и однопорядковых решеток, концентрирующих излучение в +1-ом или -1-ом порядке. Рассмотрена возможность использования однопорядковых решеток для расчета более сложных фокусирующих ДОЭ. Приведены примера расчета высокоэффективных бинарных линз, основанные на замене зон линзы однопорядковыми решетками.

1. Введение

Широкое использование дифракционных оптических элементов (ДОЭ) для фокусировки и преобразования волновых фронтов делает актуальным разработку эффективных процедур расчета ДОЭ в рамках точной электромагнитной теории. Требования к компактности и эффективности оптических устройств приводят к необходимости расчета ДОЭ с малыми зонами рельефа порядка нескольких длин волн. Это делает невозможным использование известных итерационных и градиентных алгоритмов, разработанных для скалярного приближения Кирхгофа [1,2].

Особый интерес представляет электромагнитный расчет многопорядковых дифракционных решеток. Это связано как с широким использованием решеток в качестве светоделительных и мультиплицирующих элементов в устройствах оптических вычислений и связи, так и с представлением сложных ДОЭ в виде решеток с переменным шагом и ориентацией штрихов [3,4]. Представления ДОЭ в виде суперпозиции решеток позволяют расчет и анализ работы ДОЭ свести к набору задач расчета дифракционных решеток. В частности, в работах [5,6] расчет ДОЭ сводится к расчету решеток, концентрирующих излучение в 1-ом порядке, а в работе [7] - к расчету решеток с заданной фазой нулевого порядка.

В данной работе рассмотрен градиентный метод расчета бинарных диэлектрических решеток в рамках электромагнитной теории. Метод состоит в итерационном расчете бинарного профиля периода из условия формирования заданной интенсивности порядков. Метод применен к расчету бинарных од-нопорядковых решеток, концентрирующих излучение в одном порядке. На примере линз рассмотрена возможность использования таких решеток для расчета высокоэффективных бинарных ДОЭ.

2. Дифракция на пропускающих диэлектрических решетках

Рассмотрим решение задачи дифракции плоской волны с волновым вектором к = к (бш($),-соб($),О) ,

где к=2п/Я, Я - длина волны, на диэлектрической бинарной решетке, имеющей на периоде [0К штрихов с координатами х^...,Х2К . Геометрия задачи дифракции приведена на Рис.1, где Я„ и Тп -коэффициенты отражения и пропускания дифракционных порядков. Для приведенной геометрии задачи имеются три зоны с различной диэлектрической проницаемостью е. В зонах 1 и 3, то есть при у>а, где а -высота штрихов решетки и при у<0, диэлектрическая проницаемость постоянна. Без ограничения общности будем считать, что в первой зоне е=1, а в третьей зоне £>1. Во второй зоне уе[0,а] - зоне модуляции, диэлектрическая проницаемость является функцией е= е(х).

Рис.1. Геометрия задачи дифракции на бинарной диэлектрической решетке. Рассмотрим дифракцию двух независимых ТЕ и ТМ поляризованных плоских волн. В первой (у>а) и третьей зонах (у<0) поле соответствует разложению Рэлея. При у>а поле имеет вид [8] и^х у) = ехр(/(«о х - Ро у))+

(1)

+ Е кп ехР((апх + РпУ))

где

= к0 Бт(б>) + п —, к(2 = а2 /с2 =(2п/Л0)

вп = ^

= Лк0 -а2 (2)

а скалярная функция и(х,у) соответствует компоненте Е/х,у) электрического поля для ТЕ-поляризации

п

а

п

и компоненте И(х,у) магнитного поля для ТМ-поляризации. При у<0 поле имеет вид [8]

У)= ZTn exp( (anx -ßny%

(3)

где Рп = т[кое-аП .

Разложения Релея (1), (3) являются решениями уравнения Гельмгольца

2

Дм + к и = 0,

при к2 = к0 и к2 = к^е, соответственно. В зоне

модуляции (при уе[0,а]) поле описывается системой дифференциальных уравнений, различных для случаев ТЕ и ТМ поляризаций. В дальнейшем будет рассмотрен только случай ТМ поляризации. Для случая ТЕ поляризации выкладки аналогичны. Для ТМ-поляризации функция И2(х,у) ищется из решения следующей системы уравнений [8]

^zky) = k 2 e (*, y),

ду

жЫ = -_afj_ dHz(x, у Л Hz (*, у)' (5)

ду dx V k2 dx J

Функции Hz (x, у) и Ex (x, у) в (5) являются квазипериодическими [8];

Hz ( у)= Z Hm (у)exp(/'amx), m=—<» то

Ex ( у) = Z Em 1У)exP(amx)•

(6)

В дальнейшем будем считать, что функции

Ех (х, у), Иг (х, у) в зоне модуляции могут быть

аппроксимированы отрезками своих рядов (6) с 2Ы+1 членами. Подставляя (6) в (5) и разлагая

функции к2 (х)= к0 -е(х) и 1/ к2 (х) в ряды Фурье, получим, при учете 2Ы+1 членов в (6), следующую систему 4Ы+2 дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

[ ^ = £ Е, ме

I=-N

ёу dE p (у)

1—l , Р = —N,N,

N

ёу

= ap Z агсp}lHl (у) — Hp (у),

(7)

l=—N

p = — N, N

где с() с( - коэффициенты Фурье;

i ik 02 (s — 1)

c«=I

c(2)=i

2mi

• S n

n * 0

2 k0 (s—i)

k02 + 7 • Q, n = 0 d

ri(lfs — 1) S Г" • Sn,

n * 0

2mik,

0

1/k02 n = 0

k о d

(8)

2 K

Sn = Z(— 1))' expl —

. 2n ~d

-nx,

7=1 2К

а = £(-1)4-

7=1

Таким образом, в зонах 1 и 3 решения имеют вид (1) и (3), а в зоне модуляции для поиска решения необходимо решать систему (7). Для поиска общего решения системы (7) необходимо найти 4N+2 линейно-независимых частных решений. При отсутствии модуляции (е(х) = е) базисные решения системы (7) имеют вид:

' И±(у) = ехр(± вру) р = -NN

вр (. ~ \ — (10)

Е±(у )=±

k os

exp l±

(± вРу)

p = — N, N

Для согласования решения в зоне модуляции 2 с решением (10) в зоне 3, граничные условия для системы (7) определим в виде:

H+г

............. (11)

, ,, /с I tri i - -М М

, т) (0)=Sm—), m, ) = — N, N _

|E+m) (0) = +ißm Sm—) /((S) m,) = — N, N

1, m = 0,

где 8т = , 0 Ф 0 [0, т Ф 0

Для удобства выкладок введем 4N+2 объединённых векторов начальных условий вида

н+N(0) 'и^(0)/'Н—N(0) ГИ^(0)4

ЕN (0)ДЕ-N (0)/ 'ГЕN (0)

W

E+n (0)

(12)

Обозначим *i (у), i = 1,4N + 2 вектора базисных функций

rr* + () (*n (у)

*+N (у)

Ф—n (у)/"Ч * N (у)

* N (у) (у )

V * — N

* N (у)

* N (у)

(13)

V/

полученные из решения системы (7) с начальными условиями (12). При этом общее решение системы принимает вид

N

Hm (у) = Z C — ) Ymy (у) +

)=—N

N

(14)

+ Z C+) Y^' (у), m = — N, N,

) =—N

N

Em (у) = Z C—) Y~m) (у) +

)=—N

N

(15)

+ £ С+7 (у), т = -N, N.

7=-N

Для определения коэффициентов пропускания Тп и отражения Яп в (1), (3) воспользуемся условиями непрерывности поля Иг (х, у) и функции Ех (х, у) на границах зоны модуляции при у=0 и при у=а. В результате получим

m

Т = 2 ехр(- ¡воа)(01 - »в • Ни )-1'6 , (16) Я = Н-21Н11 • Т + ехр(- 2/'в0 а) • б, (17)

где матрицы Н01, Н11, Н12, »в имеют вид

Н01 р] = ^р] (а), Н11 р] = ^р] (а), /вр

Н12 р] = 8р-,-—2 к о ,2

-ехр(/'в„а),

(18)

Вр р, = 8р-, • к0 / ¡вр, р, ] = -N, N,

а 8 - вектор столбец, центральный элемент которого равен единице, а остальные элементы равны нулю.

Решение системы дифференциальных уравнений (7) с постоянными коэффициентами с граничным условием X 0 может быть записано в компактном

матричном виде;

' * р (у )

* р (у)

где

АТМ =

= ехр|

ки Р1 е2 ки

1 (а ТМ • у )х о

(19)

(20)

матрица системы (7). В уравнении (20) N"0 - нулевые матрицы, а Р1, Е2 - матрицы из Фурье коэффициентов:

(2) Л

: +1)+/^-(+1)+ ] С/-] - 8/-] :

(21)

/, ] = 1,2 N +1

Матричное представление (19) позволяет компактно выразить матрицы Н01 и Нц в (16), (17) через матрицу системы и граничные условия (12) в виде:

I Н 01

Н

= ехр1

11

(а™ • 4

ВС,

(22)

где матрица ВС составлена из второй половины векторов начальных условий в (12);

" Н - N (о) ( НN (о)1 г Е

ЧЕN (о).,

ВС

Е-N (о).

БЕ

(23)

где Е - единичная матрица, а »Е - диагональная

~ 2 -

матрица с элементами - ¡в] / к( е, ] = - N, N .

3. Градиентный метод В данном пункте рассмотрен градиентный метод решения обратной задачи расчета бинарной диэлектрической решетки. Метод состоит в расчете координат штрихов (,...,х2к) профиля решетки (см. Рис. 1) из условия формирования заданных интен-сивностей дифракционных порядков

1п, п =-М, М, соответствующих прошедшим волнам в уравнении (3). Интенсивности дифракционных порядков пропорциональны квадратам модулей коэффициентов пропускания Тп в (3);

1п = <п • \Тп\2 (24)

где г„ =

соб1

4£ соб(6>)

для ТМ - поляризации, а углы

0п соответствуют направлениям прошедших волн в уравнении (3).

Для построения градиентной процедуры расчета профиля дифракционной решетки введем некоторую функцию ошибки е(р), характеризующую отличие рассчитанных значений интенсивности Iп в дифракционных порядках от требуемых значений ~п :

е(р )=е(1(р), I), (25)

где р = (хь..., х2к)- вектор координат штрихов решетки, К - число штрихов на периоде,

I = (1п )-М ,1 = (~п Ум, - вектора рассчитанных и

требуемых значений интенсивности в порядках.

Градиентная процедура минимизации функции ошибки е(р) состоит в итерационной коррекции параметров профиля решетки по правилу:

р п+1 = Р п - ( ^е(р) (26)

где п - номер итерации, /-шаг градиентного алгоритма. Рассмотрим вычисление градиента функции ошибки Уе(р) для случая ТМ поляризации. Соглас-

но (25) частные производные

де(р) = Е

дхт ]=-М

де

(о) ]:

дхт

имеют вид:

д,

дхт

(

= 2Яе

М

Е

V ]=-М

де

(о! Т * .

(27)

д

]

дхт

Уравнение (27) удобно представить в виде реальной части скалярного произведения

де (р ) = 2р/ дТ(р)

дс

т

векторов

Л

ах

V т

, ь

(28)

дт(р)=ГдТ/(р) !М

дхт V дхт ! -М

, . М

ь = ^ = Е

] =-М

Т .

] ]

(29)

Вектор производных дг(р)/дхт несложно получить из (16) в виде;

дТ 5

5хт д^т

(2 • ехр(- ¡во а)>

:(Но1 - »р • Нп )-1 • б)

( )-1 Г дН

= - 1Н01 - »р • НШ

(30)

дх„

01 » дН11 »1

дх

Т

т /

Для расчета производных дН01/ дхт, дНц/ дхт продифференцируем уравнение (22):

и

( дН 01 ^

дх„

дН

11

дх; д

дхт

-(ехр(лтм • а}Вс)

т

(

дхт ( ^

у ^ (лтм)

¿1 п у ' (лтм)

л

• ВС =

(31)

Vп=1 п! дхт

• ВС.

При суммировании ряда в уравнении (31) произ-

д(лтм )п

водные

дхт

следует вычислять с использова-

нием рекуррентной формулы:

д -(Л™ )п = Л™ ™ )П-1 ■

3х т

дхт

дЛ

ТМ

дх„

• (л ТМ )п-1

(32)

При этом расчет производных матриц Н01 и Н11 по порядку сложности эквивалентен вычислению экспоненты в степени матрицы через ряд. Для рас-

тм

чета производной дл / дхт воспользуемся пред-

ставлением матрицы л тм в уравнении (20). Дифференцируя (20), получим

дл

тм

дхт

^ дхт

N0

дЕ2

N0

дхт /

(33)

где N"0 - нулевые матрицы, а матрицы дРг- / дхт, I = 1,2 могут быть получены из (21) в виде:

дЕ-

дхт

дс(1). к 2 ( 1)

1_У = (_ 1)т к0 Iе -1 ч

дхт

1

(34)

<ехр(_' 2П(1 _ у}

I, у = 1,2N +1

д^

до®.

1 _У

— = а_(+1}/а_(+1У]—х

= «_(+1}+/а_(+1)+ у (_ 1)т (1/е2 1) X (35)

к 01

(_ / П _ у)хт ^ 1, у = 1,2N +1

х ехр

Таким образом, компоненты вектора градиента функции ошибки имеют вид реальной части скалярного произведения:

де(Р}

дх„

Б

= 2Яе((н 01 _ Б в • Нц )_1

дН

в

11

дН

(36)

01

дх„

дх

Т, Ь

т /

где вектор Т определен уравнением (16), вектор Ь определен уравнением (29), матрицы Н 01 и Н11 аналитически выражаются через матрицу системы (7) и граничные условия (12) в виде (22), а матрицы производных дН 01/ дхт, дНп / дхт определены в уравнениях (31)-(34).

Высота профиля решетки а также может рассматриваться как параметр оптимизации. Производная функции ошибки по параметру а также имеет вид (36), где матрицы дН01/ да, дНп / да могут быть получены из (22) в виде

(дН 01 ^

да дНП

да

= — (ехр!

да

(тм • а

)• ВС)

(37)

= л тм • ехр (л тм • а }• ВС

Отметим, что для случая ТЕ поляризации вычисления аналогичны, при этом компоненты градиента также имеют вид (36), (37), где матрицы Н 01 и Н11 выражаются через матричную экспоненту.

Таблица 1. Результаты градиентного расчета бинарных диэлектрических решеток в электромагнитном приближении (й=5. 5Л„ 8=2.25,^=0).

д

т

а

х

х

+

Число порядков м Число штрихов К Высота штрихов (а/^0) Координаты профиля Е (%) <5 (%)

ТМ-поля] ризация

5 2 0.9 (0.1820, 0.4822), (0.5544, 0.8546) 80.1 3.1

7 2 0.9 (0.2454, 0.4367), (0.5999, 0.7912) 85.1 1.0

9 3 1.56 (0.0925, 0.1963), (0.3728, 0.4786), (0.6155, 0.7185) 96.1 0.6

11 3 1.6 (0.1515, 0.3435), (0.4845, 0.5753), (0.7162, 0.9046) 94.0 5.1

ТЕ-поляризация

5 2 0.8 (0.1798, 0.4816), (0.5550, 0.8567) 80.7 2.5

7 2 0.875 (0.2579, 0.4297), (0.6070, 0.7787) 83.8 l.l

9 3 l.0 (0.009l, 0.l924), (0.3l45, 0.48ll), (0.7769, 0.9547) 89.7 3.6

ll 3 l.57 (0.0444, 0.3390), (0.5033, 0.5567), (0.8259, 0.8792) 9l.5 4.3

3. Результаты расчетов решеток Разработанный градиентный метод был применен к расчету бинарных диэлектрических решеток (£=2.25) решеток для формирования М=2^1 равных порядков. В качестве функции невязки была использована квадратичная функция ошибки

40= I((p)-~).

(38)

]=-N

Для характеристики работы решеток были использованы значения энергетической эффективности

N

Е(М)= ЕI] (39)

]=-N

и среднеквадратичной ошибки формирования заданной равной интенсивности порядков

s(< )=1

- I(-1)2

(40)

] =-N

где I = Е(М)/М - среднее значение. Результаты расчетов решеток при нормальном падении (0=0) и периоде ё=5.5.Я0. приведены в таблице 1. Следует отметить, что при указанных параметрах решетки расчет в рамках скалярного приближения дает недопустимо высокую ошибку ¿—100% [9]. Данные таблицы 1 показывают, что использование градиентной процедуры в рамках электромагнитной теории позволяет снизить среднеквадратичную ошибку й до 1-4% при энергетической эффективности 80-94%.

Таблица 2. Результаты градиентного расчета бинарных дефлекторов, концентрирующих излучение в -1-ом порядке (£=2.25,0=0, ТЕ поляризация).

Период (d/A0) Число штрихов К Высота штрихов (a/A0) Координаты профиля E (%)

3.5 2 l.68 (0.2596, 0.4378, 0.6082, 0.6754, 0.8469, 0.8780) 83.5

4.5 4 l.69 (0.26l7, 0.4009, 0.5426, 0.6043, 0.700l, 0.736l, 0.852l, 0.8734) 87.7

5.5 5 l.78 (0.27l4, 0.3982, 0.4997, 0.5565, 0.6l00, 0.6473, 0.7243, 0.7560, 0.8793, 0.8984) 87.6

6.5 5 l.5 (0.l809, 0.4334, 0.47l7, 0.5302, 0.6ll3, 0.6530, 0.7566, 0.7845, 0.8997, 0.9l42) 80.0

В скалярном приближении распределение интенсивности в порядках дифракции бинарной решетки может быть только симметричным. В работе [10] показано, что при параметрах ё=Х°, 0=30°, удовлетворяющих условию Брегга 2й • бш(0) = т • при т=1, простейшая бинарная решетка с одним штрихом длины ё/2 на периоде ё позволяет сконцентрировать излучение в -1-ом порядке. Такая асимметрия возможна не только при малых периодах. В таблице 2 приведены результаты градиентного расчета бинарных дефлекторов с максимумом в -1-ом порядке при нормальном падении для случая ТЕ - по-

ляризации. В качестве функции ошибки была использована квадратичная функция ошибки

4))=(l-1-(p))2 ^ min.

Таблица 2 показывает, что в -l-ом порядке можно собрать более 80% энергии и при «больших» периодах. При этом для достижения высокой (>80%) эффективности на периоде d=pX0 необходимо порядка p штрихов.

4. Синтез ДОЭ на основе однопорядковых решеток Решетки, позволяющие сконцентрировать излучение в -l-ом порядке, имеют большое практиче-

ское значение. Рассмотрим возможность использования подобных решеток для расчета различных фокусирующих ДОЭ, например линз. В скалярном приближении для расчета ДОЭ обычно используется приближение тонкого оптического элемента, описывающее ДОЭ через фазовую функцию. Пусть (р(х), х е [о] - фазовая функция ДОЭ, рассчитанная в приближении геометрической оптики из условия фокусировки в заданную область. Приближение геометрической оптики основывается на уравнении наклонов, определяющем направление преломленного луча через фазовую функцию ДОЭ в виде

8гп{вг )= * Г^+ ^

к °у1 е V ёх ёх = Я (ёд>(х) + йф°(х) 2п V ёх ёх

я = Я°/л£

(42)

где Я = Я°/л/ е - длина волны в среде, (р° (х) = к° бш(0) • х - фазовая функция освещающего пучка при у=0. Уравнение (42) совпадает с уравнением решетки

у/е • ят(вт ) = sm(6*) + тЯ° / ё

ёр(х)

при периоде ё = 2п /

ёх

деляется

т =

ёр(х)

ёх

и т = ±1. Знак т опре-фазы;

знаком производной

Данное значение периода совпа-

дает с размером зоны ДОЭ Ах , определяемой из условия

ёф(х )

А^(х) = 2п :

^ Ах = 2п/

ёх ёр(х)

Ах ^

ёх

Таким образом, приближение геометрической оптики предполагает, что каждая зона ДОЭ работает как «однопорядковая решетка», концентрирующая излучение в -1-ом или +1-ом порядке. В скалярном приближении Кирхгофа однопорядковой решетке соответствуют левая или правая пилообразная решетка. При малых зонах геометрооптическое и скалярное приближения неработоспособны, поскольку неработоспособной оказывается пилообразная решетка. В частности, для правой пилообразной решетки с высотой а = Я° /([е -1) интенсивность 1-го порядка стремится к нулю при ё ^ Я° (см. Рис.2). Можно предположить, что при замене зон ДОЭ бинарными решетками, рассчитанными в электромагнитном приближении из условия максимизации -1-го или 1-го порядка, получится высокоэффективный бинарный ДОЭ. Хотя формулы (42), (43) являться лишь эвристическим обоснованием метода замены зон ДОЭ «однопорядковой» решеткой, на практике метод оказывается работоспособным. В частности, в работе [5] рассмотрен расчет внеосевого сегмента

бинарной отражающей линзы, имеющей для случая ТЕ поляризации эффективность —90%.

0 2 4 б 8 ¿/к.

Рис. 2. Интенсивность 1-го порядка правой пилообразной решетки в зависимости от длины периода для ТЕ-поляризации при е=2.25, 0=0 и

высоте профиля а = Я° /(Vе -1).

Расчет линзы в [5] основывался на замене зон непрерывной дифракционной линзы простейшей отражающей бинарной решеткой с одним штрихом. Для ТЕ-поляризации при ё—А°, 0—30° и высоте^) штриха а—0.25А° такая решетка концентрирует излучение в -1 порядке [5].

Проиллюстрируем работоспособность метода на примере расчета преломляющей линзы. Фазовая функция дифракционной линзы имеет вид

(р(х) = mod

(

2п

х 5Ш(0)-

чЯо

-л/ёд/(х - х° )

2 + / 2 + с

(44)

[0, ё ]

где (х0,/) - координаты фокуса. При ё=20Я°, 0=30° и (х0,/)=(-20Я0,-85Я0) фазовая функция линзы имеет 20 зон с размером 0.89Я° < Ах < 1.17Я°. Для расчета бинарной линзы требуется записать в зонах линзы бинарную решетку, имеющую максимум в -1-ом порядке. При 0=30° и Ах — Я° достаточно простейшей бинарной решетки с одним штрихом [ 0, х е [о, Ах/2) [а • Я°, х е [Ах /2, Ах)

В частности, для ТМ поляризации и е=2.25 решетка (45) концентрирует излучение в -1 порядке при высоте штриха а~2Х0 [10]. На Рис. 3 и 4а) приведены рассчитанный бинарный рельеф линзы и распределение интенсивности

I (х, / ) = |яе(Ех (х, / )• Н* (х, / )) =

^2 (х) =

(45)

1

к 0 е

Г (

N

Н Е Тпвп • ехр(/( - вп/1!

VVп=-N )

Г N Е Тп ехр (/

V п=—N

5( (х -вп/ )) в фокальной плоскости у=-85Я° при N=57.

а/кй 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

О 5 10 15 20

Рис. 3. Бинарная линза с апертурой 1=20'0 для фокусировки точку (х0^)=(-20Х0,-85Х0) при 0=30°. е=2.25.

Цх,1)

1 1

: ИкллШ - шкл.ш.

а)

б) -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 х/Д0 Рис. 4. Распределения интенсивности в фокальной плоскости (приу=-85'0) (а) для бинарной линзы на рис. 3, (б) для непрерывной линзы (47) для ТМ -поляризации.

Указанное выражение для интенсивности I (х, I} пропорционально у-компоненте вектора Умова-Пойнтинга. Для сравнения на Рис. 4б) приведено распределение интенсивности для линзы с непрерывным рельефом

й(х) =

е _ со$(в)у1е_ 8ш(0)

хо_х8т(б,)_Л/ё/(х_х0)2 + /2 ^ (47)

х е [0,1 ]

рассчитанным в приближении тонкого оптического элемента.

Распределение интенсивности на Рис. 4б) оказывается размазанным в отличие от острого пика с шириной 5 '0, сформированного бинарной линзой. Простейшая решетка (45) с одной ступенькой может быть использована только при угле падения 0-30° и при размерах зон близких к длине волны. Большие, по сравнению с длиной волны зоны, требуют более сложных решеток с несколькими штрихами. При этом актуален расчет однопорядковых решеток для некоторого интервала периодов [[ш;п, 1 шах ], определяющего изменение размера зон ДОЭ. Расчет бинарной решетки с максимальной интенсивностью I_1 (р, 1) в -1-ом порядке при 1 е[(ш;п, 1шах ] может быть проведен рассмотренным градиентным методом с функцией ошибки определенной, например, в виде

ер)=г - (1 _ I _1 (р,#))2^ ш1п;

1т1л

(48)

где р - вектор координат штрихов решетки. Приведем пример расчета сложной бинарной линзы с большими зонами и большим интервалом изменения размеров зон. При размере апертуры 1=30', координатах точки фокусировки (х0/)=(0,-130'), угле падения 0=100 и е=2.25 линза с непрерывным рельефом (47) имеет 10 полных зон с размером от 5' в начале апертуры до 2' на краю апертуры. Для расчета бинарной линзы требуется рассчитать решетку из условия максимума интенсивности в -1-ом порядке для интервала периодов [2', 5']. Градиентным методом для случая ТМ-поляризации была рассчитана решетка с тремя штрихами из условия максимума -1-го порядка для указанного интервала периодов при функции ошибки (48). Нормированные на период координаты штрихов решетки равны р=(0.0429, 0.2981, 0.4556, 0.5771, 0.7745, 0.8276) при высоте штрихов а=2.07'. Данная решетка при 1 е[2'0,5'0] концентрирует в -1-ом порядке не менее 80% энергии.

На Рис.5а) приведен профиль бинарной линзы, полученный заменой зон линзы (47) рассчитанной бинарной решеткой, а на Рис. 5б) - распределение интенсивности, сформированное бинарной линзой при у=-130

Для сравнения на Рис. 5а), 5б) также показаны профиль непрерывной дифракционной линзы (47) и распределение интенсивности

е1 - - 2

I (х, I ) =

'01

_ 2П ■ ^

&по 2

| ехр

0 V

л/е • 1 ^

'01

хи

ёи

'01

П

'01

1

где Б/пс(х) = Бт(х)/ х, формируемое в скалярном приближении Кирхгофа в фокальной плоскости идеального сферического фронта.

10 -5 0 5 10 хА,

Рис. 5. а) Бинарная линза (ё=30Я0) для фокусировки в точку (х0^)=(0,-13°Я0) при 0=10°, е=2.25 и непрерывная линза (47), б) Распределение интенсивности, сформированное бинарной линзой для ТМ - поляризации и распределение интенсивности при идеальном сферическом фронте.

Рисунок 5 показывает хорошую работоспособность рассчитанной бинарной линзы и демонстрирует возможность замены задачи расчета ДОЭ су-

щественно более простой задачей расчета однопорядковой решетки также и при большом диапазоне

изменения размеров зон.

Литература

1. V.Soifer, V.Kotlyar, L. Doskolovich. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation. // London, Taylor&Francis Ltd, 1997.

2. Bringdhal O., Wyrowski F. Digital holography -computer-generated holograms. // Progress in Optics, Ed. Wolf E., v.28, pp. 1-86, North Holland, Amsterdam, 1990.

3. С.Т. Бобров, Г.И. Грейсух, Ю.Г. Туркевич. Оптика дифракционных элементов и систем. // Ленинград, «Машиностроение», 1986, 223с.

4. Y.Sheng, D.Feng, S.Larochelle. Analysis and synthesis of circular diffractive lens with local linear grating model and rigorous coupled-wave theory. // J.Opt.Soc.Am. A, 1997, 14(7), pp.1562-1568.

5. Veldkamp W.B., Swanson G.C., Shaver D.C. High efficiency binary lenses // Optics Communic., 5 (6), 1984, pp.353-358.

6. P. Blair, M.R. Taghizaden, W. Parkes, C.D.W. Wilkinson. High-efficiency binary fan-out gratings by modulation of a high-frequency carrier grating.// Appl.Opt., 1995, 34(14), pp.2406-2413.

7. Z. Zhou, T.J. Drabik. Optimized binary, phase-only, diffractive optical element with subwave-length features for 1.55|im. // J.Opt.Soc.Am. A, 1995, 12(5), pp.1104-1113.

8. Electromagnetic Theory of Gratings: Topics in current physics, 22, Ed. by R.Petit, N.Y.: SpringerVerlag, 1980.

9. Л.Л. Досколович. Градиентный метод расчета многопорядковых бинарных диэлектрических решеток в электромагнитном приближении. // Сб. Компьютерная Оптика, N_18, 1998, с.82-90.

10. M.G. Moharam, T.K. Gaylord. Diffraction analysis of dielectric surface-relief gratings. // J.Opt.Soc.Am., 1982, 72(10), pp.1385-1392.