CC BY
103
УДК 624.04 + 624.072.2
Р.Ф. Габбасов, Н.Б. Уварова, В.В. Филатов
ФГБОУВПО «МГСУ»
РАСЧЕТ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ С ДВУМЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОСТЕЛИ
Рассмотрено построение численной методики расчета балок на двухпараметровом основании по модели В.З. Власова, H.H. Леонтьева. Для построения численного алгоритма используется разностная форма метода последовательных аппроксимаций (МПА).
Ключевые слова: двухпараметровое упругое основание; модель основания Власова — Леонтьева; коэффициент постели; высота сжимаемого слоя грунта; метод последовательных аппроксимаций; расчет балок на упругом основании.
Для решения задачи привлекаются разностные уравнения численного метода последовательных аппроксимаций (МПА) [1], позволяющие учитывать разрывные параметры и рассчитывать упомянутые в заглавии балки с высокой точностью при небольшом числе разбиений. В [2] на примере расчета составных балок на двухпараметровом основании показано, что при использовании МПА решение с высокой точностью может быть получено с применением настольных вычислительных средств.
Дифференциальное уравнение изгиба балок постоянной жесткости, контактирующих с упругим основанием с двумя коэффициентами постели, записывается в виде [3]
а4г 2 2 аV дт/ рЬ4
-Л— 2г —Г- + ^ V =-, (1)
где р — распределенная по произвольному закону нагрузка; V — прогибы балки, равные осадкам основания.
} ь - ^ (2)
где Е1 — изгибная жесткость балки; Е0, г0 — соответственно модуль деформации, коэффициент Пуассона грунтового основания; 5 — толщина деформируемого грунтового слоя под балкой;
2 и} 4 к}4
г =-; 5 =-; (3)
Е1Е1
ЕйЬН Е05
t = —0-; t =-(4)
12(1 + Уо) Н (1 -у2)
где Н — высота деформируемого слоя грунта.
d2V M
Известное выражение для кривизны изогнутой оси балки -— =--с учетом
Лх Е1
первой формулы (2) запишем в виде
(5)
аЕ1 у'
Подставляя (5) в (1), получим с учетом (5) два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Запишем их в безразмерном виде:
= -(£ " с1т " с2 (6)
а с,
© Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б, Филатов В.В., 2012
25
ВЕСТНИК МГСУ
2/2012
сС2 щ
с
ь
рь
где т -— М ; г -■
Е1 Е1
V
1 -уп н
; м - —; с1 =
Ь 6 ь
; с2 =
ь_ н
(7)
(8)
Для аппроксимации дифференциальных уравнений (6) и (7) воспользуемся разностными уравнениями МПА [1]. В случае непрерывных т, щ и Ащ' = Ар' — 0 разностные аналоги (6) и (7) на равномерной сетке с шагом к запишутся следующим образом:
1 к2 1" 72С1
У
т,_1 - 2 1 + — к 2 с
I 1 12 1
1 к2 1" 12С1
т+1 + к
( 1 "л к2
1 + — с1 12 1
к
2
к2
12 с2 (м-1 + 10м1 + Щ+1 ) = - "12
п , ^п Ул
81 -1 + Л 81+ 81Г
г1+1
к\ ч к3
I _! - + щ+1 +12 (т-1+10т+т1+1) -— Ат =
(9)
(10)
О дгЛгПг , Ст ЛггПгг
В этих уравнениях Дтг- = тг- - тг-; т —-; тг- = тг_0 ; тг- = тг+0 ; остальные
п
выражения подобного типа имеют аналогичный смысл, например г I — г1+0 .
Разностные уравнения (9) и (10) записываются для внутренних точек сетки. Для точки I левого края разностные аппроксимации (6) и (7) по МПА имеют вид [1 ]
^ к2 ^
1Н--С
12
V /
к3 , Н--С0Щ: 12 2 1 +к2 12 с2 (5Щ ^ Щ+1
км[ + - Щ+1 к3 , --т; 12 - 12
т+\1+12 кч I т1 -
12
1 к2 ' 1" 12с
12
"I+1
(11)
+ т,-+1 ) = 0, (12)
12 12
где Щ = Сщ; г' = Ссг-. В точке I правого края (11) и (12) записываются в «зеркальном С С
отображении», при этом т' и Щ меняют знак.
В качестве тестовой задачи по разработанному алгоритму рассчитывалась балка,
показанная на рис. 1, при значениях: с1 = 1; с2 = 1; g=0; Дт{ = 1; к = 1. Для точек 1—
4 с учетом симметрии и краевых условий (— М5 = 0 ) записывались уравнения (9) и (10). Из совместного решения системы восьми уравнений было получено в частности: т1=тшах=0,377, Щ1=ит1Х=0,543.
Рис. 1
Общее решение однородного уравнения, которое следует из (1) при р = 0, по [3]
т +
26
ISSN 1997-0935. УвзШк MGSU. 2012. № 2
V = c1e~a^ sin+ c2e~a% cosP^ + c3ea^ sin + c4ea^ cosP^,
J 2, 2 2 2 s + r - Is - r
—:—; P =
(13)
(14)
2 ' ' V 2 К '
Для рассматриваемой балки с пролетом 8L можно положить [3]: с3=с4=0. Величи-
- * п dV 0 EI dV P
ны с1 и с2 определяются из условии: при д = 0 -= 0 и —з--— =--.
L d2
Вычисляя производные V, после несложных преобразований, переходя к безразмерным величинам, получим: ттах=0,378; и>шах=0,535. Сравнение результатов аналитического решения с полученным выше выявляет высокую точность разработанного здесь численного алгоритма.
В качестве второго примера рассмотрим расчет короткой балки с пролетом 2L, свободно лежащей на двухпараметровом основании. Балка при минимальном числе разбиений полупролета с шагом h = 0,5 показана на рис. 2, начало координат в т. 1; g = 1.
нптнпн Y
••Ус, -Nv.. % "■Nxj":
g
0,5
0,5
Рис. 2
Предварительно формулу [3] для обобщенной поперечной силы в сечении балки
dV
S = - EI
d 3V
dx
+ 2t-
dx
запишем в безразмерном виде:
s=m+cw
1w i
(15)
(16)
где ^ = 5—, c1, m, w определяются выражениями (8). EI
Исключая т' и w' с использованием (11) и (12), пренебрегая при этом величинами порядка ^ по сравнению с единицей, запишем (16) для точки г в виде
(17)
f h2 ^ ( h2
mi ^ mi+1 - c н--c, 1 3 2 wi + C1 6 C2 wi+1
И3 , И2 , ^
"12 g'+12(5g'+
По [3] значение обобщенной поперечной силы в грунте в точке п правого конца балки:
(18)
Переходя к безразмерным величинам, определяя г и к по (4) при Уо — 0, получим из (18):
_ 46
3 =-2Гwn. (19) 6
Далее, записывая (17), меняя знак у , для т. 3 на рис. 2 с учетом h=0,5; g=1;
11 п - 46 .....
с1 = — ; с2 = — при т3 — 0 и =--w3 по (19), получим уравнение для определе-
3 2 6
ВЕСТНИК г/2о12_
ния w3. Уравнения (9) и (10), записываемые для т. 1 и 2 на рис. 2 с учетом симметрии и краевого условия m3=0, позволяют найти m1, m2, w1, w2. Из совместного решения упомянутых выше пяти уравнений, в частности, находим: m1= mmax= 0,192, w1= wmax = 1,14.
Аналитическое решение рассмотренной задачи получим, суммируя правую часть - pL4 -
(13) с V = ——, где V — частное решение дифференциального уравнения (1). s EI
Полученное решение можно привести к виду
pL4
V = Acha^sin ß^ + Bsha^sin ß^ + Ccha^cos + Dsha^cos + —. (20)
s EI
Из условия симметрии A = D = 0. Произвольные постоянные интегрирования B и С определяем из краевых условий на правом конце балки: Mn = 0 и S® = SO, где S®
определяется по (15), SO — по (18).
В итоге при n =3, переходя к безразмерным величинам, получим: m1=mmax=0,188, w1= wmax = 1,155. Погрешность численного решения (m1= 0,192) по величине mmax составляет 2,3 %.
Из практического совпадения результатов численного и аналитического решений в нашей работе следует, что на рис. 48 [3] допущены существенные погрешности при построении эпюр М и Q. Предложенный здесь численный алгоритм может быть использован в инженерных расчетах балок на двухпараметровом основании.
Библиографический список
1. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение решений разрывных задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2008. 280 с.
2. Филатов В.В. О расчете составных балок на упругом основании с двумя коэффициентами постели // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 3. С. 38—40.
3. Основы теории балок и плит на деформируемом основании / H.H. Леонтьев, А.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, H.H. Анохин. М. : МИСИ, 1982. 119 с.
Поступила в редакцию в январе 2012 г.
Об авторах: Габбасов Радек Фатыхович — доктор технических наук, профессор, кафедра строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, каб. 405, 8-495-287-49-14 доб. 3141, [email protected];
Уварова Наталья Борисовна — кандидат технических наук, профессор, кафедра строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, каб. 405, 8-495-287-49-14 доб. 3141, [email protected];
Филатов Владимир Владимирович — кандидат технических наук, доцент, кафедра строительной механики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, каб. 405, 8-495-287-49-14 доб. 3141, [email protected].
Для цитирования: Габбасов Р.Ф., Уварова Н.Б., Филатов В.В. Расчет балок на упругом основании с двумя коэффициентами постели // Вестник МГСУ. 2012. № 2. С. 25—29.
R.F. Gabbasov, N.B. Uvarova, V.V. Filatov
ON CALCULATION OF BEAMS RESTING ON TWO-PARAMETER ELASTIC FOUNDATIONS
The numerical algorithm of calculation of beams resting on the two-parameter elastic foundation according to the model developed by V.Z. Vlasov and N.N. Leont'yev is considered in the pro-
28
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 2
posed paper. The difference form of SUPROX method (Successive Approximations Method) is applied to generate the numerical algorithm. The following beam was calculated to test the proposed
calculation algorithm: q = 1; = 1; g = 0; Am{ = 1; h=1. Comparison of the result of the analytical
solution with the proposed one has proven the high accuracy of the latter. Another example represents the calculation of a short beam featuring a 2L span and resting on the two-parameter foundation.
Key words: two-parameter elastic foundation, Vlasov — Leont'yev foundation model, coefficient of subgrade resistance, height of compressible soil layer, method of successive approximations, calculation of beams on the elastic foundation.
References
1. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Chislennoe postroenie reshenij razryvnyh zadach stroitel'noj mehaniki [Numerical Solutions of Discontinuity Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV, 2008, 280 p.
2. Filatov V.V. O raschete sostavnyh balok na uprugom osnovanii s dvumja kojefficientami posteli [On Calculation of Composite Beams Resting on Elastic Foundations with Two-Parameter Elastic Foundations]. Stroitel'naja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij, 2010, Issue # 3, pp. 38—40.
3. Leont'ev N.N., Leont'ev A.N., Sobolev D.N., Anohin N.N. Osnovy teorii balok i plit na deformiru-emom osnovanii [Basics of Theory of Beams and Slabs Resting on Deformed Foundations]. Moscow, MISI, 1982, 119 p.
A b o u t t h e a u t h o r s: Gabbasov Radek Fatyhovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), Office 405, 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russia, [email protected], 8 (495) 287-49-14 ext. 3141;
Uvarova Natal'ja Borisovna — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), Office 405, 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russia, [email protected], 8 (495) 287-49-14 ext. 3141;
Filatov Vladimir Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), Office 405, 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russia, [email protected], 8 (916) 157-83-78.
F o r c i t a t i o n: Gabbasov R.F., Uvarova N.B., Filatov V.V. Raschet balok na uprugom osnovanii s dvumja kojefficientami posteli [On Calculation of Beams Resting on Two-Parameter Elastic Foundations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, Issue # 2, pp. 25—29.
