CC BY
16
186 ТРУДЫ БГТУ. 2015. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 186-189
УДК 512.8:681.55
Ю. О. Герман1, О. В. Герман2
1 Белорусский национальный технический университет 2Белорусский государственный технологический университет
РАБОТА СО ЗНАНИЯМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В работе представлен оригинальный подход к построению выводов в модальных системах с нечеткими правилами вместе с необходимой техникой формализации заключений. Подход ориентирован на прикладные системы искусственного интеллекта и системы принятия решений, использующие нечеткие модальные формулы. Подход базируется на представлении нечетких модальных отношений формулами многозначных логик Я. Лукасевича с использованием для интерпретации модальных отношений. Модальность типа «возможно» интерпретируется формулой трехзначного исчисления со значением истинности не ниже 0,5; модальность типа «необходимо» интерпретируется формулой трехзначного исчисления со значением истинности, равным 1. Введены правила исчисления выводов в нечетких модальных системах, позволяющие находить трехзначные эквиваленты произвольных модальных формул. Показано, как обобщить эти правила на случай нечетких модальных систем. В качестве практической иллюстрации рассматривается задача отыскания максимального независимого множества вершин в нечетком графе. Эта задача может встретиться, например, при распознавании лиц в условиях наличия искажений на изображениях. Вершинами графа изображения являются некоторые характерные точки. Точки соединяются ребрами, если их яркость и цвет достаточно схожи. Очевидно, что при искажении изображений ребрам могут быть приписаны оценки степени сходства, отличные от 1. Представленный в статье подход может быть интересен для специалистов-прикладников, занимающихся проблемами распознавания и классификации.
Ключевые слова: модальная логика, нечеткий вывод, максимальное назависимое множество.
Yu. O. German1, O. V. German2
1Belarusian National Technical University 2Belarusian State Technological University
WORK WITH KNOWLEDGE WITH THE USE OF MODAL OPERATORS
An original approach to making inferences in modal systems, including fuzzy modal calculi with the necessary formalization technique is suggested. The approach is oriented at practical usage in applied artificial intelligent and decision making systems based on fuzzy logic concepts and modal logic as well. The background of the approach consists in using J. Lukasiewicz's multi-valued logics to interpret the modal relationships. The modality of the type "possible" is interpreted by the 3-valued formula with the truth value not less than 0.5; the modality of the type "necessary" is interpreted by the 3-valued formula with the truth value equal to 1. The inference rules in the fuzzy modal system are introduced enabling one to find 3-valued formulas equivalent to the arbitrary modal formula. It is shown how to generalize these rules in the case of the fuzzy modal systems. As a practical illustration, the maximum-size independent vertex set in the fuzzy graph is considered. This problem may be encountered in face recognition with some possible distortions. The vertices stand for the points in the face image with approximately similar color and brightness. Obviously, in the case of image distortion the arcs in the graph may be assigned with the values in 0.1-diapason. The approach represented in the paper may be interesting for the researchers engaged in the recognition and classifying problems.
Key words: modal logic, fuzzy inference, a maximum-size independent set.
Введение. Практический интерес связан с нечеткими системами модальных логик. Правило модальной логики типа <Если А, то, возможно, В» может найти достаточно широкую область использования. Модальность возможности характеризует неопределенность, гипотетичность. Имеется не так много систем вывода для нечетких модальных логик. Отметим, например, аксиоматическую систему [1], систему резолю-ционного вывода (H. De Nivelle [2]), систему типа натурального вывода Генцена [3], табличный метод R. Gore [4]. Основные недостатки этих
методов - неуниверсальность, большая вычислительная сложность и наличие ограничений на применение правил вывода. В настоящей работе предлагается процедура вывода с более широкими рамками использования, достигаемыми, правда, за счет аппроксимации логических заключений на базе многозначных логик Я. Лукасевича. Подход демонстрирует связь между п-значными логиками Я. Лукасевича и нечеткими модальными системами при п ^ да.
Основная часть. В основе наших рассуждений лежит работа [5]. Заменим модальные
формулы формулами трехзначной логики Я. Лу-касевича. Формулаx имеет значения {0; 0,5; 1} в трехзначной логике Лукасевича, причем 0 соответствует значению «невозможно», 0,5 - значению «не определено» и 1 - значению «необходимо» (в альтернативной нотации пишем val(z) = {0, 1, 2} с val(z) = (n -1) • val(x)). Далее примем:
□ x ^ val (x) = 1,
◊x ^ val (x) > 0,5,
так как
—Ox = □ — x ^ val (x) = 0.
Отсюда находим:
□ true ^ val(true) = 1 = true,
□ false ^ val(false) = 1 = false,
□ 0,5 ^ val(0,5) = 1 = false; ◊true ^ val (true) > 0,5 = true,
◊false ^ val( false) > 0,5 = false, ◊ 0,5 ^ val(0,5) > 0,5 = true.
Пусть a [|a] обозначает формулу, которая допускает только интерпретации, в которых val(a) > |a. Имеем:
◊x = ц( x) > 0,5,
□ —У = Ц (—У) = 1.
Для манипулирования формулами используем замены, введенные в [5]:
x = (x1, x2 ), — x = (—x2 , —xj ),
x V У = (x1 V У1, x2 V У2),
—x = (—x2, —x1), x & У = (x1 & У1, x2 & У2), x ^ У = —x V У = (—x2 V У1, —x1 V У2).
Пусть x есть трехзначная (векторная формула) и У - двузначная пропозициональная переменная. Пропозициональная двузначная переменная может быть представлена в трехзначной логике как формула, не допускающая значения 0,5, т. е.
У =(У2) & (У1 У2 V —У1—У2) =(У1У2, У1 У2).
Отсюда, в частности, следует:
x V У = (x1 V У1У2 , x2 V У1 У2), x & У = (x1 & У1У2, x2 & У1У2),
x ^ У = — x V У = (—x2 V У1У2, —x1 V У1У2).
Пусть даны формулы
0х V у,
—X V □ —у.
Перепишем их таким образом: ц(х) > 0,5 V (У1, у2), (—х2, —хг) V ц(—у) = 1.
Получим в силу правил преобразования:
(х1 V У1, х1 V у 2 X
(х2 V у2yl, х1 V у2у1).
Замечание. Повсюду принимается недопустимость значения а = (а1, а2) = (0, 1) для любой формулы а. Это означает, что необходимо всякий раз добавлять в систему формулы вида
а1 V —а 2.
Примеры.
1. □ (х V —х) = □ ((х1 V —х2, х2 V —х1)). Формула ложна для х1 = 1, х2 = 0 (уа!(х) = 0,5). Следовательно □ (х V —х) не общезначима в модальном исчислении.
2. □х V —□х общезначима, поскольку □х допускает (1, 1) и —□х допускает (0, 0) и (1, 0).
Обратимся к построению выводов в нечеткой модальной системе.
Пусть требуется доказать или опровергнуть выводимость формулы 0у [ц > 1/3] из формул 0(х V у) [ц > 1/3] и □ — х [ц = 1].
Имеем:
х = (х1, х2, хз), у = (у1, у 2, уз),
—х = (— х1, —хз , — х2), —у = (—у1, —уз , —у2 ), 0(хVу) [ц> 1/3] = (0хV0у) [ц> 1/3] =
= 0(х1 V у1, х2 V у2, х3 V у3) [ц > 1/3] = = 0(010 V 110 V 111) = 0(х2 V у2),
□ —х[ц = 1] = □ (—х1—х3—х2 )[ц = 1] = □ (111) =
I_I ( х1 1х3 1х2 ),
0у [ц>1/3] = 0 (010V110V111) = 0(у2).
Таким образом,
0(х2 V У2),
□ ( х1 * 1х3 * 1х2),
х = м, у = 6Д
откуда следует получить 0( у2).
Используя аппарат трехзначной логики Лу-касевича, находим непосредственно:
188
Ю. О. Герман, О. В. Герман
Х1 (Х1 , Х1 ), Х2 (Х2 , Х2 ), Х3 (Х3 , хз ),
у =(У1, У12) У2 =(y2, У22X у2 = ( У2, -У2).
Это дает:
х2 V y2,
1X1 1X1,
-Х2,
-y2,
где ◊( у2) заменена на у2, и отрицание последней добавлено в систему, чтобы использовать стандартный резолюционный вывод. Убеждаемся, что выводимость имеет место.
Рассмотрим пример прикладной задачи -поиск максимального независимого множества в нечетком подграфе.
Ребро графа будем считать нечетким, если определенно неизвестно, входит оно в граф или нет. Ребро считаем четким, если определенно известно, что оно входит в граф. Граф с нечеткими ребрами кодируем матрицей смежности А с элементами а, ■, такими, что
а, у = 1, если ребро (/,у) четкое; а,= 0,5, если ребро (/,у) нечеткое.
Определение 1.
А. (Нечетким) независимым множеством нечеткого графа назовем любое множество его вершин, никакие две из которых не связаны четким ребром (таким образом, допускается связь нечеткими ребрами).
Б. Ядром нечеткого независимого множества V считаем подмножество его вершин Vс СТ, никакие две из которых не соединены нечетким ребром.
Определение 2. Пусть для нечеткого графа определены два независимых множества Т1, V 2. Говорим, что Т1 максимально предпочтительнее (.-предпочтительнее) V2, если размер его ядра больше размера ядра V 2.
Определение 3. Нечеткое независимое множество V называется .-максимальным, если оно имеет ядро максимального размера, а при условии равенства размеров ядер содержит наибольшее общее число вершин.
Целью является отыскание .-максимального независимого множества нечеткого графа.
Пусть матрица А смежности нечеткого графа имеет такой вид:
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
D1 0 0,5 1 0 0 0 0
D2 0,5 0 1 1 0 1 0
D3 1 1 0 0 0 1 0
D4 0 1 0 0 0 1 0,5
D5 0 0 0 0 0 1 1
D6 0 1 1 1 1 0 0
D7 0 0 0 0,5 1 0 0
Формулировку задачи можно записать следующим образом:
D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7 ^ max, —D1 v —D3, —D2 v —D3, —D2 v—D4, —D2 v—D6, —D3 v—D6, —D4 v—D6, —D5 v—Д, —D5 v—D7,
◊(—d v —D2),
◊(—D4 v—D7).
Используя двоичную интерпретацию модальных формул, перепишем систему в «чистых» булевских переменных. Введем представления
D1 = (хг, y), i = 1/7;
—Dr v —Ds = (—yr, —xr) v (—ys, — xs) = = (—yr v—ys, —Xr v—Xs);
◊(—Dr v — Ds ) = 0(—Уг v —ys , —xr v — Xs ) =
= —Уг v—ys .
Имеем:
M • У1 + M • У2 + M • У3 + M • У4 + M • У5 + + M • y6 + M • y7 + x1 + x2 + x3 + + x4 + x5 + x6 + x7 ^ max,
—У1 v—У3, —xi v— x3,
—У2 v—Уз, —x2 v—X3,
—У2 v—У4, —x2 v—X4,
—У2 v—У6, —X2 v—X6,
—У3 v—У6, —X3 v—•^
—У4 v—У6, —X4 v—X6,
—У4 V 'У7 , nx1 V —У , —x2 V —У2 , —x3 V —Уз , —x4 V —У4,
—y5 V—y6, —x5 V— x6, .«-независимое множество :{D3, D4, D5} (есть и
иные варианты). Нечетких ребер нет. -y2 v—y7, —x2 v—x7, Заключение. Предложенные методы могут
прямо использоваться в различных интеллектуаль-—y1 V —y2, ных системах. Подход допускает прямое обобще-
ние на модальную нечеткую логику предикатов.
Нечеткая модальная логика требует глубокого философского осмысления и исследований в различных направлениях. Например, возьмем где M - положительное число, превосходящее, формулу ◊P(x)[p, > 0,8]. Эта формула устанав-например, удвоенное число вершин (М = 15). ливает определенную степень уверенности в Целевая функция допускает нечеткие ребра, но истинности ◊P(x).. Однако последняя формула обеспечивает максимальный размер ядра, а при сама определена недостоверно (она, возможно, равенстве размеров ядер - наибольший общий истинна, а, возможно, и нет). Таким образом, размер «-независимого множества. Задача све- можно поставить вопрос о правомочности на-дена к известной задаче линейного булевского вешивать степень достоверности на иную сте-программирования и может быть решена, на- пень достоверности. Однако это не совсем так. пример, методом Балаша [6]. Так, используя В нашем понимании здесь имеет место простая пакет ПОИСК РЕШЕНИЯ в MS Excel, найдем коррекция итоговой оценки достоверности.
Литература
1. Cherkassky V. FUZZY Inference Systems: a critical review // Springer. 1998. P. 259.
2. Nivelle H. D., Schmidt R. A., Hustadt U. Resolution-based methods for modal logics // Logic J. IGPL. 2002. No. 10 (1). P. 51-83.
3. Proof theory of modal logic / editor H. Wansing. Norwell (USA): Kluwer Academic Press, 1996.
4. Gore R. Tableau methods for modal and temporal logics // Handbook of tableau method / D'Agostino [et al.]. USA: Kluwer, 1999. P. 670.
5. Герман О. В., Самко Р. А., Герман Ю. О. Система вывода для нечеткой логики на базе многозначных исчислений Лукасевича // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. 2010. Вып. XVIII. С. 190-193.
6. Pardalos M. P., Xue J. The maximum clique problem // Journal of global optimization. 1994. Vol. 4 (3). P. 301-328.
References
1. Cherkassky V. FUZZY Inference Systems: a critical review. Springer, 1998, pp. 259.
2. Nivelle H. De, Schmidt R. A., Hustadt U. Resolution-based methods for modal logics. Logic J. IGPL, 2002, no. 10 (1), pp. 51-83.
3. Wansing H. Proof theory of modal logic. Norwell (USA), Kluwer Academic Press, 1996.
4. Gore R. Tableau methods for modal and temporal logics. Handbook of tableau method. USA, Kluwer, 1999, pp. 670.
5. German O. V., Samko R. A., German Yu. O. An inference system for a fuzzy logic on the basis of multivalued Lukasiewicz calculi. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], series VI, Physical-mathematical sciences and informatics, 2010, issue XVIII, pp. 190-193 (In Russian).
6. Pardalos M. P., Xue J. The maximum clique problem. Journal of global optimization, 1994, vol. 4 (3), pp.301-328.
Информация об авторах
Герман Юлия Олеговна - ассистент кафедры САПР. Белорусский национальный технический университет (220013, Минск, пр-т Независимости, 65, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Герман Олег Витольдович - кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем и технологий. Белорусский государственный технологический университет (220006, Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]
Information about the authors
German Juliya Olegovna - аssistant, the Department of Automatized Design Systems. Belarusian National Technical University (65, Nezavisimosti Ave., 220013, Minsk, Republic of Belarus ). E-mail: [email protected]
German Oleg Vitol'dovich - Ph. D. (Engineering), Assistant Professor, the Department of Information Systems and Technologies. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]
Поступила 12.03.2015
