CC BY
18УДК 539.1
А. С. Киселёв, В. Г. Кречет
Пятимерная вакуумная задача с вихревым гравитационным полем
Данная поисковая научно-исследовательская работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
В работе в рамках пятимерной геометрической теории исследуется проблема гравитационного взаимодействия вихревого гравитационного и скалярного полей. Дано решение пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна, проводится сравнение результатов с полученными ранее в четырехмерной теории.
Ключевые слова: пятимерие, скалярное поле, вихревое гравитационное поле, единая геометрическая теория, «кротовые норы».
А. S. Kiseliov, V. G. Krechet
Five-Measured Vacuum Sum with a Vortical Gravitational Field
In the work within the five-measured geometrical theory the problem of gravitational interaction of the vortical gravitational and scalar fields is investigated. The solution of the five-measured vacuum equations of Einstein is given. Is presented the comparison of results with received before in the four-dimensional theory.
Keywords: five-dimention, a scalar field, a vortical gravitational field, the integrated geometrical theory, «mole's holes».
Рассмотрим принципиально важную задачу о гравитационном взаимодействии геометрического скалярного поля с вихревым гравитационным полем в пятимерном пространстве-времени. Подобная задача для четырехмерного случая рассматривалась ранее в работе [1].
Для удобства будем использовать экспоненциальные выражения для метрических коэффициентов, так что соответствующая пятимерная метрика будет иметь вид:
ds2 = -ev( *) dt2 + e^( x) dx2 + eK x) da2 + eY( x) dz2 + ep( x) (dx4 )2 + 2eв( x) dtda (i)
Здесь метрический коэффициент e^( ) — g^ соответствует наличию вращения конгруэнций
p( x) _
временеподобных мировых линий, а коэффициент e — g44 описывает некое скалярное поле геометрического происхождения.
Для исследования поставленной задачи необходимо решить вакуумные уравнения Эйнштейна в пятимерном пространстве-времени:
Rab -2RgAB — 0; (A, в — 0,1,2,3,4) (2)
Для рассматриваемого случая эта система уравнений будет выглядеть следующим образом:
(Ц + у' + <p')' - (Ц + v' + Y' + P)(P + Y' + Ц) - e2р-ц-У (в' -v' )2 — 0;
Ц(р + Y' + v') + v ' (y ' + p) - Y< + e2p-v-v (в' -v' )2 — 0;
(v ' + y ' + P)' - (Ц + v' + Y' + <)(v ' + Y' + P) + e2в~ц~У (в' -v' )2 — 0;
в''-v'' + (в'-v')(в '-2ц -v'-Y'-p') — 0; (3)
Ц' + v' ' - p' + (p - Ц - v' )(Ц + v' + y ' + P) — 0; Ц' + v' ' + y ' ' - (Ц + v' + y ')(ц' + v' + y ' + P) — 0.
© Киселёв А. С., Кречет В. Г., 2012
Последние три уравнения системы (3) имеют следующие первые интегралы:
(в '-v' )ер-2т-ф = 2о0;
(У + v' - ф)е~(м+у+]/+ф) = c{; (4)
(У + v ' + y ' )e ~(»+v+r+v)= c 2;
здесь c1, c2, о0 = const. При этом кинетическая характеристика вихревого гравитационного поля о , то есть его интенсивность, определяется формулой:
о= ев(в'-v' )
Ц+у + 7-+Ф (5)
2е 2 2
Рассмотрим последние два интеграла системы (4): вычитая одно из другого, получим:
(Y'-ф)е^+ф = cj - c2,
поскольку метрические коэффициенты y, ф в рассматриваемой задаче зависят только от х и не зависят от z их4 соответственно и стоят при пространственных измерениях, они обладают одинаковым типом симметрии, и поэтому постоянные интегрирования c1, c2 для них без ограничения общности можно считать равными между собой: c1 = c2 = c . Тогда получаем, что y(х) = ф(х), а интенсивность гравитационного вихря (или угловая скорость вращения конгруэнций линий времени) принимает вид:
евв '-v')
о—, (6) а учитывая первое соотношение системы (4), это выражение упростится до следующего:
о
Сама же система (3) перепишется в виде:
т = а)0 вм+г. (7)
+ 2у'у' + У у' - у'2 + 4®02еЪц+у+4у = 0; (У + 2^') ' - (У + V ' + 2^' )(У + 2^') - 4®02 вЪц+у+4г = 0; (V ' + 2^') ' - (У + V' + 2у')(у' + 2у') + 4®02вЪц+у+4г = 0;
(в '-V' )вр-2у-у~2г = 2®0; (У + у '-у' )е"(У+^ = с.
Складывая второе и третье уравнение полученной системы (8), имеем:
(У + у' + 4у') ' - (У + V' + 2у')(У + V' + 4у') = 0;
откуда получаем еще один интеграл:
У + у' + 4у' = с3ем+у+2г. Учитывая этот интеграл и последнее уравнение системы (8), имеем:
5у' = (с3 - с)ем+у+27
С помощью этих выражений получаем следующие соотношения:
У + у' = £з+4£ у.
сз - с
(8)
. С3 С c-, -c
Y = —-в 3
5
2c+3c3 Y (9)
откуда
2с +3сз
-сз-т} 2с + 3с3 е 3 =--3 X
сз - с
(10)
Тогда уравнение первого порядка системы (8) примет вид:
-У1 + ^ У У+/2 +44—/е2У2г =0
с3 с с3 с с3 с
(11)
Для получения условий на константы интегрирования с,с3, т0 с помощью оставшегося уравнения второго порядка системы (8), используя выведенные выше интегралы движения, получим еще одно уравнение первого порядка для коэффициентов у, У :
2с+3с3
_ У2 + (с3 + 4с)2 _ (с3 + 4с)2 '2 + 2040(с3 + 4с) е2Ц+2г +
20(с3 - с) 4(с3 - с)2' 2(2с + 3с3)(с3 - с)
2с+3с3 2с+3с3
9с + с -Г 4т2 -Г 20т2
+ уе с3-с + 4Ш0 ес3-с е2У+2у + 2^0 уе2у+27 =0
5 2(с3 - с) 2с + 3с3
которое должно быть эквивалентно уравнению (11) для них. Этого можно добиться при условии:
с3 + 4с = 0. (12)
В таком случае оба уравнения совпадут и запишутся в виде:
.' 2 9с + с3 2 + 20т0 г„2ц+у _
У'^-и- У2+^ у е ^ = 0 (13)
с3 с с3 с
Поскольку у' и ег уже известны (формулы (9)), это уравнение, учитывая соотношение между с3 и с , окончательно примет вид:
' 2 4 е 2у = 1
У 22 е =--2 ,
с х 4 х
при этом из (10) е2 =—(14)
2сх
0 < х < да.
Решая уравнение, получим:
У с
2т0 соз(1п(с4л/Х)). (15)
Здесь cos(1n(c4Vх)) должен быть положительным, чтобы не менялась сигнатура, поэтому
П /— П
аргумент этого косинуса лежит в границах: - — < 1п(с4Ух) < —. На данном интервале е^ нигде в
нуль не обращается, а на его концах ем ^ да, то есть получаем решение, описывающее геометрию
c
пространства-времени «кротовой норы». При этом радиус ее горловины г0 будет равен г0--.
2®0
Полное решение исследуемой задачи, учитывая все полученное ранее, предстанет в следующем виде:
С 1
вм =---ег = ^ = —— •
2ю0 cos(ln(c4 л/Х )) ' ^2сх '
2&>0 cos(ln(c4VX)) 1
С- 1 с-
С
2сХ (16)
е ~п еп
— < х < — •
С4 С4
В данном решении отсутствует плоская асимптотика.
Таким образом, получается, что вихревое гравитационное поле в пятимерном пространстве -времени может образовывать «кротовые норы» так же, как и в четырехмерном [1].
Библиографический список
1. Кречет, В. Г. Топологические и физические эффекты вращения и спина в общерелятивистской теории гравитации [Текст] / В. Г. Кречет // Известия вузов. Физика. - 2007. - №10.
