CC BY
9ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГ1ЧН1 ПЕРЕДУМОВИ ТА МЕТОДИЧН1 ВИМОГИ ДО НАВЧАННЯ ЕЛЕМЕНТ1В СТОХАСТИКИ В Л1ЦЕЯХ I КЛАСАХ З ПОГЛИБЛЕНИМ ВИВЧЕННЯМ МАТЕМАТИКИ
О.В.Трунова,
кандидат педагог. наук, старший викладач, ЧернШвський державний тститут економжи iуправлтня,
м. Чернтв, УКРА1НА
Розглянуто сукуптстъ психолого-педагог1чних передутое та методичных вгшог до на-вчання елеменпйв стохастики в лщеях i кчасах з поглибленич вивченням математики
Загальна мета вивчення елеменпв стохастики у середнш школi визначена наприкiнцi 60-х роюв ХХ сторiччя ака-демшом Б.В. Гнеденком: „ознайомлення школярiв iз закономiрностями бiльш широкого типу, тж класичний детермь нiзм, а саме - зi статистичними законо-мiрностями" [2]. З того часу завдання розвитку у школярiв статистичних за-кономiрностей прийнято називати у ме-тодичнiй лiтературi задачею форму-вання стохастичного мислення учшв. Критерiями розв'язання завдання фор-мування стохастичного мислення е: ро-зумшня сутностi понять i законiв стохастики; вмiння розв'язувати якiснi стоха-стичнi задач^ тобто вмiння робити якь ст висновки на базi наявних статистичних даних керуючись провiдними мiр-куваннями, що базуються на штущп.
Треба зазначити, що навчання теорп ймовiрностей, яке базуеться лише на ви-вченнi конкретних iмовiрнiсних моделей, може не призвести до розв'язання за-вдання - формування статистичного мис-лення учшв. За умови достатнього зна-йомства з певною iмовiрнiсною моделлю учень зможе формально оперувати з нею достатньо впевнено, проте з точки зору завдань навчання це не е достатшм, оскь льки таке оперування ще не свщчить про сформованiсть стохастичного мислення, оскшьки учень може бути безпорадним при побудовi нових, навiть досить прос-тих iмовiрнiсних моделей.
Достатньо глибоке проникнення у iMOBipHicHi моделi неможливе, якщо не icнуe фундаменту для цього. Звщси ви-пливае необхщтсть формування стохас-тичних уявлень та розвитку iмовipнicноl штущп учнiв протягом всього навчання.
Дослщження пcихологiв Ж. Шаже [3] i G. Фшбейна [7] показують, що людина початково погано пристосована до iмовi-ршсно! оцiнки, до уcвiдомлення та ймовь ршсно! штерпретацп iмовipнicно-cтатиc-тичних даних. Експериментально встано-влено, що навиъ гpунтовнi знання i розу-мшня iнших pоздiлiв математики (якi, як правило, мають учнi в лщеях i класах з поглибленим вивченням предмету) ще не забезпечують розвитку стохастичного мис-лення i не позбавляють навiть вщ тpивiаль-них iмовipнicних забобонiв i оман.
Методичною акciомою можна вва-жати те, що стохастичне мислення у 6i-льшш мipi можна сформувати, але не вiдpазу, не в одну мить. Однак питання про вш, найбшьш сприятливий для ефе-ктивного розвитку стохастичного мис-лення, розв'язуеться не так одностайно .
Досвщ показуе, що в учня початково! школи недостатньо сформоване уявлення про свгг, не вистачае математичного апа-рату (перш за все звичайних дpобiв) для формування уявлень про iмовipнicть. Вод-ночас знайомство з простими випадко-вими експериментами та 1х результатами -елементарними подями, формування по-няття випадково! поди та ii абсолютно! ча-
© Тгцпоуа О.
стоти, основи описово! статистики, таблицу, доаграми е можливим 1 навиъ необхь дним для введення в початкову школу [5].
Також встановлено, що починати навчання основ теорл ймов1рностей у старших класах - малоефективно. На-працьоване до цього часу прагнення до швидко! формал1зацл знань, сформо-ване традицшним курсом математики, бажання засво!ти на урощ перш за все певний наб1р правил, алгоритм1в 1 мето-д1в обчислення фактично замшюе фор-мування 1мов1ртсних уявлень формаль-ним вивченням формул комбшаторики 1 обчисленням ймов1рностей за класич-ною моделлю Лапласа.
Нав1ть у лщеях 1 класах з поглибле-ним вивченням математики навчання теорл ймов1рностей традицшним шляхом дае в основному негативний результат. Нав1ть для учтв даних клас1в матер1ал здавався складним, формаль-ним, погано засвоювався.
Змальована ситуащя схожа на про-блеми вивчення геометрл в школ1, де на сьогодт, загальновизнаним е необхщ-тсть перюду „наочно! геометр1!" 1 по-передньо! роботи з учнями стосовно формуванню просторових уявлень ще до систематичного вивчення курс1в платметрл 1 стереометрл.
Для того щоб ус1 теоретико-1мов1рш-сн1 висновки 1 конструкцл були ясними 1 зрозумшими учням, необидно система-тизувати стихшно виникаюч1 штутшвт уявлення. Це вимагае, як говорить А.Плоцю, «умшого введення учня в про-цес вивчення теорп, розгорнуто! пропедевтики теоретичного матер1алу» [4, с.17].
Реальт випадков1 подл широко представлен в навколишньому свт. Пь знання дитиною навколишнього св1ту починаеться вщ сприйняття одиничних предмепв 1 явищ до утворення конкрет-них уявлень 1 вщ узагальнення остантх до формування понять. Тому, початком формування стохастичних уявлень треба вважати сприйняття дпъми конкретних, випадкових явищ, знайомство з конкрет-ними статистичними сукупностями: „Я
дос1 пам'ятаю, як одного разу, коли я був ще дитиною, мш батько прив1в мене на край мюта, де на берез1 стояли верби, 1 вел1в мет з1рвати навмання сотню лис-точюв верби. Шсля вщбору листя з пош-кодженими кшчиками у нас залишилося 89 цщих листочюв, коли ми повернулися додому, ми розташували !х у ряд у порядку зростання, як шеренгу солдат. Поим мш батько кр1зь кшчики листюв про-в1в криву 1 сказав: „Це 1 е крива Кетле. Подивись на не!, ти бачиш, що посеред-ност1 завжди складають бшьшгсть 1 лише дехто пщтмаеться вище або так 1 зали-шаеться внизу" " [1, с.84].
Сьогодт ми знаемо цього хлопчика як чудового математика Б.Л. Ван дер Вардена. Його курс математично! статистики наповнений реальними живими прикладами з ф1зики, х1мл, астрономл, геодезл 1 метеорологл, бюлогл 1 психо-логл, медицини 1 гтени, статистики на-селення, економ1чно! статистики, технь чних додатюв.
Розр1зняють так три етапи формування стохастичних уявлень школяр1в:
1)знайомство з найпроспшими сто-хастичними ситуащями;
2)нагромадження систематизованих уявлень про явища стохастично! при-роди;
3)створення науково-теоретично! основи стохастичних уявлень.
Перш1 два етапи пов'язат з форму-ванням початкових стохастичних уявлень, третш - з вивченням елеменпв стохастики.
Якщо учень тшьки спостер1гае за випадковим явищем, а не бере участ1 у процес його зародження, то це явище може виявитись для нього чужим, далеким 1 недостатньо зрозумшим. Треба, щоб учень був поставлений в1ч-на-в1ч з самим явищем, а для цього вш повинен виконувати певт предметт дл, що при-зводять до появи випадкових явищ. Ви-ходячи з цього, необхщно включити в процес формування початкових стохас-тичних уявлень предметт дл учтв з рь зними об'ектами. Щоб розв'язати цю
проблему, звернемося до юторп заро-дження теорп ймов1рностей.
Багато задач практики, що служили основою для зародження теорп ймов1р-ностей, як науки, були занадто склад-ними, щоб помгшти в них закони випад-кового, тод1 як в азартних крах випадок виступае досить штко 1 не затушовува-лися занадто великим числом фактор1в, що !х ускладнюють. Кр1м того, азартт при дозволяють спостер1гати випадков1 явища велике число раз, тобто задоволь-няють основнш вимоз1, при дотриманш яко! можливий прояв закотв випадкових явищ, а саме - !х масовосп.
Ця своерщна роль азартних 1гор у виникнент теорГ! ймов1рностей як науки вщбилася й у 11 вивчент. Дотепер, при вивчент початюв теорГ! ймов1рнос-тей, у методичних цщях, часто зверта-ються до приклад1в, пов'язаних з тдки-данням монети, грального кубика, гра-льними картами, урнами, рулетками 1 т.п., за допомогою яких легко прошюст-рувати поняття випадково! подп та !! ймов1рност1 1 способи тдрахунку ймо-в1рностей р1зних подш.
Однак застосування азартних шор може мати негативний вплив на мора-льне виховання школяр1в. Саме така гра характеризуеться прагненням будь-що виграти, а при невдач1 ввдгратися. Чи треба дивуватися, що в гравщв у вс1 часи виявлялися тшьов1 гран1 характеру. 1сто-р1я азартних 1гор багата спокусами, тд-робками 1 злочинами, що знайшло вщпо-в1дне в1дображення в л1тератур1 1 мисте-цтв1. Причиною такого явища служить матер1альний стимул, що закладений в основу правил азартних 1гор. Може зда-ватися, що коли виключити матер1аль-ний зиск й установити шш1 стимули, то азартт 1гри, зв1льнившись вщ свого пороку, можуть бути використаш в школ1. Однак цього неможливо зробити, тому що правила азартних 1гор таю, що рано або тзно гра призводить до необхщноси встановлення якого-небудь матер1аль-ного стимулу, без якого вона стае без-глуздою. Тому не може бути 1 мови про
використання азартних irop у школ!
У практищ навчання елеменпв стохастики визначет таю оргатзацшт за-соби розвитку первюних стохастичних уявлень учнiв:
■ стохастичт iгpи;
■ стoхастичнi експерименти (екс-перименти з випадковими витоками);
■ стохастичт дослщження; уявнi стoхастичнi експерименти; iмiтацiя (мо-делювання).
Завдяки даним opганiзацiйним засобам процес навчання шкoляpiв стохастики зближуеться з дoслiдницьким процесом.
„Bti нашi задуми, всi пошуки i побу-дови перетворюються у тлш, якщо не-мае в учтв бажання навчатися", писав В. А. Сухомлинський [6]. Тому вчитель повинен викликати в учтв таке бажання, а це означае, що вш повинен сформувати у них вщповщну мотива-щю. Одним з шляхiв досягнення основ-но'1 мети навчання елеменпв стохастики е активiзацiя процесу навчання.
Цiлi навчання досягаються з викори-станням piзних форм, тобто спoсoбiв ор-ганiзацГi навчання. Сучасна дидактика визначае таю форми навчання: урок, се-мшар, диспут, дидактична гра, практикум, екскур^я, домашт завдання, залiк, колоквГум, лабораторт роботи, форуми, роботи в меpежi Internet, виконання про-ектних розробок, дистанцшне навчання.
У лiцеях i класах з поглибленим ви-вченням математики застосовуються уроки рГзних типГв, у тому числГ i нестан-даpтнi: iнтегpoванi, мiжпpедметнi, бiна-рнГ, Гз рГзновГковим складом учтв. Цжа-вими елементами цих урокГв можуть бути стохастичнГ Ггри, стохастичнГ експерименти, статистичнГ дослщження. Це дасть змогу розбудити природт задатки, роз-винути здГбностГ дитини, пГдняти рГвень творчостГ, сприяти розвитковГ особисто-стГ, виростити Гнтелектуального учня, плекати талановиту особистГсть. Напри-клад, спрямувати дГяльнГсть учнГв до «вь дкриття» поняття ймовГрностГ та матема-тичного сподГвання можна, органГзувати наступний стохастичний експеримент у
формi гри. Учш класу розподiляються за парами i кожна пара проводить дослiди з п1дкиданням металево! канцелярсько! кнопки. Якщо кнопка впаде гострим кш-цем донизу, то один з гравщв записуе со-бi 2 очка, а другий 1 очко. Якщо кнопка впаде гострим кшцем догори, то, на-впаки, перший записуе 1 очко, а другий 2 очка. Порiвнюючи суми очок, вони ви-значають переможця. Все це проводиться в рамках позакласно! дiяльностi.
На уроцi розглядають таблицi частот, якi склала кожна з пар гравщв. Учням необхщно запропонувати уявити, що число випробувань при проведенш цього експерименту достатньо велике, напри-клад 100000. Такий експеримент прово-дити досить важко, однак ми можемо уя-вити, як значення частот при цьому найбшьш можливо очжувати. Цьому до-помагае i огляд таблицi об'еднаних ре-зультатiв випробувань всiх учшв класу.
С тдстави вважати, що при досить великш кiлькостi випробувань частота появи кнопки гострим кшцем донизу буде наближатись до деякого числа Р (наприклад Р ~ 0.4, якщо вщповщт ча-стоти дорiвнюють 0.391; 0.412; 0.398; 0.397; 0.401 i т.д.). Вчитель повщомляе, що теоретичне значення частоти яке очiкують називають iмовiрнiстю випа-дання кнопки гострим кшцем донизу.
Аналопчне мiркування проводиться для випадiння кнопки гострим кшцем угору.
Далi перед учнями ставлять питання про середнш виграш. Наприклад, сере-дне арифметичне виграшiв першого i другого гравщв вщповщно до наведе-них таблиць дорiвнюють:
2 • 0.595 +1 • 0.405 = 1.595
1-0.595 + 2 • 0.405 = 1.405
Порiвнюючи середне арифметичне, обчислене за результатами експерименту для кожно! пари, робимо висновок, що практично у вах парах першi гравщ у середньому вигравали бiльше число очок, нiж друп. Складаються двi посль довностi значень середшх арифметич-них. Члени кожно! з цих послiдовностей,
за рщким винятком, будуть близькi один до одного. iMOBipHo, числа першо'1 посль дoвнoстi будуть наближатися до 1.6, а друго'1 - до 1.4. Прогнозуючи результати експеpиментiв з великим числом випробувань, учш самi висувають гiпoтезу про iснування деяких теоретично очжуваних чисел Mj i М2, до яких наближаються се-pеднi аpифметичнi вiдпoвiдних послщо-вностей при збшьшенш числа випробувань. Вщ учителя вони взнають, що при-йнято говорити так: число Mj - це мате-матичне спoдiвання виграшу першого гравця; число М2 - математичне сподь вання виграшу другого гравця.
У класах з поглибленим вивченням математики перевага вщдаеться органь зацй' самoстiйнoï дiяльнoстi учнiв у здо-буттi нових знань, дослщницькому методу вивчення навчального матеpiалу. Результати статистичних дослщжень можна тлумачити як створення учнями oсвiтньoгo продукту, в пpoцесi отри-мання якого задовольняються потреби у самopеалiзацiï i складаються спpиятливi умови для розвитку вщповщних особи-стюних якостей: кoгнiтивних, креатив-них, орвдяльшсних та iн.
При навчаннi елеменив стохастики неoбхiднo прищеплювати критичне став-лення до статистичних висновк1в i уза-гальнень, вмiння правильно тлумачити статистичний матеpiал, самoстiйнo ви-кривати piзнoгo роду фальсифiкацiï, рете-льно замасковаш пiд личиною витончено добраних „правдопод1бних" вiдoмoстей. Корисно показати учням конкретш ситу-ацй", в яких тенденцшно дiбpанi статисти-чнi показники можуть служити основою для хибних виснoвкiв про подй", що вщ-буваються у пoлiтичнoму i екoнoмiчнoму життi суспiльства. Розвиток у майбутшх дорослих громадян критичного мислення, вмшня poзумiти скритий смисл того або шшого пoвiдoмлення, протистояти манi-пулюванню свiдoмoстi iндивiда з боку за-сoбiв масового iнфopмування.
Розглянемо такий приклад. Господар одного приватного тдприемства звшь-нив бiльшу частину робиниюв, а тим
що залишилися, знизив заробГтну плату (табл. 1). Шсля чого вш заявив, що се-
реднш заробГток працГвникГв на його т-дприемствГ пГдвищився. Чи так це?
Таблиця 1
Змша заробггно'! плати
Зарплата до звшьнення Зарплата тсля звшьнення
1000 грн. 400 грн. 800 грн. 320 грн.
Кшьюсть робГтни-кГв 200 800 200 120
Обчислення середтх характеристик пГдтверджують, що середнГ характеристики дшсно збГльшилися. До звшьнен-ня:
- 1000•200+400•800
х = ■
1000
= 520(г/да),
мода дорГвнюе 400 грн., медГана до-
рГвнюе 400 грн.
Шсля звшьнення:
- 800 • 200 + 320 • 120 ч -= 620(г/да),
х=
320
мода дор1внюе 800 грн., мед1ана до-р1внюе 800 грн.
Однак з таблиц видно, що життя ро-б1тниюв не стало кращим, а навпаки, не говорячи про тих, хто втратив роботу. Оманлива думка про тдвищення зарплата складаеться через звшьнення зна-чно! частини роб1тниюв з низькою зарплатою. Висновки з розв'язання задач1 суперечать здоровому глузду.
Насл1дком неправильних або супереч-ливих висновюв може бути 1 неадекватный виб1р критерпв, за якими штерпре-туються статистичш дат. У зв'язку з цим доречно нагадати наступне оповщання.
Кожна з двох ф1рм, що спещал1зу-ються з виготовлення взуття вщправили до деяко! африкансько! кра!ни свого агента для з'ясування ситуацп стосовно реал1зацп свое! продукцп. Агент першо! ф1рми телеграфував: «Чудовий ринок з реал1зацГ! взуття - тут 90% населення ходять босотж». Агент друго! ф1рми спов1стив : «Ринок взуття тут вщсутнш - 90% населення не носять черевиюв». 1мов1ртсно-статистична л1н1я забезпе-чуе умови створення учнями шдивщуа-льно-творчих продукпв д1яльност1, що сприяе розвитку креативних якостей
людини. Евристичний характер стохастичних умовиводГв вимагае так органь зувати математичну дГяльнГсть учтв, щоб вивчення понять i методГв дове-дення тверджень i розв'язування задач вщбувалося у формГ вГдкритив нових специфГчних ГнструментГв пГзнання ото-чуючого свГту. Особливу роль ввдграе тут аналГз ГмовГрнГсних парадоксГв i не-сподГванок, що створюе сприятливий грунт для евристично'1 дГяльностГ.
Все вище сказане дозволяе видГлити таю методичт вимоги до навчання еле-ментГв стохастики в лГцеях i класах з поглибленим вивченням математики:
1) чГтке визначення цшей i завдань навчання ново'1 змГстово'1 лГнй' у зазна-чених класах;
2) змют повинен забезпечувати ная-втсть системи теоретичних ГмовГр-нГсно-статистичних знань, вщображати сучасний стан розвитку науки i техтки;
3) забезпечення формування мщних навичок i вмГнь при розв'язувант сто-хастичних задач;
4) спрямування на встановлення ri-сного зв'язку ГмовГрнГсних моделей з предметним свГтом, оргатзащю побу-дови i тлумачення моделей як провщних форм дГяльностГ учтв;
5) навчання повинно бути нацше-ним на використання творчих можливо-стей школярГв як послГдовностГ самос-тГйних „вГдкриттГв", тобто повинно мати евристичний характер;
6) у навчант повиннГ встановлюва-тися i реалГзовуватися мГжпредметнГ зв'язки у якостГ взаемодй' мГж шюль-ними дисциплГнами, особливо профГль-ними (за профшем лГцею, класу);
7) навчання повинно здшснюва-
тись на основi профшьно! i рiвневоl ди-ференщацп;
8) поряд з традицiйними засобами навчання мають набути широкого вико-ристання засоби iнформацiйно - комунь кацiйних технологiй.
1. Ван дер Варден БЛ. Математическая статистика: Пер. с нем.. - М: НП, 1960. -434с.
2. Гнеденко БЛ. Статистическое мышление и школьный курс математики. // Новое в школьной математике. - М.: Знание, 1972. - С.165-181.
3. .
труды. Психология интеллекта. Генезис
числа у ребенка. Логика и психология: Пер. с франц. - М.: Просвещение, 1969. - 659с.
4. Плоцки А. Стохастика в школе как математика в стадии созидания и как новый элемент математического и общего образования: Дис. д-ра пед. наук в форме науч. докл.: 13.00.02. - С.-Петербург, 1992. -52с.
5. . . -рии вероятностей и математической статистики в школах Японии. - К. : Ин-т математики АН УССР, 1974. - 23с.
6. . . воспитании / Сост. ММ. Мухин. - К. : Рад. школа, 1983. - 206с.
7. Fischbein E. The intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children. - Dordrecht: Reidel, 1975. - 145p.
Резюме. Трунова Е.В. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОБУЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТАМ СТОХАСТИКИ В ЛИЦЕЯХ И КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ. В статье рассмотрена совокупность психолого-педагогических предпосылок и методических требований к обучению элементам стохастики в лицеях и классах с углубленным изучением математики.
Summary. Trunova O. THE PSYCHOLOGICAL-PEDAGOGICAL BASIS AND METHODOLOGICAL DEMANDS TO THE STUDYING OF THE STOCHASTIC ELEMENTS IN THE LYSEUMS AND CLASSES WITH MATH PROFOUND LEARNING. The psychological-pedagogical basis and methodological demands to the studying of the stochastic elements in the lyceums and classes with math profound learning are considered in the article.
Надшшла до редакцй 7.10.2008р.
<2Ö5)
