Прямые и обратные задачи анализа таблично заданной информации в преподавании математики в системе среднего профессионального образования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 372.851

Турбина Ирина Владимировна

Гуманитарный институт имени П.А. Столыпина, г. Москва

zin ukova@yandex.ru

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ИНФОРМАЦИИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

В статье рассматривается вопрос об использовании прямых и обратных задач анализа таблично заданной информации экономического и статистического характера в преподавании математики в системе СПО. Применение таких задач позволяет сформировать статистическую компетенцию учащихся, достигнуть прочного усвоения знаний о простейших экономических понятиях, закрепить математические навыки.

Ключевые слова: прямые и обратные задачи, математика, среднее профессиональное образование, таблично заданная информация, статистическая компетенция.

Задачи по математике бывают весьма разнообразными. Если ограничиться учебными задачами, то, пожалуй, в большинстве из них ситуация в самых общих чертах выглядит одинаково. А именно, по числовым данным задачи требуется получить числовой ответ. Для фиксированного сюжета задачи обозначим числовые данные а, Ь, c, d... Ответ в конкретной задаче фиксированного типа зависит от конкретных значений a, Ь, c, d,... Обозначим этот ответ Г(а, Ь, c, d,...). Тогда на схематическом уровне задача может быть сформулирована так: по предложенным числовым данным а, Ь, с, d,... из условия задачи получить ответ Г(а, Ь, с, d,.).

Кратко говоря, ответ есть функция числовых данных. Будем называть такой тип задач прямы-

ми задачами. По каждой прямой задаче можно составить серию связанных с ней обратных задач. «Обратной задачей для данной (прямой) задачи называется задача, в которой одним из требований является какое-то известное условие прямой задачи и это условие заменяется ответом прямой задачи» [4, с. 61]. На структурном уровне формулировка обратной задачи отличается от формулировки прямой задачи некоторой переменной мест. А именно, ответ Е(а,Ь,с^,.) попадает в условие, а найти требуется одно из соответствующих значений переменных (табл. 1).

Наиболее простыми примерами подобной ситуации являются случаи, когда переменные связаны между собой прямой пропорциональностью (табл. 2). Классическими примерами яв-

Таблица1

Структура формулировок прямой и обратной задачи

Прямая задача Обратная задача 1 Обратная задача 2

Даны: a,b,c,d,... Найти: F=F(a,b,c,d,...) Даны: b,c,d,F. Найти: а Даны: а,c,d,F. Найти: Ь

Таблица2

Примеры прямых и обратных задач

Прямые задачи Обратная задача 1 Обратная задача 2

По известным скорости V По известным времени t По известным скорости V

и времени t определить и пройденному расстоянию 5 и пройденному расстоянию 5

пройденное расстояние. определить скорость V. определить время г.

5 = V • г 5 5

V = — г = —

г V

Найти р процентов от числа а. Сколько процентов р Найти число а, если р%

составляет Ь от а. процентов от числа а равно Ь.

, а • р 100 • Ь 100 • Ь

Ь = —— р = а =

100 а р

Таблица к примеру 2

Предприятие Месячный фонд заработной платы, тыс.руб. Средняя заработная плата, руб. Число работников

1 ? ? ?

2 3327,5 ? 275

3 ? 11300 458

Итого 14151,3 - ?

Таблица к примеру 3

Год Число преступлений, тыс., уровень ряда Абсолютный прирост Темп роста (относительный прирост), % Темп прироста

2005 3554,7 - 100% -

2006 300,7

2007 100,78%

2008 -9,7%

2009 2994,8

ляются зависимость между скоростью, расстоянием и временем равномерного движения и простейшие формулы для вычисления процентов.

В методической литературе чаще всего обратные задачи предлагается использовать как один из наиболее надежных способов для проверки решения прямой задачи, наряду с решением задачи другим способом, варьированием (изменением) данных, условия и вопроса. Такая работа над задачей является незаменимым развивающим приемом, постоянное использование которого позволяет достигнуть целостного и прочного усвоения знаний. Так, П.М. Эрдниев вводит понятие циклической полноты, под которой понимает такую организацию упражнения, когда каждый элемент данного выражения (задачи) последовательно выступает в качестве искомого [5, с. 30-35].

В настоящей заметке показано, каким образом можно использовать прямые и обратные задачи в простейших задачах экономического и статистического характера. Наличие такого сорта парных (прямых и обратных) задач оказывается весьма существенным при изучении, закреплении и повторении соответствующего учебного материала учащимися социально-экономических, юридических и других профилей в системе среднего профессионального образования (СПО).

Рассмотрим несколько конкретных примеров и начнем с вычисления простейших экономических величин. Как показывает практика, у учащихся экономических специальностей возникают трудности уже при определении месячного фонда за-

работной платы по известной средней величине заработной платы и количеству сотрудников.

Пример 1. На предприятии работает 458 сотрудников. Средняя заработная плата составляет 11300 р. Определить месячный фонд заработной платы на предприятии.

Решение, очевидно, заключается в однократном использовании операции умножения (458-11300). Однако, как показывает практика преподавания, обратные задачи даже к таком простейшем случае оказываются значительно более сложными для обучающихся. Например, задание «Найти общее количество сотрудников по известному фонду и средней заработной плате» многие учащиеся в системе СПО уже «не понимают», т.е. вопрос «Что делать?» является для них в этом случае уже актуальным.

Рассмотрение различных вариаций прямой задачи помогает [2, с. 297]:

- лучше осознать ситуацию, предлагаемую в задаче;

- установить не только связь между данными искомым, но и их взаимосвязь в динамике;

- учит не относиться к решению задачи формально;

- учит элементам поиска и творчества в процессе решения задачи;

- помогает лучше усвоить и запомнить метод решения задачи.

Прямые и обратные задачи совсем необязательно рассматривать по отдельности. При анализе информации, представленной в табличном

Таблица к примеру 4

Собственный капитал, млн.р. Число предприятий с таким собственным капиталом (частота) Относительная частота

12 - 33,46 х

33,46 - 54,92 8

54,92 - 76,38 х

76,38 - 97,84 х-2

97,84 - 119,3 2

виде, зачастую бывает удобным и целесообразным рассмотрение комплекса прямых и обратных задач в одном текстовом сюжете.

Пример 2. Известно, средняя заработная плата по трем предприятиям равна 11116 р. По приведенным в таблице данным определите общее число работников. Заполните таблицу недостающими данными.

При нахождении неизвестных величин в таблице студенты решают сразу три типа задач. При этом учащиеся усваивают экономические понятия, с разных точек зрения знакомятся с понятием средней величины, учатся анализировать данные, представленные в табличной форме.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3. В таблице приведены базисные (по отношению к 2005 году) показатели динамики. Рассчитайте недостающие показатели.

Классические задачи по данной теме представляют собой упражнения на вычисление абсолютного прироста, темпа роста и темпа прироста по известному начальному ряда и текущему значению уровня ряда. В примере 3 с помощью таблицы организовано решение задач сразу четырех типов. При этом в данном примере уровень ряда то увеличивается (рост), то уменьшается (снижение), что усложняет задание.

Пример 4. Имеются данные о собственном капитале 20 предприятий.

A) Какое количество предприятий имеет собственный капитал от 76,38 до 97,84 млн.р.?

Б) Определите модальный интервал.

B) Рассчитайте относительные частоты для каждой группы.

Г) Какова относительная частота крупных предприятий (собственный капитал больше или равно 76,38 млн.р.)?

Д) Какова относительная частота мелких предприятий (собственный капитал меньше 54,92 млн.р.)?

Е) Как изменилось бы решение задачи и ее ответы на пункты А,Б,В,Г,Д, если бы общее число предприятий равнялось 29?

Пример 5. Заполните таблицу - вычислите неизвестные величины.

В рассмотренных примерах также необходимо вычислить неизвестные величины, «путешествуя» по таблице. Решение задач именно в таких формулировках позволяет лучше усвоить понятия частоты дискретного и интервального вариационного ряда. При этом закрепляются навыки работы с процентами, выполнение заданий подразумевает решение линейных уравнений. Варьирование данных приводит не только к изменению ответов на вопросы, но и к кардинальному

Таблица к примеру 5

Распределение государственных и муниципальных общеобразовательных учреждений по субъектам Российской Федерации (на начало 2009-2010 учебного года)

Субъект РФ Число образов ательных учреждений (частота) Относительная частота Доля, % (относительная частота, %)

Центральный федеральный округ 12003

Северно-западный федеральный округ 0,2355

Южный федеральный округ 15,24%

Приволжский федеральный округ 0,2528

Уральский федеральный округ 7,22%

Сибирский федеральный округ

Дальневосточный федеральный округ 2557 5,016%

Всего

Таблица к примеру 6

Задача 1 (прямая) Задача 2 (обратная) Задача 3 (обратная)

Даны: х1, х2, х3, х4 Найти: х Даны: х1, х2, х3, х Найти: х4 Даны: х1, х2, х Найти: х3, х4, если известно, что х3 = х4

Задача 4 (обратная) Задача 5 (обратная) Задача 6 (обратная)

Даны: х3, х4, х Найти: х1, х2, если известно, что х1 = х2-1 Даны: х4, х Найти: х1, х2, х3, если известно, что х1=х2 и х3= х1 ■ х2 Даны: х1, х Найти: х1, х2, х3, если известно, что 3 2 х2=хз-3 и х 4 = х3

изменению статистического распределения, что, в свою очередь, обязывает учащихся формулировать новые выводы. Кроме того, студенты знакомятся с реальными статистическими данными, а процесс решения задачи становится более интересным, творческим.

В заключение отметим, что совокупность прямых и обратных задач в одном и том же сюжете также может быть успешно использовано в менее конкретных ситуациях, когда мы имеем дело не с реальными данными, а с некоторой их моделью.

Ограничимся статистическим материалом. Как показывает практика, развитие статистических навыков в условиях среднего профессионального образования затруднено из-за ограничения аудиторного времени, перегруженности учебной программы, слабой математической подготовки учащихся. Поэтому перед педагогами стоит непростая задача в достаточно короткие сроки сформировать статистическую компетенцию учащихся, в частности, добиться прочного и целостного усвоения знаний относительно основных статистических понятий. Для этого также полезно использовать набор упражнений, включающий задачи на вычисление статистических величин, а также обратные задачи.

Пример 6. Найти среднее арифметическое чисел 3, 5, 7, 9.

Введем следующее обозначения: исходные числа - х1, х2, х3, х, среднее арифметическое этих

чисел - х. Тогда набор задач, включающий прямую и обратные задачи, можно структурно выразить в виде следующей таблицы, причем список обратных задач в данной таблице, разумеется, можно продолжить.

Выполняя данный набор упражнений, учащиеся усваивают понятие среднего арифметического, а также закрепляют математические навыки: решение линейных (задачи 2, 3, 4) и квадрат-

ных (задачи 5, 6) уравнений.

Примеры 7, 8 являются вариацией задач, представленных в задачнике по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов профильной школы под редакцией А.Г. Мордкови-ча [1, с. 269].

Пример 7. Требуется восстановить сводную таблицу распределения данных некоторого измерения по следующей информации:

Варианта №1 №2 №3 №4 Всего: 4 варианты

Кратность k 2k Сумма = 100

Частота Сумма =

Частота, % 3k k2-! lk-45 Сумма = %

а) С какого столбца следует начать восстановление данных?

б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбранные в пункте а)?

в) Решите это уравнение и найдите значение k.

г) Заполните всю таблицу.

Пример 8. Дана сводная таблица распределения результатов некоторого измерения:

Варианта №1 №2 №3 №4 Всего: 4 варианты

Кратность x У x+y Сумма = 50

Частота Сумма =

Частота, % 4x-34 y2-y-18 Сумма = %

а) найдите х;

б) найдите у;

в) восстановите всю таблицу;

г) найдите моду этого распределения.

Библиографический список

1. Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Задачник / под ред. А.Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2009. - 269 с.

2. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. - М.: ВЛАДОС, 2005. - 455 с.

3. Практикум по теории статистики: Учебное пособие / под ред. Р. А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 416 с.

4. Фридман Л.М. Как научиться решать зада-

чи. - М.: Просвещение, 2005. - 255 с.

5. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. -М.: Просвещение, 1986. - 255 с.

УДК 378

Макоева Наира Теймуразовна

Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, г. Владикавказ

naira-m@yandex.ru

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ПРОЦЕССУ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ В ВУЗЕ

В работе рассматриваются вопросы моделирования процесса обучения математике в ВУЗе.

Ключевые слова: обучение математике, индивидуальный подход, формирование личностных характеристик специалиста.

Модернизация российского образования тесно связана с протекающими . в российской экономике процессами, такими как, подготовка к вступлению России в ВТО, реализация программы модернизации экономики и перевод ее на инновационный путь развития, должна обеспечить преодоление противоречий между несоответствием результатов обучения запросам рынка труда. В этих условиях принципиально важно появление нового поколения профессионалов, способных реализовать устойчивое и динамичное развитие экономики и прорывное развитие различных областей техники и технологии на основе наукоемких технологий.

Внедрение «компетентностного подхода», как метода моделирования, проектирования результатов обучения и определения содержания образования, определяет переход от традиционного способа проектирования образовательных программ (ОП), направленного на формирование у студента набора компетенций, значимых для его будущей деятельности в профессиональной области.

Такой подход является актуальным, так как в последнее время во всем мире существует тенденция перемещения работников из промышленной сферы в сферу обслуживания. Естественно, возникает необходимость переучиваться, осваивая новые профессии, что чревато затратами времени и средств. Значит, люди должны быть заранее к этому подготовлены, то есть обладать таким общенаучным образованием, которое позволило бы им быстрее переквалифицироваться с минимальными для себя и для общества потерями. Математические же знания и навыки необходи-

мы практически во всех сферах человеческой деятельности. Их использование предполагает, во-первых, обработку данных математическими методами, во-вторых - математическое моделирование, в-третьих - слияние конкретной науки с математикой [1].

В настоящее время бурный рост количества вузов и их филиалов нивелировал эту универсальность математической науки, превратив ее для большей части вузов в прикладную дисциплину. Не секрет, что «борьба» вузов за студента ведет к тому, что студентами, например, экономических вузов становятся люди далекие от математики. А обучение экономическим специальностям предполагает изучение широкого спектра математических дисциплин. И от того, каким образом мы поможем студенту понять связь между «чистой» математикой и ее экономическими приложениями, повысив его мотивацию при изучении этой дисциплины, зависит качественное усвоение им материала, а также развитие профессионального «экономического» мышления будущих специалистов.

В связи с этим назрела необходимость отойти от традиционных методов преподавания в вузе, которые предполагают авторитарное внедрение математики. Необходим новый личностный подход, направленный на развитие человека с позиций природосообразности, основанных на абсолютном уважении к интересам, склонностям и способностям человека.

Возможность такого позитивного развития предлагает нам новое педагогическое направление - этнодидактика, дающая нам основной концептуальный принцип - принцип этнической