CC BY
26
Прямые арифметические операции
Б. К. Расплетин
Аннотация
Известно, что операция умножения является сверткой сложения.
Число а, повторенное слагаемым П раз есть а, умноженное на П, то
есть а^П . Аналогично операция возведения в степень есть свертка умножения. Если записать результаты сложения двух чисел, умножения двух чисел и возведения в степень в виде матрицы, как одно время записывали таблицу умножения на последней странице школьной тетради, то можно выявить связи между этими матрицами. На основе найденных связей в работе построена операция, следующая за возведением в степень, т.е. свертка возведения в степень. Построена также операция предсложения, предшествующая сложению.
Допустим, что из жизненного опыта мы знакомы с простейшим счетом, числами натурального ряда - мы умеем их складывать и перемножать. Кроме того помним, что умножение из сложения образуется путем свертки
Все результаты попарного сложения чисел натурального ряда могут быть представлены в виде матрицы:
а+а+а+.....+а = а • п
П раз
где а и П любые числа из натурального ряда 1,2,3,4,5...
ь
5 4 3 2 1
6 7 8 9
10
5 6 7 8 9
4 5 6 7 8
3 4 5 6 7
2 3 4 5 6
а
1 2 3 4 5
В этой матрице по горизонтали отложены возможные численные значения первого слагаемого а, по вертикали отложены возможные численные значения второго слагаемого Ь, а на их пересечении - соответствующие результаты сложения С. Например, С=а + Ь равно 7, если а=3, Ь=4 или же если а=4, Ь=3.
Таким образом, матрица сложения является симметричной относительно диагональных сумм 2,4,6,8,10 и т.д., которые представляют собой ряд арифметической прогрессии с начальным членом а=2, и периодом прогрессии (разностью) 2.
Аналогично может быть построена матрица попарного произведения чисел натурального ряда:
г
5
4
3
2
1
5 10 15 20 25
4 8 12 16 20
3 6 9 12 15
8 10
1
5
I.
_.Р
1 2 3 4 5
В этой матрице по горизонтали отложены возможные численные значения первого сомножителя (множимого Р), по вертикали - возможные численные значения второго сомножителя (множителя Г ), а на их пересечении - соответствующие результаты перемножения - произведения Матрица произведений является компактной записью таблицы умножения.
Эта матрица также симметрична относительно диагональных членов, т.е. р • Г=Г • р . Например 5 = р • Г равно 6, если
Р=2, Г=3 или же еслир=2, Г=3. Рост диагональных членов в матрице в матрице произведений интенсивнее, чем в матрице сумм
(третий член диагонали матрицы 5 больше четвертого члена диагонали
матрицы С. Вторая строка матрицы умножения (подчеркнута пунктиром) совпадает с диагональю матрицы сложения.
Над операцией перемножения может быть произведена свертка
р%р%р%.........• р =р ' т
1-1—1
т раз
/ т\
(или р )
совершенно аналогично тому, как была произведена свертка над операцией сложения (1). Свертку операции умножения принято называть возведением в степень.
Заполним матрицу возведения в степень. Для этого по горизонтали
отложим возможные значения t (основание степени), по вертикали -
возможные численные значения § (показателя степени), а на их пересечении соответствующие результаты. Возведения в степень
Н =1 ' £
ё
5 4 3 2 1
1 32 243 1024 3125
1 16 81 256 625
1 8 27 64 125
1 4 9 16 25
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
г
Матрица возведения в степень не является симметричной. По диагонали ее элементы растут столь быстро, что уже третий диагональный элемент возведения в степень больше пятого диагонального элемента матрицы умножения.
В соответствии с определением свертки вторая строка снизу матрицы возведения в степень является диагональю матрицы умножения; аналогично тому, как вторая строка матрицы умножения является диагональю матрицы сложения. По определению же свертки /-тый элемент столбцау-той строки рассчитывается как= I ъу, где через ъ обо-
значена операция над I и ] по законам сложения, умножения или возведения в степень.
Например, при / =2, ]=3 /] = / Ъ ] может принимать значения 5 (при сложении), 6 (при умножении), 8 (при возведении в степень). Конкретно для элементов матриц из этого вытекает, что каждый
последующий элемент /-того столбца может быть получен на основе предыдущего по закону
/1]+1 = /а (Ъ - 1) / (3)
где условно через (ъ — 1) обозначена операция по свертыванию, предыдущая
рассматриваемой в данной матрице. Например, если / =3, ]=4, то /] = 81 при Ъ - возведении в степень, тогда
/у+1 = /зз = /34*3 = 81*3=243
Заметим еще, что у матриц всех операций, начиная с умножения, первая строка представлена рядом натуральных чисел. Это связано с тем, что элементы первой строки представляют результаты единичной свертки по любому из оснований. Например,
р*р*р9.....• р =р ' т=р
1-1-3
т раз
при т=1 и р=1,2,3,4,....
Запишем по определению свертки операцию, которая является сверткой операции возведения в степень:
р'р'р'.....'р =р \ т
т раз
На основании вычлененных выше свойств матриц прямых операций построим матрицу операции возведения в ранг. Во-первых, первая строка этой матрицы должна быть представлена рядом натуральных чисел. Во-вторых, вторая строка ее является диагональю операции возведения в степень. В-третьих /-тый элемент 3-ей строки получается из
1-тото элемента второй строки в результате возведения 1-того элемента второй строки в степень 1. Получим матрицу:
т
5
65536 ару
4
256 5 е £
3
16 19683 £ п £=4'294'967'296
2
4
27 256 3125
1
2
3 4 5
Р
2
3 4 5
Эта матрица несимметрична относительно диагонали, элементы которой возрастают значительно быстрей элементов диагонали матрицы возведения в степень. При привычных обозначения степени получаем
2^ 1=2, 2|2=22=4, 2|3=(22) 2=16 , 2|4=((22) 2) 2=256, 2|5=(((22) 2) 2) 2=65536
Правило, использованное нами при построении матрицы возведения в ранг (так мы в последующем будем называть свертку операции возведения в степень) может быть применено еще неограниченное число раз, порождая следующие уровни свертывания. Построение все более и более мощных арифметических операций сколь угодно высокого уровня с помощью механизма сверток ничем не ограничено.
для Р=2 столбец:
Таким образом, сверткой сложения является умножение, сверткой умножения - возведение в степень, сверткой возведения в степень -возведение в ранг и т.д.
Вернемся к сложению, которое мы взяли за исходный пункт отправления. На наш взгляд этот «пункт» является не исходным, а промежуточным в исследовании свертывания арифметических операций вообще. В связи с этим известный интерес вызывает арифметическая операция, предшествующая сложению, и из которой сложение выводится путем ее свертывания.
Для того, чтобы построить ее матрицу необходимо вспомнить, что:
1. Диагональ матрицы этой операции является в соответствии с определением свертывания второй строкой матрицы сложения;
2. Каждый следующий элемент 1-ого столбца матрицы сложения выводится из предыдущего путем сопряжения последнего с числом I посредством операции, предшествующей сложению в общем ряду сверток.
Таким образом из элементов матрицы сложения получаем таблицу предсложения:
2-1= 3 3-2= 4 4-3= 5 5-4= 6 6-5= 7
3-1= 4 4-2= 5 5-3= 6 6-4= 7 7-5= 8
4-1= 5 5-2= 6 6-3= 7 7-4= 8 8-5= 9
5-1= 6 6-2= 7 7-3= 8 8-4= 9 9-5= 10
и т.д. Из этой таблицы следует, что предсложение большего с меньшим дает в результате на единицу больше большего, т.е.
п—т = п+1 при п > m п—т = т+1 при п < т
и
При П = т по правилам свертки
п—п = п+2
Строка предсложения для четверки:
4—1= 5, 4—2= 5, 4—3= 5, 4—4= 6, 4-5= 6, 4-6= 7, 4-7= 8, 4-8= 9 и т.д.
В более компактном виде полученные результаты могут быть сведены в матрицу предсложения, по горизонтали которой отложены значения П , по вертикали - значения т, а на их пересечении результаты предсложения К=П^Ш -знак предсложения):
т
6
5
4
2
7 7 7 7 7 8
6 6 6 6 7 7
5 5 5 6 6 7
4 4 5 5 6 7
3 4 4 5 6 7
3 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
п
3
1
Аналогичная матрица, видимо, может быть построена на основе представленного метода и для любой другой арифметической операции, предшествующей в плане свертки рассмотренному предсложению.
Из всего вышесказанного можно сделать вывод о том, что все прямые арифметические операции образуют операциональный ряд с единицей перехода (аналога сложения, только не для чисел, а для операций с операциональной единицей), называемой нами сверткой. Сложение не является первой операцией в этом ряду. По крайней мере, ему предшествует еще одна полноценная операция, названная автором предсложе-нием. По мнению автора, предсложению предшествует еще операция и не одна.
