CC BY
17
ТЕРМОГИДРОДИНАМИКА ОКЕАНА
УДК 551.465
Проявление ^-эффекта в двухслойной модели Черного моря
© 2016 А.А. Павлушин, Н.Б. Шапиро, Э.Н. Михайлова
Морской гидрофизический институт РАН, Севастополь, Россия E-mail: [email protected]
Поступила 06.06.2016 г.
Работа является продолжением серии численных экспериментов по моделированию формирования ветровых течений и вихрей в Черном море в рамках двухслойной вихреразрешающей модели. Основное внимание в ней уделяется исследованию роли ^-эффекта. В качестве внешнего воздействия используется стационарный циклонический ветер, рельеф дна не учитывается. Показано, что при учете ^-эффекта как в процессе формирования течений, так и в статистически-равновесном режиме при образовании вихрей наблюдаются распространяющиеся с востока на запад волны Россби. Наиболее четко проявляются волны с параметрами первой баро-тропной моды волны Россби для замкнутого бассейна. Взаимодействие волн Россби с крупномасштабной циркуляцией приводит к интенсификации гидродинамической неустойчивости течений и образованию мезомасштабных вихрей. Усиление вихреобразования приводит также к существенному уменьшению кинетической и доступной потенциальной энергии по сравнению с величинами, получающимися при постоянном параметре Кориолиса.
Ключевые слова: Черное море, вихреразрешающая модель, численный эксперимент, ^-эффект, волны Россби.
Введение. С целью исследования влияния различных факторов (внешних и внутренних) на формирование и эволюцию гидрофизических полей в Черном море, проведена серия целенаправленных численных экспериментов с использованием вихреразрешающей двухслойной изопикнической модели [1, 2]. Модель основана на системе примитивных уравнений в приближении Бусси-неска, гидростатики и yS-плоскости. Рассматривается море, состоящее из двух слоев с плотностью р1 = const в верхнем слое и р2 = const — в нижнем, р2 > р1 . Слои между собой не смешиваются, но в модели может учитываться трение между слоями. На поверхности моря задается тангенциальное напряжение ветра т, сток энергии осуществляется за счет придонного трения и горизонтальной турбулентной вязкости.
Уравнения движения и неразрывности, проинтегрированные по вертикали в пределах каждого слоя, имеют вид
(U) + (ui^i )x + (V1U1 )y - fVi = ghiZx +Tx - RX + A, V(hiVui),
(V) +(uiVi )x +(viVi )y + fUi = (1)
= ghiCy +Ty - Rya + A,iV(hiVvi),
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
3
(и2) +(п2и21 +(у2и2 )у - V = + я \ (Н11 + К - Щ + А, У(к2Уп2),
(V ) +("2*2 )х + (^2*2 )у + и 2 =
= + я \ (h1 )у + ку - Щу + А1 ), (1)
(А ) + (и )х + (*1 )у = 0,
(h2 ) +(и 2 )х +(*2 )у = 0,
где индексы 1 и 2 указывают на верхний и нижний слои соответственно; нижние индексы х, у, ^ означают дифференцирование; ui,- горизонтальные компоненты скорости течений в ^м слое; А2 толщины слоев; и = "А,
*1 = - компоненты потоков; ^ = га ("1 - "2 ) , = га (^ - У2) - компоненты силы трения между слоями; Щ = , Щ, = Гъу2 - компоненты силы придонного трения; га, гь - постоянные коэффициенты; / = /0 + /Зу - параметр Кориолиса, /0 = 10-4 1/с, в = 2 • 10-13 1/(смх); я = 980 гсм/с2 - ускорение свободного падения; я' = я (р2 - р1)/ р2; тх, Т - компоненты тангенциального напряжения ветра; А, - коэффициент горизонтальной турбулентной вязкости.
Для замыкания уравнений используется интегральное уравнение неразрывности в приближении «твердой крышки», которое позволяет ввести функцию тока у для полных потоков:
и + и2 =-¥у , *1 +*2 =^х .
На боковых границах бассейна задаются условия прилипания. Сток рек в море и водообмен через проливы не учитываются. В начальный момент времени вода находится в состоянии покоя, поверхность раздела слоев и поверхность моря горизонтальны.
В конечно-разностном представлении модели используется двухслойная по времени численная схема, основанная на бокс-методе с сеткой В (по терминологии Аракавы), неявной аппроксимации силы Кориолиса и сил трения на поверхности раздела и дне. Адвективные члены в уравнениях неразрывности аппроксимируются схемой первого порядка точности (направленными разностями), а в уравнениях движения - схемой второго порядка точности (Лакса - Вендроффа).
Первый этап работ был посвящен исследованию механизмов формирования ветровой циркуляции, поскольку именно ветер является основным фактором, определяющим сезонную и межгодовую изменчивость Черного моря. Учитывая характеристики и специфику используемой модели, можно определить важные факторы, влияющие на динамику течений: пространственно-временную изменчивость ветра, горизонтальную турбулентную вязкость, силу придонного трения, силу трения между слоями, форму бассейна, особенности береговой линии, ^-эффект, рельеф дна.
В [1] приведены и проанализированы результаты экспериментов с различными коэффициентами горизонтальной турбулентной вязкости А, и придонного трения гь при постоянном параметре Кориолиса/0 = 10- 1/с, который соответствует широте Черного моря. Показано, что удовлетворительные результаты в модели получаются при использовании коэффициентов
4
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
Ai ~ 105 см2/с и rb в диапазоне 0,01 - 0,1 см/с. При этих параметрах в бассейне наряду с устойчивыми квазистационарными циклоническими круговоротами спорадически возникают мезомасштабные антициклонические вихри, связанные с гидродинамической неустойчивостью течений.
Работа [2] посвящена изучению влияния формы бассейна на циркуляцию, в ней анализировались результаты расчетов полей течений в бассейнах с различной конфигурацией в отсутствие ^-эффекта. В вытянутых бассейнах, при условии достаточно малого придонного трения, крупномасштабная циркуляция разбивается на отдельные циклонические вихри даже без наличия выступающих элементов береговой черты. Количество таких вихрей зависит от отношения длины бассейна к его ширине.
В работах [1, 2] также показано, что при стационарном ветре T(t ) = const приток энергии в море регулируется автоколебательным процессом [3], связанным с изменением работы тангенциального напряжения ветра WT = \т\- \и1\ ■ cos(«). Это происходит вследствие трансформации поля поверхностных течений u1 мезомасштабными вихрями, порождаемыми гидродинамической (баротропной и/или бароклинной) неустойчивостью крупномасштабной циркуляции. Период автоколебаний при отсутствии ^-эффекта в основном определяется временем жизни этих мезомасштабных вихревых образований.
В данной работе исследуется влияние ^-эффекта на формирование ветровой циркуляции в Черном море. Согласно теории [4 - 6] изменение параметра Кориолиса с широтой приводит к возникновению планетарных волн Россби, которые могут иметь очень широкий спектр своих проявлений в зависимости от различных условий. Специфика Черного моря состоит в том, что это почти замкнутый бассейн, размеры которого меньше баротропного (внешнего) радиуса деформации Россби, но больше, чем бароклинный (внутренний) радиус деформации.
Имеется ряд работ, которые прямо или косвенно относятся к моделированию или описанию процессов в Черном море, связанных с проявлением планетарных волн [7 - 14]. Прежде всего, отметим работы Э.В. Станева, Н.Х. Рачева [7, 8], в которых анализируются результаты численного моделирования ветровой циркуляции в Черном море с помощью уровенной вихреразрешающей модели Брайана - Кокса. Движение в море так же, как и в нашем случае, возбуждалось стационарным ветром. В результате проведенных расчетов в Черном море были получены долгопериодные колебания, которые авторы характеризовали как баротропные волны Россби, образующиеся в замкнутом бассейне, размеры которого меньше внешнего радиуса деформации. По мнению авторов работы [8], волны Россби являются доминирующей формой волновых движений в Черном море и изменчивость циркуляции, связанная с планетарными режимами, может быть сравнима в некоторых случаях с изменчивостью, вызванной бароклинной неустойчивостью.
Аналогичные результаты были получены в работе [9], посвященной моделированию ветровой циркуляции в Черном море с помощью квазигеостро-
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016 5
фической модели. В процессе численного интегрирования под воздействием стационарного ветра решение задачи выходило на квазипериодический режим с наличием колебаний в поле полных потоков с периодами 43 и 83 сут. По мнению авторов, первый из этих периодов связан с проявлением барок-линной неустойчивости основного течения, а второй может быть обусловлен проявлением баротропной волны Россби.
В [10] на основании обработки данных спутниковых наблюдений за изменением уровня Черного моря делается вывод о наличии в море долгопериодных колебаний, распространяющихся в западном направлении. Авторы объясняют этот процесс излучением бароклинных волн Россби, вызванных сезонными колебаниями завихренности ветра, от восточного побережья моря.
В работе [11], исходя из анализа гидрофизических и морфометрических характеристик Черного моря, делается вывод о возможности существования в бассейне волн Россби с периодами 80 - 200 сут и фазовыми скоростями 2 - 8 см/с.
В качестве данных наблюдений, свидетельствующих о наличии планетарных волн в бассейне Черного моря, можно привести также работы [12, 13], в которых описываются антициклонические вихри синоптического масштаба, образующиеся в Черном море в летний период. Мониторинг вихрей показал, что в течение периода наблюдений они имели составляющую скорости ~2 км/сут, направленную на запад, что может указывать на их связь с волнами Россби.
В целом же особенности возникновения и распространения планетарных волн в Черном море изучены недостаточно полно.
Описание экспериментов. Как уже отмечалось ранее, эксперименты, рассматриваемые в настоящей работе, посвящены ß-эффекту и его влиянию на формирование ветровой циркуляции в Черном море. В экспериментах не учитывается рельеф дна и трение между слоями, напряжение ветра т задается
стационарным с постоянной циклонической завихренностью 0,5 -10-7 Н/м3. Глубина моря полагается равной H = 2200 м, начальная толщина верхнего слоя h0 = 175 м, параметр Кориолиса на южной границе области f0 = 10-4 с-1, параметр Россби ß = 2-10-13 с-1см-1, коэффициент горизонтальной турбулентной вязкости Al = 105 см2с-1.
В предыдущих работах [1, 2] было показано, что результаты решения задачи при постоянном параметре Кориолиса очень чувствительны к величине придонного трения, причем диапазон изменения коэффициента rb достаточно широк. Поэтому были проведены расчеты с различными значениями коэффициента rb.
Для удобства описания в настоящей работе введены буквенно-цифровые обозначения экспериментов. В численных экспериментах, обозначенных буквой B, ß > 0, эксперименты с ß = 0 обозначены буквой А. В работе обсуждаются результаты шести экспериментов: В1, В2, В3 и А1; А2; А3. Помимо параметра ß, разница между ними заключается в использовании различных значений коэффициента придонного трения rb: в экспериментах B1, А1, В3, A3 коэффициент rb = 0,01 см/с; в В2, А2 - rb = 0,1 см/с.
6 МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
Кроме того, в экспериментах В3, А3 вместо реальной конфигурации Черного моря используется модельная форма бассейна («колбаса»), такая же как в эксперименте Ф1 в работе [2]. Тем самым удается продемонстрировать влияние конфигурации бассейна и особенностей береговой линии на формирование течений, вихрей и волн Россби.
Расчеты проводились на квадратной сетке 3 х 3 км с шагом по времени А( = 3 мин. Использование более высокого пространственного разрешения по сравнению с предыдущими работами [1, 2], в которых использовались сетка 4 х 3,5 км и шаг по времени А( = 6 мин, позволило получить в исследуемой области вихри меньшего размера при увеличении их количества.
Продолжительность расчетов в каждом эксперименте составила не менее 10 лет. Эксперимент прекращался после того, как решение выходило на статистически равновесный режим [2], при котором осредненные по времени характеристики модели уже мало менялись во времени.
Результаты численных экспериментов. В результате расчетов были получены мгновенные и осредненные по времени поля толщины верхнего
слоя к1, уровня моря течений в верхнем и нижнем слое щ, и 2, интегральной функции тока у.
Кроме того, построены графики изменения во времени осредненных по площади величин: кинетической энергии в верхнем КЕ1 и нижнем слое КЕ2, доступной потенциальной энергии ВРЕ, работы тангенциального напряжения ветра Жт, рассчитанных по формулам:
КЕ1 = (рДСи2 + у2)/2), КЕ2 = Р Ми2 + ^2)/2),
БРЕ = {р1§'(И1 - И0)2 /2), = (р (игтх + ^)),
где И1, Н2 - толщины верхнего и нижнего слоев; и1, уь и2, у2 - горизонтальные составляющие скорости течений в соответствующих слоях; §' = § (р2 - Р )/р2 = 3,2 см/с2; тх, ту - горизонтальные составляющие тангенциального напряжения ветра; угловые скобки означают осреднение по площади.
Результаты расчетов, полученные при в > 0, сравнивались с результатами экспериментов, в которых параметр в полагался равным нулю.
На рис. 1 приведены мгновенные пространственные распределения характеристик в экспериментах В1, А1. Для эксперимента А1 (в = 0) характерно наличие во всех представленных полях двух крупномасштабных циклонических круговоротов (рис. 1, а - д). Один круговорот расположен в западной части моря, другой - в восточной. Эти суббассейновые циклоны определяют крупномасштабную циркуляцию в бассейне. Между циклонами и берегом и в промежутке между циклонами периодически возникают мезомасштабные
антициклонические вихри, которые хорошо видны в полях Н1, и (рис. 1, е - з). Время их жизни составляет ~50 сут.
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
7
Рис. 1. Мгновенные распределения характеристик в экспериментах А1 (слева) и В1 (справа)
В осредненных за несколько лет полях у (рис. 2 а, б) четко выделяются два циклонических вихря, которые наблюдались и в мгновенных распределениях (рис. 1 а, д). Это указывает на стационарный характер круговоротов. Что касается мезомасштабных антициклонические вихрей, то они, вследствие их нестационарности во времени и пространстве, в осредненном поле у выражены слабо, а в поле А не проявляются совсем.
8
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
Эксперимент А] Эксперимент В1
О 200 400 600 КОО 1000 X, км 0 200 400 600 800 1 (XX) Л", км
Рис. 2. Средние распределения Н1и щ в экспериментах А1 (слева) и В1 (справа)
В эксперименте с учетом ^-эффекта (В1) в мгновенных распределениях
к\, С, Ш (рис. 1, а - в) крупномасштабные циклоны в центральной части моря также присутствуют, но, в отличие от эксперимента А1, они выражены заметно слабее и их количество больше двух. Скорее, можно говорить о наличии в центральной части исследуемого бассейна одного крупномасштабного циклонического круговорота с несколькими максимумами. Мезомасштабные антициклонические вихри наблюдаются вдоль берега.
В полях щ и и2 в эксперименте В1 (рис. 1, и, к) отдельные циклонические и антициклонические вихри выделяются более четко, чем в верхнем слое.
Основное различие между экспериментами А1, В1 состоит в том, что при учете ^-эффекта (рис. 1, е - к) в бассейне не формируются стационарные круговороты. Вихревые образования, имеющиеся в мгновенных полях, постоянно перемещаются. Перемещение вихрей приводит к тому, что в средних полях Н\, щ в центральной части бассейна возникает обширная циклоническая область (рис. 2, в, г). Возле западного берега наблюдается незначительное сгущение изолиний И1, щ как следствие западной интенсификации течений.
В обоих рассмотренных экспериментах обращает на себя внимание качественное совпадение полей течений в верхнем и нижнем слоях, что указывает на баротропизацию процесса. Направление течений в верхнем и нижнем слоях в основном совпадает, скорость течений в нижнем слое составляет примерно 40 % от скорости течений в верхнем слое.
Интегральная функция тока щ, характеризующая баротропные течения,
хорошо коррелирует с полем и2, а изолинии Н1 близки к линиям тока и и изолиниям Такая особенность в пространственном распределении характеристик позволяет использовать для визуализации циркуляции в верхнем слое поле Н1, в нижнем - щ.
МОРЖОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
9
0 200 400 600 800 10<ШГ, км 0 200 400 600 К00 1000А', км
Рис. 3. Последовательные с периодом 15 сут поля к1 (слева) и щ (справа) в эксперименте В1. Пунктирной линией обозначен разрез У = 270 км
Как уже отмечалось, вихревые образования, возникающие при в > 0, не имеют стационарного положения. Если рассмотреть последовательность мгновенных полей Н1 и щ, построенных для эксперимента В1 (рис. 3), то можно заметить перемещение вихревых образований преимущественно в западном направлении, чего не наблюдается в эксперименте А1.
На диаграммах Н1, щ (рис. 4), построенных для широтного разреза, проходящего через центральную часть моря вдоль линии У = 270 км, видны вол-
10 МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
ны, движущиеся в западном направлении со скоростью ~8 см/с и периодом 80 - 100 сут. В поле у эти волны проявляются лучше, чем в т. к. в верхнем слое на них накладываются течения и мезомасштабные вихри, связанные с бароклинной неустойчивостью.
у/, *106м3/с Йьм
100 200 300 400 500 600 700 800 900X, км 100 200 300 400 500 600 700 800 900 X, км
Рис. 4. Временные диаграммы щ (слева), hl (справа) на разрезе Y = 270 км в эксперименте В1
Влияние ^-эффекта проявляется также в поведении энергии. На рис. 5, а, б, г, д приводятся графики средних по площади KE1, KE2, DPE, WT, рассчитанных для экспериментов В1, А1.
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
11
Рис. 5. Графики энергии КЕ1, КЕ2, БРЕ в экспериментах В1 - а и А1 - г; работа тангенциального напряжения ветра в экспериментах В1 - б и А1 - д; средняя завихренность в экспериментах В1 - в и А1 - е
Как видно на рис. 5 а, г, в обоих экспериментах решение выходит на статистически равновесный режим, изменение характеристик происходит в ограниченных пределах относительно некоторых средних значений.
В эксперименте В1 при в > 0 энергии КЕ1, КЕ2, БРЕ получились значительно меньшими, чем в эксперименте А1. Существенно меньше оказалась и работа Жт, которая обеспечивает приток энергии в море. Поскольку Жтопре-деляется автоколебательным процессом, который зависит от устойчивости течений в верхнем слое, можно предположить, что в-эффект влияет на течения, делая их более неустойчивыми.
В этом можно убедиться, если вычислить отдельно средние по площади значения циклонической и антициклонической относительной завихренности в различных слоях модели. Для этого необходимо просуммировать по площади в каждом слое отдельно значения циклонической и антициклонической завихренности и разделить на соответствующие площади. Полученные в результате средние значения для циклонической и антициклонической завихренности обозначим ^, ^ ^, ^ :
12
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
£ =Л- ГГТ^, £ = -!- ГГГ^-^ЦЛ^ , (7 = 1, 2),
5С ¿Г^аг ду Г ¿Дат ду)
где С7, А7 - области, занимаемые циклонами, антициклонами; 5С , - площади под циклонами, антициклонами; 7 - номер слоя.
В силу условий прилипания на боковых границах суммарная циклоническая и антициклоническая завихренности в бассейне равны между собой по
модулю: £С5С + £А8А = 0. Но площади под антициклонами и циклонами
могут быть различны, поэтому средние значения циклонической и антициклонической завихренности по модулю не равны друг другу. Значения £ ,
¡-А
£ можно использовать как интегральные характеристики поля завихренности в море.
На рис. 5, в, е приведены графики £ , £ £, £, вычисленные по мгновенным значениям скорости течений в экспериментах В1 и А1. Как видно из рисунков, в обоих случаях средняя антициклоническая завихренность в верхнем слое больше циклонической по модулю примерно в полтора раза. Очевидно, что такая картина вызвана влиянием циклонического ветра. Для нижнего слоя аналогичные характеристики завихренности практически равны по абсолютной величине. Примечательно, что в обоих экспериментах соответственные величины £, £ £, £ принимают близкие значения в отличие от энергии и работы тангенциального напряжения ветра. Это означает, что в эксперименте В1 с в > 0 средняя завихренность поля скорости, по величине аналогичная эксперименту А1 (в = 0), достигается при меньшем уровне энергии.
В экспериментах В2 и А2 для того, чтобы уменьшить баротропную составляющую течений, было задано большее на порядок придонное трение (гь = 0,1 см/с). В результате этого в эксперименте А2 (рис. 6, а - д) при неизменном параметре Кориолиса разделение крупномасштабной циркуляции на отдельные циклонические вихри, как в эксперименте А1, не происходило. В море наблюдался один большой циклонический круговорот, занимающий центральную часть бассейна. На его периферии периодически возникали ме-зомасштабные антициклоны, которые затем перемещались вдоль берега в направлении основного потока. Зоны антициклонического вихреобразования (гидродинамической неустойчивости течений) в основном были привязаны к выступающим особенностям береговой черты.
При учете в-эффекта в эксперименте В2 (рис. 6, е - к), в сравнении с экспериментом А2, в мгновенных полях стали более четко выделяться отдель-МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016 13
ные вихревые образования, особенно в полях щ и ш2 (рис. 6, и, к). Хотя в целом циркуляция изменилась незначительно.
В средних полях щ и Н1 в эксперименте В2 (рис. 7) видна западная интенсификация течений и проявилась зона антициклонический завихренности у восточной границы бассейна. Кроме того, в осредненном поле Н1 циклонический круговорот в центре бассейна имеет два центра («очки Книповича»), чего не наблюдалось в эксперименте В1.
Рис. 6. Мгновенные распределения характеристик в экспериментах А2 (слева) и В2 (справа) 14 МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
Так же как в эксперименте В1, вихревые образования, представленные в мгновенных полях, перемещались в западном направлении. Это хорошо видно на временных диаграммах у и к1, построенных для разреза У = 270 км (рис. 8). На диаграмме у выделяются волны, движущиеся с востока на запад с фазовой скоростью 7 - 8 см/с. В поле к1 (рис. 8, б) фазовая скорость наблюдаемых волн меньше и составляет ~6,5 см/с.
Эксперимент А2 Эксперимент В2
0 200 400 600 800 1000 X, км 0 200 400 600 800 1000 X, км
Рис. 7. Средние распределения Н1 и у в экспериментах А2 (слева) и В2 (справа)
На рис. 9 приводятся графики КЕ1, КЕ2, БРЕ, Жт, £ , £ £, £, построенные для экспериментов А2 и В2. Видно, что по сравнению с экспериментами А1, В1 (рис. 5, а, г) более сильное придонное трение приводит к значительному уменьшению КЕ2 и увеличению БРЕ, при этом КЕ1 практически не изменяется.
у5-эффект в эксперименте В2 (рис. 9, а) вызвал уменьшение энергии (особенно БРЕ) по сравнению с экспериментом А2 (рис. 9, г), при этом характеристики завихренности (рис. 9, в, е) изменились незначительно.
Обобщая результаты экспериментов В1 и В2, можно сказать, что в Черном море при воздействии циклонического ветра влияние ^-эффекта приводит к образованию долгопериодных волн, которые проявляются в виде чередующихся вихрей, движущихся в западном направлении. Наиболее четко эти волны прослеживаются в поле у.
Подобные результаты были получены и описаны в работах [7 - 9]. В [8] для определения характера наблюдаемых процессов авторы сравнили полученные ими модельные результаты с нормальными модами собственных колебаний прямоугольного бассейна с однородной жидкостью, длина, ширина и глубина которого примерно соответствовали параметрам Черного моря.
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
15
Рис. 8. Временные диаграммы щ (слева), h1 (справа) на разрезе Y = 270 км в эксперименте В2
Решение системы уравнений собственных колебаний на в-плоскости для прямоугольного двухслойного океана в квазигеострофическом приближении приводится в работе [10]. В этом случае система уравнений имеет вид
А+ß^ - El А ^) = о,
dt dx dt
^AW2 + ß^ - E2 d{w2 -m) = 0
dt dx dt
(2)
16
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
где у1, у2 - функции тока для осредненных по вертикали скоростей в верхнем и нижнем слое; Е1 = /V{я\е); Е2 = /2/; £ = (^2 -Р )/Р2; У = Р\1 Р2 .
Рис. 9. Графики энергии КЕ1, КЕ2, БРЕ в экспериментах В2 - а и А2 - г; работа тангенциального напряжения ветра в экспериментах В2 - б и А2 - д; средняя завихренность в экспериментах В2 - в и А2 - е
Умножив второе уравнение системы (2) на произвольную постоянную а и складывая его с первым, получаем
а([ + [) + + [)- Е1[ (1 - ааоУ) + [(аао -1)] = 0 , (3)
ОТ дх ОТ
где а0 = /Н2 .
Определим новую зависимую переменную Ф и произвольную постоянную Г:
Ф = [ +а[2 =[[ (1 - аа0у) + [2(аа0 -1)] Г, (4)
в результате получим уравнение нормальных колебаний
д . _ псФ Е1 дФ п
—АФ+в---1-= 0.
д дх Г
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
(5)
17
Из (3) можно найти значения произвольных постоянных а и Г:
Г 1 аСС0 - 1
Г = --, а = -—0-. (6)
1 - аа0у 1 - аа0/ Для определения а получаем квадратное уравнение
2 а0 -1 1 а + —-а--= 0,
2аоГ ао7
из которого находим
а0 -1 -а1,2 =--0-+ ■
2а0>У V
(а0 -1)2 + 4а0Г (7)
22
4а 0 У
С учетом Фi = ц/1 +а^2 (/ = 1, 2) уравнение (5) перепишем в виде:
д_
( Т7 \
д-Е
Г,у
дФ
Фг + в~г = 0. (8)
дх
Выражение (8) представляет собой известное уравнение планетарных волн [15] и определяет два нормальных колебания (баротропную и бароклинную моды), частоты которых а{ в прямоугольном бассейне с размерами а х Ь при Фг- = 0 на границе выражаются формулой:
" =1
( 2 2 2 2 г А
т п п п Е1 ■ +—^ + - 1
-1/2
V а2 Ь 2 Г ,
(9)
2
где i = 1, 2; т, п - целые числа.
Учитывая (6) и (7), можно найти два значения для Е1 /Гг- :
Е = /2 Е = f 2(К + К,)
Г1 Я (К1 + КУ Г2 ЯеКК2 '
Первое выражение определяет значение для баротропной моды колебаний с эквивалентной глубиной Н = К1 + К2, второе - для бароклинной моды с эквивалентной глубиной Н = 5—Кк— .
(К + Кг)
Решение уравнения (8) для прямоугольного бассейна с размерами а х Ь при Фг- = 0 на твердой границе впервые было получено Лонге-Хиггинсом [15] и имеет вид
Фi = ——х ^ У ^ C0S(Yix + , 0' = 1, 2), (10)
в
где х, у - координаты; т, п - целые числа; у7 =
2а
18
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
Выражение (2) описывает волны Россби, представляющие собой нормальные моды собственных колебаний в бассейне [6, 7]. При 7 = 1 получается баротропная мода, при 7 = 2 - бароклинная. Фазовая скорость перемещения волны с7 = -&7у7 1, расстояние между движущимися узлами (половина длины волны) Я7 = 2жг7Р- , период волны Т7 = 2п/с7.
Для прямоугольного бассейна размерами 1125 х 285 км, глубиной Н = = 2200 м, с двумя слоями воды, имеющими параметры, аналогичные рассматриваемым экспериментам, для основной (т = 1, п =1) баротропной нормальной моды имеем: е\ = -7,7 см/с, А\ = 276 км, Т = 82,8 сут, для основной ба-роклинной моды: е\ = -0,5 см/с, А\ = 69 км, Т1 = 331 сут. Максимальную фазовую скорость имеет волна, связанная с основной баротропной нормальной модой. Бароклинные нормальные моды при тех же значениях т и п имеют гораздо меньшие фазовые скорости и длины волн, чем баротропные моды.
В экспериментах В1, В2 фазовые скорости наблюдаемых волн (рис. 4, 8) получились достаточно близкими к рассчитанной выше скорости основной баротропной моды собственных колебаний в прямоугольном бассейне. Но такое сравнение не может выглядеть корректным из-за сильного различия форм сравниваемых бассейнов. К тому же расчеты по формуле (10) с различными размерами прямоугольного бассейна показали, что наибольшее влияние на результаты оказывает ширина бассейна Ь (размер по оси У), а в случае реальной конфигурации определить эквивалентную ширину моря очень сложно. Поэтому был проведен дополнительный эксперимент В3 в бассейне удлиненной формы с постоянной шириной и закругленными на востоке и западе границами (рис. 10). Как показано в работе [2], такая форма позволяет минимизировать влияние нелинейности, связанной с несимметричностью бассейна и шероховатостью береговой линии. Длина, ширина и глубина соответствовали размерам прямоугольного бассейна, для которого рассчитывались нормальные моды. Кроме того, для сравнения и контроля был проведен эксперимент А3, отличающийся от В3 нулевым значением параметра в.
Мгновенные распределения Н\, щ, полученные после выхода задачи в статистически равновесный режим в экспериментах В3, А3 и дающие представление о циркуляции в верхнем и нижнем слое, представлены на рис. 10, а, б, д, е. Распределения других характеристик не приводятся, поскольку между полями
Н\, С, Ш1 и щ, и2 так же, как в ранее рассмотренных парах экспериментов, имеется хорошая взаимная корреляция.
Как видно из рис. 10, а - г, крупномасштабная циркуляция в эксперименте А3 разделилась на три циклона округлой формы с диаметром, равным ширине бассейна. Между циклонами расположены две зоны, в которых периодически возникали антициклонические мезомасштабные вихри (рис. 10, а, в). В осредненном поле к\ (рис. 10, в, г) наблюдаются только циклонические круговороты, а отдельные антициклонические вихри не выражены вследствие их нестационарности. В поле щ (рис. 10, г) между тремя стационарными циклонами наблюдаются две области антициклонической завихренности.
Характерной особенностью эксперимента А3 является наличие центральной симметрии в пространственном распределении всех характеристик - мгновенных и осредненных. В эксперименте В3 с учетом в-эффекта разделение циркуляции МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016 19
на отдельные вихри происходит (рис. 10, д, е), но симметричность полей отсутствует. В средних полях кх, у (рис. 10, е, з) отдельные вихревые структуры, наблюдавшиеся в мгновенных полях, не выделяются, возле западного берега отмечается незначительное сгущение изолиний как следствие западной интенсификации течений.
Рис. 10. Мгновенные и средние поля в эксперименте А3: кх - а; к\ - б; у - в; ^ - г, мгновенные и средние поля в эксперименте В3: кх - д; кх - е; у - ж; ^ - з
В эксперименте В3 все вихревые образования перемещаются в западном направлении. Это хорошо видно на рис. 11 (слева), на котором приведены последовательные поля у, построенные через 15 сут. Если их сравнить с распределением основной баротропной нормальной моды, рассчитанной с той же частотой (рис. 11, справа), то можно отметить большое сходство. Также дают очень хорошее совпадение с баротропной нормальной модой временные диаграммы у, кх, построенные для широтного разреза, проходящего по центральной оси бассейна (рис. 12). На всех диаграммах четко прослеживаются волны с периодом 90 сут, движущиеся в западном направлении с фазовой скоростью 7,5 см/с. Таким образом, можно сделать предположительный вывод, что в результате учета влияния ^-эффекта в численных экспериментах В1, В2, В3 получены волны Россби, соответствующие нормальным баро-
20
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
тропным модам собственных колебаний в замкнутом бассейне. Лучше всего эти волны видны в поле у, поскольку у характеризует баротропную составляющую течений. На диаграмме h1 (рис. 12, в) на фоне баротропной волны Россби в зонах положительных значений у, которые соответствуют антициклонам, можно увидеть следы от перемещения мезомасштабных антициклонических вихрей.
Рис. 11. Последовательные с периодом 15 сут пространственные распределения щ в эксперименте В3 (слева) и нормальной моды в прямоугольном бассейне при т =п = 1 (справа). Пунктирной линией обозначены широтные разрезы вдоль центральной оси бассейнов
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
21
Рис. 12. Временные диаграммы на широтном разрезе вдоль центральной оси бассейна для щ, соответствующей нормальной моде (слева), щ в эксперименте В3 (в центре), h1 в эксперименте В3 (справа)
Что касается волн Россби, обусловленных бароклинными модами нормальных колебаний, которые, согласно теории, также должны присутствовать в решении, выявить их в явном виде в рассмотренных экспериментах не удалось. Скорее всего, это связано с тем, что автоколебательный процесс, изменяющий приток энергии от ветра, в результате чего и происходит возбуждение наблюдаемых волн, имеет частоту, при которой возникают преимущественно баротропные волны Россби. Теоретическое исследование отклика океана на различные типы внешнего воздействия рассмотрено в работе [14], из которой следует, что внешнее воздействие с периодичностью несколько недель - месяцев порождает в бассейне в основном баротропные волны Росс-би, а для возникновения бароклинных волн периодичность возбуждающей силы должна быть более года.
Выводы. Хорошее совпадение характеристик полученных в эксперименте волн с аналитическим решением уравнения планетарных волн дает основание считать, что в исследуемой области возникают волны Россби, соответствующие основной нормальной баротропной моде собственных колебаний бассейна. При стационарном внешнем воздействии начальные возмущения поля скорости происходят вследствие гидродинамической неустойчивости 22 МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
течений и поддерживаются в дальнейшем за счет автоколебательного процесса, регулирующего поступление энергии в море от ветра. Амплитуда ба-роклинной моды волны Россби оказалась малой по сравнению с амплитудой баротропной моды, и ее трудно выделить в полученных полях.
Анализ поведения энергетических характеристик показал, что ^-эффект приводит к уменьшению работы тангенциального напряжения ветра, что, в свою очередь, определяет более низкий уровень рассчитанных составляющих энергии в модели. Волны Россби оказывают стимулирующее воздействие на процессы гидродинамической неустойчивости, которые приводят к возникновению мезомасштабных вихрей противоположной ветру завихренности.
На основании проведенных экспериментов можно согласиться с выводом авторов работы [8] о том, что ß-эффект и связанные с ним волны Россби в Черном море могут оказывать существенное влияние на формирование крупномасштабной циркуляции, сравнимое с влиянием бароклинной неустойчивости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Павлушин А.А., Шапиро Н.Б., Михайлова Э.Н., Коротаев Г.К. Двухслойная вихрераз-решающая модель ветровых течений в Черном море // Морской гидрофизический журнал. - 2015. - № 5. - С. 3 - 12.
2. Павлушин А.А., Шапиро Н.Б., Михайлова Э.Н. Влияние формы бассейна на формирование циркуляции в Черном море // Там же. - 2016. - № 2. - С. 3 - 15.
3. СеидовД.Г. Синергетика океанских процессов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1989. - 288 с.
4. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. - М.: Мир, 1986. - 396 с.
5. Каменкович В.М., Монин А.С. Физика океана. Т. 2 - Гидродинамика океана. - М.: Наука, 1978. - 435с.
I. 6. Каменкович В.М, Кошляков М.Н., Монин А.С. Синоптические вихри в океане. - Л.: Гидрометеоиздат, 1987. - 510 с.
7. Rachev N.H., Stanev E.V. Eddy processes in semienclosed seas: A case study for the Black Sea // J. Phys. Oceanogr. - 1997. - № 27. - P. 1581 - 1601.
8. Stanev E.V., Rachev N.H. Numerical study on the planetary Rossby waves in the Black Sea // J. Mar. Sys. - 1999. - № 21. - P. 283 - 306.
9. Демышев С.Г., Коротаев Г.К., Куфтарков А.Ю. Анализ начального периода приспособления геофизических полей Черного моря к новой численной модели // Изв. РАН. ФАО. - 1996. - 32, № 5. - С. 635 - 644.
10. Korotaev G.K., Saenko O.A., Koblinsky C.J. Satellite altimetry observation of the Black Sea level // J. Geophys. Res. - 2001. - 106, № C1. - P. 911 - 933.
II. Блатов А.С., Булгаков Н.П., Иванов В.А. и др. Изменчивость гидрофизических полей Черного моря. - Л.: Гидрометеоиздат, 1984. - 239 с.
12. Латун В.С. Антициклонические вихри в Черном море летом 1984 года // Морской гидрофизический журнал. - 1989. - № 3. - С. 27 - 34.
13. Латун В.С. Энергоснабжение глубоких антициклонических вихрей Черного моря // Комплексные океанографические исследования Черного моря: Сб. науч. тр. / АН УССР. - Севастополь: МГИ АН УССР, 1990. - С. 10 - 21.
14. Сафронов Г.Ф. Возбуждение длинных волн в океане крупномасштабными изменениями в поле касательного напряжения ветра. - М.: Гидрометеоиздат, 1985. - 108 с.
15. Longuet-HigginsM. S. Planetary waves on a rotating sphere II // Proc. Roy. Soc. A. - 1965. -284, iss. 1396. - P. 40 - 68.
МОРСКОЙ ГИДРОФИЗИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ № 5 2016
23
Manifestation of the ^-effect in the Black Sea two-layer model
A.A. Pavlushin, N.B. Shapiro, E.N. Mikhailova
Marine Hydrophysical Institute, Russian Academy of Sciences, Sevastopol, Russia e-mail: [email protected]
The research is a continuation of a series of numerical experiments on modeling formation of wind currents and eddies in the Black Sea within the framework of a two-layer eddy-resolving model. The main attention is focused on studying the ^-effect role. The stationary cyclonic wind is used as an external forcing and the bottom topography is not considered. It is shown that at the ^-effect being taken into account, the Rossby waves propagating from east to west are observed during the currents' formation and at the statistical equilibrium mode when the mesoscale eddies are formed. The waves with the parameters of the Rossby wave first barotropic mode for the closed basin are most clearly pronounced. Interaction of the Rossby waves with large-scale circulation results in intensification of the of the currents' hydrodynamic instability and in formation of the mesoscale eddies. Significant decrease of kinetic and available potential energy as compared to the values obtained at the constant Coriolis parameter is also a consequence of the eddy formation intensification.
Keywords: Black Sea, eddy-resolving model, numerical experiment, ^-effect, Rossby waves.
24
MOPCKOH rHflPOOH3HHECKHH ®yPHA^ № 5 2016
