CC BY
41
УЕБТЫНС
мвви
ТЕХНОЛОГИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ. МЕХАНИЗМЫ И ОБОРУДОВАНИЕ
УДК 620.22
А.О. Мирам, Ю.В. Белов, В.М. Белов
ФГБОУВПО «МГСУ»
ПРОЦЕСС ОХЛАЖДЕНИЯ ЗАГОТОВОК МЕТАЛЛА
Рассмотрен процесс охлаждения заготовок металла. Описаны различные методы решения задач нестационарной теплопроводности. Показана сложность решения задач нестационарной теплопроводности. Указано, что при наличии сложного процесса отвода теплоты при охлаждении металла вероятны погрешности расчетов и целесообразно использование эксперементальных исследований процессов охлаждения заготовок металла после непрерывной разливки.
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, критерий Био, критерий Фурье, функция Бесселя, процесс охлаждения, заготовки металла.
Охлаждение заготовок металла после непрерывной разливки необходимо рассматривать как процесс нестационарной теплопроводности [1—4]. Нестационарная теплопроводимость характеризуется тем, что температура изменяется не только от точки к точке, но и во времени [5—9]. Нестационарная теплопроводимость отвечает неустойчивому во времени тепловому режиму, создаваемому тем или иным тепловым действием на тело или среду.
При рассмотрении задачи (при остывании металла) система стремится к состоянию теплового равновесия.
Рассмотрим, как изменяется во времени температура заготовки металла, помещенной в среду с более низкой температурой. Пусть начальная температура нагретой заготовки (0, а температура среды (с. Причем t0 > 1с, т.е. заготовка охлаждается. Выберем условно две точки: одну на поверхности тела а вторую в центре его t2.
С момента помещения тела в среду идет процесс его охлаждения, потому некоторое время температура в центре тела остается неизменной и равной ее начальному значению t0. По истечении времени т1, когда тепловой поток достигает центра заготовки, температура в этой точке начинает уменьшаться и в результате достигает температуры поверхности и температуры среды.
Состояние тела, при котором температура во всех его точках одинакова и равняется температуре среды, называется состоянием теплового равновесия. В состоянии теплового равновесия теплообмен между телом и средой отсутствует.
Зависимость изменения температуры на поверхности заготовки и в центре приведена на рисунке.
Математическая постановка задач нестационарной теплопроводности. Решение задачи нестационарной теплопроводности заключается в нахождении
ВЕСТНИК
3/2014
a 2t
dt
— = a dr dx
Зависимость изменения температуры на поверхности и в центре заготовки от времени
зависимости изменения температуры и количества переданной теплоты во времени для любой точки пространства. Такая зависимость может быть получена путем решения дифференциального уравнения теплопроводимости [6].
Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного температурного поля имеет вид
+ m dt
x2 x dx' где m — коэффициент формы тела.
Для неограниченной пластины коэффициент формы тела равняется нулю (m = 0). Для неограниченного цилиндра и сферы он приобретает значения соответственно m = 1 и m = 2. Это уравнение представляет собой уравнение второго порядка в частных производных. Для его решения необходимо провести операции интегрирования функции (температуры) один раз по времени и два раза по координате. Таким образом, в результате интегрирования получаем три постоянные: одна по времени и две по координате. Следовательно, для вычисления дифференциального уравнения теплопроводности необходимо иметь одно начальное и два граничных условия. Эти условия являются основными при математической постановке задачи нестационарной теплопроводности. Рассмотрим процесс охлаждения цилиндрической заготовки металла большой длины.
Постановка задачи при граничных условиях первого рода. При граничных условиях первого рода задается температура поверхности тела как функция времени.
Необходимо найти распределение температуры и расход теплоты в любой момент времени. Для бесконечного цилиндра (m = 1) дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников тепла имеет вид dt д2t m dt
— = a—- +--. (1)
дг dx x dx
В соответствии с условием задачи в начальный момент времени цилиндр был равномерно нагрет до температуры t0 , поэтому мы можем записать начальное условие в виде
т = 0, при t = t0 = TOnst. (2)
Это условие можно записать более компактно в другом виде t| г=0 = t0 = const. (3)
Целесообразно расположить начало координат по оси цилиндра. С учетом этого координаты правой и левой граней принимают значения +R и —R соответственно.
В соответствии с условием задачи запишем первое граничное условие х = R, при t = t = t, (4)
или tx=± R = tn = tc
Второе граничное условие можем получить из условия тепловой симметрии. Поскольку через поверхность по всем направлениям относительно оси цилиндра проходит одинаковое количество теплоты, то можно утверждать, что в центре цилиндра суммарный тепловой поток равняется нулю, т.е. можем записать dtt: при х = 0, q = -X— = 0.
йх
Но коэффициент теплопроводимости имеет конечные значения и не равняется нулю, следовательно должен равняться нулю градиент температуры:
* = 0.
йх
На основании этого можно записать второе предельное условие в виде
= 0. (5)
их
Постановка задачи при граничных условиях третьего рода. Граничные условия третьего рода характеризуют закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой и описываются уравнением Ньютона — Рихмана:
q = а(:с- :п ^
где а — коэффициент теплоотдачи от среды к телу или наоборот. Граничные условия третьего рода являются наиболее общими условиями, потому что они при определенных условиях могут переходить в граничные условия первого или второго рода.
Если рассматривать охлаждение неограниченного цилиндра радиусом Я, сохранив другие условия задачи, математическая постановка имеет следующий вид.
Дифференциальное уравнение теплопроводимости для цилиндра (т = 1) (1):
начальное условие
т=0 = *0> (6)
граничные условия:
и:,
^ х=0=0; (7)
дх
д*.
^СТ" х =К =а(с - *). (8)
дх1
Условия подобия температурных полей при нестационарной теплопроводности. Цель расчета нестационарного режима теплообмена заключается в определении температурного поля и количества переданной теплы после истечения определенного периода времени. При нестационарном режиме температура является сложной функцией не только координат и времени, но и других параметров (формы и размеров тела, удельной теплоемкости, коэффициентов теплопроводности, температуропроводности и теплоотдачи и т.д.). Поэтому графическое изображение температурного поля даже для одномерной задачи крайне затруднено.
Для уменьшения числа параметров, которые определяют температурное поле, необходимо перейти к комплексным или обобщенным переменным.
Рассмотрим сходство температурных полей для более общей задачи нестационарной теплопроводности, а именно, когда процесс теплопроводности протекает при граничных условиях третьего рода.
Запишем исходное дифференциальное уравнение, начальные и граничные условия в обобщенных переменных. Для этого введем новые переменные: относительную температуру
0 = ; (9)
Ч К
относительную координату
х
ц = -, (10)
Я
где Я — характерный размер радиуса цилиндра, м. Определим t и х из уравнений (9) и (10): t = гс + 0(0 -гс); х = |Я.
Тогда дt = д©(0 - Гс); д2Г = д2©(0 -Гс);
дх = Ядг|; дх2 = Я 2дг2.
Подставим значения д^ д2( и Эх2 в дифференциальное уравнение тепло-
д©( - ^с) д2©( - ^) ^ 1 д©( - С)
проводности: -V-= а-^2 / +-^-/,
дг Я д| |Я д|
Получим -д© = д ©. (11)
Параметр Г0 = —^ является безразмерной величиной — числом или кри-Я
терием Фурье. Критерий Фурье имеет физический смысл обобщенного времени и называется критерием гомохронности.
Если подставим условие ^ г=0 = t0 в уравнение (9), то получим выражение для начальной температуры в обобщенных переменных
©
= ^, т.е. ©| ^ 0=о = 1. (12)
t0 Ч
Подставляя значение дt и дх в условие тепловой симметрии
(дt Л д©(t0 - tc)
I — = 0 I, получим---- = 0, и так t0 - tc Ф 0 и 1 Ф 0
^ дх ) Яд|
но и — = 0. (13)
д|
С учетом выражений для д^ дх и t граничное условие принимает вид
^ - tc -®(о - ^ )].
После несложных преобразований граничные условия третьего рода в обобщенных переменных запишутся как
— = Б1©, (14)
д|
где Bi = есть безразмерный параметр, называемый критерием Био. Анализ
^СТ
уравнений (11)—(14) показывает, что относительная температура © зависит от относительной координаты т и критериев Фурье и Био, есть сходство температурных полей при нестандартной теплопроводности определяется критериальным уравнением
© = f (ti, F0,Bi). (15)
Итак, для конкретной формы тела температурные поля будут подобными, а безразмерные температуры © в подобных точках т будут в одинаковых условиях:
F0 = idem, Bi = idem.
Аналитические методы решения задач нестационарной теплопроводности. Существует несколько методов решения задач нестационарной теплопроводности: разделение переменных, источников, операционный, конечных интегральных преобразований и др. Наибольшее распространение имеет метод разделения переменных [10—12].
Метод разделения переменных базируется на нахождении совокупности частичных решений функции, которая удовлетворяет как исходному дифференциальному уравнению, так и начальным и граничным условиям [6].
Если поместить начало координат и саму координату по оси неограниченного цилиндра, то начальные и граничные условия задачи можно записать так
t т=0 = 1о= const; (16)
dt
дх
x=0
= 0; (17)
1 д*\ ( \
-^СТ =а(*с -1(18)
где — теплопроводность материала цилиндра.
Переходя к избыточной температуре относительно температуры среды ^ система уравнений (15)—(18) приобретает вид
д— = а d т
( д2 S 1 dS ^
(19)
дх x дх
\ у
S| т=0 = S0; (20)
dS
=0; (21)
х=0
дх
-^ст^" х=±* = ^п, (22)
дх
где « = I - ; « = I - I; « = I - t.
0 с 0' п с п с
Решая систему уравнений (19)—(22) методом разделения переменных, получим распределение температуры в неограниченном цилиндре в любой момент времени т:
0 = Т-г = 1 = % (24 14г ^)^ТТ1ехр("^о), (23)
Гс - Го ^ ((о2 (Ця ) + (Ця)) V Т )
где (0(ця) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка; (1(ця) — функция Бесселя первого рода первого порядка; х, Т — соответственно текущая координата и радиус неограниченного цилиндра.
Функции Бесселя можно представить в виде знакопеременных рядов. В частности, Со(цп) и (1(ця) можно представить как:
(о^я)=1 -4+-А-- 2 ^ 2 + ...
оу 2 2 • 42 22 • 42 • 62
г( ) 1 1 3 15
(1 (п ) = 2 ^п - ^ + 24 • 42 • 6 - - •
Существует программа расчета нестационарного процесса теплопроводности.
Из описанного выше видно, насколько сложен процесс нестационарного охлаждения металла, а при условии, что в процессе охлаждения будет присутствовать передача теплоты за счет излучения, — процент погрешности получения точных результатов увеличивается. Поэтому существует необходимость для получения более точных результатов выполнить эксперементальные исследования на модели [2, 13—15].
Библиографический список
1. Лыков А.В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса // Проблема тепло- и массопереноса : сб. науч. тр. Минск : Наука и техника, 1976. С. 9—82.
2. Фокин В.М., Бойков Г.П., Видин Ю.В. Основы энергосбережения в вопросах теплообмена. М. : Машиностроение, 2оо5. 192 с.
3. Юданов В.А., Гречухин А.А., Токарев А.В. Нестационарный тепловой насос // Вестник КРСУ 2о1о. Т. 1о. № 5. С. Ю9—115.
4. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М. : Энергия, 1977. 343 с.
5. КалитаевА.Н. Идентификация коэффициентов теплоотдачи непрерывнолитого слитка в зоне вторичного охлаждения машины непрерывного литья заготовок методами оптимального управления // Наука. Технологии. Инновации : тез. докл. Всеросс. конф. : в 2 т. Новосибирск : НГТУ, 2оо4. Т. 1. С. 91—92.
6. Дымнич А.Х., Троянский А.А. Теплопроводность. Донецк : Норд-Прес, 2оо4. 37о с.
7. Ильинский И.В., Прохач Э.Е., Першин В.П. Нестационарный конвективный теплообмен при естественном остывании вертикальных пластин // Инженерно-физический журнал. 1974. Т. 27. № 3. С. 524.
8. Рабинович Г.Д. Нестационарный теплообмен в противоточном рекуперативном аппарате // Инженерно-физический журнал. 1961. Т. 4. № 2. С. 58—62.
9. Исследование процесса нестационарной теплопроводности и теплонапряжен-ного состояния твердых тел на имитационной математической модели / В.В. Бухмиров, Т.Е. Созинова, С.В. Носова, К.Б. Никитин. Иваново : Ивановский государственный энергетический университет, 2оо3. 41 с.
10. Петражицкий Г.Б., Полежаев В.И. Инженерный метод расчета нестационарных процессов теплопроводности в тонких многослойных стенках // Теплоэнергетика. 1962. № 2. С .73—76.
11. Егоров В.И. Точные методы решения задач теплопроводности. СПб. : ИТМО, 2006. 46 с.
12. Кузнецов Г.В., Шеремет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности. Томск : ТПУ, 2008. 172 с.
13. Гухман А.А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. М. : Высш. шк., 1974. 329 с.
14. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М. : Наука, 1968. 355 с.
15. Переверзев Д.А., Кострыкин В.А., Палей В.А. Моделирование и исследование процессов остывания мощных паротурбинных агрегатов // Теплоэнергетика. 1980. № 9. С. 34—38.
Поступила в редакцию в январе 2014 г.
Об авторах: Мирам Андрей Олегович — кандидат технических наук, профессор кафедры теплотехники и теплогазоснабжения, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-26-92, [email protected];
Белов Юрий Витальевич — аспирант, ассистент кафедры теплотехники и газоснабжения, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Белов Виталий Михайлович — кандидат технических наук, доцент кафедры теплотехники и теплогазоснабжения, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-26-92, [email protected], [email protected].
Для цитирования: Мирам А.О., Белов Ю.В., Белов В.М. Процесс охлаждения заготовок металла // Вестник МГСУ 2014. № 3. С. 141—148.
A.O. Miram, Yu.V. Belov, V.M. Belov
THE COOLING PROCESSES OF METAL BILLETS
The article describes various methods for solving problems of nonstationary heat transfer. Nonstationary heat transfer is characterized by the fact that the temperature changes not only from point to point, but also in time. The process of cooling metal blanks must be considered a transient thermal conductivity. When solving the problem of cooling metal blanks we need to find the temperature change in the section. The authors show the complexity of the tasks of nonstationary heat transfer. If we consider the process of cooling metal billets as a complex process, in which the addition of nonstationary heat transfer is presented as a process of heat transfer by radiation, great probability of errors in calculations occurs. There is the feasibility of the use of experimental researches of cooling processes for metal blanks after continuous casting, in order to determine the error in the calculated values.
Key words: non-stationary thermal conductivity, Bio criteria, Fourier criteria, cooling, Bessel function, cooling process, metal billets.
References
1. Lykov A.V. Nekotorye problemnye voprosy teorii teplomassoperenosa [Some Problematic Issues of Heat and Mass Transfer Theory]. Problema teplo- i massoperenosa: Sborn-ik nauchnykh trudov [Problems of Heat and Mass Transfer: Collection of Scientific Articles]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1976, pp. 9—82.
2. Fokin V.M., Boykov G.P., Vidin Yu.V. Osnovy energosberezheniya v voprosakh teplo-obmena [Basics of Energy Saving in Matters of Heat Transfer]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2005, 192 p.
вестник .
МГСУ_3/2014
3. Yudanov V.A., Grechukhin A.A., Tokarev A.V. Nestatsionarnyy teplovoy nasos [Non-stationary Heat Pump]. Vestnik KRSU [Proceedings of Kyrgyz-Russian Slavic University]. 2010, vol. 10, no. 5, pp. 109—115.
4. Mikheev M.A., Mikheeva I.M. Osnovy teploperedachi [Fundamentals of Heat Transfer]. Moscow, Energiya Publ., 1977, 343 p.
5. Kalitaev A.N. Identifikatsiya koeffitsientov teplootdachi nepreryvnolitogo slitka v zone vtorichnogo okhlazhdeniya mashiny nepreryvnogo lit'ya zagotovok metodami optimal'nogo upravleniya [Identifying Heat-transfer Coefficient of a Continuous Casting in a Secondary Cooling Zone of a Continuous Casting Machine Using Optimal-control Techniques]. Nauka. Tekhnologii. Innovatsii: tezisy dokladov Vserossiyskoy konferentsii: v 2 tovakh [Science. Technologies. Innovations: Theses of the All-Russian Conference: in 2 volumes]. Novosibirsk, NGTU Publ., 2004, vol. 1, pp. 91—92.
6. Dymnich A.Kh., Troyanskiy A.A. Teploprovodnost' [Heat Transfer]. Donetsk, Nord-Pres Publ., 2004, 370 p.
7. Il'inskiy I.V., Prokhach E.E., Pershin V.P. Nestatsionarnyy konvektivnyy teploobmen pri estestvennom ostyvanii vertikal'nykh plastin [Nonstationary Convective Heat Transfer]. Inzhen-erno-fizicheskiy zhurnal [Engineering and Physical Journal]. 1974, vol. 27, no. 3, pp. 524.
8. Rabinovich G.D. Nestatsionarnyy teploobmen v protivotochnom rekuperativnom apparate [Unsteady Heat Transfer in Counterblow Recuperative Unit]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Engineering and Physical Journal]. 1961, vol. 4, no. 2, pp. 58—62.
9. Bukhmirov V.V., Sozinova T.E., Nosova S.V., Nikitin K.B. Issledovanie protsessa nes-tatsionarnoy teploprovodnosti i teplonapryazhennogo sostoyaniya tverdykh tel na imitatsion-noy matematicheskoy modeli [Investigation of Non-stationary Thermal Conductivity Process and Heat-stressed State of Solids on Mathematical Simulation Model]. Ivanovo, Ivanovskiy gosudarstvennyy energeticheskiy universitet Publ., 2003, 41 p.
10. Petrazhitskiy G.B., Polezhaev V.I. Inzhenernyy metod rascheta nestatsionarnykh protsessov teploprovodnosti v tonkikh mnogosloynykh stenkakh [Engineering Calculation Method for Unsteady Processes of Thermal Conductivity in Thin Multi-layer Walls]. Teploen-ergetika [Thermal Engineering]. 1962, no. 2, pp. 73—76.
11. Egorov V.I. Tochnye metody resheniya zadach teploprovodnosti [Accurate Methods of Thermal Conductivity Analysis]. Saint Petersburg, ITMO Publ., 2006, 46 p.
12. Kuznetsov G.V., Sheremet M.A. Raznostnye metody resheniya zadach teploprovodnosti [Differential Methods of Solving the Problems of Heat Conductivity]. Tomsk, TpU Publ., 2008, 172 p.
13. Gukhman A.A. Primenenie teorii podobiya k issledovaniyu protsessov teplomas-soobmena [Application of the Similarity Law in the Study of Heat-mass Exchange Processes]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1974, 329 p.
14. Buslenko N.P. Modelirovanie slozhnykh sistem [Complex Systems Modeling]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 355 p.
15. Pereverzev D.A., Kostrykin V.A., Paley V.A. Modelirovanie i issledovanie protsessov ostyvaniya moshchnykh paroturbinnykh agregatov [Modeling and Study of the Cooling Processes of Powerful Steam-turbine Units]. Teploenergetika [Thermal Engineering]. 1980, no. 9, pp. 34—38.
About the authors: Miram Andrey Olegovich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Heat Engineering and Heat and Gas Supply, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-26-92, [email protected];
Belov Yuriy Vital'evich — postgraduate student, assistant, Department of Heat Engineering and Heat and Gas Supply, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Belov Vitaliy Mikhaylovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Heat Engineering and Heat and Gas Supply, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-26-92, [email protected], [email protected].
For citation: Miram A.O., Belov Yu.V., Belov V.M. Protsess okhlazhdeniya zagotovok metalla [The Cooling Processes of Metal Billets]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 3, pp. 141—148.
