CC BY
29
Н.Л. Казанский
ПРОЦЕДУРА КОРРЕКТИРОВКИ ФАЗОВОЙ ФУНКЦИИ ФОКУСАТОРА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Для создания элементов плоской оптики (ЭПО) [1] характерно то, что расчет фазовых характеристик производится геометрическими методами, в то время как исследование структуры световых полей, создаваемых ЭПО, может быть осуществлено лишь в рамках дифракционной модели. Для оценки качества работы ЭПО на этапе проектирования актуальным является вопрос исследования и компенсации дифракционных эффектов, связанных с технологией расчета и изготовления ЭПО.
В данной работе рассматривается задача коррекции фазовой функции фокусатора с повышенной глубиной фокуса с целью компенсировать возникающие вследствие дискретизации радиальной фазовой функции дифракционные эффекты.
Фокусатор с повышенной глубиной Фокуса
На радиально-симметричную оптическую систему (рис. 1) с функцией фазового пропускания Т(г) падает световой пучок с комплексной амплитудой Е(г). В дальнейшем считается, что оптическая система состоит из классической непрерывной собирающей линзы с фокусным расстоянием f0 и расположенного вплотную к линзе плоского оптического элемента - фокуса-тора, концентрирующего излучение в тонкий продольный цилиндр на оптической оси. Функция фазового пропускания фокусатора ср(г) определяется системой дифференциальных уравнений [2]:
-*
Ь' (г) + j- •■ Ф'(г) ------
n V r2+(fo+z(г
»
w(z) z 1 (г) = В* (г) • 2Tir (1)
z (0) = О, z (а) = к J
Рис. 1. Оптическая схема работы ЭПО
Здесь (г, а) - полярные координаты в плоскости фокусатора и с началом в его центре; w(z) - линейная плотность мощности на отрезке фокусировки [0, к]; В0(г) и b(r) - соответственно амплитуда и фаза падающего на фокусатор светового пучка; X - длина волны света; а - радиус фоку °атора. При f0 » а для плоского освещающего пучка Е(г) и постоянной плотности w(z) = const получаем [2]:
Ф(г) = <р0 - JL in j^2c Vr2+(fo-cr2)2 + 2c2r2 + 1-2 f0cj, (2)
где с = и/а2, k = 2n/X.
Вычислительный эксперимент
Для исследования работы фокусирующих оптических элементов требуется рассчитать создаваемые ими в фокальной области световые поля. При этом необходимо принимать во внимание конечное разрешение б по плоскости ЭПО и конечное число уровней квантования фазы. При использовании для изготовления радиально-симметричных ЭПО фотопостроителей с круговым сканированием величина б определяется минимальной шириной кольца фотошаблона, то есть "размером пятна" фотопостроителя. Таким образом, принимаемая модель фазовой функции синтезируемого радиально-симметричного ЭПО имеет вид
N г-г х
Ф(г) = Е ф • rect (-, (3)
р=1 Р б
где
N = [а/б] - суммарное число колец разрешения на оптическом элементе;
А ___
Фр - значение фазы на р-м кольце разрешения (р=1,Ы);
г 1 = (р - |)б - радиус центра р-го кольца, р - а
Считая, что б » X, воспользуемся для оценки комплексной амплитуды
>/(р, г) в точке наблюдения (р, г), где р = ^ х2+у2 (см. рис. 1), интегралом Кирхгофа. При условии 2а « £о можно показать [3], что комплексная амплитуда поля г) вблизи базовой точки (р0, г) представляется в виде суперпозиции полей, созданных отдельными кольцами разрешения
(гр_1г гр), р="Пы:
2 _ 2
w(p, z) = —' exp I ik (L + -а)
iLoz * | 2L.
oz
N л Гр
Е E(rp.a) . ехР(1фр) / expi-i^l, (s,rdrf (4)
P 1 p-l a
где
rp = P-6, p=T7n; Lqz = V(fo+z)2+Pq ; q = ~ka2 (ТГ7 " L7>;
2
о г 0 оа
Одним из способов вычисления интеграла (4) является метод, использующий функции Ломмеля [4]. При этом поле от каждого кольца разрешения г€ [гр-1'гр] представляется в виде разности полей от двух отверстий радиусом гр и соответственно:
N-1 w(o,z) Z р=1
Е(гр-5> ехр(1фр) - E(rp+i) expd^j • wp(p,z) E(rN_l) . exp(i$N) • wN(p,z),
где
*/р(р,г) - комплексная амплитуда светового поля, созданного в точке
наблюдения отверстием радиуса г , р=1,Ы. Как показано в работе [4], для юр(р,г) имеет место формула
к зг
ехр
[±к(Ь
ог
2 2 . р - Рор].
2Ь
ог
1до
"ехр (—чг* ) • и,(д , б ) + 1 ехр (--—, б ) при
1 Чг
Р 1 Ч.
* 1,
- 1 ехр + ехр(-у^) Vo (др, зр) - ехр ( - 2
^(др, вр)
при
!е
Б
р
> 1,
(61
где
кГ£р_
07.
ип и Уп - функции Ломмеля [4].
Результаты вычислительного эксперимента
Алгоритмы расчета дифракционного интеграла реализованы в виде комплекса программ для ЕС ЭВМ, сопряженного с пакетом прикладных программ обработки изображений и цифровой голографии [5] и комплексом графических программ ГРАФОР. Осуществленный с помощью разработанного программного средства вычислительный эксперимент с фокусатором в тонкий продольный цилиндр на оптической оси выявил следующие характерные особенности распределения света:
а) вытянутая фокальная область с глубиной ~(0,7т0,9)н;
б) спад интенсивности к концам "отрезка фокусировки";
в) значительные перепады интенсивности вдоль отрезка [0, и], обусловленные дифракционными эффектами на кольцевой структуре фокусатора.
На рис. 2 представлены изофоты распределения света в фокальной области фокусатора с повышенной глубиной фокуса с параметрами: £0 = 300мм, Л = 0,633 мкм, а = 12,8 мм, х= 15 мм, N = 128. График распределения интенсивности вдоль оптической оси для тех же параметров фокусатора -кривая б на рис. 3. Нормировка произведена на значение интенсивности в фокусе объектива. Среднеквадратичное отклонение интенсивности вдоль отрезка фокусировки" составляет 0,374, а максимальное отклонение Д1/1 = 0,9, где I - среднее значение интенсивности вдоль отрезка.
рис. 3- Распределение интенсивности I (2,0)/I (0,0) вдоль оптической оси-а - "идеальный фокусатор", б - фокусатор (2), в - фокусатор с корректированной фазовой функцией
рис. 2. Изофоты трехмерного распределения интенсивности I(г,р)/I(0,0) в фокальной области фокусатора с повышенной глубиной фокуса и = 15 мм при ¿о = 300 мм, а = 12,8 мм, Л = 0,633 мкм, N = 128
г (мм)
Процедура корректировки
Анализ результатов вычислительного эксперимента приводит к необходимости корректировки фазовой функции фокусатора на основе полученных распределений интенсивности света. Для этого разработан алгоритм и написана программа расчета оптического элемента, концентрирующего излучение в тонкий продольный цилиндр на оптической оси с заданным распределением энергии вдоль него. Алгоритм расчета построен на численном решении системы (1) для произвольного . Реализованная итерационная процедура корректировки фазовой функции фокусатора заключается в формировании нового w(z) на основании данных вычислительного эксперимента на предыдущем шаге:
"к+1(2) = мк(2) + Ь'(*к " 1к(2'0))' 2 (7)
Здесь (г) (г) ) - линейная плотность мощности, используемая
при расчете фокусатора на к-той (к+1-й) итерации; 1к(г,0) и - полученные в результате вычислительного эксперимента на к-той итерации соответственно распределение интенсивности и среднее значение интенсивности вдоль отрезка [0,н]; Ь - оптимизируемый параметр, выбирается таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратичное отклонение интенсивности вдоль отрезка
е
к+1 " ^
н
2
£ (1к+1 - 1к+1(«,о>)аа* _ {8)
н хк+1
Исследователь может вмешиваться в ход вычислительного эксперимента, прерывая его в случае появления на экране дисплея приемлемого результата. Кривая в на рис. 3 - распределение интенсивности, полученное в результате трех шагов итерационной процедуры. При снижении среднего уровня интенсивности с 3,21 до 3,05, то есть менее чем на 5%, достигнуто среднеквадратичное отклонение интенсивности 0,26 и максимальное отклонение интенсивности от среднего Д1/1 = 0,53.
Заключение
Вычислительный эксперимент, основанный на предложенных дифракционных соотношениях и разработанных программных средствах, позволяет не только визуализировать и количественно проанализировать сложные распределения светового поля от плоских оптических элементов, но и создать корректирующую процедуру для оптимизации фазовой функции фокусатора с повышенной глубиной фокуса.
Результаты вычислительного эксперимента позволяют перейти к синтезу соответствующих ЭПО и их экспериментальному исследованию в оптической
системе.
Литература
1. Сисакян И.H., Сойфер В.А. Тонкая оптика, синтезируемая на ЭВМ. - В кн.: Физические основы и прикладные вопросы голографии. - Л.: ЛИЯФ, 1984, с. 142-164.
2. Голуб М.А., Прохоров A.M., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Машинный синтез оптических компенсаторов для получения асферических волновых фронтов. Препринт ФИАН СССР, № 29, М., 1981.
3. Васин А.Г., Голуб М.А., Данилов В.А., Казанский Н.Л., К а р п е е в C.B., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Уваров Г.В. Расчет и исследование когерентного волнового поля в фокальной области радиально-симметричных оптических элементов. Препринт ФИАН СССР, » 304, М., 1983.
4. Б о р н М.,' В о л ь ф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973.
5. Пакет прикладных программ обработки изображений и цифровой голографии. - Государственный фонд алгоритмов и программ. Регистрационный № П004582 от 1.09.1980.
