Пространственные линейные стоки конечной длины с неравномерным распределением интенсивности Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК

МГСУ-

УДК 532.5.031

И.Е. Михайлов

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНЕИНЫЕ СТОКИ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ С НЕРАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ИНТЕНСИВНОСТИ

Рассмотрены течения, вызываемые пространственными линейными стоками конечной длины с неравномерным распределением интенсивности, расположенными в безграничном пространстве, заполненном идеальной жидкостью. Получены аналитические зависимости, позволяющие определять кинематические характеристики исследованных течений.

Ключевые слова: линейный сток, распределение интенсивности, потенциал скоростей, линии тока, кинематические характеристики.

Потенциальные течения, вызываемые стоками (источниками) и их различными сочетаниями, расположенными в безграничном пространстве, заполненном идеальной (невязкой) жидкостью, изучались многими учеными в различных странах мира. Материалы этих исследований опубликованы в специальной литературе, в которой рассматриваются вопросы гидромеханики, механики жидкости и газа и т.п. [1—7]. В данной статье, в отличие от уже известных материалов, исследуются потенциальные течения, индуцируемые пространственными линейными стоками конечной длины с неравномерным распределением интенсивности (расхода) по их длине.

Рассмотрим три варианта линейных стоков длиной 2а, расположенных в безграничном пространстве, заполненном идеальной жидкостью (рис. 1), с характерными законами распределения интенсивности р^).

О

& А.

линейный сток

я1-™ (л+ли ш-1а

а б

Рис. 1. Линейные стоки конечной длины с неравномерным распределением интенсивности: а — расположение стока в безграничном пространстве; б — законы неравномерного распределения интенсивности по длине линейного стока

Вариант А

р( г) = т + п С,, (1)

где £ = -а...а; т и п — размерные параметры.

Функция потенциала скоростей движения, вызываемого этим стоком, может быть записана [1, 2] в следующем виде:

_ _? (m + nZ)dZ _ _^ f 4n J l J

(m + nZ )dZ

4n

4(z _ Z)2 +(r _ R0 )2'

где г - £ — текущая координата при интегрировании по длине стока. Обозначим г - £ = к, тогда

^ m Г Ф _— I 4п J

dk

\

(z _ k) dk

^k2 +(r _R)2 4n zl^k2 + (r _R,)

Выполнив интегрирование, получаем

Ф = -

га + nz

4п

Arsh——— - Arsh-Z + a

r - R

r - R

n

- 4П( - )'

где ^ ; ^ = ^( г + а )2 +(г - ^ )2. (3)

Компоненты скорости Уг и V, рассматриваемого движения являются частными производными функции потенциала скоростей и определяются следующими выражениями:

К = -

К = -

дФ

дг

дФ

m + nz

4n(r -R0)

z - a z + a

oJ V i

n , z + a +12

= — ln 2

+

n(r - Ro)

dz 4n z - a +t1

m 4n

2 J

'1 P

V ti

2J

4n

na 4n

V ti

11

t

2J

11

+

t

\

(4)

Vt-

2J

Принимаем п = кш/а при к = 0...1.

Тогда при всех значениях к т = д/2а, п = кq а , где д — расход стока, м3/с, закон распределения интенсивности стока по длине, р(г) = т + п£ принимает вид, представленный на рис. 2, а.

Рис. 2. Схемы к определению связи между коэффициентами закона неравномерного распределения интенсивности и расходом стока

ВЕСТНИК

МГСУ-

Выражения для составляющих скорости (4) при этом принимают вид

V., =■

8па2

а + кг

г - Я,

г - а г + а

К ^

+

к (г - Я)

1 1

К '1

ч у

V =-

8па

к. г + а +

—1п-2

а г - а +1

1 + к 1 - к +

(5)

и

и

ч ч ч у

При к = 0 имеет место равномерное распределение интенсивности по длине стока (см. рис. 2, а); при к = 1 интенсивность по длине стока распределяется по треугольнику, а для 1 > к > 0 распределения интенсивности принимают промежуточные варианты.

Линии тока жидкости (меридиональные сечения поверхностей тока) рассматриваемого движения определяются, как известно, уравнением

dr dz

V ~ V'

г z

Уравнение (6) для данного стока не решается в квадратурах. Оно может быть записано и решено методом конечных разностей

1 + к 1 - к

(6)

Ьг = -

к, z + a + и2 1п-2

a z - a + ^

и

и

г - Я,

z - а

к 1

+ к (г - Я,)

1 1

к ^

'2 У

Дг.

(7)

Расчеты по (7) показали, что линии тока представляют собой гиперболические кривые. Все пространство, заполненное жидкостью, делится горизонтальной поверхностью тока примерно на две части. В верхней части линии тока направлены сверху вниз, а в нижней — снизу вверх.

Координата zq/2 пересечения этой поверхности со стоком находится по выражению

41

z щ = а-

q|2

-к1 -1 к

(8)

Соотношение между расходом стока q и расходом Q между двумя поверхностями тока (см. рис. 2, а) определяется следующей формулой:

Q = -а[2а + к(Ь -Ъ2)](Ь + Ь2).

(9)

Движение жидкости, вызываемое данным стоком, по условию должно быть потенциальным и неразрывным, т.е. обязано удовлетворять условиям потенциальности

дУг = дУ2

дz дг и неразрывности

1 д[¥г (г - Я,)] дУ2

(10)

= 0.

(11)

г - R0 дг дz

Продифференцировав скорости Уг и V (4) в соответствии с (10) и (11), убеждаемся, что условия потенциальности и неразрывности выполняются.

Вариант Б. Линейный сток длиной 2а (см. рис. 1) с законами распределения интенсивности:

р(г) = т + пС, на участке £ = 0...а,

р(г) = т - п£ на участке £ = 0...(-а), (12)

где, как и ранее, т и п — размерные параметры.

Функцию потенциала скоростей Ф течения, вызываемого этим стоком, можно записать [1] в следующем виде:

(т - пС,) 1 г (т + пС,)

J

ф _--

4 п

1 о

^ Г

Lit J

V(z _ С )2 _(r _ R )2 4пЧ (z _ С )2 + (r _ R0 )

Обозначая г - £ = к, после интегрирования получаем

т + пг . , г - а т - т . , г + а 2 т . , г Ф =-ЛгсЬ---ЛгсЬ---ЛгсЬ-+

4п

r - R

4п

r - R 4п r - R0

(13)

+—(2t -t2 - tx), 4n

где t = ^г2 +(г - Я0)2 (см. рис. 1).

Принимаем, как и в варианте А, п = кт/а.Тогда распределение интенсивности по длине стока для различных значений к имеет вид, представленный на рис. 2, б и т = д/(2 + к)а.

Уравнение (13) при этом записывается так:

Ф =

4па2(2+к)

(а + kz) Arsh ——а - (а - kz)Arsh -Z + °

- 2kzArsh-

r - R

r - R + к (21 -12 - ij)

r - R

(14)

Продифференцировав (14) по г и г, получаем выражения, по которым определяются составляющие скорости

(а + kz)( - а) (а - kz)( + а)

V =

4na2 (2 + к)(r - R)

■ - 2kt +

+к(r - R )2

1 1

—+ —

V t2 t1

V =■

/(1 + к)

(1 1

V t2 t1 J

-k [in (z + a +12 )-

(15)

4ла2 (2 + к)

+ 1п ( - а + ^ )] + 2к 1п (z +1)}.

Уравнение (6) линий тока, как и в варианте А, не решается в квадратурах. В конечных разностях оно имеет следующий вид:

( 11 ^ / Sz = a(1 + k)---l-k [ln (z + a + t2 ) + ln (z-a + t1 )] + 2k ln(z + t)

V ^2 t1 J /

(a + kz)(Z - a) - (a - kz)(Z + a) - 2kt + k (r - R )

r - R

1 1

—+ —

V t2 t1 J

(16)

-a

ВЕСТНИК

Из (15), с учетом (3), видно, что при г = 0: ?2 = , Уг = 0 , а Уг Ф 0.

Следовательно горизонтальная плоскость, проходящая через середину стока, является поверхностью тока. Расчеты по (16) показали, что линии тока представляют собой конфокальные гиперболы, а поверхностями тока являются гиперболоиды, образованные вращением этих гипербол относительно оси, проходящей через сток. При г = 0 гиперболоид вырождается в горизонтальную плоскость, а при г =Я0 верхний и нижний гиперболоиды — в прямые линии, проходящие через сток.

Поскольку поверхностями тока являются конфокальные гиперболоиды, эквипотенциальные поверхности представляют собой конфокальные эллипсоиды [3], образованные вращением эквипотенциалей относительно оси, проходящей через сток.

Расход Q между двумя поверхностями тока (см. рис. 2, б) определяется из формулы

в которой в знаменателе принимается знак (+), когда одна поверхность тока расположена выше, а другая ниже горизонтальной поверхности (г = 0), и знак (-), если обе поверхности тока с одной стороны от нее и Ъх > Ь2. В (17) q — расход стока, м3/с. Рассмотренное движение также удовлетворяет условиям потенциальности (10) и неразрывности (11) потока.

Вариант В. Законы распределения интенсивности по длине стока (см. рис. 1): р(= т - п£ на участке £ = 0...а,

р(т) = т + пС, на участке £ = 0...(-а). (18)

Распределение интенсивности стока по варианту В отличается от стока по варианту Б только знаком перед членом пС,. Поэтому функции потенциала Ф и составляющих скоростей Уг и Уг для вариантов В и Б содержат одинаковые по структуре члены, различающиеся знаком перед выражениями, содержащими сомножитель п. Учитывая это, приведем для стока по варианту В только основные аналитические зависимости.

При п = кт / а и т = q /(2 - к)а, где к = 0...1, распределение интенсивности по длине стока принимает вид, представленный на рис. 2, в.

Функция потенциала скоростей для данного стока описывается следующим выражением:

q

2(2 + к )а2

Q,

(17)

(2а + Щ )Ъ ± (2а + кЪ2 )Ъ

2

Ф =

4па2(2 - к)

(а - к2 )АГ8И——а

г - К

(а + к2 )АгеЬ 2 + а +

г - К

(19)

+2кгАгеЬ —2--к ( - ?2 - ^) .

г - К _

Формулы для составляющих скорости имеют такой вид а (а — кг)(г — а) (а + кг)(г + а)

а

+ 2Ы —

—к (г — В0 )2 [ 1 + }'

V 12 ч у

(20)

V, =-

4па (2 - k)

а (1 - k)

1 1

V * 2

+ k [ln( z + a +12) +

ч

+ln(z - a +11) ] -2k ln(z +1)}.

Уравнение линий тока в конечных разностях записывается в следующей форме:

(

Sz = a (1 -k)

1 1

Л

V f2

1

k [ln ( z + a +12) + ln ( z -a + t1)] - 2k ln( z + t) j

(r -R)

(a - kz)(z - a) (a + kz)(z + a) t1 t2

+2kt - k (r - R0 )2

11

V t2

1

(21)

Sr.

Линии тока, как и в варианте Б, представляют собой конфокальные гиперболы, а поверхностями тока являются гиперболоиды, образованные вращением линий тока относительно оси z' (см. рис. 1). При z = 0 гиперболоид вырождается в горизонтальную плоскость, перпендикулярную стоку, а при r = R0 — в прямые линии, проходящие через сток.

Расход Q, м3/с, между двумя поверхностями тока, расположенными по обе стороны на одинаковом расстоянии «b» от горизонтальной поверхности тока, проходящей через середину стока, определяется из формулы

q = £-к>4 Q.

2ab - kb2

Выводы. 1. Течение жидкости, вызываемое пространственными линейными стоками конечной длины, осесимметрично относительно оси, проходящей через стоки.

2. Линии тока рассмотренных течений представляют собой конфокальные гиперболы, а поверхностями тока являются конфокальные гиперболоиды, образованные вращением конфокальных гипербол относительно оси, проходящей через стоки.

Библиографический список

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1987.

2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М. : Физмат, 1963.

3. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М. : Наука, 1969.

4. Batchelor G.K. An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press. 1973.

5. Chanson H. Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 2009, 487 p.

6. Lamb H. Hydrodynamics. 6th edition. Cambridge University Press, 1994, 768 p.

7. Milne-Thomson L.M. Theoretical Hydrodynamics. 5th edition. Dover, 1996, 768 p.

Поступила в редакцию в январе 2013 г.

Об авторе: Михайлов Иван Евграфович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].

ВЕСТНИК o/on^/l

2/2014

Для цитирования: МихайловИ.Е. Пространственные линейные стоки конечной длины с неравномерным распределением интенсивности // Вестник МГСУ 2014. № 2. С. 164—170.

I.E. Mikhaylov

SPATIAL LINEAR FLOWS OF FINITE LENGTH WITH NONUNIFORM INTENSITY DISTRIBUTION

Irrotational flows produced by spatial linear flows of finite length with different uneven lows of discharge over the flow length are represented in cylindrical coordinate system. Flows with the length 2a are placed in infinite space filled with ideal (inviscid) fluid. In "А" variant discharge is fading linearly downward along the length of the flow. In "B" variant in upper half of the flow (length a) discharge is fading linearly downward, in lower half of the flow discharge is fading linearly from the middle point to lower end. In "C" variant discharge of the flow is growing linearly from upper and lower ends to middle point.

Equations for discharge distribution along the length of the flow are provided for each variant. Equations consist of two terms and include two dimensional parameters and current coordinate that allows integrating on flow length. Analytical expressions are derived for speed potential functions and flow speed components for flow speeds produced by analyzed flows. These analytical expressions consist of dimensional parameters of discharge distribution patterns along the length of the flow. Flow lines equation (meridional sections of flow surfaces) for variants "A", "B", "C" is unsolvable in quadratures. Flow lines plotting is proposed to be made by finite difference method. Equations for flow line plotting are provided for each variant. Calculations of these equations show that the analyzed flows have the following flow lines: "A" has confocal hyperbolical curves, "B" and "C" have con-focal hyperboles. Flow surfaces are confocal hyperboloids produced by rotation of these hyperboles about the axis passing through the flows. In "A" variant the space filled with fluid is separated by vividly horizontal flow surface in two parts. In upper part that includes the smaller part of the flow length flow lines are oriented downward, in lower part - upward. The equation defining coordinate of intersection of this flow surface and flow is also provided. In "B" and "C" variants horizontal flow surface passes through the center of the flow and its discharge is divided in this point in two equal parts. Equation of flow discharge dependence of discharge of fluid between the two flow surfaces is provided for each variant. These equations allow calculating fluid discharge between the two flow surfaces for known flow discharge and vise versa calculating flow discharge for known discharge between the two flow surfaces. The analyzed flows meet the conditions of flow potentiality and continuity.

Key words: linear flow, intensity distribution, speed potential, flow line, kinematic characteristics.

References

1. Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of Liquid and Gas]. Moscow, Nauka Publ., 1987.

2. Kochin N.E., Kibel' I.A., Roze N.V. Teoreticheskaya gidromekhanika [Theoretical Hydromechanics]. Moscow, Fizmat Publ., 1963.

3. Shabat B.V. Vvedenie v kompleksnyy analiz [Introduction into Comprehensive Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1969.

4. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1973.

5. Chanson H. Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 2009, 487 p.

6. Lamb H. Hydrodynamics. 6th edition. Cambridge University Press, 1994, 768 p.

7. Milne-Thomson L.M. Theoretical Hydrodynamics. 5th edition. Dover, 1996, 768 p.

About the author: Mikhaylov Ivan Evgrafovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

For citation: Mikhaylov I.E. Prostranstvennye lineynye stoki konechnoy dliny s neravno-mernym raspredeleniem intensivnosti [Spatial Linear Flows of Finite Length with Nonuniform Intensity Distribution]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 2, pp. 164—170.