CC BY
15
БИОФИЗИКА И МЕДИЦИНСКАЯ ФИЗИКА
Пространственно-временная модель урбоэкосистем как сопряженных активных сред
А. Э. Сидорова1,0, Ю.В. Мухартова2,6
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет,
1 кафедра биофизики; 2 кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: a [email protected], 6 [email protected]
Статья поступила 26.04.2013, подписана в печать 22.05.2013.
В настоящей работе рассмотрена пространственно-временная модель урбоэкосистем как сопряженных активных сред. Данный подход основан на представлении урбоэкосистем как самоорганизующихся систем, направлен на выявление пороговых значений управляющих параметров и представляется перспективным при оценке системной устойчивости к внутренним и внешним флуктуациям.
Ключевые слова: самоорганизация, иерархия активных сред, автоволны, урбоэкосистемы.
УДК: 573.01. PACS: 02.30.Jr.
Введение
В настоящее время урбоэкосистемы (УЭС) — один из наиболее активно эволюционирующих элементов экосферы — характеризуются значительной фрагмен-тированностью антропогенных воздействий и биоценозов, размытостью системных границ, подавляющим количеством необратимых системных процессов, несоответствием характерных времен и масштабов эволюции природной и антропогенной подсистем. Представление УЭС в качестве взаимодействующих природно-антропогенных подсистем состоит в рассмотрении общих закономерностей экологически опасных перекрестных антропогенных воздействий, генерируемых территориально связанными промышленными и жилыми объектами, а также буферной емкости природных подсистем, составляющих общие урбобиоцено-зы. Теоретической базой представляемого системного анализа является анализ устойчивости УЭС, который строится на основе синергетических представлений об автоволновой самоорганизации в распределенных активных средах [1].
Система, в которой происходят процессы самоорганизации, с необходимостью функционирует в колебательном режиме. В пространстве это режим волновой, а в активной среде, где самой системой поддерживается устойчивость — автоволновой. Необходимой предпосылкой возникновения эффекта самоорганизации в границах природно-антропогенных экосистем, является си-нергетическое соответствие биотических и абиотических факторов масштабам антропогенного воздействия. В УЭС как неравновесных системах при одном и том же наборе начальных условий и локальных неоднород-ностей (вне критических условий функционирования) за счет многоплановой и постоянно усложняющейся сети прямых и обратных связей увеличивается взаимовлияние элементов подсистем и возрастает множество возможных траекторий развития.
Среда с распределенным ресурсом энергии и сцепленным сетью обратных связей континуумом нелиней-
ных трансформаторов энергии формирует диссипатив-ную автоволновую структуру с новыми выделенными степенями свободы на макроскопическом уровне [1]. Линейным системам присущ принцип суперпозиции, а нелинейным — неаддитивность, формируемая высокой интенсивностью эндогенных процессов или петлями отрицательных и положительных обратных связей. Поэтому в нелинейных открытых неравновесных системах малые флуктуации способны развиваться в «гигантские», образуя диссипативные структуры. В результате нелинейности и неаддитивности системных процессов в УЭС наибольшее количество прямых и обратных связей приходится на долю природной подсистемы как более стабильной структуры, положительные обратные связи, в основном, наблюдаются на подси-стемном уровне, а отрицательные — между подсистемами, что лимитирует структурно-функциональные возможности системы в целом [2, 3]. Нелинейным взаимодействиям в открытых системах, к которым относятся УЭС, свойственны дальнодействующие корреляции, амплитуды которых растут по мере приближения к точке бифуркации и тем самым переводят систему через этап статистической независимости к когерентной согласованности элементов. Этот процесс связан с зависимостью управляющих (критических) параметров экосистемы от структуры и свойств подсистем и наоборот. Чем сложнее структура экосистемы (иерархии и сети прямых и обратных связей), тем сложнее функциональные взаимодействия и тем большему количеству перемежающихся стационарных устойчивых и неустойчивых состояний одновременно может быть подвержена система (мультистабильность).
Устойчивость в значительной степени фрагментиро-ванных городских биоценозов связана с синергизмом воздействий на экосистему различных факторов — площади биоценозов, их количественного и качественного состава, климатических условий, антропогенных факторов, численности и плотности населения и др., что ограничивает буферную емкость природной подсистемы УЭС. В большинстве случаев характерные для
УЭС антропогенные факторы связаны с формированием техногенных полей, охватывающих практически всю верхнюю часть литосферы (в границах экосистемы) и оказывающих совокупное неаддитивное воздействие на формирование структуры и функций экосистемы.
В общем случае УЭС можно отнести к реакционно-диффузионно-автокаталитическим системам. Термодинамическая неравновесность, нелинейность, бифуркационное развитие — синергетическая база самоорганизации УЭС в моделях активных сред [4]. Распределенный ресурс системы утилизируется взаимосвязанными нелинейными локальными трансформаторами: для физико-химической системы — это распространяющаяся в пространстве фаза процесса. Локальные трансформаторы энергии и вещества ее не переносят, а высвобождают и преобразуют сопряженно с автокаталитическим преобразованием вещества при наличии «возмущения» в соседних ячейках или при получении управляющего сигнала через обратную положительную или отрицательную связь.
УЭС как иерархические сопряженные активные среды обладают следующими свойствами:
1) наличием распределенного ресурса (энергия, вещество, информация) и источников воздействия, модулирующих системные процессы. Вследствие существования рефрактерных зон исключены явления интерференции. Возможно наличие различных динамических режимов (регулярных автоколебательных и автоволновых) и нерегулярных — хаотических;
2) УЭС — нелинейные динамические макроструктуры, образующие иерархические системы из сопряженных природных и антропогенных подсистем. Для упрощения трехмерная иерархическая структура рассматривается как двумерная. Динамика УЭС определяется взаимодействиями прямых и обратных связей взаимодействующих подсистем;
3) управляющими параметрами являются природные и антропогенные факторы (возбудимые элементы), формирующие длину и форму автоволн;
4) скорости природных процессов много меньше скоростей антропогенных процессов, Поэтому принимаем в качестве активатора общесистемных процессов — антропогенные процессы, а ингибитора — природные;
5) УЭС обладают свойством самоорганизации, проявляющимся в образовании автоволновых диссипа-тивных структур, формирующих выделенные степени свободы. В подобных средах происходит уменьшение исходного числа степеней свободы, эффективно описывающих систему. Выделенные степени свободы определяют типы симметрии образующихся структур и тенденции их эволюции;
6) для УЭС как неоднородных активных сред возможно возникновение подпороговых взаимодействий соседних элементов.
Рассмотренные свойства позволяют качественно оценить пороговые и подпороговые условия распространения автоволнового процесса в зависимости от значения коэффициентов диффузии активатора и ингибитора (качественный переход в режимах происходит уже при близких по значению соотношениях коэффициентов диффузии), расположения возбудимых, слабо-
возбудимых и невозбудимых зон, наличия латентных источников автоволн и от других факторов.
1. Пространственно-временная модель урбоэкосистем как сопряженных активных сред
На базе уравнения Фитц-Хью-Нагумо [5] авторами предложена система уравнений
^И-в..—^ = _
сП
дх2 )
= —и(и — а)(и — 1) — иь,
дь ^ д2ь
д — в дХ2 = -^ + ви
(1)
где и — функция интенсивности активатора (антропогенных процессов); V — функция интенсивности ингибитора (природных процессов). Предложенное авторами произведение иь расширяет возможности анализа перекрестных взаимодействий. 0.05 < а < 0.25 — параметр активации системы (определяется в зависимости от численности населения и плотности в соответствии с кривой Гаусса); 7 — кинетический параметр затухания потенциала ингибитора, 7 >0; в — кинетический параметр взаимодействия активатора и ингибитора, в >0.
В линейных системах, близких к состоянию равновесия, сопряженные многокомпонентные потоки вещества и энергии связаны линейными соотношениями Онзагера, где перекрестные коэффициенты определяют взаимовлияние потоков. Интенсивности потоков могут быть разными, но матрица коэффициентов симметрична. В нелинейных системах кинетические параметры прямых и обратных взаимодействий не равны, и воздействие потоков друг на друга становится несимметричным. Чем больше потенциал активатора, тем больше от него зависим потенциал ингибитора, поэтому как прямой коэффициент параметр 7 значительно больше перекрестного.
Ви и — коэффициенты диффузии активатора и ингибитора, е — параметр, характеризующий скорость распространения активатора (е >0 и е < 1), отражает значительное различие скоростей изменения функций активатора и ингибитора: скорость изменения и значительно больше скорости изменения V. Всплеск функции и формируется при достаточно малых значениях е. Для параметров а = 0.2, 7 = 0.5, Ви = 0.25, = 0.06 и при начальных условиях
Ц)(х) =
Г0.7,
0,
х € [0.51—0.1,0.51+0.1],
х € [0,0.51—0.1) и (0.51+0.1, Ь],
получаем, что даже при в = 0 решение уравнения (1) для функции интенсивности активатора не затухает только при 0< е < е0, где е0 « 0.151 (Ь — длина расчетной области). Иначе говоря, для формирования описанных выше структур действительно нужно существенное различие скоростей процессов, связанных с ингибитором и активатором.
Система рассмотрена на интервале х € (0,1) с граничными условиями Неймана
ди,
дь,
дх 'х=0- х=1 дх 1х=0, х=1 0
и начальными условиями
и|<=0 = и0(х), = Ь0(х), х € [0, /].
2
е
Вырожденное уравнение
и (и — а)(и — 1) + ии = 0
имеет три корня: и = 0, а и2 и и3 действительны только при условии
V <
(1 — а)2
(2)
При выполнении условия а + V >0 нулевые корни и! и и3 устойчивы, а корень и2 неустойчив.
При условии существования на некотором интервале I изменения функции V интеграла
Ф^)
[ (и, V) йи = 0,
где [(и, V) <0 при и2 < и < Ф^), V € I данная система уравнений может допускать решение типа всплеска [6] и ненулевые действительные корни при условии
2а2 — 5а + 2
V <
9
(3)
Существенно, что при выполнении условия (3) условие (1) заведомо выполняется.
Рассмотрим основные условия «рождения» автоволны в неоднородной среде без учета зависимости а от плотности населения (упрощенная модель).
1. Если параметр в, отвечающий за связь функции ингибитора V с функцией активатора и достаточно мал, условие (7) выполняется во всей расчетной области в любой момент времени. В качестве начального условия для и был взят всплеск
Ц)М =
0.7, х € [4.9,5.1], 0, х € [0,4.9) и (5.1,10].
Максимальное значение функции и0(х) выбрано в области влияния устойчивого корня и3(0). Начальные условия для функции V приняты нулевыми. С течением времени решение и(х, £) притягивается к устойчивому корню и3 , и всплеск расплывается до порогового значения, занимая всю расчетную область (рис. 1).
Достижение процессом активатора порогового уровня в данном случае связано со значительным различием между коэффициентами диффузии активатора и ингибитора (= 4.16) и между соответствующими параметрами (7/в = 277.8). В данном случае можно говорить о прессинговом воздействии антропогенных факторов и, следовательно, о формировании необратимого процесса в экосистеме.
2. Все параметры, кроме в = 0.2, такие же, как и в первом случае. При выбранном параметре в функция V в центре области, занимаемой всплеском функции и, достигает значений, при которых нарушаются условия (2) и (3). Правая часть уравнения для функции
и, V 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
а .........и
и, V 1.0
0.8 0.6 0.4 0.2 О
0123456789*
Рис. 1. «Расплывающийся» всплеск активатора: а, б — начальная и конечная стадии процесса при £ = 0.1, 7 = 0.5, а = 0.2, в = 0.0018, Ои = 0.25, Оц = 0.06, I = 10 (пунктиром обозначена функция активатора,
сплошной линией — функция ингибитора)
б
активатора u в центре всплеска имеет только один (нулевой) устойчивый корень. При нулевых начальных условиях функция ингибитора v отлична от нуля только внутри области всплеска функции активатора u, а ближе к его краям условие (3) выполнено. В этом случае формируются два бегущих импульса. Решение u(x, t) притягивается к устойчивому корню в соответствующей области. В этом случае решение u(x, t) притягивается к устойчивому корню в соответствующей области (рис. 2).
Во втором случае соотношением констант активатора и ингибитора (7/в = 2.5) почти в 100 раз меньше, чем в первом случае. Результат: потенциал природных процессов оказывается достаточным для нивелирования негативных антропогенных процессов путем возбуждения двух разнонаправленных автоволн. Таким образом, можно сделать вывод, что необратимость/обратимость системных процессов зависит от соотношения констант активатора и ингибитора y/в.
3. Два одинаковых импульса, движущихся навстречу друг другу, аннигилируют (рис. 3).
Для аннигиляции негативных воздействий, сформированных в какой-то точке пространства, достаточно найти в системе отрицательных обратных связей факторы, которые, будучи приложенными в другой точке этого пространства, уничтожат эти воздействия. Этот случай аналогичен одному из способов борьбы с пожарами: встречное пламя уничтожает первичный пожар. Учитывая полученные данные, важным представляется нахождение оптимального пространственного расположения зон воздействия активатора и ингибитора при
а
1 .........и
— V
0 2 4 6 8 10 12 *
условии одинаковых встречных импульсов.
4. Несимметричные начальные условия. Если функция ь0(х) отлична от нуля в области левее начального всплеска функции и, причем ь0(х) принимает значения, при которых правая часть уравнения для функции и имеет лишь один вещественный корень и = 0, то до тех пор, пока ь(х, I) не достигнет значений, при которых выполнено условие (2), формируется бегущий вправо импульс и(х, £) (рис. 4), 7/в = 3.8.
Расширение начального всплеска функции активатора в полной мере можно отнести за счет «запаздывания» функции ингибитора, которая не успевает противодействовать формированию всплеска. Этот вывод очень важен в условиях чрезвычайной мозаичности биоценозов в УЭС. На скорость и площадь распространения автоволнового режима влияет пространственное распределение и размеры локальных невозбудимых, слабовозбудимых зон и зон повышенной возбудимости в неоднородной среде. Так, при наличии только локальной зоны повышенной возбудимости (следовательно, остальную среду можно рассматривать как квазиоднородную) происходит практически симметричное распространение автоволн в двух направлениях. Несимметричное распространение возбуждения возникает при наличии локальных зон разной возбудимости, а также, если ширина зоны пониженной возбудимости сопоставима с критической. Для каждого значения параметра, характеризующего возбудимость неоднородного участка, существует критическое значение ширины невозбудимой зоны, при котором автоволна способна продолжить дальнейшее распространение [7].
б
и, VI
1.0---------
0.8---[-1---
0.6---[-1---
0.4---1---1---
0.2---I--4---
О 2 4 6 8 10 12 х
О 24 6 8 10 12 х О 24 6 8 10 12 х
Рис. 2. Провал «расплывающегося» всплеска активатора в центре и формирование двух бегущих импульсов при формировании волн возбуждения активатора и ингибитора в одной зоне пространства — центре исследуемой области: а, б, в, г — стадии процесса при е = 0.1, 7 = 0.5, а = 0.2, в = 0.2, Ои = 0.25, Оц = 0.06, I = 10 (пунктиром обозначена функция активатора, сплошной линией — функция ингибитора)
О 24 6 8 10 12 х О 24 6 8 10 12 х
Рис. 3. Аннигиляция одинаковых встречных импульсов: а, б, в, г — стадии процесса при £ = 0.1, 7 = 0.5, а = 0.2, в = 0.2, Ои = 0.25, Оц = 0.06, I = 14 (пунктиром обозначена функция активатора, сплошной
линией — функция ингибитора)
и, V 1.0
0.8 0.6 0.4 0.2 0
а 1 .........и
-V
и, V 1.0
0.8 0.6 0.4 0.2 0
024 6 8x024 6 8 х
Рис. 4. Расширение начального всплеска функции и (несимметричные начальные условия): а, б — начальная и конечная стадии процесса при £ = 0.1, 7 = 0.5, а = 0.2 , в = 0.13, Ои = 0.25, Оц = 0.06, I = 14 (пунктиром обозначена функция активатора, сплошной линией — функция ингибитора)
В качестве примера использования данного подхода можно привести следующий. Для УЭС полученные закономерности связаны с расположением и размерами биоценозов и строений в условиях воздействия электромагнитных полей (ЭМП) промышленных частот. Большая часть биомассы сосредоточена в верхних слоях литосферы, и именно низкочастотные ЭМП могут распространяться в грунте на значительные расстояния от источника возбуждения. Это обусловлено параметрами источника (геометрические размеры и форма, сила тока, степень защищенности сооружений от утечек) и удельным электрическим сопротивление грунта [8]. С другой стороны, в отличие от высокочастотных полей, характеризующихся скин-эффектом,
ЭМП способны проникать в верхние слои литосферы на десятки и сотни метров. При этом магнитная, электрическая, тепловая, химическая и другие «мишени» воздействия ЭМП, взаимодействуют нелинейно и неаддитивно. Поэтому в зонах воздействия ЭМП может существенно изменяться не только количественный, но и качественный состав биоценозов: трудно прогнозируемая обратная связь (как по знаку, так и по величине) между природной и антропогенной подсистемами. По нашим данным, размеры характерных зон неоднородностей интенсивности низкочастотных ЭМП соответствуют размерам биоценозов УЭС (от 30 до 100 м в зависимости от этажности застроек), а средняя величина поглощаемой почвенно-грунтовыми средами
от мощности, излучаемой наземными источниками, составляет до 20% [3, 4]. Несоблюдение этих масштабов значительно увеличивает неоднородность электромагнитного фона с большими градиентами напряженностей электрической и магнитной компонент ЭМП и снижает уровень биобезопасности.
Порог устойчивости системы непосредственным образом связан с суперпозицией малых флуктуаций в слабовозбудимых зонах (в биосистемах это эффект накопления слабых доз). В этих зонах возможно возникновение незатухающих источников импульсов, распространяющихся в различных направлениях с одинаковой частотой — латентных источников автоволн [4]. Таким образом, величина эффективной скорости распространения волны активатора в потоке активной среды зависит от гетерогенности среды (пространственного соотношения размеров возбудимых, слабовозбудимых и невозбудимых зон). Мозаичность распределения слабовозбудимых и невозбудимых зон, размер которых существенно меньше длины волны, а также структурно-функциональная сложность УЭС, связанная с наличием сети прямых и обратных связей, способны усиливать или подавлять антропогенные воздействия на автоволновую самоорганизацию экосистемы. В этом случае возможно формирование множественных латентных источников автоволн, туннельных эффектов и «запирания» автоволны. В результате возможно возникновение хаотического режима самоподдерживающихся возбуждений в ограниченной области пространства [10].
Заключение
Базовая идея настоящей статьи состоит в следующем: экосистемы — это сложные иерархические системы, которые сопрягают различающиеся на порядки величин масштабы систем и событий.
Полученные данные дают возможность разработки прямой и адекватной оценки антропогенных воздействий в возбудимой среде УЭС. Управление параметрами автоволновой среды посредством локальных воздействий может иметь широкие перспективы, особенно в случае слабовозбудимых сред. Иными словами, внесение внешних локализованных воздействий способно влиять на макроскопическую картину автоволновой динамики самоорганизации УЭС.
В качестве процессов, подверженных развитию в автоволновых режимах, могут быть также рассмотрены взаимодействия различных факторов в офисных, спальных, производственных и сельскохозяйственных районах, культурных зонах и зонах отдыха в границах городских агломераций. В принципе модель может быть расширена на водоохранные и транспортные системы.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 13-05-01174-а).
Список литературы
1. Твердислов В.А., Сидорова А.Э., Яковенко Л.В. Биофизическая экология. М., 2011.
2. Сидорова А.Э., Твердислов В.А. // Физические проблемы экологии (экологическая физика): Сб. науч. трудов. М., 2010. 16. С. 287.
3. Сидорова А.Э. // Физические проблемы экологии (экологическая физика): Сб. науч. трудов. М., 2007. 14. С. 293.
4. Сидорова А.Э., Твердислов В.А. // Научно-техническая революция. 2011. 90, № 4. С. 3.
5. FitzHugh Я.А. // ВюрЬуз. Т 11961. 1. Р. 445.
6. Бутузов В.Ф. // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1997. 37, № 4. С. 415.
7. Попцова М.С., Гурия Г.Т. // Биофизика. 2003. 48, № 6. С. 1116.
8. Трофимов В.Т. Грунтоведение. М., 2005.
Self-organization as the driving force for evolution of the biosphere A.E. Sidorova u, Yu.V. Mukhartova2 6
1 Department of Biophysics; 2 Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State
University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
In this paper we present the space-time model of urboecosystems as conjugate active media. This approach is based on the representation of urboecosystems as self-organizing systems, aims to identify the threshold values of control parameters, and is considered promising in assessing system stability to internal and external fluctuations.
Keywords: self-organization, hierarchy of active media, autowaves, urban ecosystems. PACS: 02.30.Jr. Received 26 April 2013.
English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2013).
Сведения об авторах
1. Сидорова Алла Эдуардовна — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-1 1-95, e-mail: [email protected].
2. Мухартова Юлия Вячеславовна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: [email protected].
