Производящие функции последовательности чисел покрытий конечного множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011 Теоретические основы прикладной дискретной математики №1(11)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.1.

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ ПОКРЫТИЙ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА

Р. М. Ганопольский

Тюменский государственный университет, г. Тюмень, Россия

E-mail: [email protected]

Рассматриваются производящие функции последовательности комбинаторных чисел, исчисляющих количество покрытий конечного множества подмножествами с заданными мощностями. Проведен анализ производящих функций, приведены частные случаи, получен ряд рекуррентных соотношений.

Ключевые слова: покрытие, конечное множество, комбинаторные числа, производящие функции.

Введение

В работе [1] введены комбинаторные числа неупорядоченных покрытий конечного множества мощности n подмножествами с фиксированными мощностями

nN(ki, k2, . . . , kn), (1)

где ki — количество подмножеств мощности i в покрытии. В случае, когда часть коэффициентов kj = 0, предложено использовать другое обозначение — nN^k.. '.'””, где kj —

количество подмножеств мощности lj в покрытии. Для введенных комбинаторных чисел получены формула

m m

nN/Й.'.;” = П с* + E(-!)jcn П Cj , (2)

• ■ Cn „^1 ~_1 ,

i=l Cn i^l j=1

n-i

где Cj = ------гг — биномиальный коэффициент, и соотношение

J i!(j - i)!

m

Eri ATk1k2'"k” 1 T /^ki

Cn n-iNli l2...l” = П CC li .

i'^0 i=i Cn

В случае, когда в (1) kn = 1, формула (2) имеет вид

n- l

N(kl,k2,...,kn-l, 1) — П CCii.

. Cn

І=1

Кроме того, принято, что

0N0

NnG — 1, (5)

то есть число покрытии пустого множества нулевым количеством пустых подмножеств равно 1.

1. Производящие функции

Производящую функцию последовательности чисел (1) будем искать в виде

^ (х; Аь А2, Аз,...) = £ хп £ (&1, &2,... ,кп)П ,

п^0 к^0 г

где второе суммирование идет по всевозможным наборам (к1, к2,... , кп), к ^ 0 — общее условие для каждого числа из набора. Таким образом, комбинаторное число пЖ(к1, к2,... , кп) является коэффициентом перед хпП в разложении производя-

г

щеИ функции по степеням переменных х и Аг. Разложение функции (1) по степеням х представляет собоИ сумму ^(х; А1, А2, А3,...) = Д0 + Д1х + Д2х2 + Д3х3 + ■ ■ ■ , где

= £ „Ж (к1,к2,...,к„Щ А* (6)

к^0 г

— производящая функция последовательности чисел покрытий множества мощности п.

Подставим формулу для комбинаторных чисел (2) в правую часть выражения (6), учтём (5), поменяем порядок суммирования и воспользуемся биномиальной теоремой:

п п—П

ЕпЖ(кьк2,...,МПАк = Е Е(—1)псп п с*, =

&^0 г к^0п=0 г=1 п—

п п п—п

= £ (-1)псп £ Пп=7 с*, Акг = £ (-1)псп П (1 + Аг)сп-.

П=0 к^0 п — П=0 г=1

Таким образом,

п—і

Д, — Е(-1)усп п(1 + Л()с"-,

уп

і>0 І=1

а производящая функция равна

п—і

^(-; А1,А2,А3,...) = £ -п£ (-1)і С, Л (1 + д)СА -.

п^О ^>0 .= 1

Поменяем в (8) порядок суммирования:

з

^ (х; Аі,А2,Аз,...) = £ П(1 + Аї)°і £ (-1)п—■* Сі хп

І^О.=1 п^і

і

Воспользовавшись значением суммы £ (—1)п п СПхп = -----------г—-, получаем выраже-

п^П (1 + х)П

ние для производящей функции последовательности чисел (1)

• П ™ х^П (1 + Аг) >

(1 + х)і+1 і>0 1 1

С помощью аналогичных преобразований определим для чисел (1) экспоненциальную производящую функцию. Будем искать её в виде

™п

Е(х; Аь А, Аз,...) — ^ п^(**, *2..., к») Д А* (10)

п^О ' к>0 .

или, воспользовавшись функциями (7),

__ —П

Е(—; Аь А2, Аз. • • •) = Вп —Г.

п!

п^0

то есть экспоненциальной функция является только по переменной —. Таким образом,

П—3

Е(—; А1, А2. Аз. • • •) = ^ -^7 Х/(-1)^'СП П(1 + Аг)С"—^ • (11)

п^1 3=0 г=1

Используем равенство — С3 = —----------—, произведем замену п — ? ^ ? и поменяем поп! ДО — ^)!

рядок суммирования в (11). Получим выражение для экспоненциальной производящей функции последовательности чисел (1):

з 3

Е(—; A1.A2.A3,,,,) = е—^ П(1 + А,)с, (12)

3>0 ^! 1=1

2. Анализ производящих функций

Проанализируем выражение (12) для экспоненциальной производящей функции. Переменные А, можно интерпретировать как множества мощности г. Тогда произведение

П

П(1 + А,)сп (13)

,=1

— это всевозможные покрытия множества мощности п и всех его подмножеств, включая пустое, а функция Вп (7)—покрытие множества мощности п после исключения из семейства покрытий (13) всех покрытий собственных подмножеств исходного множества.

В (7) переменная Ап содержится только в первом слагаемом (13), из этого факта следует формула (4). А из соотношения (3) следует, что

П П

Е С А = П (1 + Аз )сп •

г 3=1

Приравнивая нулю произвольные переменные Аг, получаем покрытия, включающие подмножества только определенных мощностей, например,

А,(А,) = ЕП(—1)3 С3 (1 + А,)сП—>

3=0

— покрытие множества мощности п подмножествами мощности I,

Вп(Аг ,Аг+1) = £(—1)3 С3 (1 + А )сп—* (1 + Аг+1)'1+1

з=0

с1

П — ]

покрытие подмножествами мощности I и I + 1. Соответственно

Е(—; А,)= е—х £ —- (1 + А,)сП (14)

3>0

— экспоненциальная производящая функция последовательности чисел покрытий множеств подмножествами мощности /, а

з

Е(—; А1 ,А1+1) = 6 х ^ ] ту(1 + А1)Сп (1 + А1+1)Сп (15)

з>0 ^!

— подмножествами мощности I и I + 1.

Приравняв в (13) все переменные Аг переменной А, с учетом равенства

П

П (1 + А)с" = (1 + А)2"-1 получим экспоненциальную производящую функцию для по-

г=1

следовательности чисел к-покрытий (покрытия, содержащие ровно к подмножеств [2]):

_ гт-П ___™П п

Е(—; А) = е—х £-(1 + А)2"-1 = £ - £(—1)3СП(1 + А)2"-'"V

п^0 ! п^0 ! 3=0

Раскроем скобки и поменяем порядок суммирования:

—п П 2"—— —1 —П 2" —1

е(—;А) = £п£(—1)3сп £ с*"—'—и* = £п£а*£(—1)3спс‘— ,—г (16)

п^0 3=0 *=0 п^0 *=0 3=0

Коэффициент перед мономом —ПА*/п! в функции (16)—это количество к-покрытий

множества мощности п [2]: С* = £(—1)3СПС2"—1.

3=0 П 2 — —1

Приравняв переменную А единице, получим экспоненциальную производящую функцию последовательности чисел покрытий множества мощности п [2, 3]:

—П П

(—; 1 \ — 1 \3>32"—' — 1

Е (—; 1) = £ —т £(—1)3 СП 22"-'—■, (17)

п.

п^0 3=0

Выражения, подобные (16) и (17), после аналогичных преобразований получаются из производящей функции (9).

Если производящая функция какой-либо последовательности чисел покрытий с фиксированными мощностями подмножеств является сложной функцией от функций Е (12) (или от функции Е (9), или от функций (6)), т. е. С(—,у; А1, А2, •••)) = = С(Е(—; А1, А2, • • •), у), где у — дополнительная переменная, задающая ограничение на покрытия, то приравнивание всех переменных Аг переменной А дает следующую производящую функцию последовательности чисел к-покрытий:

А, ^ А ^ С(Е(—; А1, А2, • • •), у) ^ С(Е(—; А), у)

Справедливо и обратное преобразование

С(Е(—; А). у) ^ С(Е(—; А1. А2. • • •). у)^

Таким же образом можно трансформировать производящую функцию, зависящую от Е(—; А), в производящую функцию, зависящую от Е(—;1), то есть от производящей функции последовательности числа покрытий множества мощности п (17):

С(Е(—; А),у) ^ С(Е(—; 1),у)

и обратно:

С(Е(—; 1),у) ^ С(Е(—; А),у)^

Разложим производящую функцию (7) по степеням переменной А1:

п * * . п к к

В = Е (—1)п—* СП Е С* А1 П (1 + А3 )с* = Е (—1)п—* Е СП С“:‘ А- П (1 + А,- )сг =

*=0 г=0 3=2 *=0 г=0 3=2 (18)

п п—г п—* . \ /

= Е СПА; Е (—1)*СП—г П (1 + А3)с"—* •

г=0 *=0 3=2

Здесь мы воспользовались свойством биномиальных коэффициентов [4] СП С* =

= СП СП—* и поменяли порядок суммирования, произведя замену п — к ^ к. Так как

по определению С* = 0 для г > ^ ^ 0, то сумму по к в (18) можно продолжить до п:

п—г п

Е (—1)* С* _г ••• = Е ( —1)* С*—* •••

*=0 *=0

Для дальнейшего преобразования воспользуемся тождествами [4]

(~чг _ ( 1 Г1ГГ^—Г _

С = ( 1) Сг—«—1, 2^ Ср = С«+Р-

г

Преобразуем (—1)*С*_г и разложим в сумму:

( —1) Сп—г = С*—п+г—1 = 2^ СгС*—п—1 = 2^ Сг (—1) Сп—1 •

1=0 1=0

Используем получившееся выражение для преобразования суммы в (18), затем поменяем порядок суммирования и произведем замену к — I ^ к:

—* . г —* .

Е (—1)* с*—* I— (1 + А3 )с"—* = Е Е сг (—О'-'СП— I— (1 + А3 )с"

*=0 3=2 *=01=0 3=2

г п—1 п—*—1 '

= Е с?Е(—1)*СП—, П (1 + А3)с"—*—.,

1=0 *=0 3=2

Воспользуемся значением производящих функций Вп при А1 = 0:

П П—* '

Вп(А1 = 0) = Е (—1)*СП П (1 + А3)с"—* •

*=0 3=2

Окончательно получим разложение Вп по степеням переменной А1:

п г

Вп = £ СПА1 Е С*Вп—1 (А1 = 0) (19)

г=0 1=0

3. Получение рекуррентных соотношений

С помощью преобразований выражения для производящей функции (12) получим несколько рекуррентных соотношений.

Найдем частную производную по — от левой и правой частей выражения (12), предварительно умножив обе части на ех:

д(ехЕ) х / дЕ \ ^—\ —3 ц-т, .

^ = бх (Е + Ш) = £ ^П(1 + Аг)С>+1 •

4 7 3>0 ^ г=1

Получившуюся в правой части сумму можно вывести с помощью следующих операций над функцией Е:

Отсюда следует, что

дЕ\ дЕ . .

— ( Е + ^—) = ^(1 + А,)- (20)

Коэффициент перед каждым произведением

~П п

п! П ^ (21)

г=1

в (10) при произвольных операциях над производящей функцией (вычисление производных и умножение на переменные) меняется следующим образом [4, 5]:

Е ^ п^(к1. • • • . кп); —Е ^ пП—1Ж(k1,•••,kп—1) для п> 0; —-Е ^ п-П—(к1, • • •, кп—8) для п ^ ^; А1Е ^ пN(• • • , к1 — 1, • • •) для к > 0; ^ п+1N(kl,•••,kn,0);

дЕ

д— д тЕ

д—т дЕ

дА

^ п—mN (k1,•••,kп, 0. • • • . 0); (22)

^ (к1 + 1)пN( • •. к1 + 1. • • •);

дЕ

—"д— ^ пп№(kl,•••,kп);

д тЕ

—5д—т ^ nSп+m_sN(кь • • •, кп+т—-) для 8 ^ т;

дЕ

А1 ^ ^ кщ#(•••,kl,•••),

где п- = п(п — 1) ■ ■ ■ (п — 8 + 1) —убывающая степень [4]. Применяя правила (22) к (20) получаем рекуррентное соотношение

пп— lN(к1, • • •) + ппN(к1, • • •) = (к1 + 1) пN(к1 + 1, • • •) + к1 пN(к1, • • •),

или, перейдя от п к п + 1 ,

п—1N(к1 + 1. • • 0(к1 + 1) = п—1N(к1. • • -)(п — к1 + 1) + пN(к1. • • ^)(п + 1)^

В случае производной степени в от произведения ехЕ

д -(ехЕ) х / • д *е\ ^—\ —3 3—г с *

^ = 6* Е + £ С- Ы = £ 7 П(1 + Аг)с<+-

\ г=1 / 3>^ г=1

правую часть выражения можно получить с помощью преобразований

—3 1+Гп , и \с* ,д(ехЕ) 1 + А-

£^П(1 + = в! дА-

3>0 ^ г=1 -

—-

Таким образом,

ь дгЕ\ д(ехЕ )1 + А5

дх* I дАч х-

і=1

п-

Используя правила (22) и тождество — = СП, получаем соотношение

Сга £ С-п+т-і^(кЪ . . . , к„) = (к- + 1)га^(. . . , к5 + 1, . . .) + (. . . ,к^ . . .).

і=0

Для получения следующего рекуррентного соотношения воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов С^ + С—1 = С——\. В производящей функции (15) при замене всех переменных А1 на переменные А1+1

А, ^ Л+1 ^ (1 + А,)сП(1 + Л+і)сП+1 ^ (1 + Л+і)сП++і

получаем произведение, стоящее в выражении для экспоненциальной производящей функции (14) перед —п—1:

V—л х . ,л|+1 д І V—л х'" , _ . ,л|+1

Епт(1 + А'+1)с"+‘ = д>х1£пг(1 + А‘+1>с"

Таким образом,

'/П + 1

п! 4 ' ‘+1' дх \ ^ п!

п \ п

Е(х; А,, Аг+1)|А;^А;+1 = Е(х; Аг+і) +

дЕ(х; Аг+і) дх

При проведении замены всех переменных А переменными А1—1 коэффициент перед произведением (21) равен £ г^^1’*— 1. Получаем равенство

П±

‘1+‘2=‘

Е «< ■•?+ 1 = „N,‘+1 +„+і№,к+і,

‘1+‘2=‘

или, после преобразования,

„+1лг*+1 = е «<-;+ 1.

^1+^2=к, &1 >0

В выражении (15) можно не все переменные А, заменить переменными А,+1, а оставить одну переменную в каждом слагаемом неизмененной:

К — 1] А, ^ А,+1 ^ (1 + А,)С"(1 + А,+1)С" ^ Сі(1 + Аг)(1 + Аг+1)С"+1 1. (23)

Здесь [к]А, означает, что следующее действие производим с к переменными А,; появляется коэффициент С1, так как выбрать одну неизменяемую переменную А, можно именно таким числом способов.

Такое же выражение с точностью до константы можно получить в результате замены одной из переменных А,+1 переменной А,:

[1] А,+1 ^ А, ^ (1 + А,+1)С"+1 ^ С,+11(1 + ДХ1 + Д+О6^1 1. (24)

n! ^/!(n —/)!

n>, ! n>, !( )!

После преобразований (S3) и (S4) сумма (15) будет равна в первом случае

Е СПn't1 + A')(1 + A,+l)C"+1-1 = Е лТПГпТ(1 + A')(1 + A,+l)C"+1,

n^

во втором

,_, xn+l _ xn+l

Е сП+і1 (n^(1+A,)(1+a,+i)C-+1-1 = Е (/ + l)!(li—;)i(1 + A,)(1 + a,+i)C"+i •

n^l n^l

Сравнивая полученные выражения, выведем соотношение для функции E:

xE(x; A,, A,+1) I [max-1]A]^A]+l (/ + 1) E(x; A,+l) 1 [1]A]+l^A] .

Здесь [max — 1] A, — следующее действие производим со всеми переменными A, в мономе, кроме одной. В каждом мономе A»1 А^, можно оставить без изменения одну из k, переменных А,, а в мономе Ak+i — изменить одну из k переменных А,+1. Следовательно, верно равенство

n Е k, n-iNf’f(( 1 = k(/ + 1) nN+i, k1 ( k2 =k

или после преобразования

Nk = (n + 1) k N

lN,+1 = k(/ + 1) kl nN,

k ___ (n + 1) \ Л ATk1 ’»2

n+iN,+i = k(/ +1) z_^ kl nN,, ,+,.

*1 —*2=*

Для вывода следующего рекуррентного соотношения сравним правые части выражений (6) и (19) при одинаковых степенях А1:

*1

£ п^ (к1, к2, ...,кпШ А* = СП1 Е С*1 Еп-з (А1 = 0). (25)

*^0 г>1 3=0

Подставим значение Еп— (А1 = 0) в (25) и приравняем коэффициенты при одинаковых мономах П А*1:

*1

п^(^1,^2,..., кп-*1, 0,..., 0) = СП1 Е С*1 п-зN(0, к2,..., кп-*1, 0,..., 0). 3=0

Заключение

В работе выведены выражения для обычной и экспоненциальной производящих функций последовательности чисел покрытий. Полученные выражения могут использоваться для анализа различного рода неповторяющихся покрытий конечного множества. Интерпретируя переменные А^ как подмножества, можно более наглядно конструировать различные покрытия и множества покрытий с определенными ограничениями. Показано, как с помощью разнообразных преобразований выражений для производящих функций можно получать рекуррентные соотношения. Все выведенные в статье рекуррентные соотношения можно использовать для вычисления чисел покрытий конечного множества с помощью меньшего количества операций и без больших промежуточных результатов, возникающих из-за быстро растущих значений С£г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ганопольский Р. М. Число неупорядоченных покрытий конечного множества подмножествами фиксированного размера // Прикладная дискретная математика. 2010. №4(10). С.5-17

2. Macula A. J. Covers of a finite set // Mathematics Magazine. V. 67. No. 2. P. 141-144.

3. Comtet L. Advanced Combinatorics. The Art of Finite and Infinate Expansions. Dordrecht, Holland: D. Reidel Publishing Company, 1974.

4. Кнут Д., Грэхем Ф., Поташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 2006.

5. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2002.