Прогрев железобетонных конструкций при реальных пожарах Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Зайцев Александр Михайлович

УДК 624.012.45:614.84.41

ПРОГРЕВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ РЕАЛЬНЫХ ПОЖАРАХ

А. М. Зайцев

кандидат технических наук, доцент Воронежского Государственного архитектурно-строительного университета

1. Аналитическое решение задачи прогрева

неограниченной пластины с учетом произвольного изменения температуры пожара

Возрастающие требования к эффективности проектирования и строительства с точки зрения огнестойкости выдвигают задачу более гибкого подхода к учету загрузки зданий и сооружений горючими материалами, т.е. воздействующих на строительные конструкции температурных режимов вероятных пожаров. Для оценки возможности дальнейшей эксплуатации железобетонных конструкций необходимо определение степени их прогрева в процессе огневого воздействия. Для этого требуется знание условий изменения температурного режима пожара в помещении и теплообмена конструкций с нагретой газовой средой.

Следует отметить, что методики расчета прогрева железобетонных конструкций для температурного режима стандартного пожара широко используются в расчетной практике [1-4]. Однако температурные режимы реальных пожаров часто значительно отличаются от стандартного. Например, конструкции, находящиеся в зоне воспламенения и горения легковоспламеняющихся жидкостей и газов, практически сразу подвергаются воздействию максимальной температуры горения. Чаще конструкции подвергаются воздействию пожаров, пропорциональных стандартной кривой. Так, в работе [5] коэффициент пропорциональности изменяется в пределах от 0,3 до 1,2; в [6] — от 0,1 до 2,0.

В данной работе на основе ранее проведенных исследований [7] представлено общее решение задачи прогрева неограниченной пластины под воздействием произвольно изменяющейся температуры пожара. Затем на основе анализа процессов теплообмена представлены решения для частных случаев, имеющих место при реальных пожарах. Исходя из этого, получено аналитическое решение задачи о симметричном прогреве неограниченной пластины под воздействием произвольно изменяю-

щейся температуры пожара. Схема нагрева пластины представлена на рис. 1.

Примем, что влияние влагосодержания и изменение теплофизических характеристик на прогрев учитывается согласно [2]. Для упрощения математического решения примем также, что температурное поле пластины в начальный момент и коэффициент теплоотдачи в процессе огневого воздействия постоянны. В результате математическая задача сводится к решению системы уравнений:

\дг д 2г

I — = а-;

! дт дх2

т=0 =*0;

аД

дх

= 0;

(1)

х=0

А*

дх

с=8

-а[(т) - г(х,т)]|х=5= 0.

Наличие во втором граничном условии системы уравнений (1) изменяющейся со временем температуры пожара гр(т) значительно усложняет решение данной системы уравнений. Однако, проделав соответствующие преобразования, нам удалось получить решение на основе метода разделения переменных [7-9].

Для решения поставленной задачи введем новую искомую функцию

1Г(Х,т) = 1(Х,Т)-1р(Т),

(2)

РИС.1. Схема нагрева неограниченной пластины

тогда система уравнений (1) примет вид:

дЖ = дт = д2W , а 2 + f (т); дх (3) 0

W| т= 0 = W,; (4)

x^W дх =0; —+aw х=0 дх X = 0, х=5 (5)

где

dtp (т)

f (т) = ~Р^1

от

; W =t0 -tp (т) (6)

— известные функции и число.

Решение системы уравнений (3)-(5) будем искать в виде суммы двух функций

Ж(х, т) = и(х, т) + V(х, т), (7)

где каждая слагаемая функция является решением соответствующей задачи:

дИ д 2И . = а—- + f (т);

дт дх2 И т=о =0;

ди = 0; дИ а тт -+ — И дх X х

дх = 0; х=0

дг дт д V = а- дх 2

у\ т=0 = W>;

= 0;

х=5

dv

дх

х=0

= 0; dV + av

дх X

= 0.

(8)

(9)

(10)

(11) (12) (13)

х=5

Решение задачи (8)-(10) ищется разложением в ряд по собственным функциям дифференциального оператора, стоящего в правой части уравнения (8), то есть по функциям, являющимся решением уравнения

^ = - 2 у. дх 2

(14)

Подробное решение задачи (8)—(10) изложено в работе [7], ее решение определяется формулами (15)-(17):

Рп (т) = }е"а(цП5)2(т-и) ап/(и)ди = о

= Ап ] е"а(ц></5)2(т-и)/(и)ди; (15) о

X

^ц = —ц. (16)

а5

Соотношение (16) называется характеристическим уравнением для задачи (8)-(10). Оно имеет бесчисленное множество положительных корней Ц^ Ц* ••• Цп(РиС. 2)

1, >'l=CtgЦ , У1 ,У1 , У1 \ = (1/Б1)ц

х ^ >

ц2 ^Ч 2п ц3 "Х3п ц4 X

РИС.2. К решению уравнения (16)

Начальные тепловые амплитуды Ап определяются из соотношения:

An ="

2sin ц n

ц n + sin ц n COS ц n

(17)

Переходим к задаче (11)—(13), частные решения которой будем искать в виде произведения

V(х, т) = X(х) Т(т). (18)

Проделав соответствующие преобразования, решение задачи (11)—(13) получим в виде

V(х, т) = Ж, £ Ап е~а(ц П5)2

п=1

Отсюда решением задачи (3)—(5) будет Ж (x, т) = £ Рп (т )со8 ц пх +

п=1 5

т cosЦп ~т. (19) о

+ W0 j Ane

n= 1

-а (ц J S)2

COS ц n 7

о

или, переходя к первоначальной функции t (х, т), согласно (2) получим решение задачи (1) в виде:

t(х, т) = tp (т) + XPn (т)C0S Цn х +

n =1 о

+ W0 jj Ane-а(цn5)2т cosцn 5.

n=1 о

С учетом выражения (15) решение задачи (1) примет вид

t(х, т) = tp (т) + W jj An cos ц n 5 е~ц 2"(^ +

n=1 5

+ jj An cos ц n о }е"ц n (т-и) f (и) ди. (20)

n=1 5 0

Таким образом, решение поставленной задачи (1) получено в виде аналитической зависимости (20), характеризующей прогрев любой точки неограниченной симметрично нагреваемой пластины под воздействием произвольно изменяющейся температуры пожара.

Формула (20) позволяет получить решения о прогреве неограниченной пластины при заданной функции изменения температуры конкретного пожара. Для этого вместо гр(т) и г (и) в выражение (20) необходимо подставить соответствующие конкретному пожару функции изменения температуры газовой среды от времени.

2. Аналитическое решение задачи для определения прогрева конструкций цилиндрической формы под воздействием произвольно изменяющейся температуры пожара

Выполнив соответствующие операции, получим, что прогрев конструктивных элементов цилиндрического сечения под воздействием произвольно изменяющейся температуры пожара (с учетом принятых ранее допущений) определяется по формуле:

г(г, т) = гр (т) + Ж0 £ Лп30 ( Л ) е"ЦП (аТЛ2) + + £Лп4Г /)е^^^ди, (21)

п=1 V Л Г0

здесь начальные тепловые амплитуды Ап и корни характеристического уравнения Цп определяются из уравнений:

к = 0

0,005 0.01 0,02 0,03 0,04

0,06

Л=

2 ^(Ц п)

Ц п [ 3 02(М п ) + п )]

3 0<Ц) = _Ц ^(ц) Б1'

(22)

(23)

1-П

РИС.3. Распределение относительной избыточной температуры в неограниченной пластине при Б1 > 50 (граничные условия 1-го рода)

нагрева можно принять равной температуре окружающей среды. Указанный процесс достаточно хорошо освещен в специальной литературе и широко используется в расчетной практике. Что касается железобетонных конструкций, то этот случай характерен для конструктивных элементов, находящихся в непосредственном контакте с пламенем при больших значениях коэффициента теплоотдачи. Таким образом, мы приходим к решению задачи нестационарной теплопроводности с граничными условиями 1-го рода, решение для которой мы получим из общего уравнения (20):

гс - г (х, т) гс - г 0

= £ Лп со« Ц п хе

х „-Ц п (ат/52)

(24)

п =1

где г — координата;

Л — радиус цилиндра;

30 и 31 - функции Бесселя первого рода нулевого

и первого порядка.

3. Прогрев конструкций при высокоинтенсивном огневом воздействии

Для определения степени прогрева железобетонных конструкций в условиях высокоинтенсивного огневого воздействия, что может иметь место при горении легковоспламеняющихся жидкостей и газов, из общего решения (20) можно получить соответствующее выражение, пригодное для практического применения. Из теории нестационарной теплопроводности [8-10] известно, что интенсивность прогрева твердых тел во многом зависит не только от температуры пожара, но и от условий теплообмена конструкции с высокотемпературной газовой средой, что определяется значением критерия Био (Б1). Отметим, что если Б1 > 50, то температуру поверхности твердого тела в процессе

где гс — постоянная максимальная температура пламени.

Для упрощения практического применения правая часть этого уравнения табулирована и представлена в графическом виде [8, 10] на рис. 3. Поэтому расчет прогрева железобетонных конструкций при реальном пожаре сводится к простым действиям по формуле

г (х, т) = г с -е (г с - г 0),

(25)

где е — относительная избыточная температура в пластине.

4. Решение задачи прогрева неограниченной железобетонной пластины под воздействием стандартной кривой пожара

Для указанного случая в специальной литературе [1-4] имеются аналитические решения, которые широко используются в расчетной практике. В данной работе мы рассмотрим некоторый обобщенный вариант с учетом изменения температуры реальных

пожаров пропорционально стандартной кривой. При этом значение коэффициента пропорциональности ¥ может изменяться от 0,1 до 2,0.

Для получения решения о температурном поле в неограниченной пластине, нагреваемой температурным режимом пожара, пропорциональным стандартной кривой, воспользуемся уравнением (20). Примем, что температура пожара [7] определяется уравнением

гЪ¥ (т) = г0 + ¥ • 149,831п(480т +1), (26)

где ¥ — коэффициент пропорциональности, который может быть больше или меньше единицы. Согласно (6)

f (т) = = , 149,83 , 480-1-.

дт 480т+1

(27)

Подставив в выражение (20) вместо tp (т) и f (и) соответствующие значения согласно формул (26) и (27) и произведя соответствующие преобразования [7], получим искомое решение в виде:

t(х, т) = t0 + ¥ • 149,831п(480т +1) --¥•149,83 jj An cos ц n О х

n=1 5

\m 1

ц2—l |

H-n 2 I 2 / 2

5 ' \ е~цп(ат'5 ) (28)

х<| 1п (480т +1) +X

m=1 m • m!

Переходя к безразмерным переменным и учитывая, что 1п(1/480) = 6,17, уравнение (28) можно записать следующим образом:

е = jj An cos ц n П|1+ jj (1 , IX

L ц=(1п т+ 1,67)m • m,J

n =1

х exp(-ц2

(29)

где

пх ат е t¥ (т) - t (х т)

п = F0=—е =-—-.

5 52 t¥ (т) - t0

Таким образом, мы получили решение (29), характеризующее прогрев неограниченной пластины под воздействием пожаров, температура которых изменяется пропорционально стандартной кривой. Анализ уравнения (29) показывает, что относительная избыточная температура неограниченной пластины 0 является функцией трех аргументов:

е = ¥ (п,Б1,

так как корни цп характеристического уравнения и начальные тепловые амплитуды Ап однозначно определяются критерием Б1.

На характер прогрева конструкции большое влияние оказывает значение Б1. В случае, если Б1 ^ го (практически при Б1 > 50), температуру поверхности пластины можно принять равной температуре окружающей среды, так как из 2-го граничного условия системы уравнений (1) следует

t¥ (т) - t (5, т) = lim

L Bi дх J

= 0,

т.е.

t¥ (т) = t (5, т) = tnoe (т).

Из характеристического уравнения (16) определяем

Цп = (2п —1)- я/2. (30)

Из соотношения (17) при Б1 ^ го находим

An =

2sin ц n

ц n + sin ц n cos ц n

= (-1)

n+1

4

(2n -1) п

(31)

C учетом выражений (30) и (31), решение (29) примет вид:

е 1 =j (-1)

n+1 4 (2n -1) п n+1 cos--— пх

n =1

(2n -1) п

X-1 +jj [0,25(2n - 1)2 п2 F0]m ^

1 m=1 (1n т + 6,17) m • m, X exp[-0,25(2n -1)2 п2 F0],

(32)

здесь

е1 =

tnoe (т ) - t (x, т ) tnoe (т ) - 10

где гпов(т) — температура обогреваемой поверхности пластины.

Уравнение (32) характеризует прогрев неограниченной пластины при условии, что температура обогреваемой поверхности в процессе огневого воздействия определяется уравнением типа (26).

Для условий температурного режима стандартного пожара температура обогреваемой поверхности железобетонных конструкций определяется формулой (33) [11], которая с точностью до 5% может быть представлена также зависимостью типа (26):

гтв (т) = 1250 - (1250 - г0)ег/^.

2л/ т

(33)

Следовательно, формулу (32) можно применять для расчета прогрева конструктивных элементов типа неограниченной пластины при воздействии температурного режима стандартного пожара. С целью упрощения практического применения правая часть уравнения (32) рассчитана на ЭВМ и представлена графически нарис. 4. При этом значе-

РИС.4. Распределение относительной избыточной температуры в неограниченной пластине при стандартном пожаре

г, °С 1000 900 800 700 600 500

40

80

120

160

200 т, мин

РИС.5. Изменение температуры поверхности конструкций из материалов с различной плотностью при стандартном пожаре

ние 1пт + 6,17 усреднялось в интервале от 0,33 до 4 ч. Равенство (33) также представлено в графическом виде на рис. 5.

В результате вместо уравнения (32) получим расчетную формулу

г (х, т) = гПов (т) - е 1 [г о (т) - г0 ], (34) где е1 определяется по рис. 4, а гяов(т) — по рис. 5.

5. Методика расчета прогрева железобетонных конструкций при пожарах, когда температура нагреваемой поверхности изменяется

пропорционально стандартной кривой

Расчет прогрева железобетонных конструкций производится в следующей последовательности.

1. По рис. 5 определяется конечная температура обогреваемой поверхности за исследуемый промежуток времен гпов(т).

2. Определяется приведенное значение коэффициента температуропроводности по формуле:

3,6А

апр

ср

(Сср + 0,05^) р с

(35)

где w - массовая влажность материала, %; рс — плотность сухого материала, кг/м3.

При этом теплофизические характеристики принимаются при температуре, равной среднеарифметическому значению между начальной и конечной температурами обогреваемой поверхности за исследуемый промежуток времени. Для условий стандартного пожара теплофизические характеристики принимаются при температуре 450°С.

*

3. Для фиксированного момента времени т определяется безразмерное время

К0 = апр т /5 2

4. Для фиксированной точки х* определяется безразмерная координата

' = хЧ5.

П

5. По рис. 5 определяется температура поверхности для фиксированного момента времени гпов(т).

6. По рис. 4 находится е1 .

7. Из выражения (34) определяется искомая тем-

* *

пература г (х , т ).

8. Для конструктивных элементов прямоугольного сечения расчет температуры производится по формуле:

г(х у, т) = гпов (т) -

[гпов (т) - г(х, т)] [гпов (т) - г(у, т)]

гпов (т ) г0

(36)

где г (х, т) и г (у, т) определяются по равенству (34).

Расхождение результатов расчета по предлагаемой методике и стандартных испытаний находится в пределах 10%.

6. Прогрев железобетонных конструкций при реальных пожарах при значениях критерия Био значительно меньше 50

В большинстве случаев при реальных пожарах элементы железобетонных конструкций подвергаются огневому воздействию средней интенсивности при 50 > Б1 > 10. При этом, исходя из условий надежности дальнейшей эксплуатации конструкций, при расчетах прогрева необходимо принимать максимальные значения температуры и коэффициента теплоотдачи. С точки зрения нестационарной теплопроводности мы должны получить решение краевой задачи теплопроводности 3-го рода. Такое решение нами получено из общего решения при произвольном изменении температуры пожара и представлено уравнением (24). Это уравнение также хорошо исследовано и для удобства практических расчетов его правая часть представлена графически [10] (рис. 6-8).

0,05

РИС.6. Распределен^ относительной избыточной температуры в неограниченной пластине при ^ < 0,2 (граничные условия 3-го рода)

РИС.7. Распределение относительной избыточной температуры в центре неограниченной пластины при ^ > 0,2 (граничные условия 3-го рода)

0,2-/Б1 = 10,0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1— П

РИС.8. График для определения поправочного коэффициента к для расчета температуры прогрева по толщине пластины

г, °С 900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

_5!_ 20

60

80 т, мин

РИС.9. Прогрев железобетонной колонны при испытании на огнестойкость:-опыт; ооо — расчет

Расчет прогрева конструкций в данном случае производится в следующей последовательности: • если Г0 < 0,2, то для расчетов используется рис. 6 и формула

г = гс +0(?0 - гс);

(37)

если Г0 > 0,2, то расчет производится с помощью рис. 7 и 8. При этом, если п = 0, то прогрев вычисляется по формуле (37), если 0 < п < 1, то

г = гс + ке (г0 - гс),

(38)

здесь к определяется по рис. 8.

На рис. 9, 10 представлены результаты сравнения значений прогрева колонн из железобетона и

I II III IV

РИС.10. Прогрев силикатобетонных колонн при испытании на огнестойкость:-опыт; ооо — расчет

силикатного кирпича, полученных расчетом по предлагаемой методике, с данными стандартных огневых испытаний [12]. Максимальное расхождение расчетных и экспериментальных значений не превышает 10%.

Выводы

1. Для расчета прогрева элементов железобетонных конструкций в условиях воздействия реальных пожаров получено аналитическое решение задачи прогрева неограниченной симметрично нагреваемой пластины под воздействием произвольно изменяющейся температуры пожара.

2. Из общего решения как частные случаи получены расчетные формулы для расчета прогрева железобетонных конструкций:

а) при высокоинтенсивном воздействии температуры пожара и коэффициента теплоотдачи (при Б1 > 50);

б) при изменении температуры реального пожара пропорционально стандартной кривой;

в) для случаев, когда температуру пожара и коэффициент теплоотдачи в процессе огневого воздействия можно принять постоянными.

3. Аналитические формулы представлены графически, в результате процесс расчета прогрева конструкций при реальных пожарах сводится к простым арифметическим действиям.

4. Расхождение результатов расчета прогрева различных конструкций с экспериментальными данными, полученными во ВНИИПО МЧС, не превышает 10%.

5. Полученные результаты с учетом конкретных особенностей могут быть применены для расчета прогрева при реальных пожарах, например каменных или кирпичных конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Яковлев А. И. Расчет огнестойкости строительных конструкций. — М.: Стройиздат, 1988. —143 с.

2. Рекомендации по расчету пределов огнестойкости бетонных и железобетонных конструкций / НИИЖБ. — М.: Стройиздат, 1986. — 137 с.

3. Ройтман В. М . Инженерные решения по оценке огнестойкости проектируемых и реконструируемых зданий. — М.: Асс. "Пожнаука", 2001. — 382 с.

4. Мосалков И. Л., Плюснина Г. Ф., Фролов А. Ю. Огнестойкость строительных конструкций. — М.: ЗАО "Спецтехника", 2001. — 496 с.

5. Дечев Д. Д. Методика расчета огнестойкости строительных конструкций с учетом температурных режимов реальных пожаров//Автореф. дис... канд. тех. наук. — М.: ВИПТШ, 1990. — 18 с.

6. Бубнов В. М., Пчелинцев В. А. Теплотехническая задача при прогреве железобетонных конструкций в условиях пожара, отличного от стандартного // Пожаровзрывобезопасность. 2000. Т. 9.№ 1. С. 50-53.

7. Зайцев А. М., Крикунов Г. Н., Яковлев А. И. Расчет огнестойкости элементов строительных конструкций. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1982. — 116 с.

8. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 599 с.

9. КарслоуХ. С., Егер Д. К. Теплопроводностьтвердыхтел. — М.: Наука, 1964. — 339 с.

10. ПеховичА. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел.—Л.: Энергия, 1968. — 302 с.

11. Инструкция по расчету фактических пределов огнестойкости железобетонных конструкций на основе применения ЭВМ. — М.: ВНИИПО, 1975. — 222 с.

12. Яковлев А. И., Шейнина Л. В. Исследование огнестойкости силикатобетонных центрально сжатых колонн // Огнестойкость строительных конструкций: Сб. науч. тр. — М.: ВНИИПО, 1973. Вып. 1.—С. 24-33.

Поступила в редакцию 17.09.04.