CC BY
21
В.Н. Тарасов, Н.Ф. Бахарева
ПРОГРАММНО РЕАЛИЗОВАННАЯ МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПОСТУПЛЕНИЯ И ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
В статье рассмотрена двумерная диффузионная модель системы массового обслуживания с конечной очередью и параметрами, зависящими от состояния системы (саморегулирующиеся системы). Изложена методика расчета ее характеристик, а также рассмотрены области ее применения.
Системы массового обслуживания (СМО), в которых интенсивности и дисперсии времен поступления и обслуживания заявок зависят от состояния системы (например от количества заявок в СМО), при произвольных распределениях входного потока и времен обслуживания, являются наиболее сложными системами, и для их анализа не существует точных методов.
Для анализа вышеуказанных систем рассмотрим такую же область распределения двумерного диффузионного процесса (х1,х2), как и для СМО 01/0/1/ш с потерями /4,5/ (рисунок 1а). При этом траектория процесса (х1,х2), достигнув границы Г2 (поглощающий экран), остается там случайное время, равное времени дообслуживания текущей заявки, а потом распределяется в области, определенной условиями N>0 и Кшах=ш, пока не достигнет поглощающей границы Г1 (ш-емкость накопителя). Область между границами Г1и Г2 разобьем на квадраты Ок (рисунок 1 б), где Ок означает, что в СМО находится К заявок (к=1,...,ш; 1=1,2,...).
Область Б'и характеризуется своими интенсивно-
к __1 __1
стями и поступления заявок Цк = %т и Хк = Т—,
а также дисперсиями этих времен Бтк и ОЯк , зависящими от состояния системы.
Следовательно, диффузионные процессы х1 и х2 в области Огк характеризуются переменными
коэффициентами сноса а(к) = Як, а2' = Цк и коэффициентами диффузии
Ь(к}= О1к -Я—3, ь2к}= Отк .
Распределения ординат процессов х^) и х2(1;) в моменты достижения ими уровней х1=к+1 и
х2 = к — ф'к (у 2) и (у1), выраженные через решение уравнения Колмогорова ю(1,х1,х2) в области Б позволяют определить все основные характеристики узла типа 01/0/1/ш с переменными параметрами. При этом распределения (р'к (у2) и (у1) определяются рекуррентными формулами аналогично СМО с бесконечной очередью. Для этого подробно рассмотрим область О'к (рисунок 1б), где
Лк
обозначены распределения р'к (у2), р'к—1
(2 ),
У (у1), Ум (у1 ), а также функции вероятностей переходов ординат процессов х1 и х2 - Qр Qр 0>¥, Qy. Функция Qр и Qy определяются аналогично функциям Qр и Qy из /4, 5/:
^р(У2/ У1 )=—У=еХР р ЬЬ
а- у1+^ (1—У2) Ь1 Ь2
Ь1
К1 К1ШЛ;
= (1) ( — У2 )2 Я1 (у1 )2 , (1 + У2 )2
_ ; и2 = +
2Ь
2Ь2 ' 2Ь1 + 2Ь2
у.
а а0
2Ь1 2Ь
■; У2 е [0,1], у1 е [0,1];
у1 )=-
^л/ьТЬ
гехр
(1 — У1)
—+ — Ь1 Ь2
К (2л/ЬТ Ь^Цг К (У
Ь3 = ( — У1)2 + ; Ь4 = ( + У1)2
2Ь
2Ь
2Ь
+
2Ь2>
У1 е[0,1].
Теперь можно записать рекуррентные формулы для распределений
(к (У2) и (У1): (к (У2 ) = ¡р'к—1 (2 ^р (2 /У2 ))2 +
+
¡угк— 1 (1 ЬрОъ/ У1 Уу1 (1)
1
0
166 ВЕСТНИК ОГУ 3 2002
Уг
(Л ) = (к-1 (у2 Ъу ( /У2 Ы
+
+
|Уг-1 ( Ъ (У21 У Уу1
(2)
Ро = 1/Е г • Рг
г=1
(3)
■ т 2 ■
"1у Э
у(у1 ) = Еу1 & ) (см. рисунок 1а).
г =1
Средний интервал времени между заявками в выходном потоке
Ты = тт + РоТ1, (6)
где - среднее время обслуживания на периоде занятости
= Ро (тт + 4
1
+ Тх)+ Р1 •ТЦ2 + ••• + рт-1 'Тцт-
Бвых = р0
+ В1 + ( + Т У
т-1
+
+ Е Рг
(7)
г=1
(к=1,...,ш; 1=1,2,...).
Далее запишем формулы для определения основных характеристик системы через параметры двумерного диффузионного приближения, аналогично СМО с бесконечной очередью и СМО 01/0/ 1/ш с потерями /4, 5/. Вероятность Ро того, что обслуженная заявка оставляет узел свободным
Формулы (6) и (7) для параметров выходного потока отдельного узла могут быть получены при аналогичных рассуждениях, что и формулы в /5/.
Среднее количество заявок, прошедших через систему за время периода занятости
Nт = 1/Р0 . (8)
Среднее время ожидания заявки в системе на периоде занятости
" 1
j(p1k (х)хёх
Ж
где Рг =|У'(У1 .
0
Среднее время простоя
Т = I =Ч- т¥, (4)
а дисперсия этого времени
В = т¥+х1 • Бу, (5)
где и среднее и дисперсия интервала времени между заявками во входном потоке; 1 1 ту = ¡УУЫ Ул ; Бу=\у2у(У1
¥ т
ЕЕ
г=1 к=1
0
Хтк / Nт
а средняя длина очереди
... 1 N '
я
=ЕЕ
г=1 к=1
| (к (х)хёх
0
Рк / ^
(9)
(10)
где рк - средняя загрузка системы при условии, что в ней находится К -заявок (к=1,.,ш). Средняя длина периода занятости
У =хт1 +(1 - Р1 )хт2 +(1
т2
Р1
Р2 У
тз
+ ••• .(11)
В последнем выражении т^ среднее время обслуживания заявки при условии, что в СМО находится 1 -заявок (1=1,...,ш), а рг - вероятность того, что уходящая из СМО заявка оставляет после себя 1 - заявок (1=1,...,ш-1). Вероятности рг
т -1
определяются аналогично Ро и Е Р1 = 1. Диспер-
I=о
сия интервала времени между заявками в выходном потоке
Средний коэффициент загрузки узла
рср = У /(У + 1), (12)
а среднее количество заявок в узле
N = N я +Рср. (13)
Приведенная выше методика расчета характеристик СМО типа 01/0/1/ш с конечной очередью и параметрами, зависящими от состояния системы, реализована в виде программного модуля в пакете прикладных программ вероятностного моделирования сложных систем.
Области применения
Вычислительные системы
К анализу таких СМО приводят многие модели мультипрограммирования, в частности циклическая модель для мультипрограммирования (рисунок 2). Это модель с центральным обслуживающим прибором, которая позволяет включить периферийное устройство. Центральный обслуживающий прибор представляет собой центральный процессор (ЦП), а периферийное устройство (ПУ) может быть моделью любого устройства, обеспечивающего хранение данных (НМГД, НМЖД). В
0
0
0
0
Естественные науки
такой модели задания циркулируют между двумя устройствами, требуя обращения к ЦП, а затем к ПУ и обратно. В модели допускается ровно К заданий.
Автоматизированное поточное
производство изделий
Рассмотрим пример построения модели для одного варианта процесса поточного производства штучных изделий. В производственном процессе выделим три основные операции (абстрактные): обработки, сборки и управления. Пусть линия сборки состоит из одного устройства, где каждое устройство выполняет одну определенную операцию сборки.
Важнейшей характеристикой операции обработки является ее длительность Тобр, зависящая от свойств станка и параметров заготовок. На практике считается достаточным описать случайную величину тобр с точностью до двух первых моментов распределений.
Абстрактную операцию сборки можно представить как переработку информации о состоянии заготовок, участвующих в сборке. Пусть в сборке участвует узел (ведущий полуфабрикат) и т деталей (ведомых полуфабрикатов). Координаты их состояний до начала операции обозначим №ку,0а ,•••, акт. В результате операции сборки
получают сборный узел с новыми значениями ко*
ординат 0ку. Тогда математическое описание операции сборки задается соотношением
°ку =аку (аку, ак1, • • •, акт, А— р \ где Рг - п^Ра-
метры сборочного оборудования. Величины а*у в общем случае являются случайными. Для их определения необходимо задавать соответствующие законы распределения или же другие вероятностные характеристики.
Операции обработки заготовок и сборки изделий являются основными производственными операциями, составляющими фундамент любого производственного процесса. В отличие от этого операции управления не имеют непосредственного отношения к обработке и сборке. В качестве примеров операций управления можно назвать регулирование скорости производственного процесса, регулирование режимов работы станков, выработку признаков прекращения или возобновления подачи заготовок к станку или линии в зависимости от длины очереди и другие. Выполнение операций управления обеспечивает управляющее устройство.
Комбинация операций обработки со сборкой изделия и с операциями управления и дает абст-
рактный процесс поточного производства штучных изделий. Для моделирования широкого круга реальных производственных процессов такого вида, с учетом отклонения течения производственного процесса от нормального, используется аппарат теории массового обслуживания.
Во многих случаях в системе поточного производства следует учитывать тот факт, что в системе массового обслуживания время обслуживания зависит от характеристик входного потока (от свойств заготовок, отклонения их размеров от номинальных, температуры и других). Кроме этого необходимо учитывать ограниченность накопителей заготовок, деталей инструментов и местных складских ячеек. Все эти и другие особенности поточного производства в полной мере не могут быть проанализированы существующими методами аналитического вероятностного моделирования.
Анализ моделей равновесия
в рыночной экономике
Модели равновесия означают, что в идеале достигается совокупная пропорциональность: а) производства и потребления; б) ресурсов и их использования; в) предложения и спроса; г) факторов производства и его результатов; д) материально-вещественных и финансовых потоков. Существенную роль в разработку этих моделей внесли Л. Вальрас, В. Леонтьев, В. Парето и другие. Вкратце эти модели сводятся к схемам «затраты - выпуск», «предложение - спрос».
В таблице 1 приведены уравнения пяти групп моделей равновесия.
Здесь приняты следующие условные обозначения:
Р] - цена¡-готовара (¡=1,2...п); Р =(р1, Р2-Рп)
- вектор цен выпускаемых товаров;
Р1 - цена 1-го фактора производства, 1=1.. .ш;
Р = ((1, РРт) - вектор цен факторов производства;
Б - число фирм, £=1,.,Р;
Н - число потребителей;
ап - количество первичного фактора, купленного на рынке и затрачиваемого на производство продукции в течение года фирмой
/ - а =(а(, а2 •••атп );
/
Я/ - объем выпуска ¡-го продукта;
яп = (я{,Я2 •••яЦ,);
Фп(яп,я2 •••яП,а{,а{••а{п )=Фп(яп,яП)= 0
- производственная функция каждой фирмы1;
168 ВЕСТНИК ОГУ 3*2002
Таблица 1.
Уравнения моделей поведения фирм, потребителей, общего равновесия и цели субъектов рынка
п т модель: р =ХPjqfj — XРга1*, .7=1 г=1 в векторной форме: к{ = pqf — paf; целевая производ- тах к f += pqf — ра^ ственная при Ф f (qf, а f) = 0, функция или в словесном выражении: прибыль каждой фирмы есть разность между валовым доходом от продажи производственной продукции за вычетом стоимости расходов на факторы производства;
для фирмы
т Р п модель: XРа + XSjf жf =£pJgj, *=1 f=l 7=1 в векторной форме: раj + 5 jк = pgj; целевая потреби- тах У4 (gj, аj) при тельская paj + = pgj, функция: или: общий расход потребителей на покупку товаров и услуг равен сумме их общего дохода от продажи или факторов производства фирмам и доходов потребителей как собственников капитала;
для потребителей
для рынка товаров потребления Н Р модель: Xgf Xqíj , j=l f=l или: сумма покупок товаров потребления равна сумме продаж фирм;
для рынка факторов производства Р Н модель: X а{ =X а1, f=l Ч=1 или: сумма потребленных фирмами производственных факторов равна сумме этих факторов, проданных потребителями;
для общего равновесия (закон Вальраса с добавлением варианта получения прибыли владельцами капитала) Н т Н Ч модель: XX piaj +к = XX Pjgjj, Ч=1 1=1 Ч=1 7=1 или: общий доход всех потребителей вместе с общей прибылью всех фирм равняется общей (суммарной) цене потребительских товаров (спрос равен предложению).
gj - общее количество_)-го товара, купленного потребителем Ь;
и j = ^ ^, g 2j ...gj, а1, а 2j ...а* )= ^ ^, aj) - функция общей полезности потребления товаров и услуг и от проданных факторов для потребителя Ь;
- доля участия потребителя Ь в капитале фирм Б;
ж - прибыль всех фирм - к=к ,к ...к ).
Приведенные модели равновесия (пять групп) можно анализировать с помощью СМО с переменными параметрами поступления и обслуживания (саморегулирующиеся системы), учитывая четыре следующих основных момента. Во-первых, в этих моделях на лицо действие случайных факторов (колебания на рынке, банкротства фирм, различные экзогенные перемены и другие). Во-вторых, по аналогии с длиной очереди N в виде разности [х1 ]—[х 2 ] здесь от равенств легко можно перейти к разности вследствие того, что эти равенства могут быть выполнены только в идеале, а не на практике. И, в-третьих, с появляющейся возможностью прогнозирования падения и роста этих показателей в зависимости от параметров распределений случайных факторов. В-четвертых - это наличие ограниченности ресурсов.
Масштабированием переменных, области решения уравнения Колмогорова можно привести к стандартной форме, показанной на рисунке 1.
Приведенная выше методика реализована в виде программного модуля в пакете прикладных программ вероятностного моделирования сложных систем.
Список использованной литературы:
1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М.:Наука, 1978. - 399с.
2. Смирнов А.Д. и др. Рыночная экономика.: Учебник.- М.: СОМИНТЭК, 1992. -256с.
3. Котлер Ф. Основы маркетинга. - С.Петербург.: АО «КОРУНА», АОЗТ «ЛИТЕРА ПЛЮС», 1994. - 699с.
4. Тарасов В.Н. Расчет сетевых моделей вычислительных систем с конечной очередью. Изв.ВУЗов СССР - Приборостроение, 1982, №11, - 53-57с.
5. Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф. Непрерывные диффузионные модели массового обслуживания и методика расчета их характеристик. Вестник ОГУ, 2002, №2.
