Программная реализация декодера Судана для кодов Рида-Соломона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНЫЙ ВЕСТНИК ДОНА, № 2, 2007, стр. 95-102

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДЕКОДЕРА СУДАНА ДЛЯ

КОДОВ РИДА-СОЛОМОНА

© 2007 г. Н.В. Ремизов

В настоящее время для повышения надежности передачи информации широко используются помехоустойчивые коды Рида-Соломона. Дальнейшее развитие этого направления привело к разработке списочного декодирования, основанного на работах Судана [1].

Целью данной работы является исследование возможности программной реализации декодера Судана для кодов Рида-Соломона и численный анализ полученных результатов.

Пусть GF(q) - поле Галуа, (а0,...,ап-1)- фиксированный набор различных элементов из GF(q), q - мощность поля, п < q - 1. Будем называть его опорным множеством. Процесс кодирования заключается в следующем: на вход подается к-мерный вектор f = (fo, ... , fk-1), f GF(q), далее происходит вычисление полинома p(x) — fo + fix + ... + fk-iXk-i в точках ai, i — 0...п-1. На выходе получаем n-мерный вектор u—(p(a0), ... ,p(an.1)).

Линейный Код Рида-Соломона является МДР-кодом, то есть достигает границы Синглтона d — п - k + 1, где d - минимальное кодовое расстояние. Поп _ k

этому код способен исправлять t =

ошибок.

2

Пусть С - кодирующее отображение, С: ^ ^ Г". Разобьем пространство на сферы с центрами в кодовых словах радиуса ґ. Эти сферы, очевидно, не

пересекаются. Обычный декодер анализирует пришедшее по каналу слово у и находит тот центр сферы радиуса ґ, в которую попало данное слово. И выдает соответствующее кодовое слово.

1. Списочный декодер Гурусвами-Судана.

Теоретические основы списочного С8-декодера

Будем следовать описанию списочного декодера, приведенного в [1]. Рассмотрим последовательные шаги алгоритма. Пусть ^ - поле Галуа, С: ^ Г" - кодирующее отображение, (а0, ... , ап.1) - опорное множество кода

Рида-Соломона, у = (у0, уі, ... , уп-і) - пришедшее по каналу слово.

Шаг 1. Строится полином от двух переменных Q(x, у) степени Б по переменной х и степени Ь по переменной у, удовлетворяющий следующим условиям:

- Q(ai, уі) = 0, і = 0 ... п - 1.

- Q(x, у) ф 0.

Шаг 2. Находятся все делители полинома Q(x, у) вида

у - р(х), deg р(х)< к, причем р(а) = у1 по крайней мере для п - ґ значений і =

0 ... п - 1.

п

Параметры Ь и Х в [1] определяются следующим образом: Ь = Лк >

Х = 4пк.

1.1. Интерполяция

В работе [1] М. Судан предлагает такой способ построения многочлена.

Представим полином Q(х,у) = ^а^х1 у] в виде:

і, і

^ х у) = Х к^к(х) ук =

= (Ч00 + 401х + ... + 40 ох° ) + (4ю + 411х + ... + 4хвх° ) у + - + (4ю + 4пх + - + 4 ХХ) У1

Подставляя вместо переменной х элементы опорного множества, а вместо переменной у - компоненты пришедшего по каналу слова, получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно 4іі.

400 ^0 + 401^01". + 40 ХZЪХ + 410 ^0 + ^11^11 + ...

+ 41Х^1Х + ... + 4ь 0 2Ь0 + Чы 2ы + ... + 4ьх2ьх = 0

400 ^0 + 401^1 ... + 40Х20Х + 410 ^0 + 411 ^11 + ...

+ 41Х^1Х + ... + 4Ь0 2ю + 4ы гы + ... + 4югьХ = 0, где z,kJ = агкук, 0 < к < п - 1, 0 < і < Х, 0 <і < Ь.

Ненулевое решение существует, т.к. количество неизвестных, больше, чем количество уравнений. (Степень многочлена Q(x, у) по переменной х должна не

больше, чем П, и по переменной у - не больше, чем Ь, тогда количество неиз-

Ь

вестных (L +1)(

n

L

+1) > n). Это один из вариантов. В работе [2] МакЭлиас

приводит альтернативный алгоритм решения проблемы интерполяции - алгоритм Кюттера. Приоритетом при выборе играет время - если метод Гаусса тре-

3 3 2 2

бует О(п ) (порядка п ) операций, то алгоритм Кюттера - О(п ) (порядка п ) операций.

1.2. Факторизация. Алгоритм Рота-Рукенштейна

Пусть ^ - поле, может быть, конечное, ^[х, у] - кольцо многочленов от 2-х переменных над полем Б. Каждый элемент Q(x, у) Г[х, у] можно представить в виде суммы

Q( x, y) = Х avxlyJ

] у]

i,]

где не все а] равны 0.

Определение. Пусть w = (u, v), u > 0, v > 0, u + v Ф 0. Взвешенной степенью монома Xy называется число degw xiy = iu + ]v.

Обозначим через XY = {xiy, i = 0, 1 ...n ...,j =0, 1 .. .n...}. Используя понятие взвешенной степени, введем на множестве XY отношения порядка “ <wlex” и

(.с. ^

<wrevlex .

Определение. Будем говорить, что мономы упорядочены согласно отношению w-lex (w-lexicographic order), если

xl1 y] < xi2 y] ,

если ui1 + v]1 < ui2 + v]2, или ui1 + v]1 = ui2 + v]2 и i1 < i2.

Определение. Будем говорить, что мономы упорядочены согласно отношению w-revlex (w-reverse lexicographic order), т.е.

xi1 y]1 < xi2 y]2,

если ui1 + vj\ < ui2 + vj2, или ui1 + vj\ = ui2 + vj2 и i1 > i

2 •

Пусть w = (u, v), “ < ” - некоторое отношение порядка (“<wlex” или “<wrevlex”) на множестве XY. Следовательно, можно упорядочить элементы множества:

Const = фо^, у) < ф^, у) < ф2(т, у) < .,

где ф^, у) = xiyj XY.

Тогда каждый полином Q(x, y) можно записать в уникальной форме:

j

Q (x, y)=Еа]ф](x, y)

] =0

Число J называется рангом полинома Q(x, y), Rank (Q) = J. Моном ф/x, y) называется ведущим мономом и обозначается LM(Q).

Замечание. Рассмотрим F[x, y] - кольцо многочленов от двух переменных надо полем F. P, Q F[x, y]. Если LM(P)=LM(Q), то говорят, что P = Q.

Определение. Взвешенной степенью полинома Q(x, y) называется число

degwQ = max^deg,^^, y) | ai ф 0}.

Свойства взвешенной степени: w = (u, v),

1. degw0 = - да;

2. degw(PQ) = degwP + degwQ;

3. degw (P + Q) < max(degwP , degwQ).

Напомним, на втором шаге GS-декодера необходимо найти все делители полинома Q(x, y) F[x, y] вида у - p(x), p(x) F[x], deg p(x) < k-1.

Определение. Будем говорить, что полином Q(x, y) имеет ноль в точке (a, b), если

Q(a b) = 0.

Определение. Будем говорить, что полином Q(x, y) = ^ ai]xIyJ имеет ноль

i j

кратности, или порядка m в точке (0, 0), и писать

Ord(Q: 0, 0) = m, если в записи полинома все ai] = 0, i + ] < m.

Теорема. Предположим, p(x) Fk-1[x], Q(x, y) F[x , y], w = (1, k-1)lex,

n = Xa ord(Q : a, p(a)). Если n > degwQ, то (y - p(x)) | Q(x, y).

Лемма 1. Пусть w = (1, k-1). Если p(x) Fk-1[x], тогда

degQ(x, y) < degwQ(x y).

Лемма 2. Q(x, p(x)) = 0 в том и только том случае, когда (y - p(x)) | Q(x, y).

Для удобства формулировок назовем p(x) y-корнем полинома Q(x, y).

Алгоритм Рота-Рукенштейна (РР-алгоритм) получает на вход полином от двух переменных Q(x,y) и выдает список y-корней этого полинома. Рассмотрим данный алгоритм подробнее.

Найдем такую наибольшую степень т переменной х так, что хт | Q(x, у), но хт+\ / Q(x, у), и сократим. Получим полином

«0(Х, у)» = ^.

.х

Таким образом, если исходный полином Q(x, у) в точке (0,у) мог обращаться в 0, то <^(0, у)» ф 0.

Покажем, процесс последовательного определения коэффициентов аг- полинома р(х).

р(х) = О) + агх + ... + аыхы.

Лемма. Если (у - р(х)) | Q(x, у), тогда у = р(0) = а0 - решение уравнения:

Qo(x, у)=0,

где Qo(x, у) = «^х, у)».

Построим последовательность полиномов:

Р0(х) = р(х), Q0(x, у) = «Q(x, у)». ДляЦ > 0 получаем:

Р](х) = (р]-\(х) - р7ч(0))/х = а + а;+1х + . + ak.jxk.j- ,

Цх у) = Qj-l(x, ху + амХ (1)

Qj(x, у) = «Цх у)».

Теорема. Пусть дан полином р(х) = а0 + а1х + ... + аk-1xk-1 ^ы[х], Q(x, у)

^[х, у]. Определим последовательности полиномов по формулам (1). Тогда VЦ > 1 (у - р(х)) | Q(x, у) в том и только том случае, когда (у - р/х)) | Qj(x, у). Следствие. Если у | Qk(x, у), т. е. если Qk(x, 0) = 0, тогда р(х) = а0 + а1х + ... + а^1х^1 - у-корень полинома Q(x, у).

Алгоритм строит дерево коэффициентов. Каждый ярус дерева “символизирует” степень переменной х((-1)-ярус введен для удобства). В вершинах /-го яруса находятся коэффициенты при степенях х1 возможных у-корней полинома Q(x, у). С помощью алгоритма “поиска в глубину” производится обход дерева.

2. Моделирование и численный анализ С8-декодера

Рассмотрим примеры работы декодера Судана. Пусть:

СДд) - поле Галуа, k - размерность кода; п - длина кода;

? - количество гарантировано исправляемых ошибок; х - информационный полином;

у - кодовое слово;

List - список _у-корней.

Так как мы будем работать над полями характеристики 2 (char(GF(g))=2), то для наглядности переводим двоичный формат в десятичный, т. е. все коэффициенты в приведенных ниже примерах следует рассматривать как двоичные числа в десятичной записи. (Пр.: f = (1, 3)10, что соответствует f=(001, 011)2.)

1. GF(23), k = 2, n = 5, t = 1;

f = (1, 3) ;

x = (1, 2, 7, 4, 6) ; список у-корней List: 1 3.

Вносим аддитивную ошибку:

1а. e = (0, 0, 2, 0, 0), тогда y = x + e, y = (1, 2, 5, 4, 6),

List: 1 3.

1б. e = (0, 0, 2, 0, 1), тогда y = x + e, y = (1, 2, 5, 4, 7)

List: пуст.

В 1а декодер выдал правильное кодовое слово, в 1 б - ошибок больше, чем может исправить декодер.

2. GF(23), k = 3, n = 5, t = 1;

f = (1, 3 ,5); x = (1, 7, 5, 3, 5);

List: 1 3 5.

Вносим аддитивную ошибку

2а. e: = (0, 0, 0, 0, 5) ,тогда y = x +e, y = (1, 7, 5, 3, 5);

f = (7, 7, 7); x = (7, 7, 3, 3, 2);

List: 7 7 7.

2б. e = (0, 0, 6, 0, 2), тогда у = x + e, y = (7, 7, 3, 5, 3, 0);

List: 7 6 6.

Из чего можно сделать вывод, что декодер попал в сферу с центром в другом кодовом слове. Что вполне логично, так как количество исправляемых ошибок равно 1, а в данном примере их было внесено 2.

3. GF(25), k =8, n = 32, t =12; f = (29, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12);

x = (29, 19, 23, 11, 9, 9, 5, 10, 3, 10, 1, 29, 23, 9, 11, 29, 4, 2, 22, 22, 5, 0, 18, 12, 22, 17, 14, 8, 1, 28, 4, 5);

List: 29 0 2 4 6 8 10 12.

Вносим аддитивную ошибку:

3а. е = (20, 26, 30, 2, 0, 0, 12, 3, 10, 3, 8, 20, 0, 0, 0, 0 ,0 ,0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), w(e) = 12, тогда y = x + e,

y = (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 23, 9, 11, 29, 4, 2, 22, 22, 5, 0, 18, 12, 22, 17, 14, 8, 1, 28, 4, 5);

List: 9 0 0 0 0 0 0 0 0;

29 0 2 4 6 8 10 12.

3б. е = (21, 27, 31, 3, 1, 1, 13, 2, 11, 2, 9, 21, 31, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), w(e) = 13; тогда y = x + e, y = (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 11, 29, 4, 2, 22, 22, 5, 0, 18, 12,

22, 17, 14, 8, 1, 28, 4, 5);

List: 8 0 0 0 0 0 0 0;

29 0 2 4 6 8 10 12.

3в. е = (29, 0, 21, 0, 0, 0, 3, 0, 11, 0, 11, 0, 27, 0, 5, 0, 20, 0, 0, 0, 17, 0, 4, 0,

14, 0, 20, 0, 29, 0, 26, 0), w(e) = 14; тогда y = x + e;

y = (14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 11, 29, 4, 2, 22,

22, 5, 0, 18, 12, 22, 17, 14, 8, 1, 28, 4, 5);

List: 29 0 2 4 6 8 10 12.

3г. e = (29, 0, 21, 0, 13, 0, 3, 0, 11, 0, 11, 0, 27, 0, 5, 0, 20, 0, 0, 0, 17, 0, 4,

0, 14, 0, 20, 0, 29, 0, 26, 0), w(e) = 15; тогда y = x + e;

y = (14, 19, 21, 11, 0, 9, 19, 10, 26, 10, 17, 29, 24, 9, 15, 29, 22, 2, 22, 22, 20, 0, 27, 12, 18, 17, 25, 8, 16, 28, 23, 5);

List: пустой

Список пуст, декодер не выдал ни одного слова. Следовательно, можно заключить, что максимальное количество исправляемых ОБ-декодером ошибок для кода Рида-Соломона размерности 8 и длины 32 равно 14.

Заключение

Списочный декодер позволяет исправлять большее количество ошибок, составляя список, в котором обязательно присутствует истинное информационное слово. В случае большего числа ошибок, декодер выдает либо ошибочное кодовое слово, либо пустой список.

В результате проведенной работы был программно реализован списочный декодер Гурусвами-Судана, проведена численная проверка работы декодера. Как известно, обычный вероятностный декодер для кодов Рида-Соломона поп - к

зволяет исправлять t =

ошибок. Списочный GS-декодер исправляет

2

больше ошибок, в зависимости от размерности и длины кода.

Литература

1. Madhu Sudan, Lectures “Algorithmic Introduction to Coding Theory”, 2001.

2. R.J. McEliece, The Guruswami-Sudan Decoding Algorithm for Reed-Solomon codes, May 15, 2003.

3. Лидл Р., Нидеррайер Г. Конечные поля, в 2-х т. / Пер. с англ. М.: Мир,

1988. - 430 с.

4. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования / Пер. с англ. М.: Мир, 1971.