Программа точного решения систем линейных уравнений р-адическим методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ В МОДУЛЯХ НАД КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ

© Г. И. Малашонок

В докладе рассматриваются некоторые задачи, связанные с гомоморфизмами модулей над коммутативными кольцами.

Приводится теорема о решениях системы линейных уравнений над коммутативной областью, в которой определяются условия совместности и дается алгоритмическая характеристика решений системы как в коммутативной области, так и в поле частных.

Теорема. Пусть Ах = Ь - неоднородная система линейных уравнений над коммутативной областью Л,

А е Л""", е = (I, 0.....0) є /Г*1, А' = (/>, А), А" = (лГ,

е’), и А" Р = 7’, где матрица и и столбец Т имеют вид соответственно

и0 С/| Т\

*о *і 11

ИЪ IV, О

и - обратимая матрица, Т - верхняя треугольная матрица, 7'| - верхний треугольный блок, диагональные элементы которого не равны нулю, і - последняя ненулевая строка матрицы 7', (дг0, ДГ|) - строка матрицы II,

с тем же номером, что и строка I, х0 первый элемент этой строки, Р = і^(Р|,1), Р, - матрица перестановок.

Тогда

(1) Система Ах = Ь совместна в поле частных кольца Л в том, и только в том случае, когда в строке / отличен от нуля только один последний элемент.

(2) Если система Ах = Ь совместна в поле частных, 1Х> л: = -го“1*! - - ее решение, а строки матрицы IV, образуют базис пространства всех решении однородной системы .4* = 0.

(3) Система Ах = Ь совместна в кольце Л в том, и только в том случае, когда дг0 - обратимый элемент Л. При этом х = -Аг0 'V - решение системы в кольце Л, а строки матрицы IV, образуют базис модуля всех решений однородной системы Ах = 0.

В докладе приводятся также два алгоритма для колец главных идеалов с делителями нуля. Это алгоритм вычисления характеристического многочлена и алгоритм вычисления присоединенной матрицы. Оба алго-ритма имеют сложность 0(м3). Обсуждается применение модулярных методов для решения задач в евклидовых областях.

ПРОГРАММА ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

/»-АДИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

© Г.И. Малашонок, А.Ю. Ару попон

В докладе рассматриваются принципы построения программы точного решения системы линейных уравнений р-адическим методом. Сложность такого метода в биг-операциях оценивается как (Хпп*(пі - г + I )х х(1о^>- + 1о&г ІИІІ)2), где А - матрица коэффициентов системы, п и пі - число строк и столбцов матрицы А, г - рані- матрицы А.

Общая схема метода состоиг в следующем.

(1). С помощью масштабирования матрица коэффи-циентов системы приводится к целочисленному виду.

(2). Для вычисления множества пі - г + 1 линейно независимых решений строится множество из »/ - /• + I определенных систем с квадратными матрицами коэффициентов.

(3). Решение каждой из этих систем вычисляется с помощью р-адического подъема. Для этого выбирается подходящий простой элемент р кольца Ъ. который не делит определитель матрицы коэффициентов. Этот выбор можег оказаться неудачным с вероятностью не

более \/р, Если проверка покажет, что решение неверное, то выбирается другой простой элемент р. Кольцо вычетов по простому модулю р является полем, и решение в этом поле можио искать, например, методом Гаусса.

С помощью неравенства Адамара находится верхняя оценка для числителей и знаменателей решения системы, а по ним находится оценка для величины рк-границы подъема, решение поднимается по модулю р до рк, и затем реконструируется рациональное решение. Для решения одной определенной системы мы применяем алгоритм, использующий линейный р-адический подъем, который впервые приведен в работе Диксона 11 ].

ЛИТЕРАТУРА

I Dixon J. Ехас: solution of linear equations using p-atlic expansions //

Numcr Math ¡982 V40K 137-141