Прогнозирование объёма производства сельскохозяйственной продукции на основе статического моделирования временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экономико-математические методы и модели

Антонова Т.И., Рогачев А.Ф.

прогнозирование объема производства сельскохозяйственной продукции на основе статистического моделирования временных рядов

Сельское хозяйство - сложная экономическая система, находящаяся под стабильным воздействием множества социально-экономических, биоклиматических и других факторов, обладающая рядом существенных особенностей и большой инерционностью развития. При этом часть воздействующих факторов невозможно идентифицировать или формализовать.

Специфика сельского хозяйства накладывает свои особенности на методы моделирования экономических процессов. Наиболее предпочтительным методом моделирования в аграрной сфере является не регрессионный анализ, основанный на изучении и количественном измерении взаимосвязей между факторами, а анализ временных рядов. Моделирование экономических процессов осуществляется по тренду и колеблемости, которые являются лучшим источником информации о совокупности влияния всех действующих факторов.

В сельском хозяйстве одним из основных показателей является объем производства продукции, динамика которого анализируется в настоящем исследовании. Исходная информационная база представлена временным рядом индекса объема

производства продукции сельского хозяйства Волгоградской области в 2004-2006 гг. (длина ряда 35 месяцев).

В общем виде временной ряд, как известно, может быть представлен в виде функции трендовой, циклической, сезонной компонент и случайных колебаний. В зависимости от взаимосвязи этих компонент между собой реализуется аддитивная или мультипликативная модель временного ряда.

Графический анализ исходного временного ряда свидетельствует о наличии сезонных колебаний с периодом 12 месяцев. Под воздействием сезонного фактора в 8 месяце ежегодно происходит значительный прирост объема производства продукции сельского хозяйства. На этот временной промежуток приходится основная часть полученного урожая сельскохозяйственных культур.

Решение задачи построения семейства адекватных тренд-сезонных моделей, описывающих динамику исследуемого показателя с достаточной для построения прогноза степенью точности, включало следующие шаги: выравнивание исходного ряда; расчет значений сезонной компоненты 5"; устранение сезонной компоненты из исходных

2000

§ 1500

см

ю

й *

ф

500 0

1 23 45 678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 —-—-— Порядковый номер месяца

Рис. 1. Периодичность временного ряда индекса объема производства продукции сельского хозяйства

Экономико-математические методы и модели

уровней ряда; аналитическое выравнивание уровней и расчет значений ряда с использованием полученного уравнения тренда; расчет полученных по модели значений; расчет и анализ ошибок, прогнозирование.

Для исключения сезонной составляющей и выявления тенденции развития было осуществлено сглаживание уровней временного ряда 12-членной скользящей средней. После исключения из сглаженных уровней сезонной компоненты (десезонализации) для характеристики тенденции проводилось аналитическое выравнивание остаточных величин. В процессе моделирования временного ряда возможны различные комбинации типов тенденций и сезонных эффектов аддитивного и мультипликативного вида. Для моделирования трендовой компоненты в настоящей работе анализировалось применение полиномов разной степени (табл. 1). Параметры трендов определялись МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2...n, в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда. Расчеты проводились в Microsoft Excel. При моделировании исходного временного ряда учитывались теоретические значения, рассчитанные по уравнениям трендов, и сезонная составляющая: в аддитивной модели - как сумма компонент, в мультипликативной - как их произведение.

Учитывая, что сезонные колебания представляют собой циклический, повторяющийся во времени процесс, в качестве сглаживающих функций

Таблица 1

Параметры различных видов трендов и типов сезонности

Формула тренда Значение коэффициентов Номер формулы

an a a

Аддитивная модель сезонности

У s = a 0 + ait 356,87 4,2182 - - (1)

2 у s = a 0 + axt + a 21 349,85 5,3565 -0,0316 - (2)

2 3 у s = a0 + axt + a 21 + a3t 347,74 6,0138 0,0766 -0,0008 (3)

Мультипликативная модель сезонности

У s = a 0 + ait 271,95 7,5318 - - (4)

2 у s = a 0 + axt + a 21 174,63 23,312 -0,4383 - (5)

2 3 у s = a 0 + axt + a 21 + a3t 144,30 32,763 -1,0855 0,012 (6)

после исключения из исходного временного ряда тренда использовался также гармонический ряд - ряд Фурье (форм. 7).

п п

Yt = ЕаС0!5 +ЕР«81п ^' (7)

i=1 «=1

где п -максимально допустимое число гармоник, Т

п = —; ю - угловая частота 1-й гармоники; Т- число месяцев.

В качестве меры точности аппроксимации наиболее часто применяется остаточная дисперсия Б или средняя относительная ошибка А. Расчет

ост г

этих критериев позволил сравнить полученные модели между собой. Несмотря на то, что по критерию наибольшего значения коэффициента детерминации Я2 предпочтительнее оказались полиномиальные тренды в мультипликативных моделях, по критериям Бост и А наиболее адекватными являются аддитивные модели. Среди аддитивных лучшими характеристиками обладают полиномиальные модели по формулам (2), (3). Практически при равных средних относительных ошибках моделей (ПД%-П,4% в аддитивных моделях, 10Д%-15Д% в мультипликативных моделях) остаточная дисперсия в мультипликативных моделях оказалась в 2,2 раза больше, чем в аддитивных.

Оценить ошибки модели позволяют остатки (рис. 2), которые получаются при вычитании из исходного временного ряда значений, рассчитанных по модели.

600

400 200 0

-200 -400

1 3 5 7 9? 11 13 15 17 19W21 23 25 27 29 31 33 *35

Порядковый номер месяца

—•— Полипомиальная модель 2 степени мультипликативной сезонности —■— Полипомиальная модель 2 степени аддитивной сезонности —о— Гармонический ряд 15 гармоник

Рис. 2. Остатки моделей временного ряда индекса объема производства продукции сельского хозяйства

Практическая значимость модели считается тем выше, чем меньше остаточные колебания. Из полученных моделей наименьшие остатки имеют аддитивные модели и гармонический ряд. С целью проверки соответствия предпосылкам МНК и в качестве дополнительной характеристики адекватности моделей проводился анализ распределения остатков.

Модель признается удовлетворительной, если остатки образуют стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием и подчиняются нормальному распределению. Часто для проверки предположений о нормальности остатков используется графический метод. Проверка нормальности распределения остатков проводилась с помощью построения гистограмм распределения с наложенной теоретической кривой нормального распределения. Визуальное сопоставление графиков эмпирических частот с теоретическими не позволило однозначно определить соответствие эмпирического распределения нормальному. В SPSS Base 8.0 были построены графики на нормальной вероятностной бумаге.

На рис. 3 приведены графики зависимости между значениями остатков временного ряда индекса объема производства продукции сельского хозяйства и соответствующими квантилями нормального распределения модели на основе гармонического ряда (12 гармоник) (слева) и мультипликативной модели на основе полинома 2 степени (справа), график которой является типичным для всех тренд-сезонных моделей.

Поскольку в случае нормального распределения точки графика на нормальной вероятностной

бумаге должны группироваться вокруг прямой, то очевидно, что наиболее близки к нормальному распределению остатки моделей гармонического ряда, в тренд-сезонных же моделях остатки группируются вокруг прямой линии неплотно (выделены наиболее отклоняющиеся 8 и 20 месяцы, т. е. август 2004 г. и август 2005 г.).

Для объективной характеристики соответствия эмпирического распределения остатков нормальному распределению были рассчитаны критерии согласия К. Пирсона

г,

1=1 1

где /¡/I - соответственно частоты эмпирического

и теоретического распределений в г-м интервале. и Колмогорова

lim P

dn

Vn,

= к 0),

где с1п - абсолютная величина максимальной разности между значениями интегральной функции эмпирического и теоретического распределений.

Нулевая гипотеза заключается в утверждении, что остатки имеют нормальное распределение с соответствующими значениями средней и сред-неквадратического отклонения. В случае справедливости нулевой гипотезы эмпирические частоты должны быть близкими к теоретическим.

В полиномиальных мультипликативных моделях и модели на основе 15 гармоник расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами существенны, их нельзя объяснить случайными

dw = ± (е,-е,-1 )2/ ее е],

1=2 ,=1

где: ем - предыдущее значение ряда остатков.

Чем ближе критерий БМ* к 2, тем меньше автокорреляция остатков временного ряда. По критерию БМ* можно утверждать, что некоррели-рованы остатки аддитивных моделей и полиномиальные модели мультипликативной сезонности. Результаты проверки остатков моделей объединены в таблице 2, в которой знаком (+) отмечено соответствие определенным критериям. Для критериальной оценки представлены: М - нулевая средняя величина остатков, X2 и ё - параметры соответствия нормальному закону распределения, р и Р- характеристики гомоскедастичности и БМ* - некоррелированности остатков.

Аддитивные модели как наиболее адекватные из всех построенных моделей были использованы для прогноза объема производства продукции сельского хозяйства, поскольку основное прикладное значение моделей временных рядов состоит в прогнозировании экономических показателей. Известно, что прогнозы по статистическим моделям основаны на некоторых предположениях: основные факторы, тенденции и зависимости, наблюдавшиеся в прошлом, сохранятся в будущем; модели являются упрощенным и во многом искаженным представлением реальности, поэтому прогнозы, основанные на изучении уровней временного ряда и сезонных колебаний, всегда являются объектом определенной неточности.

В настоящей работе прогностическая ценность

моделей определялась по контрольному набору данных. Если модели строились по временному ряду за период с января 2004 г. по ноябрь 2006 г., то прогностическая способность моделей оценивалась по данным с декабря 2006 г. по сентябрь 2007 г. Использование аддитивных полиномиальных моделей временного ряда индекса объема производства продукции сельского хозяйства позволяет получать достаточно точные прогнозы (рис. 4) с различным горизонтом.

Наиболее точными оказались краткосрочные прогнозы. С увеличением горизонта прогноза средняя ошибка возрастает. Так, средняя относительная ошибка прогноза с горизонтом 3 месяца составила 12,1%, 6 месяцев - 12,8%, 10 месяцев - 13,8%. Как и предполагалось, по причине сложности моделируемого процесса и ошибок модели погрешность в отдельных точках достигает 30-44%. По мнению авторов это связано с тем, что при сглаживании исходного временного ряда не удалось в полной мере выделить сезонную компоненту, коэффициент автокорреляции при лаге 12 месяцев составлял после десезонализации 0,4, поэтому наиболее значительное искажение прогноза отмечается после локального максимума в августе месяце.

В целях улучшения прогнозных оценок, полученных по аддитивным трендовым моделям, применялся метод рекурсивного окна, регламентирующий размер рабочей и контрольной выборок. В рекурсивной модели начальное наблюдение фиксировано, а наблюдения из контрольной выборки должны добавляться по

Таблица 2

Итоги исследования остатков временного ряда индекса объема производства продукции сельского хозяйства

Модели Номер формулы Соответствие критериям

М X2 р р0 Б

Аддитивные модели сезонности

Линейный тренд (1) + + + + + +

Полином 2 степени (2) + + + + + +

Полином 3 степени (3) + + + + + +

Мультипликативные модели сезонности

Линейный тренд (4) - + + + - -

Полином 2 степени (5) - - + + - +

Полином 3 степени (6) - - + + - +

Модели на основе гармонического ряда

6 гармоник (7) + + + + + -

12 гармоник + + + + + -

15 гармоник + - + + + -

Экономико-математические методы и модели

Порядковый номер месяца — Исходный временной ряд —о— Прогноз по полипому 2 степени *— Прогноз по полипому 3 степени

Рис. 4. Временной ряд индекса объема производства продукции сельского хозяйства и прогноз по полиномиальным моделям

Таблица 3

Сравнительный анализ прогноза по аддитивной модели и выполненного методом рекурсивного окна

Месяцы Исходный временной ряд, % Прогноз по модели Прогноз на 1 шаг

прогноз, % т, % прогноз, % т, %

Декабрь 2006 г 255,4 303,1 18,7 303,1 18,7

Январь 183,4 225,5 23,0 225,5 23,0

Февраль 151,5 198,2 30,8 198,2 30,8

Март 150,1 199,2 32,7 198,6 32,3

Апрель 177,6 217,8 22,6 215,7 21,5

Май 259,1 279,8 8,0 276,8 6,8

Июнь 293,8 317,3 8,0 311,2 5,9

Июль 1284,6 871,9 32,1 867,4 32,5

Август 1916,6 1708,9 10,8 1702,8 11,2

Сентябрь 513,6 740,8 44,2 735,5 43,2

одному к рабочей. При этом прогнозный горизонт все время оставался одинаковым. Расчеты выполнялись на 1, 2, 3 шага вперед. Наилучшее приближение к исходным данным дает прогноз на 1 шаг вперед (табл. 3, т - индивидуальное относительное отклонение).

Таким образом, анализ остатков моделей временного ряда индекса объема производства продукции сельского хозяйства по критериям Гаусса-Маркова (табл. 2) свидетельствует, что из всех вариантов наиболее адекватными можно считать построенные аддитивные модели сезонности

формулы (1-3). Характерно, что по этим моделям получены и наименьшие остаточные дисперсии. Вместе с тем, в отдельные периоды года (8-9 месяцы) аддитивные модели аппроксимируют исходные данные не вполне точно, что подтверждают полученные ошибки (рис. 2).

Применение метода рекурсивного окна позволяет в некоторой степени снизить среднюю относительную ошибку прогноза: с горизонтом 6 месяцев - до 12,0%, 10 месяцев - до 12,2%, но не решает проблемы существенного относительного отклонения прогноза в отдельных точках.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айвазян С. Глобальные тенденции в статистике и математических методах в экономике: наука, практика и образование. С.-Петербург, 2004.

2. Антонова Т. Измерение сезонных колебаний во временном ряду объема продукции сельского хозяйства Волгоградской области. Волгоград, 2006. № 3.

3. Антонова Т.И Моделирование временного ряда объема производства продукции сельского хозяйства. Воронеж, 2007.

4. Афанасьев В. Анализ временных рядов и прогнозирование: учебник. М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Гришин А. Статистические модели в экономике:

учеб. пособие. Ростов н/Д.: Феникс, 2005.

6. Зинченко А. Сельскохозяйственная статистика с основами социально-экономической статистики. М.: Изд-во МСХА, 1998.

7. Елисеева И. Статистика: учебник. М.: Высшее образование, 2007.

8. Шмойлова Р. Теория статистики: учебник. М.: Финансы и статистика, 2005.

9. Елисеева И. Эконометрика: учебник. М.: Финансы и статистика, 2006.

10. Юзбашев М., Манелля А. Статистический анализ тенденций и колеблемости. М.: Финансы и статистика, 1983.

Ильясов Р.Х.

Сплайн-анализ «тонкой» структуры взаимозависимости экспортных цен на природный газ и нефть

Анализ динамики цен на энергоресурсы различного рода за 2000-2007 гг. [1] показывает, что нередко периоды роста сменяются периодами спада. Рынок энергоресурсов демонстрирует сильную подверженность кризисам, он антиперсистентен с частой сменой тенденций и трендов. Из-за нестабильности экзогенных условий на достаточно длинных периодах временные ряды экспортных цен на нефть и на газ удобно описывать "кусочными" моделями, которые своими фрагментами приспосабливаются к меняющимся экзогенным условиям в переходных экономиках типа российской, моделируя рост или падение цен. Такие ряды трудно анализировать с помощью классических эконометрических методов. Поэтому при исследовании экономических процессов особую актуальность приобретает выбор унифицированной или универсальной системы приближающих функций, в качестве такой системы стоит сделать "много-звенник" - кусочно-аппроксимационный ансамбль на сплайновой базе [2, 3, 4], "опирающийся" на декомпозированную временную ось.

Математические сплайны - это "куски" степенных многочленов, представляющие процесс в промежутках между узловыми точками. Отличительная особенность сплайнов - они состоят из отрезков полинома малого порядка, которые сходятся в заданных узлах процесса (узлах его "решётчатой" функции). Математический сплайн д-го порядка непрерывен и имеет (д - 1) непре-

рывную производную, д-я производная может претерпевать в точках соединения (узлах сетки) разрыв с конечным скачком. Куски сплайна "сшиваются" в узловых точках оптимальным образом, значения функции и всех её производных слева и справа от каждого узла совпадают, т. е./k)(x+0) = /k)(x-0), к = 0, 1, 2...д, i = 1...и. Тогда/x), f '(x)/"(x), становятся непрерывными функциями во всём интервале [xr.xj, а структура сплайна автоматически "сшивает" решение воедино.

В науке чаще всего используются кубические сплайны или сплайны третьего порядка, они обладают замечательным оптимизационным свойством, которое называется "внутренней оптимальностью", свойством минимальной кривизны или минимальной нормы. У кубических сплайн-функций SA(y, x) оно выражается теоремой Холлидея, в которой показано, что сплайн-построение мини-

ь 2

мизирует интеграл: J|/"(x) dx ^ min. Срав-

a

нение кривых динамики экспортных цен на природный газ и нефть, представленных кубическими сплайнами, наводит на мысль, что цены на газ следуют за ценами на нефть с некоторым лагом (рис. 1).

Точность аппроксимации, непрерывность сплайнов и их аналитичность позволяют более глубоко анализировать экономическую динамику. Пер-