CC BY
27
МЕТЕОРОЛОГИЯ
УДК 551.58(470.68)
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МЕТЕОПАРАМЕТРОВ НА ОСНОВЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
© 2006 г Л.Ж. Шугунов
On the basis of stochastic model the analysis of mid-annual values of the important meteorological parameters is carried out: temperatures, rainfall amounts. Identification and a parameter estimation, and also the analysis of adequacy of model are carried out. Forecasting functions built and calculations are carried out.
Для исследования погодно-климатических характеристик региона используются различные виды метеорологической информации. В ряде случаев использование для этих целей временных рядов метеопараметров при их обработке современными средствами позволяет наиболее просто получить достаточно надежные результаты, имеющие важное практическое значение.
Стохастические модели широко применяются для анализа различных временных рядов, которые позволяют провести объективный анализ и получить достаточно надежные результаты [1].
В данной работе для анализа и прогноза временных рядов метеорологических параметров в предгорной зоне КБР использованы стохастиче -ские модели, ранее предложенные в [2].
В аддитивной модели исследуемый временной ряд в наиболее общем виде можно представить в виде суммы, состоящей из детерминированной и случайной составляющих:
= Ct + a, (1)
где Сt - детерминированная часть; at - случайная часть ряда с нормальным законом распределения, нулевым математическим ожиданием и дисперсией о2.
Для анализа временных рядов, описываемых моделью вида (1), необходимо учитывать случайную составляющую ряда, так как наблюдаемые значения содержат обе составляющие.
Стохастические модели позволяют исследовать как стационарные, так и нестационарные временные ряды, но нестационарные ряды для дальнейшего анализа необходимо привести к стационарному виду.
Для этой цели можно использовать два подхода: обычным аппрокси-мационным методом исключить из ряда полиномиальный и циклический тренды или взятием соответствующей разности ряда привести ряд к стационарности.
Обычно на практике при использовании стохастических моделей для этой цели берут разность первого или второго порядков, так как взятие разностей более высокого порядка не рекомендуется [1].
Различают модели авторегрессии (АР(р)), скользящего среднего (СС(с[)), смешанные АРСС(р,с[) и модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС(рДс)). Термин «проинтегрированный» связан с тем, что после взятия разностей в конце исследования временного ряда необходимо осуществить обратную операцию - суммирование (интегрирование) ряда по формуле
ад
£ = (1 - В)-1 = 2 В1.
1=0
Так как взятие разности ряда означает применение оператора
V = (1 - В),
то последовательное применение этих операторов к временному ряду приводит к исходному состоянию, т.е. к тождественному преобразованию.
Модель АРПСС является нестационарной и наиболее общей, из которой получаются остальные модели как частные случаи. В общем случае для процессов, не содержащих сезонной компоненты, она имеет вид
Ф(В)VйX, = 0(В) а; (2)
где Ф(В) и 9(В) - полиномы степеней В, определяемые соотношениями
Ф(В) = 1 + рхВ + Ф2В2 +..., ©(В) = 1+ 01В + 02В2 +...; В - оператор сдвига назад, определяемый равенством В ■ = Хм; Vй = = (1 - В)й - оператор разности порядка й.
Тогда модель (2) в развернутом виде запишется в виде
Х = Ч\Х1 + ^2Х1-2 + - + Рр+ йХ- р- й +
(3)
+а( -01 ■ а(-1 - 02 ■ а(-2 -... - 0 ■ а,-д, где й - порядок разности модели; ф - параметры модели авторегрессии; - параметры модели скользящего среднего, подлежащие определению.
При й = 0 имеем стационарную модель АРСС; при фк = 0 - скользящее среднее СС; при 01 = 0 чистую авторегрессию АР. Например, модель АР (2) имеет вид Х1 = фХ- + Ф2Х-2 + а,.
Построение стохастических моделей временных рядов среднегодовых значений метеорологических параметров и их прогнозирование состоит из нескольких этапов: идентификации, оценивания, проверки адекватности модели и прогноза. Основные этапы построения стохастических моделей.
1. Выбор и идентификация модели
На первом этапе проводится выбор пробной модели (из ряда альтернативных) и начальных оценок параметров модели с использованием автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной функций (ЧАКФ). Оценки автокорреляционных функций С\ определяются по формулам
Ск (п) = --— X (7, - ¥(п))(¥,+к - ¥(п)). п - к
Если среднее значение ряда задано, то эта формула упрощается и примет вид
1 п-к — —
R =
k X (Y - Y)(Y+к - Y),
n - к t=i
- 1 N
где ¥ = — X ¥\ - среднее арифметическое значений ряда.
N 1=1
По изложенному алгоритму проведен анализ временных рядов среднегодовых значений метеорологических параметров: среднегодовая температура, среднегодовое количество выпавших осадков, влажность воздуха в предгорной зоне КБР за период с 1944 по 2003 г. По результатам анализа построены прогнозирующие функции и вычислены прогнозные значения этих параметров до 2010 г.
Ниже на рис. 1 и 2 приведены АКФ и ЧАКФ (соответственно) первой разности временного ряда среднегодового количества осадков в предгорной зоне КБР (г. Нальчик).
-0,5 0,0 0,5
Рис. 1. Графики АКФ и ЧАКФ 1 разности ряда среднегодового количества осадков
Используя приведенные в работе [1] критерии выбора пробной модели, по значениям автокорреляционных функций в качестве пробных моделей можно взять: АРПСС(1,1,1), ПСС(0,1,1) и АРПСС(2,1,1). Начальные оценки параметров модели определяются из соответствующих значений АКФ и ЧАКФ, которые используются на следующем этапе.
2. Оценивание параметров модели На втором этапе проводится оценивание параметров модели с использованием различных методов: метода наименьших квадратов, максимального правдоподобия и других. В методе наименьших квадратов оценивание параметров осуществляется в виде
(ф,О) = Xа2 (ф, 0 \ а0,м>) (ф,0) = а^тт£(ф,0), где Vк - значение центрированного ряда в момент времени к.
АКФ
ЧАКФ
15
15
15
12
12
12
Как видно из формул, для начала расчета по рекуррентной схеме необходимо знать начальные значения ряда (до начала наблюдений). Существуют различные подходы решения этой задачи, однако наиболее точно она решается, если начальные оценки определяются по прогнозам временного ряда назад. Так как процесс стационарен и обратим, к нему можно применить прием, позволяющий прогнозировать ряд назад, т.е. начиная с конца ряда проводится прогнозирование ряда назад. Для этого используется оператор сдвига вперед, определяемый по формуле
F ■ X, = Х,+\.
Так как процесс стационарный, то прогноз быстро убывает. На практике прогнозные значения достаточно определить до тех пор, пока последующие значения ряда будут отличаться друг от друга незначительно, практически это достигается достаточно быстро (обычно около 5-6 значений прогноза).
3. Проверка адекватности модели
На следующем этапе проводится проверка адекватности модели исследуемому процессу. Для этого проводится анализ остатков ряда, используя различные критерии и свойства автокорреляционных функций. В случае неадекватности подобранной модели проводится анализ альтернативной модели на основе анализа остатков ряда с использованием различных критериев случайности ряда, пока не будет получена адекватная модель.
На следующих рисунках приведены результаты такого анализа для исследуемого параметра. На рис. 2 приведены графики автокорреляционных функций остатка ряда адекватной модели АРПСС (1,1,1) среднегодового количества осадков в г. Нальчике.
I
.........
1У////Л
Рис. 2. Графики АКФ и ЧАКФ остатка ряда среднегодового количества осадков
Из сравнения графиков рис. 1 и 2, т.е. исходных автокорреляционных функций, с соответствующими графиками остатка ряда видно, что их значения достаточно малы. Отсюда следует, что в качестве адекватной модели можно выбрать АРПСС (1,1,1).
АКФ
ЧАКФ
15
15
15
12
12
12
0,0
0,5
1,0
0,0
0,5
1,0
(5)
(6)
4. Построение прогнозирующей функции
И на последнем этапе, после определения адекватной модели, строится прогнозирующая функция для определения прогнозных значений метеорологических параметров.
Прогнозные значения временных рядов в разностной форме при к < q, описываемых моделью АРПСС(р, 4 q), определяются по формуле
х; (к) = ф [X+к- ] + ф2 [X + к-2 ] + ... + фр [Xt + к-2 I -
~в\ [а+к-1 ]- в2 [а+к-2 ] -...- ^ [а+к-q ](,
где при ] 1 [X+] \ = х; (Л
где при ] 0 [ X - у \ = X - у
и [ аг-у ] = у, пРи у ^1 [ у ] = 0 к - упреждение, а на основании соотношений (6) при к > q члены, содержащие ау, равны 0.
По формуле (5) прогнозные значения определяются последовательно, сначала с упреждением 1, затем 2 и т.д., т.е. в виде
х; (1) = ф1 Х, + ... + фрХ{+1-р - ...-^Л+1-q ;
х;(2) = Фх;(1) + ф2^ +... + фрХг+2-р-в2аг -...-^+2^;
и т.д.
По изложенной методике проведены расчеты прогнозных значений различных метеопараметров на территории КБР.
На рис. 3 приведены результаты прогноза и доверительного интервала первой разности временного ряда среднегодового количества осадков в предгорной зоне КБР (г. Нальчик) до 2010 г., описываемой моделью
АРПСС(МЛ).
400 300 200 100 0
-100 200 300 400 -500
1.1/ А \ U \ \ д 1 N Л (1
И У v штт / и ш \.............
Г т т V \ г V и / v v \1 41 ____1______j___j___
К
400 300 200 100 о -100 200 300 400 -500
1945 1952 1959 1966 1973 1980 1987 1994 2001 2008
Исх[ [птНлчОс - ПргнЦнтНлчОс — ± 90,0000 %
Рис. 3. Исходный центрированный ряд (сплошная линия) и прогнозные значения ряда (пунктирная линия) среднегодового количества осадков
На рис. 4 приведены результаты прогноза среднегодового количества осадков в предгорной зоне КБР (г. Нальчик) до 2010 г., описываемой моделью АРПСС(1,1,1).
— ИсхНлчОс -♦- ПрогноаНпчОс
Рис. 4. Исходный ряд (сплошная линия) и прогнозные значения ряда (пунктирная линия) среднегодового количества осадков
Из графика видно, что прогнозные значения вначале увеличиваются, затем уменьшаясь стабилизируются около значения 650 (мм).
Ниже приведены результаты такого анализа для количества выпавших осадков, влажности и среднегодовой температуры в предгорной зоне КБР.
В табл. 1 приведены стохастические модели и параметры исследуемых временных рядов в предгорной зоне КБР.
Таблица 1
Стохастические модели и параметры исследуемых временных рядов
Параметр Нальчик
Модель P(1) P(2) q(1)
Осадки АРПСС(1,1,1) -0,1822 - 0,7081
Температура АРПСС(2,1,1) 0,06223 -0,0940 0,8261
Влажность АРПСС(2,1,1) -0,2515 -0,2904 0,40822
Баксан
Осадки АРПСС(2,1,1) -0,3910 -0,2972 0,88161
Температура АРПСС(2,1,1) -0,1005 0,57183 0,14127
В табл. 2 приведены прогнозные значения исследуемых метеопараметров в предгорной зоне КБР.
Из данных табл. 2 следует, что прогнозные значения метеопараметров вначале изменяются, затем принимают относительно стабильные значения.
Таблица 2
Прогнозные значения метеопараметров в предгорной зоне КБР
Год Нальчик Баксан
Осадки Влажность Температура Осадки Температура
2004 651,5264 75,97418 10,15602 11,58300 515,0000
2005 647,7545 76,27112 10,24070 11,02203 591,0930
2006 644,6902 76,20395 10,25453 10,97268 569,6458
2007 645,7311 76,13460 10,24743 10,97764 575,6908
2008 645,7021 76,17155 10,24569 10,97714 573,9870
2009 645,6315 76,18240 10,24625 10,97719 574,4672
2010 645,6512 76,16894 10,24645 10,97719 574,3318
Литература
1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М., 1974. Вып. 2.
2. Шугунов Л.Ж. // Математическое моделирование и компьютерные технологии. Кисловодск, апрель 1997: Тр. Всерос. симпозиума. Кисловодск, 1997.
Кабардино-Балкарская государственная
сельскохозяйственная академия, г Нальчик 10 ноября 2005 г.
УДК 551.58(470.68)
ИССЛЕДОВАНИЕ И АНАЛИЗ СРЕДНЕГОДОВОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА И КЛАССИЧЕСКОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ
© 2006 г. Л.Ж. Шугунов, Т.Л. Шугунов
Assay values and moldings of time series of long-term observations of mid-annual temperature are in-process reduced. In time series of this meteorological parameter are chosen basic component: the trend, a cyclical trend and non-regular an ingredient of lines, with use of known tests of accident of lines also is carried out the analysis of remainder of series. On the basis of the obtained outcomes the dynamic of time series of this meteorological parameter builds and their forecast values on a perspective scaled.
Процессы, определяющие погоду и климат, включают в себя многие взаимосвязанные физические процессы, от простых перемещений воздушных масс до сложных физико-химических превращений атмосферного воздуха, включая фазовые переходы воды в атмосфере. Кроме того, эти процессы зависят от многих факторов, в том числе состава и состояния атмосферного воздуха.
