Прогнозирование кусочно-стационарных процессов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 681.513.685

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КУСОЧНО-СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Е.Ю. Алексеева, А.А. Беседин, Р.Ю. Шаров

Рассматриваются дискретные случайные процессы, содержащие параметры, меняющиеся скачкообразно в случайные моменты времени. Для прогнозирования процессов строится фильтр в предположении постоянства параметров. Момент изменения параметров фиксируется при существенном отличии прогнозируемых и наблюдаемых значений процесса. При обнаружении скачка параметры фильтра меняются на начальные. Задача решается в предположении нормальной аппроксимации всех случайных величин и использования линейных приближений нелинейных зависимостей. Имитационное моделирование предложенных алгоритмов показало их работоспособность. Причем, чем больше интервал постоянства параметров, тем точнее определяется момент скачка. И, наоборот, при частом изменении параметров предложенный метод становится неработоспособным (как и любой другой).

Ключевые слова: прогнозирование, фильтр Кстмана, скачкообразное изменение параметров.

Введение

В статье рассматриваются дискретные случайные процессы, содержащие параметры, меняющиеся скачкообразно в случайные моменты времени. Для прогнозирования процессов строится фильтр в предположении постоянства параметров. Момент изменения параметров фиксируется при существенном отличии прогнозируемых и наблюдаемых значений процесса. При обнаружении скачка параметры фильтра меняются на начальные.

1. Постановка задачи

Математической моделью многих процессов является система нелинейных разностных уравнений, включающая состояние хп , управление ип, возмущение уп и неизвестные параметры р :

хп+1 = й^хп,ип,уп,р) • (!)

Предполагаем, что изменение параметров р во времени носит кусочно-постоянный характер. В некоторых случаях управление ип может отсутствовать. Кроме того управление ип обычно известно и его можно явно не записывать в уравнение. Возмущение Уп предполагается сведенным к дискретному белому шуму. Как известно, если возмущение не является белым шумом, его моделируют формирующим фильтром с дискретным белым шумом на входе. Этот формирующий фильтр включается в систему (1). Уравнение наблюдения за процессом

Уп = Мх^е^рХ (2)

где Ь - известная функция, еп - белый шум возмущений, при измерении независимый от прочих факторов.

Математической моделью параметра р является марковский процесс.

Гр с вероятностью у « 1

Рп+1 =\ п (3)

[ q с вероятностью 1 - у

где q - независимая непрерывная случайная величина с известным распределением.

Случайные характеристики еп,Уп,х0 известны. Требуется по наблюдениям уп оценивать и прогнозировать состояние процесса хп .

Задача решается в предположении гладкости функций £, Ь на основе нормальной аппроксимации всех случайных величин и использования линейных приближений нелинейных зависимостей.

2. Построение фильтра Калмана

Введем расширенный вектор состояний

z =

p

Тогда уравнение (1) запишется в виде гп+1 = Ф(2п,упХ

(4)

где

ьп+1

_Рп+1

Ф^,0 = ['< Х",Уп,Рп)'

[Рп _

Уравнение (4) справедливо на интервале постоянства параметров р .

Построим для модели (2)-(4) фильтр Калмана [1], оценивающий вектор гп и одновременно вычисляющий вероятности появления очередного измерения Уп , в предположении стабильности параметров р .

Пусть ^(го) - априорная плотность вероятности начального состояния системы (4). Использование гауссовой аппроксимации позволяет ограничиться первыми моментами распределений: м& }=Мо _ _ соу(г0) = Мго гоТ = D0.

Для линейного приближения (4) имеем следующее:

м К } = о

соу(уп) = Sn

Mvf(x, и, V, р) = Дх, и,0,р)

МеЬ(х,е,р) = Ь(х,0,р).

Такое возможно при симметричном распределении v,e и нечетных функциях Д( , ^, ), Ь( ,е. ).

В результате линеаризации уравнений (1) и (2) исследуемой модели процесса получаем:

гп+1 = Апгп + Bnvn, (5)

Уп = Ьпгп + е^ (6)

где Ап, Вп,Ьп - соответствующие производные правых частей уравнений (2) и (4). Производные вычисляются в точках - оценках вектора состояния г.

Введем следующие обозначения:

о К } = ^

МК }=

о К } = Оп.

Не снижая общности задачи, можно считать уп скаляром. Для случая вектора уп его компоненты можно использовать последовательно. Из уравнения (6) получаем алгоритм уточнения вектора гп.

р 1

^п = тп + -п-2Тп (Уп - Ь(тп)),

а

- = - ОпЬТЬпОп

а + ЬпОпЬ„

М"п+1 Ап^п,

Оп+1 = Ап-пАТ + Вп8пВТ,

(7)

(8)

(9)

(10)

где м-п = м(27у0), тп = м(^/уГ1), гп =cov(2п/у()), Оп =cov(^/уГ1 ).

Уравнение прогноза процесса г получается заменой возмущений vn на его математическое ожидание М{ vn } = 0. Это следует из (5).

М ( уп / у0-1 ) = hnм ( 2п / уП-1) = ^тп ,

C0V ( у7уП-1 )= hnDn-1hT

Т + а2.

3. Обновление фильтра Калмана

Для принятия решения о скачкообразном изменении параметров обычно сравнивают отклонение измеренного значения от его прогнозируемого значения - математического ожидания, с расчетной дисперсией (или среднеквадратическим отклонением). Превышение отклонения над среднеквадратическим отклонением более чем в 3 раза имеет вероятность « 0,006 , что практически невозможно. При получении таких наблюдений можно принять решение о скачке значений параметров.

Здесь возникает вопрос. С какими моментами распределения сравнивать очередное измерение - с априорным - относительно полученного измерения или с апостериорным - вычисленными после получения измерения.

Очевидно, что отношение наблюдаемого выхода от его апостериорного математического ожидания при малой ошибке измерения будет также малым, т. е. большие отклонения в любом случае невозможны. И только разница между наблюдением и прогнозом говорит о рассогласовании модели и процесса. Следовательно, необходимо сравнивать разность

ауп = |уп -М(уп/у0...уп)|= уп -м(уп/уГ1 )

с дисперсией о(уп/уГ1 ) .

Если ( АуП^(уП/уП-1) 3, будем принимать решение о возникновении скачка пара-

метров.

После констатации скачка параметров процесс наблюдения должен обновляться - начаться по отношению к параметрам р заново. Из предположения независимости новых значений параметров от прошлого следует, что в уравнениях (7), (8) в векторе цп, имеющем компоненты р,П х и р,пр, необходимо вторую компоненту заменить на априорное среднее р,0р . Матрица ковариации вычисляется по формуле

Оп =

(о О ^

п,хх п,хр

V °п,хр °п,рр У

О п =

где каждая подматрица, соответствующая подвекторам х и р , заменяется матрицей следующего вида:

(Оп,хх 0 Л 0 О0,рр у ,

где О0 рр - априорная матрица ковариации параметров р . Недиагональные блоки равны нулевым

матрицам в силу независимости новых значений параметров. Далее процесс оценивания осуществляется согласно уравнениям (7)-( 10).

Заключение

Имитационное моделирование предложенных алгоритмов показало их работоспособность. Причем чем больше интервал постоянства параметров, тем точнее определяется момент скачка, так как в асимптотике неизвестные параметры р оцениваются практически точно и дисперсия

О (уп/уП 1) определяется в основном ошибкой измерения еп. И, наоборот, при частом изменении параметров предложенный метод становится неработоспособным (как и любой другой).

В частном случае, когда уравнения модели процесса линейны и по состоянию и по параметрам

*п +1 = Axn + p + vn

Уп = Hxn + en

тогда мат рицы уравнений (5)

A 1E ГЕ 1

An = , ВП =

n 0 и n 0

hn =[H 0].

В этих блочных матрицах составляющие элементы-блоки имеют размерность n.

Литература

1. Kalman, R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems / R.E. Kalman Trans. ASME. Ser. D. - 1960. - Vol. 82.

Алексеева Елена Юрьевна, доцент кафедры прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск); [email protected].

Беседин Александр Александрович, доцент кафедры прикладной математики, ЮжноУральский государственный университет (г. Челябинск); [email protected].

Шаров Роман Юрьевич, аспирант кафедры информатики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск); [email protected].

Поступила в редакцию 6 мая 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University Series “Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics”

2014, vol. 14, no. 3, pp. 99-102

PREDICTION PIECEWISE STATIONARY PROCESSES

E. Yu. Alekseeva, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, lena. flk@yandex. ru,

A.A. Besedin, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]. ac. ru,

R.Yu. Sharov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

Consider discrete stochastic processes that contain parameters changing abruptly at random times. For forecasting processes constructed assuming a constant filter parameters. Time of the change of parameters is fixed when the substantial difference predicted and observed values of the process. Upon detection of the jump change the filter options on the initial. The problem is solved under the assumption of normal approximation of random variables and the use of linear approximations of nonlinear modeling dependences. Simulation modeling of the offered algorithms revealed their working capacity. And the more interval of constancy of parameters, the better the time determined the jump. Conversely, if you change the parameters of the proposed method becomes inoperative (or any other).

Keywords: forecasting, Kalman filter, an abrupt change in the parameters.

References

1. Kalman R.E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems Trans. ASME. Ser. D, 1960, vol. 82.

Received 6 May 2014